Los polígonos y la circunferencia

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1 l: ldo 12 Los polígonos y l circunferenci 1. Polígonos lcul cuánto mide el ángulo centrl mrcdo en los siguientes polígonos: P I E N S Y L U L R l: ldo R R? R? R R? R R? R E l: ldo l: ldo F E 360 : 3 = : 4 = : 5 = : 6 = 60 rné clculist 56,067 : 5,7 = 9,83; R = 0, lcul l potem de un hexágono regulr de de ldo = = 16 2 = 12 = 12 = 3,4 lcul l potem en un octógono regulr cuyo rdio mide y cuyo ldo tiene 4, 2, 2 + 2,3 2 = ,29 = 36 2 = 30,71 = 30,71 = 5,5 3 lcul el ángulo centrl de los siguientes polígonos: ) Heptágono regulr. b) Eneágono regulr. c) ecágono regulr. d) odecágono regulr. ) 360 : 7 = b) 360 : 9 = 40 c) 360 : 10 = 36 d) 360 : 12 = 30 P L I L T E R Í Grupo Editoril ruño, S.L. 258 SLUINRI

2 4 ivide un circunferenci de de rdio en seis prtes igules y dibuj el hexágono inscrito. lcul su potem. potem: 2 + 1,5 2 = ,25 = 9 2 = 6,75 = 6,75 = 2, 6 ibuj un cudrdo inscrito en un circunferenci de de rdio. lcul su ldo. 2 = = 18 = 18 = 4,2 P L I L T E R Í 5 ivide en tres prtes igules un circunferenci y dibuj el triángulo correspondiente. Qué tipo de triángulo es? 7 ibuj un octógono inscrito en un circunferenci de de rdio. omprueb con l regl que el ldo mide 2,, y clcul l potem. 2, 1,1 Triángulo equilátero. potem: 2 + 1,15 2 = ,3225 = 9 2 = 7,6775 = 7,6775 = 2,77 cm 2. udriláteros Nombr los siguientes polígonos: P I E N S Y L U L Grupo Editoril ruño, S.L. Un rectángulo, un trpecio rectángulo y un rombo. rné clculist 4 ( 2 ) = UNI 12. LS PLÍGNS Y L IRUNFERENI 259

3 8 onstruye un cudrdo de de ldo. lcul l longitud de l digonl. 2 = = 18 = 18 = 4,2 12 ibuj un romboide sbiendo que uno de sus ldos mide y sus digonles miden y 5cm ) Se dibuj l digonl y su punto medio b) on centro en se trz un rco de rdio c) on centro en se trz un rco de rdio d) El punto de intersección es y se une con e) Se trzn prlels y se obtiene P L I L T E R Í 9 onstruye un rectángulo cuy digonl mid, y uno de los ldos,. lcul l longitud del otro ldo. 2, 2, b b = 5 2 b = 25 b 2 = 16 b = 16 = 13 En un trpecio isósceles los ldos igules miden. Sbiendo que sus bses miden 10 cm y, clcul su ltur. b = = = 21 = 21 = 4,58 cm 10 ibuj un rombo cuys digonles midn y. uánto vle el ldo? = 10 cm 2 = 2, = 7,25 = 7,25 = 2,69 cm 11 2, 1 cm El ldo de un rombo mide, y un digonl 7 cm. lcul l longitud de l otr digonl. 14 onstruye un trpecio cuys bses midn y y cuyos ldos tengn y 2,. (Recuerd que un trpecio se descompone en un triángulo y un prlelogrmo). ) Se dibuj l bse myor y se señl el punto E b) Sobre E se dibuj el triángulo de ldos, 2, y. Se obtiene c) Se trzn prlels y se obtiene d/2 3, (d/2) 2 + 3,5 2 = 4 2 (d/2) 2 = 3,75 d/2 = 3,75 = 1,94 d = 1,94 2 = 3,88 cm E 2, Grupo Editoril ruño, S.L. 260 SLUINRI

4 3. ircunferenci lcul l longitud de l cuerd de l circunferenci. P I E N S Y L U L M = = 16 = 4 = 2 4 = 8 cm rné clculist : 29 = 3 195; R = ibuj un circunferenci, un rect exterior, un rect tngente y un rect secnte. t R ibuj un circunferenci de de rdio y trz dos cuerds que estén, respectivmente, y del centro. s r r: exterior s: secnte t: tngente 17 Un circunferenci de rdio tiene un cuerd de de longitud. qué distnci se encuentr del centro? d = 4 2 d = 16 d 2 = 7 d = 7 = 2,6 18 ibuj dos circunferencis que sen: ) Secntes. b) Interiores. d R = P L I L T E R Í Grupo Editoril ruño, S.L. 123 cm 1234 ) b) P ' Q ' UNI 12. LS PLÍGNS Y L IRUNFERENI 261

