OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Rectas y puntos notables en un triángulo.
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- Tomás Villalobos Aranda
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1 653 _ qxd 7/4/07 13:9 Página 337 Figuras panas INTRODUCCIÓN Las figuras panas y e cácuo de áreas son ya conocidos por os aumnos de cursos anteriores. Conviene, sin embargo, señaar a presencia de as figuras panas en distintos contextos reaes y destacar a importancia de conocer sus propiedades y obtener fórmuas que permitan cacuar su área de manera sencia. Se dedicará especia atención a os triánguos, porque son os poígonos más importantes, ya que cuaquier poígono se puede dividir en triánguos. También se estudiará e teorema de Pitágoras y cómo apicaro en distintos contextos para resover probemas. Más tarde se cacuarán áreas de paraeogramos, triánguos, poígonos, círcuos y figuras circuares. Conviene exponer agunos ejempos reaes donde se apique e cácuo de áreas para poner de manifiesto a utiidad de as fórmuas de a unidad. Para eo, siempre que se resueva una actividad, será conveniente situara en un contexto rea: parceas para construcción, dimensiones de una vivienda, área de un cutivo, cantidad de materia para construir un objeto RESUMEN DE L UNIDD Las medianas son as rectas que unen cada vértice con e punto medio de ado opuesto a é. Se cortan en e baricentro. Las mediatrices son as rectas perpendicuares a cada ado por su punto medio. Se cortan en e incentro. Las aturas son as rectas perpendicuares a cada ado por e vértice opuesto. Se cortan en e ortocentro. Las bisectrices son as rectas que dividen cada ánguo en dos partes iguaes. Se cortan en e circuncentro. Teorema de Pitágoras: en un triánguo rectánguo se cumpe que: a = b + c. Se pueden aar as áreas de: Cuadriáteros. Triánguos. Poígonos. Círcuos. Figuras circuares. OJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Determinar as rectas y puntos notabes en triánguos. Rectas y puntos notabes en un triánguo. Determinación gráfica de as rectas y puntos notabes de un triánguo.. Conocer y apicar e teorema de Pitágoras. Teorema de Pitágoras. Resoución de probemas geométricos apicando e teorema de Pitágoras. picación de teorema de Pitágoras en probemas de a vida cotidiana. 3. Cacuar áreas de poígonos y figuras circuares. Áreas de cuadriáteros. Áreas de poígonos reguares. Áreas de poígonos cuaesquiera. Área de círcuo, de un sector circuar y de una corona circuar. Cácuo de área de paraeogramos y triánguos. Cácuo de área de poígonos reguares. Cácuo de área de poígonos por trianguación o descomponiéndoos en figuras de áreas conocidas. Obtención de área de círcuo, de un sector circuar y de una corona circuar. DPTCIÓN CURRICULR MTEMÁTICS 3. ESO MTERIL FOTOCOPILE SNTILLN EDUCCIÓN, S. L. 337
2 653 _ qxd 7/4/07 13:9 Página 33 DETERMINR OJETIVO 1 LS RECTS Y PUNTOS NOTLES EN TRIÁNULOS NOMRE: CURSO: FECH: MEDINS La mediana es a recta que une cada uno de os vértices de triánguo con e punto medio de ado opuesto. Las medianas se cortan en un punto que se ama baricentro. MEDITRICES C M La mediatriz de un segmento es a recta perpendicuar a mismo que pasa por su punto medio. Las mediatrices se cortan en un punto que se ama circuncentro. C O LTURS La atura correspondiente a vértice de un triánguo es a recta perpendicuar a ado opuesto que pasa por ese vértice. Las aturas se cortan en un punto que se ama ortocentro. H C ISECTRICES La bisectriz de un ánguo es a recta que pasa por su vértice y o divide en dos partes iguaes. Las bisectrices se cortan en un punto amado incentro. C I 1 Dibuja as medianas y e baricentro de os siguientes triánguos. Dibuja as mediatrices y e circuncentro de os triánguos. 3 Dibuja as aturas y e ortocentro de os triánguos. 4 Dibuja as bisectrices y e incentro de os siguientes triánguos. 33 MTEMÁTICS 3. ESO MTERIL FOTOCOPILE SNTILLN EDUCCIÓN, S. L.
