Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)

Transcripción

1 Integración numérica Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) Índice Motivación y objetivos Cuadratura numérica Planteamiento general Clasificación Orden de convergencia Cuadraturas de Newton-Cotes Cuadraturas de Gauss Cuadraturas mixtas Cuadraturas compuestas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 2 1

2 Objetivo: calcular/aproximar el valor de la integral Motivación Limitaciones de la integración analítica: la expresión analítica de f (x) no es conocida: datos experimentales o función evaluable sólo de forma discreta, f (x) con expresión analítica pero con integral analítica complicada o desconocida. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 3 Objetivos Entender cómo se aproxima una integral mediante una cuadratura numérica Entender qué es el orden de una cuadratura y ser capaz de calcularlo Aprender a utilizar las cuadraturas de Gauss y las de Newton-Cotes, y saber cuando se pueden utilizar unas u otras Ser capaz de utilizar cuadraturas compuestas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 4 2

3 Cuadratura numérica error pesos puntos INTEGRACIÓN NUMÉRICA 5 1. Aproximar f por un polinomio Planteamiento general 2. Integrar (con interpolación de Lagrange) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 6 3

4 Clasificación Según los puntos de integración: Newton-Cotes: puntos arbitrarios (datos experimentales ) generalmente puntos equiespaciados sólo hay que determinar los pesos y el error Gauss: puntos óptimos (hábilmente elegidos) f se puede evaluar donde se desee se eligen los puntos para que la cuadratura sea lo mejor posible y, después, se calculan y Mixtas (Radau, Lobatto): algunos puntos son predeterminados y el resto a elegir INTEGRACIÓN NUMÉRICA 7 Según los extremos: cuadraturas cerradas cuadraturas abiertas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 8 4

5 Orden de una cuadratura Definición: se dice que una cuadratura es de orden q si integra exactamente polinomios de grado q Si la cuadratura se obtiene integrando el polinomio interpolador (con n+1 puntos), entonces la cuadratura es de orden n, o superior. Si el error es de la forma entonces la cuadratura es de orden q INTEGRACIÓN NUMÉRICA 9 Cuadraturas de Newton-Cotes INTEGRACIÓN NUMÉRICA 10 5

6 Fórmulas cerradas de Newton-Cotes Puntos arbitrarios Sólo hay que calcular los pesos y el error Cuadraturas tabuladas para puntos equiespaciados. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 11 Cambio de variable Los puntos de integración α=0, 1,, n Polinomios y resto de Lagrange corresponden a INTEGRACIÓN NUMÉRICA 12 6

7 Cuadraturas cerradas de Newton-Cotes con puntos equiespaciados Pesos de integración Error INTEGRACIÓN NUMÉRICA 13 Fórmula del trapecio (n = 1) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 14 7

8 Fórmula del trapecio (n = 1) teorema del valor medio integral INTEGRACIÓN NUMÉRICA 15 Fórmula de Simpson (n = 2) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 16 8

9 Fórmula de Simpson (n = 2) n=2 par orden 3 (mayor de lo esperado) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 17 Error de las cuadraturas cerradas de Newton-Cotes Si n es impar (orden n) Si n es par (orden n+1) Demostración en Ralston & Rabinowitz, A first course in numerical analysis, McGraw-Hill, 2ª edición, 1978 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 18 9

10 Fórmulas cerradas de Newton-Cotes (Trapecio) (Simpson) (2ª Simpson) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 19 Fórmulas abiertas de Newton-Cotes La misma idea con x 0 = a+h y x n = b-h INTEGRACIÓN NUMÉRICA 20 10

11 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 21 Cuadraturas de Gauss INTEGRACIÓN NUMÉRICA 22 11

12 Consideramos integrales de la forma Cuadraturas de Gauss más general ω(z) estrictamente positiva en [a, b] (salvo en un conjunto de medida nula) Interpolación polinómica con n+1 puntos {z 0, z n } L i (z): polinomios de Lagrange INTEGRACIÓN NUMÉRICA 23 Integrando se obtiene la cuadratura y el error INTEGRACIÓN NUMÉRICA 24 12

13 Newton-Cotes: Puntos de integración {z 0, z n } arbitrarios (equiespaciados) Se calculan los pesos w i para que la cuadratura sea de orden n (generalmente): n+1 condiciones para n+1 parámetros Caso especial: para n par orden n+1 Cuadraturas de Gauss: nos preguntamos podemos elegir los puntos de integración {z 0, z n } para tener mayor orden? qué orden se puede alcanzar? Se eligen los puntos de integración para que se integren exactamente polinomios de grado 2n+1 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 25 Obtención de la cuadratura Consideramos un polinomio de grado 2n+1 En este caso, y el residuo de Lagrange se expresa como con INTEGRACIÓN NUMÉRICA 26 13