5 19 Trz y di qué posición reltiv tienen un circunferenci de de rdio y otr de de rdio, de form que sus centros estén : ) 10 cm b) c) 8 cm d) 1 cm c) Secntes. ' 8 cm P L I L T E R Í ) Tngentes exteriores. d) Interiores. ' cm 1 cm ' b) Tngentes interiores. ' 20 ibuj un ángulo de 70 y su bisectriz. ibuj un circunferenci que teng tngentes los ldos del ángulo írculo y ángulos en l circunferenci ompr los tres ángulos. Encuentrs lgun relción? P I E N S Y L U L?? Son igules porque brcn el mismo rco. rné clculist ( 2 ) 1 = ? Grupo Editoril ruño, S.L. 262 SLUINRI

6 21 ibuj un círculo de de rdio. 24 ibuj un segmento circulr de de rdio de form que l cuerd teng P L I L T E R Í d 22 ibuj un rco de circunferenci de 2, de rdio y cuyo ángulo centrl se de onstruye un coron circulr cuyos rdios midn 1,9 cm y 1, 60 2, 1,9 cm 1, 26 ibuj un trpecio circulr cuyos rdios midn 2, y y cuyo ángulo centrl se de onstruye un sector circulr de de rdio y cuyo ángulo centrl se de 90 Grupo Editoril ruño, S.L. 2, 75 UNI 12. LS PLÍGNS Y L IRUNFERENI 263

7 P L I L T E R Í 27 onstruye un ángulo de 30 inscrito en un circunferenci. 29 ibuj tres triángulos rectángulos cuy hipotenus mid 3,, inscritos en un semicircunferenci. ' '' , 28 lcul l mplitud del ángulo en cd cso: ) b)? ? ) = 108 : 2 = 54 b) = 2 68 = 136 Grupo Editoril ruño, S.L. 264 SLUINRI

8 Ejercicios y problems 1. Polígonos 30 ibuj un hexágono regulr de 1,7 cm de ldo. 34 lcul l potem en un octógono regulr cuyo rdio mide 8 cm, y el ldo, 6,1 6,12 1,7 cm 8 1,7 cm 2 + 3,06 2 = = 56,64 = 54,64 = 7,39 cm 31 onstruye un cudrdo y un octógono regulr inscritos en un circunferenci. 35 lcul el ldo de un pentágono de 3 m de rdio y 2,4 m de potem. 2,4 m 3 m x x 2 + 2,4 2 = 3 2 x 2 = 3,24 x = 3,24 = 1,8 Ldo = 2x = 2 1,8 = 3,6 m 32 lcul l potem de un triángulo equilátero de 6,9 de ldo y de rdio. 36 lcul el rdio de un heptágono cuy potem mide 5, y cuyo ldo mide 5, 4 6,94 5, 5, 2 + 3,47 2 = = 3,96 = 3,96 = 1,99 cm R 2 = 5, ,65 2 = 3,27 R = 37,27 = 6,1 cm Grupo Editoril ruño, S.L. 33 lcul l potem de un hexágono regulr de de ldo = = 27 = 27 = 5, 37 lcul el ángulo centrl de los siguientes polígonos: ) Triángulo equilátero. b) udrdo. c) Pentágono regulr. d) Hexágono regulr. ) 360 : 3 = 120 b) 360 : 4 = 90 c) 360 : 5 = 72 d) 360 : 6 = 60 UNI 12. LS PLÍGNS Y L IRUNFERENI 265

9 Ejercicios y problems 2. udriláteros 38 onstruye un cudrdo de de ldo. lcul l longitud de l digonl. 42 onstruye un prlelogrmo que teng todos los ldos igules, de, y que dos ldos formen un ángulo de 45 2 = = 18 = 18 = 4,2 39 onstruye un rectángulo cuy digonl mid 4,, y uno de los ldos, 2,. Hll el otro ldo. Es un rombo. 43 El ldo de un rombo mide 8 cm, y un digonl,. lcul l longitud de l otr digonl cm /2 4, b 2, (/2) = 8 2 (/2) 2 = 60 /2 = 60 = 7,7 = 2 7,75 = 15, b 2 + 2,5 2 = 4,5 2 b 2 = 14 b = 14 = 3,7 40 lcul l longitud del ldo del rectángulo que flt en l figur. 44 En un trpecio isósceles, los ldos igules miden 8 cm y sus bses miden 1 y. lcul su ltur. b = 8 cm 8 cm = = 55 = 55 = 7, = = 39 = 39 = 6,2 45 = 1 lcul l longitud del ldo en el siguiente trpecio isósceles: 41 ibuj un rombo cuys digonles midn y. uánto vle el ldo? 4, 2 = ,5 2 = 11,25 = 11,25 = 3,3 10, 2 = = 25 = 25 = Grupo Editoril ruño, S.L. 266 SLUINRI

