Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

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1 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd OPERACIONES CON FUNCIONES. Sen y g dos unciones reles de vrible rel, cuyos dominios nos vengn ddos por: Dom D y Dom g. D SUMA DE FUNCIONES: g g L imgen medinte l unción sum es igul l sum de ls imágenes El dominio de l unción sum será l intersección de los dominios y que pr tener deinid l unción sum en un punto, éste debe pertenecer los dominios de ls dos unciones pr segurrnos de l eistenci de y de g: Dom g D D Conocids ls gráics de ls unciones y g, pr hllr l gráic de g bst sumr en cd punto del dominio de deinición de g los vlores de y de g. Est sum, sí deinid, veriic ls siguientes propieddes:. Asocitiv: g h g h b. Conmuttiv: g g c. Elemento neutro o nulo: unción cero 0 0 y 0 d. Elemento simétrico u opuesto: Función opuest Con todo esto, el conjunto de unciones reles de vrible rel con l operción sum tiene estructur de Grupo conmuttivo. l L eistenci de elemento opuesto respecto de l sum de unciones nos permite deinir DIFERENCIA DE FUNCIONES: se sum l unción minuendo l opuest de l unción sustrendo g g PRODUCTO: g g l imgen medinte l unción producto es igul l producto de ls imágenes. El dominio de l unción producto será l intersección de los dominios y que pr tener deinid l unción producto en un punto, éste debe pertenecer los dominios de ls dos unciones pr segurrnos de l eistenci de y de g: Dom g D D Propieddes:. Asocitiv: g h g h OPERACIONES CON FUNCIONES 6

2 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd b. Conmuttiv: g g c. Elemento neutro. Función unidd: g y d. Elemento inverso. Función invers no eiste en generl Este elemento inverso, de eistir, debe veriicr que g. Si est relción uese ciert, tendrímos: g g g D Ests relciones serán cierts si 0, cos que no tiene por qué suceder. Si 0 en lgún punto del dominio, no eistirá l unción g. Si 0 en todos los puntos del dominio, eiste l unción g. En este segundo cso, l unción g recibe el nombre de unción invers de y se design por. Función invers: En l práctic, cundo se escribe, se trt de un unción deinid en el conjunto de puntos donde no se nul. Este conjunto recibe el nombre de dominio de inversión de. Si tenemos en cuent est unción invers, en el dominio de inversión del denomindor, es posible deinir el cociente de dos unciones de l siguiente mner: COCIENTE: g g g g Ls operciones sum y producto se relcionn medinte l propiedd Distributiv: g h g h En consecuenci, con todo lo nterior, el conjunto de unciones reles de vrible rel con ls operciones sum y producto tiene estructur de Anillo conmuttivo y unitrio. MULTIPLICACIÓN POR UN NÚMERO REAL: k k Teniendo en cuent l deinición se veriic que Dom k Dom. Propieddes:. k g k k g b. b b c. b b d. OPERACIONES CON FUNCIONES 7

3 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Con ello, el conjunto de unciones reles de vrible rel con ls operciones sum y producto por un número rel veriicndo ls propieddes enumerds nteriormente tiene estructur de Espcio vectoril rel. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: Sen : D y g: D dos unciones con D D. Se llm unción compuest de y g, y l representremos por g, l unción de D en, dd por g g[ ] L imgen de por g es únic, por serlo l imgen de por y l imgen de por g. En consecuenci, se trt de un unción. Esquemáticmente: El dominio máimo de g no coincide, en generl, con el dominio máimo de : tenemos l relción Dom g Dom EJEMPLOS: Dds ls unciones y g y de g g, clculr los dominios máimos de 4 Clculmos l epresión de g g g 4 4 Tendremos Dom g {,} Dom g 3 4 Clculmos l epresión de g g g g En este cso tendremos: Dom g R { 3,} R Dom OPERACIONES CON FUNCIONES 8

