MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN EXPONENTES Y RADICALES

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1 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN EXPONENTES Y RADICALES POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN (Tomado de: Stewart, James. "Precálculo". Quita Edició. Secció 1..) Si a; x R; ua expresió de la forma a x se llama expresió expoecial, el úmero a se llama ase, y el úmero x se cooce como expoete. Auque x puede ser cualquier úmero real, e este capítulo traajaremos solamete expoetes eteros y racioales. Expoetes eteros Expoetes eteros positivos ó aturales Si a R; el producto a:a:::a, se deota por a, dode N idica el úmero de veces que se repite el factor a; y se llama la -ésima potecia de a: a a:a:::a {z } factores. s: ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1:6 6 ( ) 1:6 0 0:0:0:0:0 0: Expoete 0 Si a 6 0 es u úmero real, de imos a 0 1: Nota: La expresió 0 0 o tiee setido, ya que de imos a 0 ; para a 6 0: s 0 1 ( ) 0 1 c) Expoetes eteros egativos Si a R, a 6 0 y es u etero positivo, es decir, > 0; etoces < 0; o sea, es u etero egativo. De imos a 1 a. s 1

2 1 1 9 ( ) 1 1 ( ) x 1 1 x 1 1 x : Propiedades de los expoetes eteros: Tamié coocidas como "leyes de los expoetes" Si a; R y m; Z: 1. a m a a m+ ; ya que a m a a:a:a:a:::a {z } : a:a:a:a:::a {z } am+ : m factores {z factores } m + factores a m a am ; a 6 0; ya que am a am : 1 a am :a a m : 7 7 :. (a m ) a m ; ya que (a m ) a m :a m {z ::::a m } a:a:a:::::a {z } : a:a:a::::::a {z } :::: a:a:a::::::a {z } am: : factores m factores m factores {z m factores } m: factores (a a ( ). a a ; co a a ; co a y o ulos.

3 a 7. m m ; co a y o ulos a 7 7 Ejercicios: 1. Escriir las siguietes expresioes co expoetes eteros positivos: x x 6 x +6 x 9 z z z + z ; z 6 0 c) 1 d) t t t 6 e) (y) y 1y f) x x 16 x ; x 6 0. Simpli car las siguietes expresioes, expresado la respuesta co expoetes positivos: a a xy x z xz y : Solució a a a a 16a 6 a (16)()a a 6 0a : xy x z xz y x y x z x z y x x y z x y z x y z x y z 1 x x y y z z x y z x y z : xy z. Simpli car la expresió x y z y escriir el resultado co expoetes positivos.

4 Solució xy z x y z x y z xy z xy z 1 x y 1 z x y 1 z :. Cuádo decimos que u úmero está escrito e otació cietí ca? Solució U úmero x está escrito e otació cietí ca si está expresado e la forma dode 1 jaj < 10: x a 10 s El úmero : escrito e otació cietí ca es : 10 : 0:000 : 10 : 10 : Tarea: Cómo se suma, resta, multiplica y divide úmeros escritos usado otació cietí ca? Expoetes racioales Vamos a cosiderar ahora las expresioes de la forma a p p q, co a R y q expoeciales e las cuales el expoete es u úmero racioal. Q; es decir, expresioes 1. Expresioes expoeciales de la forma a 1 ; N: Cuado el úmero racioal es de la forma 1, co N; la expresió a 1 se escrie p a y se llama raíz -ésima pricipal de a: E particular, si ; la expresió p a; se escrie p a y se llama la raíz cuadrada pricipal de a: De ició: p a sigi ca que a y 0: Como a etoces a 0; es decir, la expresió p a tiee setido sólo cuado a 0: De ició: Si N; p a sigi ca que a: Si es par, 0; etoces a 0 y además 0. Si es impar, 0 si 0; y e ese caso a 0 y 0 si 0 y e este caso a 0: E resume p a está de ida para todo a R; si es impar; y sólo está de ida para a 0 si es par. p 6 ya que 6

5 p 7 ya que ( ) 7 c) p 1 o está de ida puesto que es par, y 1 < 0: Importate: Si a R; p a jaj : p ; pero p ( ) 6, porque < 0;de hecho p ( ) j j : Propiedades Sea a y úmeros reales y N, co a y positivos si es par 1. p a p a p p 7 6 p 7 p 6 ( )() 1. r a p a p r p 9 p 9. m p p a mp a pp p p a jaj si es par p y q ( ) j j. p a a si es impar q 7 ( ) 7 6. a p + c p (a + c) p p + 6 p 9 p Ejercicio: Simpli car las siguietes expresioes:

6 p a 6 p x y 9 c) p p : Solució p a 6 p a p q 6 jaj ( ) jaj p x y 9 p x q(y ) xy c) p p p 16 p p 16 p p p p p :. Expresioes expoeciales de la forma a m ; m y N y 6 0 Recordemos que si la expresió p a está de ida, puede escriirse como a 1 ; :es decir, p a a 1 ; si p a está de ida. Aplicado leyes de expoetes teemos que: p a a 1 a a: E geeral, si m Q, y > 0, teemos: a m a 1 m p a m ó, e forma equivalete, a m (a m ) 1 p a m : co a > 0; si es par. Como m y so úmeros eteros y > 0; y las leyes para expoetes eteros, o de expoetes de la forma 1 tamié se cumple para expresioes de la forma a m, siempre y cuado esté de idas. Evaluar las siguietes expresioes: : Solució ( 7) () 1 p 9 p p 7 p ( ) 9 : Ejercicio: Simpli car las siguietes expresioes, expresado la respuesta co expoetes positivos: 6

7 x y y y 10 z 1 : (y z ) 1 Solució x y y x 1 y 1 p y x 1 y 1 x 1 y 16 1 x1 y 16 1 y 10 z 1 (y z ) 1 y 10 z y z y z 1 y z y y zz y z : 7