Matemáticas Discretas, Lógica: Predicados y Cuantificadores

Transcripción

1 Matemáticas Discretas, Lógica: Predicados y Cuantificadores Prof. Víctor Bravo 1 1 Universidad de los Andes A-2008

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3 Agenda 1 Predicados Tautologías y Contradicciones 2 Cuantificadores Implicaciones y Equivalencias Lógicas 3 Preguntas

4 Tautologías y Contradicciones Tautologías útiles Tautologías útiles Ley del absurdo (p q q) p Ley de la importación (p (q r)) (p q r) Ley de la exportación (p q r) (p (q r)) Ley del silogismo hipotético (p q) (q r) (p r) Ley de la adjunción p q p q Ley de la simplicación p q p Modus tollendo pollens p (p q) q Modus tollendo tollens q (p q) p Ley de la separación p (p q) p

5 Tautologías y Contradicciones Tipos de elementos en la lógica de Predicados Constantes Objetos concretos, formando un universo de discurso, un conjunto U. Variables Objetos genéricos que normalmente denotamos con las letras x, y, z,... y que podrán sustituirse por objetos de U.

6 Tautologías y Contradicciones Predicados Qué es un predicado? Los predicados son sentencias abiertas, en las que se incluyen una o más variables. También se les llama función proposicional. Estos enunciados no son ni verdaderos ni falsos, si no se especifican los valores de las variables. Un predicado se convierte en una proposición cuando todas las variables que aparecen en él, se remplazan por opciones permisibles del universo de discurso.

7 Tautologías y Contradicciones Representación de predicados Cómo se representan los predicados? Los predicados se representan por símbolos del tipo p(x), q(x) o p(x,y), q(x,y,z), etc. Por ejemplo: Si p(x) = x > 100, p(x) se convierte en proposición al sustituir x por algún número natural. p(101) es Verdadera. p(50) es Falsa.

8 Definición de cuantificador Qué es un cuantificador? Otra forma de crear una proposición o de cerrar una función proposicional abierta, es la Cuantificación. Una proposición abierta se cierra, si todas sus variables se cuantifican. Trataremos con dos tipos de cuantificadores: 1 Existencial 2 Universal

9 Cuantificador Existencial Qué es un cuantificador existencial? Denota que existe al menos un elemento x del Universo, para el cual p(x) es verdadera. Notación: x p(x) ó x y p(x, y) x, y p(x, y)

10 Cuantificador Existencial En lenguaje natural decimos... Formas de expresarlo: Hay un x Para algún x Para al menos un x Existe un x tal que Resumiendo... La proposición es Verdadera, si existe al menos un elemento x del universo tal que p(x) sea verdadera. De lo contrario es falsa.

11 Cuantificador Existencial Veamos un ejemplo Si p(x) es x < 100 Tenemos... Cerramos p(x) al escribir x p(x), donde el universo consiste en todos los números reales. Importante Siempre debemos denotar el universo del discurso, ya que para algunos universos la proposición puede ser verdadera y para otros universos es falsa.

12 Cuantificador Universal Qué es un cuantificador universal? Indica que una proposición es Verdadera para todos los valores de una variable en un universo en particular. p(x) es verdadera, para todos los valores de x en el dominio. Notación x p(x) ó x, y p(x, y) x, y p(x, y)

13 Cuantificador Universal En lenguaje natural decimos... Formas de expresarlo: Para todo x Para cada x Para cualquier x Para todo x y y Para todo x,y Resumiendo... La proposición es Verdadera, si para cada reemplazo de x, p(x) es verdadera. Es falsa, si existe al menos un x para el cual p(x) es falsa.

14 Traducciones de Cuantificadores Frase de ejemplo Todo estudiante de la clase de Matemáticas Discretas vive en Mérida Traducción: Se define el dominio: todas las personas p(x) : estudiante de la clase de Matemáticas Discretas q(x) : vive en Mérida Frase lógica Para todo persona x, si la persona x es un estudiante de la esta clase, entonces la persona x vive en Mérida.

15 Traducciones de Cuantificadores Lo que se traduce en: x p(x) q(x) donde: x : dominio: de todas las personas p(x) : es estudiante de la clase de Matemáticas Discretas q(x) : vive en Mérida

16 Ejemplo 2 Cuantificadores Frase en lenguaje natural Algún venezolano es medallista olímpico Se traduce en: Existe al menos un venezolano que cumple con la condición de ser medallista olímpico Las variables Existe al menos un venezolano x que cumple la condición que x es medallista olímpico

17 Ejemplo 2 Cuantificadores...continúa... Predicados q(x) x es un futbolista p(x) x es venezolano Construyamos la proposición El dominio es de todas las personas, entonces: x(p(x) q(x))

18 Implicaciones y Equivalencias Lógicas Como funcionan las tautologías y contradicciones? Si la implicación lógica p(x) q(x) es verdadera para cada x del universo, entonces se escribe: Implicación [p(x) q(x)] y se dice que p(x) implica lógicamente a q(x)

19 Implicaciones y Equivalencias Lógicas Equivalencias lógicas Dos proposiciones p(x) y q(x) son lógicamente equivalente, si se escribe: Equivalencia x[p(x) q(x)] Cuando la bicondicional p(x) q(x) es verdadera para cada x del universo.

20 Preguntas, Dudas y Comentarios Si un hombre se imagina una cosa, otro la tornará en realidad. Julio Verne