4 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Dds ls unciones y g, clculr ls unciones g y g g g L unción compuest tiene como dominio el conjunto vcío, puesto que en el denomindor tenemos l ríz cudrd de un número negtivo que no tiene eistenci en. g g g g El denomindor de est unción no se nul en ningún punto, con lo que podrí pensrse que el dominio de l unción serí y, sin embrgo, el dominio es el dominio de l unción. g Propieddes de l composición de unciones.. Asocitiv: g h g h b. Conmuttiv: No se veriic como puede verse en los ejemplos nteriores. c. Función Identidd: es un unción Ι deinid de D en medinte, es decir, cd número rel se trnsorm en sí mismo. I d. Si es un unción culquier de D en, se veriic que I I e. Función invers o recíproc: Dd un unción, se llm unción invers o recíproc de y se represent por, quell unción que veriic: I I I OPERACIONES CON FUNCIONES 9

5 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Puesto que l componer ls dos unciones obtenemos l unción identidd, ls gráics de un unción y su invers recíproc serán simétrics respecto de l rect y gráic de l unción identidd. Pr que un unción teng invers o recíproc es necesrio que se inyectiv cd imgen tiene un solo originl. Si un unción no es inyectiv, puede descomponerse en trozos de orm que en cd uno de ellos sí lo se y, entonces, en cd uno de esos trozos tendrá su unción invers. EJEMPLO. L unción no es un unción inyectiv, pero si l descomponemos en trozos de orm que en cd uno de ellos sí lo se, nos quedrá: si si < 0 0 y en cd uno de ellos l unción tendrá su unción invers: es invers de es invers de si si < 0 0 Cómo clculmos l invers de un unción? Gráicmente, l invers de un unción l obtenemos dibujndo su simétric respecto de l rect y. y, y, y Podemos observr que cd punto, y de l gráic de le corresponde en el punto que result de intercmbir sus coordends, es decir, y,. Teniendo en cuent esto, podremos obtener l epresión nlític de procederemos de l siguiente orm:. Estudiremos si es inyectiv y si no lo es, descomponemos en trozos de orm que sí lo se en cd uno de ellos.. En l unción, procederemos cmbir el originl imgen y l imgen originl: y y 3. Despejndo y en l epresión obtenid nos qued: que es l unción que buscmos. y y OPERACIONES CON FUNCIONES 0

6 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd EJEMPLOS: Clculr l unción invers de 3 5. Estudimos si l unción dd es inyectiv: Pr que l unción se inyectiv se debe veriicr que si ' ' En nuestro cso: ' 3 5 3' 5 ' lo que signiic que es inyectiv. b Puesto que l unción es inyectiv, psmos clculr su invers: y 3 5 3y 5 Despejndo y obtenemos: 5 y 3 que es l unción invers de l dd. Esto podemos comprobrlo sin más que componer con l obtenid: Gráicmente: y Clculr l unción invers de 4 L unción cudrátic no es inyectiv, pero si descomponemos su dominio en dos trozos seprdos por el vértice de l prábol: si si < 0 0 en cd uno de ellos, l unción si es inyectiv y podremos clculr su invers: y 4 y 4 y ± 4 y, hblndo con myor propiedd, l invers será: 4 4 si 4 OPERACIONES CON FUNCIONES

7 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Gráicmente: Encontrr l unción invers de El vértice de l prábol es el punto de bscis 3 que será el que nos descompone el dominio en trozos de orm que en cd uno de ellos l unción es inyectiv: 4. 6 < 3 si si Clculmos su invers: y y y y y y, despejndo: y ± ± ± En consecuenci, 5 si Gráicmente: OPERACIONES CON FUNCIONES

8 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd EJERCICIOS. Clculr l unción invers o recíproc de ls siguientes unciones: LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. * Recordemos que l unción eponencil es un plicción biyectiv de en tl que cd le hcemos corresponder, siendo un número rel positivo distinto de uno. * Por ser biyectiv cd punto de está socido con uno y sólo uno de y * recíprocmente, su recíproc es tmbién biyectiv, pero hor de en. Se llm unción logrítmic de bse > 0 y l unción recíproc de l unción eponencil en bse, es decir: * * L epresión Observciones: : tl que cd log > 0 y log se lee "logritmo en bse de " y se veriic que: y log y. Si l bse es el número "e", se escribe ln o Ln, en vez de log e y se lee "logritmo neperino o logritmo nturl de ". Se veriic, pues que ln y e y. Si l bse es 0 se escribe log, sin indicr l bse, y se lee "logritmo deciml de " o simplemente "logritmo de " log y 0 y Cundo l bse tom otros vlores, se escriben éstos como subíndices de l brevitur log PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.. Los números negtivos no tienen logritmo, y que nunc dquiere vlores negtivos, de * hí que su dominio se 0. El logritmo de l unidd es cero: log 0 y que 3. El logritmo de l bse es uno: log y que log 4. log y 5. L unción logrítmic es continu. OPERACIONES CON FUNCIONES 3