10 46 onstruye un trpecio cuyos ldos midn,, 2, y, respectivmente. 2, 49 ibuj un circunferenci de de rdio y trz un cuerd que esté un distnci de 0, del centro. 47 ) Se dibuj l bse myor y se señl el punto E b) Sobre E se dibuj el triángulo de ldos 3,; y. Se obtiene c) Se trzn prlels y se obtiene ibuj un romboide sbiendo que uno de sus ldos mide y sus digonles y, respectivmente. E ) Se dibuj l digonl y su punto medio b) on centro en se trz un rco de rdio c) on centro en se trz un rco de rdio d) El punto de intersección es y se une con e) Se trzn prlels y se obtiene 3, 50 Un cuerd está de distnci del centro de un circunferenci de 8 cm de rdio. Hll l longitud de l cuerd. 0, 8 cm 8 cm c = 8 2 c 2 = 28 c= 28 = 5,29 cm uerd: 2 5,29 = 10,58 cm 51 ibuj dos circunferencis que sen: ) Tngentes exteriores. b) Tngentes interiores. c 3. ircunferenci 48 ibuj un circunferenci de de rdio y un rect tngente con respecto ell. ) ' t Grupo Editoril ruño, S.L. R = b) ' UNI 12. LS PLÍGNS Y L IRUNFERENI 267

11 Ejercicios y problems 52 Trz y di qué posición reltiv tienen un circunferenci de de rdio y otr de 1 cm de rdio, de form que sus centros estén : ) b) 1 cm c) 0, d) 4. írculo y ángulos en l circunferenci 53 ibuj un círculo de de rdio. ) Tngentes exteriores cm ' 54 ibuj un rco de circunferenci de de rdio y cuyo ángulo centrl se de 70 b)tngentes interiores cm 1 cm ' 55 onstruye un sector circulr de de rdio y cuyo ángulo centrl mid 60 c) Interiores. 60 0,5 1 cm ' 56 ibuj un segmento circulr de 1,8 cm de rdio y de form que l cuerd teng 2, d) Secntes. 1 cm ' 2, R = 1,8 cm Grupo Editoril ruño, S.L. 268 SLUINRI

12 57 onstruye un coron circulr cuyos rdios midn 2, y 59 onstruye un ángulo de 60 inscrito en un circunferenci. 2, lcul l mplitud del ángulo que formn ls dos digonles del pentágono: α 58 ibuj un trpecio circulr cuyos rdios midn y 1 cm y cuyo ángulo centrl se de 30 1 cm 30 α 72 El ángulo centrl correspondiente mide: 360 : 5 = 72 El ángulo α inscrito mide l mitd: α = 72 : 2 = 36 Pr mplir 61 lcul l potem de un cudrdo de 16 m de ldo. 63 lcul l potem de un octógono regulr cuyo rdio mide 4,7 cm y el ldo mide 3, 16 m Es l mitd del ldo: 8 m 4,7 cm 1,8 cm 2 + 1,8 2 = 4,7 2 2 = 18,85 = 18,85 = 4,3 Grupo Editoril ruño, S.L. 62 lcul l potem de un hexágono regulr de 7 cm de ldo. 7 cm 3, 2 + 3,5 2 = = 36,75 = 36,75 = 6,0 64 lcul l potem de un pentágono regulr de de rdio y 4,7 de ldo. 2, ,36 2 = = 10,43 = 10,43 = 3,2 UNI 12. LS PLÍGNS Y L IRUNFERENI 269