14 Es decir, el error se escribe como Considerando el producto escalar el error de integración para se expresa como INTEGRACIÓN NUMÉRICA 27 Familia de polinomios ortogonales Se considera una familia de polinomios tal que (1) (2) (ortogonales) Propiedades: Q k tiene k raíces simples reales en ]z a, z b [ ortogonalidad INTEGRACIÓN NUMÉRICA 28 14

15 Por lo tanto, si entonces el error de integración para es tal como queríamos. Los puntos de integración de la cuadratura de Gauss son los ceros del polinomio Q n+1 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 29 Producto escalar Resumen Polinomios ortogonales (generalmente familias de polinomios ortogonales conocidas): Q n+1 tal que Puntos de integración: ceros de Pesos de integración: INTEGRACIÓN NUMÉRICA 30 15

16 Observaciones La cuadratura es de orden 2n+1 Los puntos y los pesos de la cuadratura también se pueden calcular imponiendo que la cuadratura de Gauss es exacta para (sistema no lineal con 2n+2 incógnitas y 2n+2 ecuaciones) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 31 Cuadraturas de Gauss-Legendre: Cuadraturas de Gauss-Laguerre: INTEGRACIÓN NUMÉRICA 32 16

17 Cuadraturas de Gauss-Hermite: Cuadraturas de Gauss-Chebyshev: Los puntos y los pesos están tabulados INTEGRACIÓN NUMÉRICA 33 Gauss-Legendre n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 34 17

18 Gauss-Hermite n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 35 Gauss-Laguerre n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 36 18

19 Gauss-Chebyshev n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 37 Ejemplo de aplicación: Gauss-Legendre Con el cambio de variable de [-1,1] a [a,b] se escribe la integral como INTEGRACIÓN NUMÉRICA 38 19

20 Aplicando la cuadratura de Gauss-Legendre o, utilizando la definición de f(z), El error es INTEGRACIÓN NUMÉRICA 39 Ejemplo de aplicación: Gauss-Laguerre Aplicando el cambio Aplicando la cuadratura INTEGRACIÓN NUMÉRICA 40 20

21 Cuadraturas compuestas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 41 Se divide el intervalo [a,b] en m subintervalos Idea y se aplica una cuadratura numérica (de Newton-Cotes, de Gauss, ) con n+1 puntos en cada subintervalo. I 1 I m INTEGRACIÓN NUMÉRICA 42 21

22 Ejemplo: fórmula compuesta del trapecio En cada uno de los m subintervalos se utiliza la fórmula del trapecio (n=1). m=4, n=1 I 1 I 2 I 3 I 4 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 43 Es decir, con INTEGRACIÓN NUMÉRICA 44 22

23 Si los puntos son equiespaciados, con distancia, la fórmula se escribe como donde el error es o, equivalentemente, m 0 (si f 2) está acotada) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 45 Ejemplo: fórmula compuesta de Simpson En cada uno de los m subintervalos se utiliza la fórmula de Simpson (n=2). m=2, n=2 I 1 I 2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 46 23

24 Es decir, Si los puntos son equiespaciados, con INTEGRACIÓN NUMÉRICA 47 El error es o, equivalentemente, Como en cualquier fórmula compuesta, el error tiende a cero cuando se aumenta el número de puntos: (si f 4) está acotada) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 48 24

25 Convergencia INTEGRACIÓN NUMÉRICA 49 Ejemplo Newton-Cotes Gauss-Legendre Compuesta Trapecio Compuesta Simpson Compuesta Gauss-Legendre n=1 Compuesta Gauss-Legendre n=2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 50 25

26 Newton-Cotes: Gauss-Legendre: Compuesta del trapecio: Compuesta de Simpson: Compuesta de Gauss-Legendre: INTEGRACIÓN NUMÉRICA 51 Ejemplo Newton-Cotes Gauss-Legendre Compuesta Trapecio Compuesta Simpson Compuesta Gauss-Legendre n=1 Compuesta Gauss-Legendre n=2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 52 26

27 Convergencia NO tiene asegurada la convergencia: Fórmulas simples de Newton-Cotes para puntos equiespaciados (aumentando n) SI tiene convergencia asegurada: Cuadraturas simples de Gauss (aumentando n) Cuadraturas compuestas (aumentando m) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 53 FIN Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) 27

28 Interpolación de Lagrange Polinomios de Lagrange Residuo de Lagrange INTEGRACIÓN NUMÉRICA 55 Interpolación de Hermite Polinomios de Hermite Residuo INTEGRACIÓN NUMÉRICA 56 28

29 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 57 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 58 29

30 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 59 30