DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD
|
|
- Raúl Casado Montes
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3) - f(-1) = f (x o ) [3- (-1)] donde f (x) = 2x + 4 f (x o ) = 2x o + 4 Como f (3) = = 19 f(-1) = = - 5 Aplicando el teorema 19 (-5) = 4 (2 x o + 4) 24 = 4 (2 x o + 4) ; 6 = 2 x o + 4 ; 2 x o = 2 ; x o = 1 [-1,3] Aplicar el teorema del valor medio a la función f(x) en el intervalo indicado, calculando el valor e que predice el teorema. Interpretarlo geométricamente. a) f(x) = senx en [0, /2] b) f(x) = x 4-3x 2 en [0, 2] c) f(x) = cosx en [- /2, /2] d) f(x) = x en [0,4] a) f(x) = sin x es continua en [0, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio f (x) = cos x es continua en (0, /2) f(x) es derivable en (0, /2) La tag en x o es paralela a la cuerda.
2 b) f(x) = x 4-3x 2 es continua en [0, 2] por ser función polinómica f (x) = 4x 3-6x es continua en (0,2) f(x) es derivable en (0,2) x = - 1 (0,2) 2x 2-2x - 1 = La m c = = 2 En x o = ; f (x o ) = 2 En x o = ; f (x o ) = 2 Las tangentes en cada x o son paralelas a la curva. c) f(x) = cos x es continua en [- /2, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio f (x) = - sin x es continua en (- /2, /2) => f(x) es derivable en (- /2, /2) En x o = 0, la m t = 0 m c = 0 por ser la recta y = 0 la cuerda entre A y B La tangente es paralela a la recta
3 La m c = tg En x o = 1 m t = 1/2 = f (1) La tg en x = 1 es paralela a la cuerda AB Aplicar Rolle, hallando el x 0, a la f(x) = x ⅔ en [-1, 1] Calcula el valor de a, para la recta tangente a la gráfica de función y = f(x) = - ax 2 +5x - 4 en el punto de abscisa 3 corte al eje X en el punto x = 5. y- y o = m t (x - x o ) x o = 3 y o = - 9a = - 9a +11 m t = y (3) = - 6a + 5 y - (- 9a + 11) = (- 6a +5) (x - 3) Para y = 0 ; x = a 11 = (- 6a + 5) (5-3) 9a 11 = - 12 a + 10 ; 21 a = 21; a = 1 y o = 2, m t = - 1 Ecuación tangente: y 2 = - 1 (x - 3)
4 Calcula y expresa lo más simplificadamente posible la derivada de: Calcular la derivada en el punto x = 0 de la función f(x) = x arc tg(x 2 )
5 Calcular simplificando todo lo posible el resultado, la derivada de las funciones : a) f(x) = Ln ; b) g(x) = ( x + ) ( x + )
6
7
8
9
10
11
12
13
14 0
15
16
17
18
19
20
21 a), por ser una b)
22 en el intervalo [-2, b]. Calcular de grado 1, continuas x R 1 y 0, continuas x R => f(x) derivable en (-2, b) Ǝ x o (-2, 10) / f (x o ) = 0
23 a) f(x) es continua en [0,2] b) c)
24 Dada la parábola de ecuación y = x 2-2x + 5, se considera la recta r que une los puntos de esa parábola, de abscisas x 1 = 1 y x 2 = 3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela a la recta r. Calculemos las ordenadas de los puntos P y Q de la recta r P(1, ) = (1, 4) Q(3, ) = (3, 8) Calculemos la ecuación de la recta r, donde su vector es PQ = (2, 4) su pendiente es = 2 Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a la curva, se calcula hallando la derivada de la curva, particularizada para la abscisa del punto. y' = 2x - 2 ==> m = y'(x o ) = 2x o - 2 Igualando las dos pendientes 2x o - 2 = 2 ==> 2x o = 4 x o = 2 y la y o = 5 El punto de tangencia será T(2, 5) La ecuación de la recta tangente será: y - 5 = 2 (x - 2) ===> y = 2x + 1 Dadas las funciones f(x) = x² + π y g (x) = sen x + cos x, calcula la derivada en x = 0 de las funciones f [g(x)] y g[f(x)]. h (x) = f [g(x)] = ( sen x + cos x)² + π h (x) = 2 (sen x + cos x ) (cos x sen x) = 2 (cos² x - sen² x) h (0) = 2 (1 0) = 2 i (x) = g [f(x)] = sen ( x² + π) + cos (x² + π) i (x) = 2x cos (x² + π) 2x sen (x² + π) i (0) = 0 cos π 0 sen π = 0
25 Demostrar que, cualquiera que sea el número real a, la ecuación x x + a = 0, no tiene nunca dos soluciones reales. Supongamos que la ecuación si tiene dos soluciones reales distintas x 1, x 2 y que x 1 < x 2 La función f(x) = x x + a = 0 es continua y derivable en todo R, por ser una función polinomica. En consecuencia la f(x) es continua en el cerrado [x 1,x 2 ] y derivable en el abierto (x 1,x 2 ). Como además, la f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0 por ser soluciones de la ecuación, si aplicamos el teorema de Rolle a mi f(x), debería existir un punto x o (x 1,x 2 ) que verifique: f '(x o ) = 0 y como la f '(x) = 5 x = 0 no tiene soluciones reales, no existirá ningún valor real x o que verifique Rolle. En consecuencia final, la f(x) no puede tener dos soluciones reales, ya que no existe ni máximo ni mínimo la función será siempre creciente o decreciente. Demostrar que la ecuación x 3 + 6x x - 23 = 0 no puede tener mas de una raíz real. Consideremos la función f(x) = x 3 + 6x x - 23 en la que el dominio de mi función es toda la recta R. Si calculamos f '(x) = 3x x + 15 podemos calcular que dicha derivada es siempre positiva, para ello podemos ver que la ecuación f '(x) = 0 no se verifica para ningún valor de x ya que la ecuación 3x x + 15 = 0 no tiene soluciones reales. Esto nos indica que f '(x) mantiene siempre el signo constante y además será siempre positiva ya que f '(0) = 15 > 0. Al ser f '(x) > 0 nos dice que la f(x) es siempre creciente para todo valor de R y al pasar de - a + la función se anulara en algún valor de x, pero solo en un punto, con lo que la ecuación inicial tendrá solo una raíz real.