13 Ejercicios y problems 65 lcul el ldo de un pentágono regulr de 5,57 m de rdio y 4,5 m de potem. 68 L digonl de un rombo mide, y el ldo,. uánto mide l otr digonl? 4, 5,57 cm x /2 x 2 + 4,5 2 = 5,57 2 x 2 = 10,77 x= 10,77 = 3,28 cm Ldo = 2 3,28 = 6,5 66 onstruye un rectángulo cuy digonl mid 5,, y uno de los ldos, 2, (/2) = 3 2 (/2) = 9 (/2) 2 = 5 /2 = 5 = 2,2 = 2 2,24 = 4,48 cm 69 onstruye un prlelogrmo cuyos ldos midn y, y un digonl mid 2, 5, 67 ibuj un rombo cuys digonles midn y. uánto vle el ldo? 70 En un trpecio isósceles ls bses miden 1 y 8 cm. Si l ltur es de, clcul l longitud de los ldos igules. b = 8 cm 2, 2 = 2, ,5 2 = 8,5 = 1 = 8,5 = 2,9 l 2 = = 29 l = 29 = 5,39 cm Grupo Editoril ruño, S.L. 270 SLUINRI

14 Problems 71 lcul l ltur del siguiente trpecio: 74 ibuj un rect que esté de distnci del centro de un circunferenci de de rdio. ómo es l rect? r 8 cm = = 25 2 = 16 = 16 = Es un rect tngente. 72 ibuj un romboide sbiendo que uno de sus ldos mide, y sus digonles, y, respectivmente. 75 Un cuerd está de distnci del centro de un circunferenci de 9 cm de rdio. Hll l longitud de l cuerd. 2, 2, x x 9 cm x = 9 2 x 2 = 65 = 65 = 8,0 Longitud de l cuerd: 2 8,06 = 16,1 ) Se dibuj l digonl de y su punto medio b) on centro en se trz un rco de rdio c) on centro en se trz un rco de rdio d) El punto de intersección es y se une con e) Se trzn prlels y se obtiene 76 Trz y di qué posición reltiv tienen un circunferenci de de rdio y otr de de rdio, de form que sus centros estén : ) b) c) 0 cm d) 10 cm 73 Trz un cuerd que esté del centro de un circunferenci de 2, de rdio. ) Interiores. Grupo Editoril ruño, S.L. 2, 123 ' UNI 12. LS PLÍGNS Y L IRUNFERENI 271

15 Ejercicios y problems b) Secntes. 2, ' c) oncéntrics. 79 onstruye un ángulo inscrito en un circunferenci de 120 ' 120 d) Exteriores. 80 lcul el rdio de l circunferenci circunscrit un cudrdo de 4,2 de ldo. 10 cm ' 4,2 4,2 2 = 4, ,24 2 = 36 = 36 = 6 =, R = 77 onstruye un sector circulr de de rdio y cuyo ángulo centrl mid lcul l potem de un triángulo equilátero inscrito en un circunferenci de de rdio, si el ldo del triángulo mide 8,6 4,3 8,6 = ,33 2 = 6,25 = = 2, ibuj un segmento circulr de de rdio, de form que l cuerd teng 2, Pr profundizr 82 El ldo de un triángulo equilátero mide. lcul: ) L ltur. b) L potem. c) El rdio. Grupo Editoril ruño, S.L. 272 SLUINRI

16 R h h = 6 2 h 2 = 27 ) h = 27 = 5, b) = 5,2/3 = 1,7 c) R = 5,2 2/3 = 3,47 cm 86 opi el siguiente digrm en tu cuderno y hz un dibujo de cd cudrilátero. Escribe l ldo sus propieddes. Prlelogrmos Rectángulos 83 El perímetro de un cudrdo inscrito en un circunferenci es de 20 cm. Hll el diámetro de l circunferenci. Rombos udrdos Romboides L = 20/4 = 2 = = 50 = 50 = 7,07 cm Prlelogrmos Rectángulos 84 El perímetro de un hexágono regulr mide 4. lcul el diámetro de l circunferenci circunscrit. Rombos udrdos Grupo Editoril ruño, S.L cm 7 cm Ldo = 42/6 = 7 cm Rdio = 7 cm iámetro = 1 do un hexágono de de ldo, clcul el rdio, l potem y el ldo del triángulo rojo de l figur. R = = R/2 = 2, x 2 + 2,5 2 = 5 2 x 2 = 18,75 x = 18,75 = 4, Ldo = 2 x = 2 4,3 = 8, x R Romboides Los prlelogrmos son cudriláteros con los ldos opuestos prlelos que tienen ls siguientes propieddes generles: Tienen igules sus ldos opuestos. Tienen igules sus ángulos opuestos. os ángulos consecutivos son suplementrios. Ls digonles se cortn en su punto medio. udrdo: tiene los cutro ldos y ángulos igules. Tiene l propiedd de que sus digonles son igules y perpendiculres. Rectángulo: tiene los cutro ángulos rectos.tiene l propiedd de que sus digonles son igules. Rombo: tiene los cutro ldos igules.tiene l propiedd de que sus digonles son perpendiculres y son bisectrices de los ángulos. El cudrdo es un rectángulo y un rombo l vez porque verific ls condiciones que los definen. Romboide: tiene los ldos prlelos y, los ldos y ángulos contiguos desigules. El romboide es un prlelogrmo que no es ni cudrdo, ni rectángulo, ni rombo. UNI 12. LS PLÍGNS Y L IRUNFERENI 273