9 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd 6. Si l bse >, l unción logrítmic es estrictmente creciente y se veriic log log lím log 0 > 0 si > < 0 si 0 < < y lím log 7. Si l bse es tl que 0 < <, es estrictmente decreciente y se veriic Su gráic serí log log lím log 0 < 0 si > > 0 si 0 < < y lím log log3/ log log3 y y log/ log /3 log/3 En generl, > log > 0< < log 0 < < En prticulr, l eponencil y l logrítmic más utilizd es l de bse el número e, e y Ln logritmo neperino de, y sus gráics nos quedrín de l orm: OPERACIONES CON FUNCIONES 4

10 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd y e Ln 8. Logritmo del producto. El logritmo de un producto de dos ctores es igul l sum de los logritmos de cd * ctor, esto es:, y : log. y log log y 9. Logritmo del cociente. El logritmo de un cociente es igul l logritmo del dividendo menos el logritmo del * divisor, es decir:, y : log log log y y 0. Logritmo de un potenci. El logritmo de un potenci es igul l eponente multiplicdo por el logritmo de l bse: * R : log b. log b. Logritmo de un ríz. El logritmo de un ríz es igul l logritmo del rdicndo dividido entre el índice de l * n ríz: R : log log n De todo lo dicho, podemos concluir que l unción logrítmic de bse "" es l unción invers de l unción eponencil. Est nuev unción nos permitirá bjr el eponente en l unción eponencil l hor de clculr su invers. LAS FUNCIONES ARCO. Son ls unciones inverss de ls unciones trigonométrics o circulres. Teniendo en cuent que l unción sen no es inyectiv, pr poder deinir su π π unción invers nos quedremos con un trmo en el que sí lo se:, Él quedrnos con este intervlo es purmente convencionl, puesto que podímos tomr culquier otro donde l unción seno uese inyectiv. L unción invers de l unción seno recibe el nombre de "rco seno" y se pone rcsen. OPERACIONES CON FUNCIONES 5

11 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Está deinid de l orm: rcsen: π π [-,], donde cd vlor del seno se le hce corresponder el rco correspondiente. Se veriic que senrcsen y rcsensen De nálog mner se deinirín ls unciones rco coseno invers del coseno y l unción rco tngente invers de l tngente. EJERCICIOS. Clculr ls unciones inverss o recíprocs de ls siguientes unciones: 3 5 L sen e 3 rccos sen e e REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES A PARTIR DE OTRAS CONOCIDAS Sen : D y g: D dos unciones con D D. Se llm unción compuest de y g, y l representremos por g, l unción de D en, dd por g g[ ] Podemos observr que componer dos unciones es hcer ctur un de ells sobre ls imágenes de l otr. EJEMPLO. g Sen ls unciones sen y según se relice l composición tendremos: sen sen g g g g g sen Podemos observr, nuevmente, que l composición de unciones no veriic l propiedd conmuttiv, es decir, g g. OPERACIONES CON FUNCIONES 6

12 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Sin embrgo, el conocimiento de ls gráics de ls gráics de ls unciones componentes es de grn yud pr l representción de l unción compuest. Ejemplo. que Pr relizr l gráic de l unción sen y, por tnto, se veriic que g del ejemplo nterior debemos tener en cuent 0 sen Por otr prte, cundo sen se veriic que. sen sen. Teniendo en cuent que los máimos y mínimos de est unción son evidentes, l gráic de est unción nos qued de l orm: y sen y sen Si y g son unciones reles de vrible rel, entonces l gráic de l unción g puede construirse prtir de ls gráics de y g de l siguiente orm: Tommos un punto culquier Dom g y trzmos l rect verticl que ps por el punto,0. Est rect intersect l gráic de en el punto, g. Si Dom g, entonces g Dom y l rect verticl que ps por g, g cortrá l gráic de en el punto g, g. Entonces, el punto, g que buscmos se obtiene como intersección de l ret horizontl que ps por g, g y l verticl que ps por,0. OPERACIONES CON FUNCIONES 7