26 Demostrar que la ecuación x 18-5x + 3 = 0 no puede tener mas de dos raíces reales. Si consideramos la función f(x) = x 18-5x + 3, las raíces de dicha ecuación serán los números x para los que se cumple que f(x) = 0. Si calculamos la derivada de f(x) f '(x) = 18x 17-5 ; Hagamos f '(x) = 0 ==> Al ser una raíz de índice impar, la derivada se anulara para un solo valor de x, con lo que según el Teorema de Rolle, existirá un solo máximo o un solo mínimo y por tanto la función f(x) solo podrá cortar al eje de abscisas en dos puntos, con lo que la ecuación no puede tener mas de dos raíces reales. Derivar las siguientes funciones
27 Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) en el punto de abscisa 0, a la gráfica de la función dada por: f(x)=2 x = 2 (x - 0) => y (x - 0) => Determinar el valor de a para que la recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) = x 4 + ax en el punto x =0 sea perpendicular a la recta y +x = 3. m t = y (0) La recta y = - x 3 tiene de pendiente m n = - 1 y = 3x 2 + a m t = (y (0)) = a Al ser perpendiculares m t m n = - 1 a (-1) = - 1 a = 1
28 Determinar un punto sobre la parábola y = x 2 comprendido entre los puntos A(1,1), B(3,9) en el que la tangente a la parábola sea paralela a la recta AB. Si aplicamos Lagrange a los extremos a = 1 y b = 3 en donde la f(b) = 9 y la f(a) = 1 Como f(b) - f(a) = (b - a) f '(x o ) 9-1 = (3-1) f '(x o ) Como la f '(x) = 2x 8 = 4 x o ==> x o = 2 y la y o = 4 El punto será (2, 4) Discutir si la ecuación cos x = 2 x posee alguna solución real positiva. Puedo asegura que hay una sola solución? Creamos una f(x) = cos x 2 + x para comprobar la hipótesis de Bolzano en [0, b]. f(x) es continua x R Signo f(0) = cos = 1-2 = Signo f( /2) = cos /2 2 + /2 0 Signo f( ) = cos 2 + = en 0, o mejor en /2, => Signo f ( /2) Signo f( ) Existe al menos un x 0 ( /2, ) f(x 0 ) = 0 Existe al menos una solución real positiva en ( /2, ) Como falla la 3ª hipótesis de Rolle f( /2) f( ) No puedo asegurar la existencia de máximo o mínimo f(x) es siempre creciente o decreciente y eso implica que en ( /2, ) hay un solo valor en el que f(x 0 ) = 0
29 En la ecuación de la recta y = mx + b, explicar como se determinarían los números m y b para que sea tangente a la gráfica de la función y - f(x) en el punto de esta de abscisa p. Por ser m la pendiente de la recta ==> m = f '(p) La ecuación de la recta que pasa por (p, f(p)) y tiene por pendiente f '(p) será: y - f(p) = f '(p) (x - p) y despejando la y queda: y = f '(p) x f '(p) p + f(p) Identificando con la ecuación de la recta podemos sacar que b = - f '(p).p + f(p) En el segmento de parábola comprendido entre los puntos A(1, 1) y B(3, 0), hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda. Aplicando la interpretación geométrica de Lagrange. Si f(x) = ax² + bx + c por pasar por A y B Además f (x 0 ) = m ; Si la recta AB es de la forma y - 0 = m (x - 3)
30 Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = x 1 en el intervalo [0,2]? No es derivable por no ser f (x) continua en x = 1 Para que f(x) sea continua es necesario que los limites laterales coincidan y que f(x) este definida en [- al menos un punto del cerrado. Estudiar si se cumplen las hipótesis de Rolle para la función f (x)= x³ - 9x en [-3,3] y si es cierto, comprobar la existencia de al menos una raíz real de f (x) = 0 en el intervalo considerado. a) f (x) es continua por ser un polinomio de grado 3 b) f (x) = 3x² - 9. Por ser f (x) un polinomio de grado 2, f (x) escontinua f(x) es derivable en (-3,3) Verifica Rolle x o f (x o ) = 0 ; 3x o ² - 9 = 0 ;
31 Explicar en que consiste la regla de la cadena para derivar una función compuesta. Como aplicación, derivar la función f(x) = arc sen 2x (1 - x 2 ) 1/2 La regla de la cadena se utiliza para hallar la derivada de funciones compuestas. Si f(x) = g(h(x)) entonces f '(x) = g'( h(x) ) h'(x) En nuestro caso h(x) = 2x (1 - x 2 ) 1/2 con lo que Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función g(x) = en el punto de abscisa x = 2 =>