17 plic tus competencis 87 ibuj un mosico cuyo motivo mínimo se un triángulo. (Recuerd que con dos triángulos igules construyes un prlelogrmo). 89 Se puede hcer un mosico solo con pentágonos regulres? No, no completn el plno. 88 ibuj un mosico cuyo motivo mínimo se un cudrilátero. Grupo Editoril ruño, S.L. 274 SLUINRI

18 omprueb lo que sbes 1 efine «cudrilátero». Escribe l clsificción y dibuj un ejemplo de cd uno. Los cudriláteros son polígonos de cutro ldos. Tienen cutro vértices, dos digonles y cutro ángulos. Sus cutro ángulos sumn 360 Los cudriláteros se clsificn en: Prlelogrmos Trpecios c c d b Trpezoides b c d b ) Tngentes exteriores. b)tngentes interiores cm 1 cm 1 cm ' ' 2 lcul el ángulo α en cd cso. Justific l respuest. c) Interiores. α 100 0,5 1 cm ' α d) Secntes. 60 α Grupo Editoril ruño, S.L. ) 100 : 2 = 50 b) 2 60 = 120 c) 180 : 2 = 90 3 Trz y di qué posición reltiv tienen un circunferenci de de rdio y otr de 1, de rdio, de form que sus centros estén : ) b) 1 cm c) 0, d) 4 En un circunferenci de 9 cm de rdio, se tiene un cuerd de 1 de longitud. lcul l distnci de l cuerd l centro de l circunferenci. d 9 cm 1 cm ' d = 9 2 d 2 = 45 d = 45 = 6,71 cm UNI 12. LS PLÍGNS Y L IRUNFERENI 275

19 Ejercicios y problems 5 lcul l potem de un hexágono regulr de de ldo. 7 El ldo de un rombo mide 10 cm y un digonl 1. lcul l longitud de l otr digonl. d/2 10 cm 8 cm = = 36 2 = 27 2 = 27 = 5, (d/2) = 10 2 (d/2) = 100 (d/2) 2 = 36 d/2 = 36 = d = 2 6 = 1 6 El ldo de un cudrdo mide. ibuj el cudrdo y clcul l longitud de l digonl. 8 lcul l longitud de l ltur del trpecio rectángulo de l figur: 10 cm 10 cm d d 2 = = 8 d = 8 = 2, = = = 64 = 64 = 8 cm Grupo Editoril ruño, S.L SLUINRI

20 Windows bri Linux/Windows GeoGebr Pso pso 90 ibuj un polígono irregulr de 5 ldos. 92 onstruye un cudrdo de ldo Resuelto en el libro del lumndo. 91 ibuj un pentágono regulr, l circunferenci circunscrit y todos sus elementos. Resuelto en el libro del lumndo. Resuelto en el libro del lumndo. 93 ibuj un rectángulo. Resuelto en el libro del lumndo. Prctic 94 ibuj un circunferenci y todos sus elementos. 97 onstruye un coron circulr de rdios 3, y Resuelto en el libro del lumndo. 95 ibuj un círculo de de rdio. Grupo Editoril ruño, S.L. Resuelto en el libro del lumndo. 96 onstruye un ángulo inscrito en un circunferenci y comprueb que es l mitd del ángulo centrl. Resuelto en el libro del lumndo. 98 Guárdl con el nombre de oron Edit ls medids de los rdios y modifícls, verás cómo cmbi de tmño. 5 3,4 3, Internet. bre l web: y elige Mtemátics, curso y tem. UNI 12. LS PLÍGNS Y L IRUNFERENI 277

12. Los polígonos y la circunferencia

12. Los polígonos y la circunferencia l: ldo SLUINI 107 1. Los polígonos y l circunferenci 1. PLÍGNS PIENS Y LUL lcul cuánto mide el ángulo centrl mrcdo en los siguientes polígonos:? l: ldo? 4. ivide un circunferenci de de rdio en seis prtes

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