Cap. 1 Funciones de Varias variables. Moisés Villena Muñoz
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- Salvador Hernández Castilla
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1 Cap. Funciones de Varias variables. Definición de Funciones de dos variables. Dominio. Grafica..4 Curvas de nivel. Derivadas Parciales.6 Funciones Homogéneas.7 Funciones Nomotéticas.8 Diferencial Total.9 Regla de la cadena razón de cambio.0 Aproimaciones. Análisis Marginal. Derivación Implícita
2 Cap. Funciones de Varias variables. DEFINICIÓN de Funciones de dos variables. Una función de dos variables es una relación, donde a estas variables se les asigna uno solamente un número real. Ejemplo. Suponga que para un determinado artículo la función utilidad está dada por U (, +, donde representa el precio del artículo representa la cantidad producida del artículo. Se observa, entonces que la utilidad depende de las variables, precio cantidad. Por ejemplo si entonces la utilidad sería U (,) +. Ejemplo. Función de Cobb-Dauglas Esta función tiene regla de correspondencia F (, A donde A, a, b son constantes. Por ejemplo. La estimación de la función de producción de una cierta pesquería de langostas está dada por F ( S; E),6S E donde S designa la reserva de langosta, E el trabajo invertido F( S; E) las capturas. a b Note, entonces que se podría definir funciones de tres más variables. PREGUNTA: Cómo sería la definición para una función de tres variables?. DOMINIO. El dominio de una función de dos variables es el conjunto para el cual estas variables definen la función; es decir, el conjunto para el cual tiene sentido la regla de correspondencia de la función. Ejemplo Hallar el Dominio Natural para F (, + SOLUCIÓN. Observe que la regla de correspondencia no tiene restricciones, por tanto se le puede dar cualquier valor real a las variables independientes, es decir Domf R. Ejemplo Hallar el Dominio Natural para F (, + Solución. Para que la regla de correspondencia tenga sentido se necesita que 0
3 Cap. Funciones de Varias variables Es decir Domf / 0 el plano cartesiano.. En esta ocasión puede ser mejor representarlos en 0 0 Ejemplo Hallar el Dominio Natural para F (, 9 ( + ) SOLUCIÓN., para que se pueda calcular la raíz cuadrada lo interior del radical debe ser un número positivo o cero. Despejando se tiene + 9, los pares de números que pertenecen a la circunferencia centrada en el origen de radio a su interior. Observe que la regla de correspondencia tiene sentido cuando 9 ( + ) 0 Es decir Domf / Ejercicios Propuestos.. Determine grafique el dominio de la función. Sea la función f (, e 4 + a) Determine el Dominio de la función f (,. ln( + f (,
4 Cap. Funciones de Varias variables. GRAFICA. b) Suponga que la función f (,, dada, representa la función de producción de una empresa, donde " " es el número de trabajadores calificados " " es el número de trabajadores no calificados. Si en la actualidad laboran 0 trabajadores calificados 40 no calificados, determine el nivel de producción. Sea z f (, una función de dos variables. Su gráfico se define como el conjuntos del puntos (,, z) del Espacio, tales que z f (,. El lugar geométrico es llamado Superficie. Elaborar gráficas de una función de dos variables no es tan sencillo, se requeriría de un computador. En cambio obtener trazas de las secciones transversales de la superficie es suficiente, en ocasiones para su análisis..4 CURVAS DE NIVEL. Sea z f (, una función de dos variables. Las CURVAS DE NIVEL de la gráfica de la superficie de la función se definen como las traectorias en el plano tales que f (, c. Es decir, serían las curvas que resultan de la intersección de la superficie con los planos z c, proectadas en el plano. Ejemplo. Grafique algunas curvas de nivel para f + (, SOLUCIÓN: Las curvas de nivel para esta superficie es la familia de traectorias tales que + c. (Circunferencias centradas en el origen) + C C C 4 C 9 C 6 4
5 Cap. Funciones de Varias variables Ejercicios Propuestos. Grafique las curvas de nivel indicadas para:. f (, ; C, C, C C 4. f (, ln( + ) ; C4 Cln4. DERIVADAS PARCIALES Ejercicios Propuestos.. La demanda A de un producto A está dada por:. Si p B 00 p p, en donde p A es el precio por unidad de A es el precio por unidad del producto A A relacionado B. Pruebe que p A + p B A p p (, e pruebe que f + f 0 f A B A A B.6 FUNCIONES HOMOGÉNEAS. Una función f de dos variables e definida en un dominio, D se llama homogénea de grado k si, para todo ( ) D k f ( t, t t f (, para todo t > 0 Ejemplo Demuestre que la función de Cobb-Douglas especifique su grado. SOLUCIÓN: f (, a b A Para que la función sea homogénea debe cumplirse que f ( t t t f (, Obteniendo f ( t, t resulta: a b f ( t, t A( t) ( t At At a+ b ( t, t t f (, f Por tanto, es una función homogénea de grado a a+ b a t a b a + b b b es homogénea, k, ).