3 653 _ qxd 7/4/07 13:9 Página 339 OJETIVO CONOCER Y PLICR EL TEOREM DE PITÁORS NOMRE: CURSO: FECH: En un triánguo rectánguo, e ado de mayor ongitud, opuesto a ánguo recto, se ama ipotenusa, y os otros dos ados se denominan catetos. b c a Hipotenusa a Catetos b, c E teorema de Pitágoras expresa que, en un triánguo rectánguo, e cuadrado de a ipotenusa es igua a a suma de os cuadrados de os catetos: a = b + c 1 Cacua e vaor de a ipotenusa de un triánguo rectánguo de catetos 3 cm y 4 cm. b = 4 cm a? a = b + c = + c = 3 cm Haa a ongitud de a ipotenusa de un triánguo rectánguo, sabiendo que sus catetos se diferencian en cm y e menor mide 6 cm. Cateto Hipotenusa a = + Cateto 3 Cacua e área de un triánguo equiátero de ado 6 cm. Para cacuar e área tenemos que conocer a base, que en este caso mide 6 cm, y a atura,, que aamos con e teorema de Pitágoras. Estudiamos este triánguo, que es rectánguo: picamos e teorema de Pitágoras y despejamos a atura, : 6 cm 6 cm 3 cm 3 cm 6 cm 3 cm 6 cm DPTCIÓN CURRICULR 6 = 3 + = Cacuamos e área apicando a fórmua genera: Área = Área = base atura MTEMÁTICS 3. ESO MTERIL FOTOCOPILE SNTILLN EDUCCIÓN, S. L. 339
4 653 _ qxd 7/4/07 13:9 Página En un triánguo isóscees, os ados iguaes miden 7 cm y e otro ado mide 4 cm. Cacua su área. Tomamos e ado desigua como base, b = 4 cm, y cacuamos a atura,, utiizando e teorema de Pitágoras. 7 cm 7 cm base = 4 cm Considerando esta parte de triánguo, apicamos e teorema de Pitágoras y despejamos. 7 cm cm 7 = + = Cacuamos e área apicando a fórmua genera: Área = Área = base atura 5 La ipotenusa de un triánguo rectánguo mide 1 cm y uno de os catetos mide 7,5 cm. Cacua a ongitud de otro cateto. 6 E área de un triánguo rectánguo es 1 cm y uno de os catetos mide 6 cm. Haa a ongitud de a ipotenusa. 7 Una escaera de 5 metros de argo está apoyada en una pared, estando situada a base a 4 metros de a misma. qué atura ega a escaera? x 5 m 4 m 340 MTEMÁTICS 3. ESO MTERIL FOTOCOPILE SNTILLN EDUCCIÓN, S. L.
5 653 _ qxd 7/4/07 13:9 Página 341 OJETIVO 3 CLCULR ÁRES DE POLÍONOS Y FIURS CIRCULRES NOMRE: CURSO: FECH: ÁRES DE CUDRILÁTEROS Área de cuadrado Área de triánguo Área de rectánguo a b = = base b = = b a Área de paraeogramo Área de trapecio Área de rombo b b D d = b + b = = D d 1 Cacua e área de os siguientes poígonos. a) Trapecio de bases 1 cm y cm y atura 5 cm. b) Rombo de diagonaes 1 cm y 9 cm. c) Rombo de diagona mayor cm y ado 5 cm. ÁRE DE UN POLÍONO REULR Un poígono es reguar cuando sus ados tienen a misma ongitud y sus ánguos son iguaes. E área de un poígono reguar es igua a a mitad de producto de perímetro por a apotema: P a = DPTCIÓN CURRICULR ÁRE DE UN POLÍONO CULQUIER Si e poígono cuya área queremos cacuar no es reguar, a fórmua anterior no nos sirve. Su área se puede aar descomponiéndoo en triánguos o figuras de áreas conocidas, cacuando e área de cada una de esas figuras y sumando as áreas resutantes. MTEMÁTICS 3. ESO MTERIL FOTOCOPILE SNTILLN EDUCCIÓN, S. L. 341
6 653 _ qxd 7/4/07 13:9 Página 34 EJEMPLO Cacua e área de siguiente pentágono reguar. Lado: a Perímetro: P = = 5 potema: a Vemos que son cinco triánguos iguaes: Área = base atura = a a 5 Área de pentágono = Área de pentágono = a + a + a + a + a 5 = a = P a Cacua e área de as siguientes figuras. a) 5 cm b) 14 cm cm cm F F,5 cm F F 4,5 cm F F 4,5 cm 5 cm 3 cm F 9 cm F F F F 1 cm Lo primero que tenemos que acer es dividir a superficie en poígonos de os que sepamos cacuar su área. a) b) Cacuamos e área tota: a) 1 = b) 1 = = = = 3 = 4 = = 34 MTEMÁTICS 3. ESO MTERIL FOTOCOPILE SNTILLN EDUCCIÓN, S. L.
7 653 _ qxd 7/4/07 13:9 Página 343 Área de círcuo Área de sector circuar r = r r = π r 360 α Área de a corona circuar r R = (R r ) 3 Obtén e área de un círcuo cuyo diámetro mide igua que e perímetro de un cuadrado de ado 7 cm. 4 Determina e área de un sector circuar de ampitud un ánguo recto y cuyo radio es 10 cm. 5 Haa e área de una corona circuar imitada por dos circunferencias de radios cm y 1 cm. DPTCIÓN CURRICULR MTEMÁTICS 3. ESO MTERIL FOTOCOPILE SNTILLN EDUCCIÓN, S. L. 343
8 653 _ qxd 7/4/07 13:9 Página Cacua e área de as siguientes figuras. a) 5 cm 1,5 cm 40 cm cm,5 cm b) 90 4 cm 1 cm 4 cm 344 MTEMÁTICS 3. ESO MTERIL FOTOCOPILE SNTILLN EDUCCIÓN, S. L.
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