32 Halla las ecuaciones de la recta tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos que se indican. en (x - 4) => en ; = 45º=
33 Hallar la derivadas de las funciones : a) y = x sin x y = x sin x ; Ln y = Ln x sin x = sin x Ln x ; y / y = cos x Ln x + sin x 1/x ; y = (cos x Lnx + sen x / x ) x senx b) y = (senx) x y =( senx) x ; Lny = Ln (senx) x = x Lnsenx ; y / y = Ln(senx) + x (cos x / sen x) ; y = [ Ln(senx) + x cotgx) ] (sen x ) x c) y = 2 senx y = 2 senx ; y = cos x 2 senx log 2 d) y = sen 3 x y = sen 3 x ; y = 3 sen 2 x (senx) = 3 sen 2 x cos x Hallar la función derivada de y = (1 - cos x ). cotg x Si llamo u(x) = 1 - cos x y v(x) = cotg x y' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)
34 Hallar la derivada primera, segunda, tercera, cuarta... Escribir la expresión simplificada de la derivada de orden 18 de esa función.
35 La ecuación e x = 1 + x tiene evidentemente la raíz x = 0. Probar que no tiene más raíces reales. El que tenga la raíz x = 0 se comprueba ya que e 0 = Ahora bien, si estudiamos la función y = e x - x - 1 podemos calcular sus máximos o mínimos. y' = e x - 1 ==> y' = 0 ==> e x - 1 = 0 ==> e x = 1 ==> Ln e x = Ln 1 ==> x = 0 es posible máximo o mínimo. y'' = e x ==> y''(0) = e 0 > 0 ==> Mínimo en (0,0) Al no existir ningún otro máximo ni mínimo en mi función, esto quiere significar que la función será siempre decreciente hasta llegar al x = 0, y que después del x = 0 será siempre creciente. Por ello puedo asegurar que mi función no volverá a anularse para ningún otro valor de x, o lo que es lo mismo, que la ecuación e x = 1 + x no se verificara para otro valor que no sea el cero ya observado. Al estar el radicando elevado al cuadrado, este sera siempre > 0 y f(x) f(x) sera continua en toda la R. verifica Rolle : No podemos asegurar que exista x 0 (0, 4) / f (x 0 ) = 0
36 f(x) es continua en x = 0 f(x) no es derivable en x = 0 b) No existe contradicción ya que al no ser derivable en x = 0 perteneciente (-1,1) no se verifica Rolle a pesar de que f (-1) = f(1) = ½ pero Rolle no niega que exista un x 0 (-1,1) / f (x 0 ) = 0 sino que no lo puede asegurar, aunque en este caso si que existe x 0 = 0 tal que f (0) = 0
37 Sea una función f (x) tal que f (x) y f (x) son continuas en todo R. Demostrar si f( y además la única raíz real de f (x) es, esto implica que la única raíz real de f(x) = 0 es Para demostrarlo supongamos que existe R / Si supongo que f( ) = 0 f ( ) = 0 esto nos indica que si existe un valor que hace su derivada 0. Esto nos implica que exista una raíz real para f (x), que sería en contra del enunciado que nos dice que la única raíz real de f es El teorema de Rolle dice que si f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b), además de que f(a) = f(b) => x 0 / f (x) = 0. Aquí me dicen que la f(x) tiene como derivada f (x) = sen x²; si ésta f (x) es continua en R lo será en el Como la función sin x² es continua siempre que lo sea x² y ésta es una función polinómica continua en R luego f (x) = sin x² es continua en y por tanto es derivable en. Si f(x) es derivable, antes ha tenido que ser continua en. Rolle me dice que además f(0) = f y como f(0) = 0 f = 0 para que se verifique el teorema. Se considera la parábola y = 2x 2. Determinar un punto de la misma en el que la tangente a la parábola sea paralela a la recta que pasa por los puntos de la parábola A(1,2) y B(2,8) Se aplica la formula de Lagrange f(b) f (a) = (b a) f (x o ); f (x) = 4x
38 a) Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-4,2]. b) Hallar los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema. PAU Junio 1999 a) Para que se verifique Lagrange, la f(x) debe ser continua y derivable en [-4,2] Obliguemos a que sea continua en [-4,- 2), (- 2,2] y en x = - 2 En los intervalos será continua m,n por ser f. polinómicas.