6 Cap. Funciones de Varias variables Propiedades Sea z f (, una función homogénea de grado k, entonces: f f. + kf. Sus derivadas parciales f f son funciones homogéneas de grado k k k f f, f,,. ( ) ( ) ( ) 4. f + f + f k( k ) f Ejercicios propuestos.4 Determine si las funciones son homogéneas especifique el grado 4. f (, +. f (,. f (, + 4., f ( p, r) Ap r Verificar las propiedades para las funciones homogéneas determinadas.,08.7 FUNCIONES HOMOTÉTICAS. Una función f de dos variables e definida en un dominio D se llama homotética cuando(, ) D (, ) D, Si, f entonces f t, t f t t, t > 0 f ( ) (, ) ( ) ( ), Teorema Una función homogénea f de grado k es homotética. Demostración. Suponga que f es homogénea de grado k, entonces se cumple que f k k ( t, t ) t f ( ) f ( t, t ) t f ( ),., Suponga, ahora que ( ) ( ), f, k f ( t, t ) t f ( ), Por tanto, ( t, t ) f ( t, t ) f f, entonces 6
7 Cap. Funciones de Varias variables Ejemplo Demuestre que la función de Cobb-Douglas SOLUCIÓN: f (, a b A es homotética Para que la función sea homotética debe cumplirse que, siendo entonces ( t, t ) f ( t t ) f, t > 0, (, ) f (, f ) Obteniendo f ( t, t ) resulta: a+b f ( t, t ) t f (, ) Suponiendo que (, ) f (, ) a+ b f ( t, t ) t f (, ) a+ b a b f ( t, t ) t A a b f ( t, t ) A( t ) ( t ) f ( t, t ) f ( t, t ) f, al reemplazar tenemos: Lo cual demuestra que es homotética..8 DIFERENCIAL TOTAL Sea z f (, una función de dos variables. La diferencial total de la función, denotada como dz o df, se define de la siguiente forma: dz d + d Ejemplo. Encuentre la diferencial total para f (, + SOLUCIÓN: Aplicando la definición dz d + d dz ( ) d + ( d.9 REGLA DE LA CADENA Y RAZÓN DE CAMBIO Suponga que f es una función de las variables e ; suponga además que tanto como son funciones de t, entonces: dz d d + 7
8 Cap. Funciones de Varias variables Ejemplo ( ) Sea f, + donde t SOLUCIÓN: dz d ( )( t) + ( ( ) + Poniendo todo en función de t dz t + dz ( t )( t) + ( t) d ( )( ) ( )( ) dz t, hallar ( )( ) 4t + 8t Note, que idéntico resultado se obtendría habiendo primero realizado la sustitución luego la derivación. Ejercicios propuestos. sent. Sea f (, 4 ln( donde encuentre ( t ). La demanda de cierto producto es Q(, unidades por mes, donde es el precio del producto e el precio de un producto competidor. Se estima que dentro de t meses el precio del producto será 0 + 0, t dólares por unidad mientras que el precio del producto competidor será,8 + 0,t dólares por unidad. a) A qué razón cambiará la demanda del producto con respecto al tiempo dentro de 4 meses? b) A qué razón porcentual cambiará la demanda del producto con respecto al tiempo dentro de 4 meses?. Suponga que cuando las manzanas se venden a CENTAVOS POR LIBRA los panaderos ganan DÓLARES POR HORA, el precio de los pasteles de manzana en el supermercado local es (, + df p DÓLARES POR PASTEL. Suponga además que dentro de t MESES, el precio de las manzanas será + 8t CENTAVOS POR LIBRA que los sueldos de los panaderos serán,96 + 0, 0t 600 DÓLARES POR HORA. Si el supermercado puede vender Q( p) PASTELES p POR SEMANA cuando el precio es p DÓLARES POR PASTEL, a qué razón CAMBIARÁ la demanda semanal Q con respecto al tiempo dentro de dos meses? 8