13 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Considerndo que l primer trnsormción se elementl, vemos como podemos representr l gráic de l unción compuest Dierenciremos ls operciones que relizremos l unción de ls operciones que relizremos l vribles. En relidd no se debier hcer tl distinción si tuviésemos en cuent el orden de composición, recuérdese que no es conmuttiv.. Supongmos que conocemos l representción de veremos: TRANSFORMACIONES A LA FUNCIÓN TRANSFORMACIONES A LA VARIABLE k k k k A REPRESENTACIÓN DE y A PARTIR DE y FUNCIÓN OPUESTA L gráic de, unción opuest, será simétric respecto l eje o de bsciss. OPERACIONES CON FUNCIONES 8

14 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Ejemplos: OPERACIONES CON FUNCIONES 9

15 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd B REPRESENTACIÓN DE y A PARTIR DE y L gráic de será simétric respecto l eje y o de ordends Ejemplos: OPERACIONES CON FUNCIONES 30

16 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd OPERACIONES CON FUNCIONES 3

17 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd C REPRESENTACIÓN DE y k A PARTIR DE y Si summos un número l unción l gráic de k se obtiene trsldndo, lo lrgo del eje y o de ordends, l gráic de k uniddes hci rrib. Si restmos un número l unción l gráic de -k se obtiene de trsldndo, lo lrgo del eje y o de ordends, l gráic de k uniddes hci bjo. Ejemplos: OPERACIONES CON FUNCIONES 3

18 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd D REPRESENTACIÓN DE y k A PARTIR DE y Si summos un número l vrible, l gráic de k se obtiene trsldndo k uniddes hci l izquierd, lo lrgo del eje o de bsciss, l gráic de. Si restmos un número l vrible, l gráic de k se obtiene trsldndo k uniddes hci l derech, lo lrgo del eje o de bsciss, l gráic de. Ejemplos: OPERACIONES CON FUNCIONES 33

19 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd OPERACIONES CON FUNCIONES 34

20 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd E REPRESENTACIÓN DE y k A PARTIR DE y DILATACIÓN O CONTRACCIÓN VERTICAL Si multiplicmos por un número myor que, l unción, l gráic de obtiene diltndo, lo lrgo del eje y o de ordends, l gráic de y. y k se Si multiplicmos por un número myor que 0 y menor que, l unción, l gráic de y k se obtiene contryendo, lo lrgo del eje y o de ordends, l gráic de y. OPERACIONES CON FUNCIONES 35

21 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Ejemplos: OPERACIONES CON FUNCIONES 36

22 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd F REPRESENTACIÓN DE y k A PARTIR DE y DILATACIÓN O CONTRACCIÓN HORIZONTAL Si multiplicmos por un número myor que, l vrible, l gráic de k se obtiene contryendo, lo lrgo del eje o de bciss, l gráic de. Si multiplicmos por un número myor que 0 y menor que, l vrible, l gráic de k se obtiene diltndo, lo lrgo del eje o de bciss, l gráic de. Ejemplos: OPERACIONES CON FUNCIONES 37

23 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd OPERACIONES CON FUNCIONES 38

24 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd G REPRESENTACIÓN DE y y A PARTIR DE y Pr representr el vlor bsoluto de un unción distinguimos: los trozos en los que l curv es positiv están por encim del eje se dejn igul. Los trozos en los que l curv es negtiv están por debjo del eje se sustituyen por trozos simétricos de quellos respecto l eje o de bsciss Ejemplos: OPERACIONES CON FUNCIONES 39

25 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd OPERACIONES CON FUNCIONES 40

26 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd H REPRESENTACIÓN DE y A PARTIR DE y Pr representr un unción vlor bsoluto de l vrible procederemos del siguiente modo: se dibuj primero l unción sin vlor bsoluto pr los vlores de positivos > 0 Pr los vlores negtivos de, l gráic es l simétric respecto l eje y o de ordends de l prte nterior dibujd Ejemplos: OPERACIONES CON FUNCIONES 4