39 . Calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x=3, y para ello, calcularemos la pendiente de la recta. x + 9y - 6 = 0 Calculemos los puntos de corte de la tangente con los ejes
40 Si el termino independiente de un polinomio en x es igual a 3 y el valor que toma ese polinomio para x = 2 es 3, probar que su derivada se anula para algún valor de x; razonar que ese valor pertenece a un cierto intervalo que se especificara. Llamemos P(x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + 3 P(0) = a n 0 + a n a = 3 Además nos dicen que P(2) = 3, por tanto P(0) = P(2) = 3. Como P(x) es función continua y derivable en toda la recta real podremos aplicar el Teorema de Rolle, con lo que existe un valor x = a en el intervalo (0,2) tal que P'(a) = 0 Si f(x) = 2 + x 3 (x - 2) 2 probar que la ecuación f (x) = 0 posee al menos una raíz en (0, 2) sin calcular su derivada. Para que x o sea raiz es necesario que f (x 0 ) = 0 Se aplica Rolle, por ser f(x) continua en [0,2] y derivable en (0,2) y además f(0) = (0 2) 2 = 2 ; f(2) = (2 2) 2 = 2 f(0) = f(2) al verificarlo x 0 R / f (x 0 ) = 0 Por Lagrange f(2) - f(0) = f (x 0 ) [2 0] 2 2 = f (x 0 ) 2 ; 0 = f (x 0 ) 2; f (x 0 ) = 0 Si la derivada de una función f es positiva para todos los valores de la variable. Puede haber dos números distintos a, b, tales que f(a) = f(b)?. Razonarlo. Si fuera f(a) = f(b) para dos números distintos a y b, puesto que f es derivable, también es continua y podría aplicarse el teorema de Rolle. Habría entonces un numero c entre a y b, tal que f '(c) = 0, lo cual es imposible ya que f '(x) > 0 para todo numero x, según dice el enunciado. Luego no puede haber dos números distintos a, b, tales que f(a) = f(b).
41 Para buscar el punto de corte de la tangente con el eje OX resolveremos el sistema: luego la tangente corta al eje en Q (2x, 0) Para ver que los triángulos formados son isósceles solo será necesario demostrar que: d(op) = d(pq)
Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o
DERIVADAS Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3) - f(-) = f
Más detallesAplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o
DERIVADAS Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3) - f(-1) =
Más detallesPROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Considera la función f(x)= x 3 + px donde p es un número real. Escribir (en función de p) la ecuación de la recta tangente a la grafica f(x) en el punto de abscisa
Más detallesPROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Considera la función f(x)= x 3 + px donde p es un número real. Escribir (en función de p) la ecuación de la recta tangente a la grafica f(x) en el punto de abscisa
Más detallesFUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales:
FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Bolzano Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Las imágenes
Más detallesTEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE
TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]
Más detallesx = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)
CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas
Más detalleswww.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid!
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) g(x) ha de ser,
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesTEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Tasa de variación Dada una función y = f(x), se define la tasa de variación en el intervalo [a, a +h] como: f(a + h) f(a) f(a+h) f(a) y se define la tasa de variación media
Más detallese x + a si x 0 Calcular a y b para que la función f(x) = ax si 0 < x 1 b / 2x si x > 1
PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD e x + a si x 0 Calcular a y b para que la función f(x) = ax 2 + 2 si 0 < x 1 b / 2x si x > 1 sea continua en x = 0 y en x = 1. Es derivable en x = 0 y en x = 1?
Más detallesTema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)
Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato TEMA 0 APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la recta tangente a la curva f en 0. Ordenada del
Más detallesProblemas resueltos de los teoremas de Rolle, valor medio y Cauchy
Problemas resueltos de los teoremas de Rolle, valor medio y Cauchy 1 Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = x 1 en el intervalo [0, 2]? 2 Estudiar si la función f(x) = x x 3 satisface las
Más detallesTema 1. Cálculo diferencial
Tema 1. Cálculo diferencial 1 / 57 Una función es una herramienta mediante la que expresamos la relación entre una causa (variable independiente) y un efecto (variable dependiente). Las funciones nos permiten
Más detallesCÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES
CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD º DE BACHILLERATO CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS TERESA GONZÁLEZ GÓMEZ .-Hallar una primitiva
Más detalles3.3 Propiedades locales de una función derivable: continuidad, crecimiento y decrecimiento.
DERIVADAS. Función derivable en un punto. laterales. Interpretación geométrica de la derivada. Ecuaciones de las rectas tangente normal a la gráfica de una función en un punto.. Concepto de función derivada.