9 Cap. Funciones de Varias variables.0 APROXIMACIONES. La diferencial total también puede ser utilizada para obtener aproimaciones de una función de dos variables. una función de dos variables, suponga que tiene una variación que tiene una variación, entonces la variación de la función sería: Sea z f (, ( +, + f ( z f, Para variaciones pequeñas de las variables, se puede decir que la variación de la función es aproimadamente igual a su diferencial total; es decir: z dz z d + d Además; si las variaciones son mu pequeñas entonces d. Entonces, finalmente: d z + Ejemplo La función de producción de una empresa está dada por P ( K, L) 40L K donde P representa la producción cuando se emplean L unidades de mano de obra K unidades de capital. Si en la actualidad se emplean 4 unidades de mano de obra unidades de capital. a) Aproime el efecto en la producción de incrementar la mano de obra a 48 unidades disminuir el capital a unidades. Tenemos que: L 4, K L K Utilizando la formula de aproimación L + K L K 40 L K + 40 L L () ( ) 8 ( 7) ( ) K K 9
10 Cap. Funciones de Varias variables La producción disminue aproimadamente en 7. unidades. b) Calcule el cambio porcentual de la producción. El cambio porcentual está dado por Cambio Porcentual 00 P En este caso P( 4,) 40 ( 4) ( ) 40( 7)( 4) Por tanto: 7. Cambio % P % La producción disminue en un 0.0% Ejercicios propuestos.6. Para una compañía concreta, la función de producción de Cobb-Douglas es 0,6 0,4 f (, 00. Estimar el cambio en la producción, si el número de unidades de trabajo varía de 00 a 0 el de unidades de capital de 00 a. Estime también el cambio porcentual.. En cierta fábrica la producción diaria es Q ( K, L) 0L K unidades, donde K representa la inversión de capital L el tamaño de la fuerza laboral. Aplique el cálculo para estimar el porcentaje en el cual cambiará la producción diaria, si la inversión de capital se incrementa en un % la mano de obra en un %.. En cierta fábrica la producción diaria es Q ( K, L) 60L K unidades, donde K representa la inversión de capital L el tamaño de la fuerza laboral. Aplique el cálculo para estimar el porcentaje en el cual cambiará la producción diaria si la inversión de capital se aumenta en un % la mano de obra en un %. 4. Una empresa puede producir P unidades al utilizar L unidades de mano de obra K unidades de capital con ( ) 4 P L, K 00L K. Calcule la variación porcentual en la producción si se reduce la mano de obra en % se incrementa el capiltal en %.. ANÁLISIS MARGINAL Suponga que se tiene una función producción P f ( K, L) L la fuerza laboral. representa el capital donde K Suponga que el capital se incrementa en una unidad que la fuerza laboral se mantiene constante, entonces: 0
11 Cap. Funciones de Varias variables L + K L K ( 0) + () L K K A la derivada parcial de la producción con respecto al capital se la llama la PRODUCTIVIDAD MARGINAL DEL CAPITAL, mide el cambio en la producción cuando sólo el capital se incrementa en una unidad Suponga, ahora que la fuerza laboral se incrementa en una unidad que el capital se mantiene constate, entonces: L + K L K () + ( 0) L K L A la derivada parcial de la producción con respecto al trabajo se la llama la PRODUCTIVIDAD MARGINAL DEL TRABAJO, mide el cambio en la producción cuando solo el trabajo se incrementa en una unidad.. DERIVACIÓN IMPLÍCITA Las derivadas parciales pueden ser utilizadas para determinar derivadas de funciones cuas ecuaciones están dadas de manera implícita. Suponga que f (, C, tomando derivadas a ambos miembros de la ecuación tenemos: Despejando, resulta: Ejemplo. Sea + df f (, d + f 4, hallar dc d d Solución: Empleando la formula, tenemos d f d f d 0 f f d empleando derivadas parciales. d
12 Cap. Funciones de Varias variables Ejercicios propuestos:.7. Hallar para: a) b) ( + e ). Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación , en el punto,0 ( )
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