27 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd I REPRESENTACIÓN DE y A PARTIR DE y Pr que un unción teng invers o recíproc h de ser inyectiv, es decir, cd vlor de y h de corresponder de un único vlor de. Si no es sí h de descomponerse en trmos en los que se inyectiv, cd uno de los cules tendrá su unción invers. Esto le ocurre por ejemplo y Pr representr prtir de trzremos l bisectriz del primer y tercer cudrnte y l invers o recíproc será simétric respecto de est bisectriz y que si por ejemplo y ps por, 4 l invers o recíproc psrá por 4, OPERACIONES CON FUNCIONES 4

28 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Ejemplos: OPERACIONES CON FUNCIONES 43

29 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd J REPRESENTACIÓN DE y A PARTIR DE y Pr l construcción gráic de prtir de tendremos en cuent: Tnto como tienen el mismo signo, esto signiic que si un es positiv está por encim del eje l otr tmbién lo es y si un es negtiv está por debjo del eje l otr tmbién lo es. Si entonces Si - entonces esto se trduce diciendo que ls dos gráics psn por, y,- Si 0 entonces. Si 0 entonces. OPERACIONES CON FUNCIONES 44

30 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd entonces Si crece 0. Si entonces 0. es decreciente; si decrece es creciente. Ejemplos: OPERACIONES CON FUNCIONES 45

31 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd K EJEMPLOS Combinemos hor los csos nteriores, pr ello tendremos que tener muy en cuent el orden de operciones relizr pr construir correctmente l gráic 4 3. En este cso prtimos de l unción cudrátic. Summos 3 uniddes l vrible: trsldmos lo lrgo del eje 3 uniddes l izquierd. 3. Multiplicmos por 4 l unción: diltmos lo lrgo del eje y. 4. Restmos uniddes l unción: trsldmos lo lrgo del eje y uniddes hci bjo OPERACIONES CON FUNCIONES 46

32 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd 3 4. En este cso prtimos de l unción cúbic. Restmos 3 uniddes l vrible: trsldmos lo lrgo del eje 3 uniddes l derech. 3. Multiplicmos por /4 l unción: contremos lo lrgo del eje y. 4. Multiplicmos por : clculmos l simétric respecto del eje 5. restmos uniddes l unción: trsldmos lo lrgo del eje y uniddes hci bjo. 6. Clculmos el vlor bsoluto. 3 OPERACIONES CON FUNCIONES 47

33 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Tipo b 8 7 ;. Podemos relizr el cociente y se tiene que c d Por lo tnto se trt de representr Prtimos de. Restmos.5 uniddes l vrible: trsldmos lo lrgo del eje.5 uniddes l derech. 3. Multiplicmos por 3/ l unción: diltmos lo lrgo del eje y. 4. Summos 4 uniddes l unción: trsldmos lo lrgo del eje y 4 uniddes hci rrib. OPERACIONES CON FUNCIONES 48

34 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd 8. Se trt de representr prtir de Prtimos de. Multiplicmos l vrible por : clculmos l simétric respecto del eje y Summos 5 3 uniddes l vrible: trsldmos 5 uniddes lo lrgo del eje l 3 izquierd. 4. Multiplicmos por /3 l unción: contremos lo lrgo del eje y. 5. Restmos 4 uniddes l unción: trsldmos lo lrgo del eje y 4 uniddes hci bjo. Tipo c p q ; 3. Prtimos de. Multiplicmos por l vrible: simetrí respecto l eje y 3. Multiplicmos por 3 l vrible: contremos el eje 4. RESTAMOS l vrible: trsldmos lo lrgo del eje l derech uniddes. 5. Multiplicmos por l unción: diltmos lo lrgo del eje y. OPERACIONES CON FUNCIONES 49

35 Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd Tipo 4 p q c ; 4. Prtimos de. Multiplicmos por l vrible: contremos el eje 3. Restmos 4 l vrible: trsldmos lo lrgo del eje l derech 4 uniddes. 4. Multiplicmos por 4 l unción: diltmos lo lrgo del eje y. Tipo c log k ; 3 log 3. Prtimos de log 3. Multiplicmos por l vrible: contremos el eje 3..Multiplicmos por 3 l unción: diltmos lo lrgo del eje y. 4. Multiplicmos por l unción: simetrí respecto l eje OPERACIONES CON FUNCIONES 50

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