Más detallesProblemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales
Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=
Más detallesP. A. U. LAS PALMAS 2005
P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica
Más detallesMatemáticas Febrero 2013 Modelo A
Matemáticas Febrero 0 Modelo A. Calcular el rango de 0 0 0. 0 a) b) c). Cuál es el cociente de dividir P(x) = x x + 9 entre Q(x) = x +? a) x x + x 6. b) x + x + x + 6. c) x x + 5x 0.. Diga cuál de las
Más detallesResumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones.
Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones. 0.. Concepto de derivada. Definición. Sea f : S R R, a (b, c) S. Decimos que f es derivable en a si existe: f(x) f(a)
Más detallesDERIVABILIDAD. 1+x 2. para x [1, 3]
1 DERIVABILIDAD 1. Definir derivada y derivadas laterales de una función en un punto. Probar que la función f es derivable en =1 y que la derivada lateral por la derecha en =0 es infinito. para [0, 1)
Más detallesTEMA 4: DERIVADAS. En símbolos, la pendiente de la curva en P = lim Q P (pendiente de P Q).
TEMA 4: DERIVADAS 1. La derivada de una función. Reglas de derivación 1.1. La pendiente de una curva. La pendiente de una curva en un punto P es una medida de la inclinación de la curva en ese punto. Si
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto
Más detallesAutor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen
CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen Febrero 2012 T1. [2] Demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacto. T2. [2.5] Definir la diferencial de una función en un punto y demostrar
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f () 5 5 9 4 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Di otros
Más detallesEjercicios de Funciones: derivadas y derivabilidad
Matemáticas 2ºBach CNyT. Ejercicios Funciones: Derivadas, derivabilidad. Pág 1/15 Ejercicios de Funciones: derivadas y derivabilidad 1. Calcular las derivadas en los puntos que se indica: 1., en x = 5.
Más detallesRESUMEN DE DERIVADAS. TVM = f(x) = lim 1+2h+h 2-1. = lim 1+h) lim. = 0 = lim h2+h)
RESUMEN DE DERIVADAS Tasa de variación Media. Definición: se llama tasa de variación media (TVM) de una función f(x) entre los valores x 1 y x 2 al cociente entre el incremento que experimenta la variable
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio
Más detallesDerivadas. 1. Tasa de variación media La tasa de variación media de una función f(t) en un intervalo [a, b] se define como:
Derivadas Antes de dar la definición de derivada de una función en un punto, vamos a introducir el concepto de tasa de variación media y dos ejemplos o motivaciones iniciales que nos van a dar la medida
Más detalles8. y = Solución: x 4. 9. y = 3 5x. Solución: y' = 5 3 5x L 3. 10. y = Solución: 4 4 (5x) 3. 11. y = Solución: (x 2 + 1) 2. 12.
7 Cálculo de derivadas. Reglas de derivación. Tabla de derivadas Aplica la teoría Deriva en función de :. y = 8. y = 5 3 5 4. y = ( ) 5 0( ) 4 9. y = 3 5 5 3 5 L 3 3. y = 7 + 3 4. y = e e 5. y = 7 7 +
Más detallesEjercicios resueltos. 4 continua en R luego continua en cualquier. , [ 1,1] = 0 que equivale a decir 1,1
Teoremas de continuidad y derivabilidad Ejercicios resueltos.- Demostrar que la siguiente ecuación tiene una solución en el intervalo, : 4 º. Se considera la función 4 continua en R luego continua en cualquier
Más detallesESTUDIO LOCAL DE LA FUNCIÓN
ESTUDIO LOCAL DE LA FUNCIÓN Dominio : x Calcular máximo, mínimo, Punto de Inflexión, intervalos crecimiento y decrecimiento e intervalos de curvatura de la y = (x 1) 3 y = 3 (x 1) 2 ; y = 0 3 (x 1) 2
Más detallesTipos de funciones. Clasificación de funciones. Funciones algebraicas
Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice la cadena Tabla de Dada una función f : D R R,
Más detallesEs decir, tenemos una función continua en el intervalo [2, 3] donde signo de f(2) signo de f(3).
TEOREMA DE BOLZANO: Probar que la ecuación x 3-4x - 2 = 0 tiene alguna raíz real, aproximando su valor hasta las décimas. Consideramos la función f(x) = x 3-4x - 2 la cual es continua por ser polinómica.
Más detallesTEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES.
TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES. Definición: Una función es una relación entre dos variables x e y de manera que a cada valor de la variable x le corresponde un único valor
Más detallesDerivadas. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid
Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta
Más detallesRESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II
RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II 1. DOMINIO DE DEFINICIÓN Y CONTINUIDAD 1.1. FUNCIONES ELEMENTALES (No tienen puntos angulosos) Tipo de función f (x) Dom (f) Continuidad Polinómicas P(x) R Racional P(x)/Q(x)
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detalles2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN
2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 1.) Resuelve las siguientes derivadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) f(x) = arcsen 2.) Resuelve la siguiente derivada, simplificando
Más detallesTema 6: Derivada de una función
Tema 6: Derivada de una función Antes de dar la definición de derivada de una función en un punto, vamos a introducir dos ejemplos o motivaciones iniciales que nos van a dar la medida de la importancia
Más detallesTema 7: Derivada de una función
Tema 7: Derivada de una función Antes de dar la definición de derivada de una función en un punto, vamos a introducir dos ejemplos o motivaciones iniciales que nos van a dar la medida de la importancia
Más detallesCriterio 1: Sea f una función derivable en (a,b). f es estrictamente creciente en el intervalo abierto (a, b) si f es positiva en dicho intervalo.
UNIDAD. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.. Información etraída de la primera derivada.. Información etraída de la segunda derivada.. Derivabilidad en intervalos: Teorema de Rolle, del valor medio y Caucy..4
Más detallesEs evidente la continuidad en En el punto, se tiene:
Tema 3 Continuidad Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 Estudia la continuidad de la función La función puede expresarse como Para representarla basta considerar dos arcos de parábola: Es evidente la continuidad
Más detallesTeoría Tema 3 Teoremas de derivabilidad
página 1/10 Teoría Tema 3 Teoremas de derivabilidad Índice de contenido Teorema de Rolle...2 Teorema del valor medio de Lagrange (o de los incrementos finitos)...4 Teorema de Cauchy...6 Regla de L'Hôpital...8
Más detallesEJERCICIOS DE ANÁLISIS PRIMERA EVALUACIÓN - MATEMÁTICAS II 2 BACH A Soluciones en Ejercicios resueltos de la PAU
EJERCICIOS DE ANÁLISIS PRIMERA EVALUACIÓN - MATEMÁTICAS II 2 BACH A Soluciones en Ejercicios resueltos de la PAU Problema 1 (2 puntos) De una función derivable f (x) se conoce que pasa por el punto A(-1,
Más detallesIES RAFAEL PUGA RAMÓN DERIVADA Y APLICACIONES Calcula el valor de a para que la gráfica de la función y= x a cumpla que la recta
BOLETÍN DE DERIVADAS Y RECTA TANGENTE 1. Aplicando la definición, calcula la derivada de f(x)=2x 2 -x en x=1 2. Pon tres ejemplos de funciones cuya derivada sea x 2. Cuántas existen?. Existe alguna función
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,
Más detallesSELECTIVIDAD APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
SELECTIVIDAD APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Septiembre 008: Calcula los valores del número real a sabiendo que punto) 0 a e a = 8. ( Septiembre 008: Hallar, de entre los puntos de la parábola de ecuación
Más detallesMODELO DE EXAMEN MATEMÁTICAS II PRIMERA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018
MODELO DE EXAMEN MATEMÁTICAS II PRIMERA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 Límites de funciones. Continuidad Derivadas Aplicaciones de las derivadas Primitiva de una función Integral definida EJERCICIO 1. Dada
Más detallese x -1 2 e x [2013] [JUN] Dependiendo de los valores de a, estudia la continuidad de la función f(x) = . a si x = 0
. [204] [ET-A] Sea = (x)2 x-. i) Determina el dominio de f. ii) Halla sus asíntotas. iii) Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de f. iv) Dibuja la gráfica de f destacando los elementos
Más detallesContinuidad de funciones
Apuntes Tema 3 Continuidad de funciones 3.1 Continuidad de funciones Def.: Dada una función f(x), diremos que es continua en x = a, si cumple la siguiente condición: En caso de que no cumpla esta condición,
Más detallesCONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR
INTERVALOS CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR Un intervalo es un conjunto infinito de números reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos en él o no. 1. Intervalo abierto (a, b): Comprende
Más detalles1. Calcula la tasa de variación media de la función y = x 2 +x-3 en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,2], c) [2,3]. Sol: a) 0; b) 3; c) 6
ejerciciosyeamenes.com PROBLEMAS DE DERIVADAS 1. Calcula la tasa de variación media de la función +- en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,], c) [,]. Sol: a) 0; b) ; c) 6. Calcula la tasa de variación media
Más detallesf (x) (1+[f (x)] 2 ) 3 2 κ(x) =
MATEMÁTICAS II - EXAMEN PRIMER PARCIAL - 4/11/11 Grado: Ing. Electrónica Rob. y Mec. Ing. Energía Ing. Organización Ind. Nombre y Apellidos: Ejercicio 1. La curvatura de una función f en un punto x viene
Más detallesConcepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B
Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función
Más detallesJUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.
Junio 00 (Prueba Específica) JUNIO 00 Opción A.- Dada la parábola y 3 área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola., y la recta y 9, hallar las dimensiones
Más detallesAUTOEVALUACIÓN DE CÁLCULO I - SOLUCIONES. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 2: Cálculo diferencial de una variable
AUTOEVALUACIÓN DE CÁLCULO I - SOLUCIONES Para Grados en Ingeniería Capítulo 2: Cálculo diferencial de una variable Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García Soluciones del Examen de Autoevaluación
Más detallesECUACIÓN DE LA RECTA. Dibujando los ejes de coordenadas y representando el punto vemos que está situado sobre el eje de abscisas.
ECUACIÓN DE LA RECTA. El punto (, 0) está situado: a) Sobre el eje de ordenadas. b) En el tercer cuadrante. c) Sobre el eje de abscisas. (Convocatoria junio 00. Examen tipo D) Dibujando los ejes de coordenadas
Más detallesAPLICACIONES DE LAS DERIVADAS
0 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 8 REFLEXIONA Y RESUELVE Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0
Más detallesx (0) si f (x) = 2s 1, s > 1 d) f 3. Analizar la existencia de derivadas laterales y de derivada en a = 0, para las siguientes funciones:
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 7 1. Usando sólo la definición de derivada,
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 55 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f ( 5 5 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(, f'( y f'(. f'( 0; f'( ; f'( Di otros tres puntos
Más detallesEXAMEN DE MATEMATICAS II 2ª ENSAYO (1) Apellidos: Nombre:
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO () Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: CURSO 05 Instrucciones: a) Duración: HORA y 0 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de
Más detallesDerivadas. Derivabilidad
Apuntes Tema 4 Derivadas. Derivabilidad 4.1 Derivada de una función Llamamos tasa de variación media al cociente entre el incremento que sufre la variable dependiente y el incremento de la variable independiente.
Más detallesDERIVADA DE UNA FUNCIÓN
www.fisicanet.com www.fisicaweb.com DERIVADA DE UNA FUNCIÓN fisicanet@interlap.com.ar Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.
Más detallesGEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE
Ejercicios resueltos de la Recta 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. SOLUCION: Graficamos La ecuación de la recta se busca por medio
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Derivadas; aplicaciones de las derivadas
Derivadas; aplicaciones de las derivadas Problema 1: La función f(t), 0 t 10, en la que el tiempo t está expresado en años, representa los beneficios de una empresa (en cientos de miles de euros) entre
Más detallesIES Francisco Ayala Modelo 1 (Septiembre) de 2007 Solución Germán Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Francisco Ayala Modelo (Septiembre) de 7 Germán Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio n de la opción A de septiembre, modelo de 7 3x+ Sea f: (,+ ) R la función definida por f(x)= x. [ 5 puntos] Determina
Más detallesLas superficies serán: Tapa y superficie lateral S 1 = ( x 2 +4xy ) cm 2 Superficie de la base: S 2 = x 2 cm 2
MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 8 cm. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta /cm y para la base
Más detallesMétodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones
Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Abril 009,
Más detallesMatemáticas aplicadas a las CC.SS. II
Tema Nº 8 Aplicaciones de las Derivadas ( 17! Determina las dimensiones de una ventana rectangular que permita pasar la máima cantidad de luz, sabiendo que su marco debe medir 4 m. ---oooo--- La ventana
Más detallesFunción Real de variable Real. Definiciones
Función Real de variable Real Definiciones Función Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Una aplicación de A en B es una relación que asocia a cada elemento (x=variable independiente) de A un único valor
Más detallesAplicaciones de las Derivadas
Tema 4 Aplicaciones de las Derivadas 4.1 Introducción Repasaremos en este Tema algunas de las aplicaciones fundamentales de las derivadas. Muchas de ellas son ya conocidas por tratarse de conceptos explicados
Más detallesReglas de derivación. 4.1. Sumas, productos y cocientes. Tema 4
Tema 4 Reglas de derivación Aclarado el concepto de derivada, pasamos a desarrollar las reglas básicas para el cálculo de derivadas o, lo que viene a ser lo mismo, a analizar la estabilidad de las funciones
Más detallesMATEMÁTICAS: PAU 2016 JUNIO CASTILLA Y LEÓN
MATEMÁTICAS: PAU 26 JUNIO CASTILLA Y LEÓN Opción A Ejercicio A 5 a a) Discutir para qué valores de a R la matriz M = ( ) tiene inversa. Calcular M a para a =. ( 5 puntos) Para que exista inversa de una
Más detallesx + x 2 +1 = 1 1 = 0 = lím
UNIDAD Asíntota horizontal: 8 +@ + + = y = es asíntota horizontal hacia +@ (y > ). + + + + = = = 0 8 @ 8 +@ y = 0 es asíntota horizontal hacia @ (y < 0). CUESTIONES TEÓRICAS 30 Qué podemos decir del grado
Más detallesDerivadas 6 ACTIVIDADES. 1. Página 140. Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página Página Página
Derivadas 6 ACTIVIDADES 1. Página 140 Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página 140 3. Página 141 4. Página 141 5. Página 142 211 Derivadas 6. Página 142 Las derivadas laterales no existen, por
Más detallesDERIV. DE UNA FUNC. EN UN PUNTO
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función. En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado
Más detalles. Matemáticas aplicadas CCSS. Ejercicios modelo Selectividad 2000-2011
1. CÁLCULO DE DERIVADAS Ejercicio 1. (001) Calcule las funciones derivadas de las siguientes: Lx a) (1 punto) f ( x) = (Lx indica logaritmo neperiano de x) x 3 b) (1 punto) g( x) = (1 x ) cos x 3 1 c)
Más detallesDepartamento de matemáticas
Análisis con solución (Límites, derivadas y aplicaciones) Problema 1: Determina los valores de a y b para los cuales Problema 2: Calcula Problema 3: Una persona camina a la velocidad constante de 3 m/s
Más detallesESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento
Más detallesa) Calcular las asíntotas, el máximo y el mínimo absolutos de f (x). 4. (SEP 04) Sabiendo que una función f (x) tiene como derivada
Matemáticas II - Curso - EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE ACCESO COMUNIDAD DE MADRID (JUN ) Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8
Más detallesApuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones
Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a
Más detallesTEMA 5.- DERIVADAS. Tasa de variación. Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos
TEMA 5.- DERIVADAS Tasa de variación Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de
Más detalles4.- a) Enunciar el teorema de Rolle. (0,5 puntos) b) Determinar a, b, c para que la función f, definida por:
GMR Nombre: Nota Curso: º Bachillerato Eamen IV Fecha: 9 de Noviembre de 015 La mala o nula eplicación de cada ejercicio implica una penalización de hasta el 5% de la nota. 1.- La línea recta que pasa
Más detalles2 ln x dx. Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = 1 x dx dv = dx v = x y por tanto
Tema 6 Integración Definida Ejercicios resueltos Ejercicio Calcular la integral definida ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = x dx dv
Más detalles4.2 Tasas de Variación. Sea la función f: Se llama tasa de variación media de la función f en el intervalo [a, b] al cociente:
U.D.4: DERIVADAS 4.1 Ecuaciones de una recta. Pendiente de una recta La pendiente de una recta es una medida de la inclinación de la recta. Es el cociente del crecimiento en vertical entre el crecimiento
Más detallesGráficamente: una función es continua en un punto si en dicho punto su gráfica no se rompe. Función continua en x = 0 Función no continua en x = 0
Funciones continuas Funciones continuas Continuidad de una función Si x 0 es un número, la función f(x) es continua en este punto si el límite de la función en ese punto coincide con el valor de la función
Más detallesAplicaciones de las derivadas
Aplicaciones de las derivadas. Recta tangente a una curva en un punto La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f() en el punto ( 0, f( 0 )) viene dada por f ( 0 ) siempre que la función
Más detallesMaterial de uso exclusivamente didáctico 1
TEMA 1 Ejercicio 1 ( puntos) Sea f(x) = 10 + 4. Hallar a R tal que f(a) = 9. Para el valor encontrado, hallar la ecuación de la recta tangente x 4 al gráfico de f en (a; f(a)) f(a) = 9 10 a 4 + 4 = 9 10
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo
Más detalles12.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 3.- REGLAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS DERIVADA EN UN PUNTO Calcula la derivada de y = + en o = utilizando la definición Solución: y'() = 8 Calcula la derivada de en o = utilizando la definición Solución: y '() = 6 Calcula la derivada
Más detallesDEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder un único número real, f(x):
1 FUNCIONES ELEMENTALES CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder un único número real, f(x): Lo denotamos por : f : Dom -----> R x
Más detallesOpción A ( ) ( x) ( ) ( ) Examen. 1ª evaluación 4/12/ en su punto de A 1 A 2. 1 x. x El área total será una función en x : A( x) = A1 + A2
Eamen 1ª evaluación /1/7 Opción A Ejercicio 1 (Puntuación máima: puntos Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica infleión 6 + 6 1 1 1 ; 1 1 1 1 ( 1 1, ( 1, ( 1 ( 1, y 6( 1 y 6 + 6 Calculamos
Más detallesPolinomios. 1.- Funciones cuadráticas
Polinomios 1.- Funciones cuadráticas Definición 1 (Función polinomial) Sea n un entero no negativo y sean a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 número s reales con a n 0. La función se denomina función polinomial
Más detallesProblemas Tema 2 Enunciados de problemas de Límite y Continuidad
página /2 Problemas Tema 2 Enunciados de problemas de Límite y Continuidad Hoja. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f ()=. solución: continua en toda la recta real. Punto anguloso en
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL 9. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS
CÁLCULO DIFERENCIAL 9 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA COLECCIÓN DE PROBLEMAS - CAPÍTULO 3 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Más detallesAYUDA MEMORIA PARA EL ESTUDIO DE MATEMÁTICAS II - SISTEMAS
AYUDA MEMORIA PARA EL ESTUDIO DE MATEMÁTICAS II - SISTEMAS Potencias de la unidad imaginaria i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1 Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto
Más detalles