Capítulo 7: Lógica de predicados y cuantificadores

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1 Capítulo 7: Lógica de predicados y cuantificadores por G 3 Agosto 2014 Resumen A menudo interesa afirmar que todos, o que solo algunos individuos de cierto universo, o solo uno, cumplen alguna propiedad. El cálculo proposicional no es suficiente para expresar todas las afirmaciones que requerimos en estos casos, ni para decidir sus valores de verdad. Introducimos aquí los elementos básicos del cálculo de predicados y los cuantificadores lógicos, como las herramientas para abordar esta problemática. 1 Motivación Pensemos el siguiente (típico) razonamiento: Todos los hombres son mortales. Sócrates es un hombre. Por tanto Sócrates es mortal. Nadie podría dudar de la validez de este argumento. Intentemos formalizarlo según el cálculo proposicional: Definimos las proposiciones p : Todos los hombres son mortales. q : Sócrates es un hombre. r : Sócrates es mortal 1

2 Entonces el razonamiento del párrado anterior es del tipo siguiente: p q r. (1) Luego, el razonamiento sobre la mortalidad de Sócrates es válido únicamente si (1) es V en todo caso. Pero eso no sucede, puesto que la implicación (1) es contingente. La lógica proposicional es entonces incompetente para fundamentar este ejemplo sencillo. Pensemos en otro (típico) razonamiento: Sócrates es un hombre. Sócrates es griego. Por lo tanto, algunos hombres son griegos. Solo un loco pondría en duda la validez de este argumento. No obstante, del mismo modo que antes, podemos ver rápidamente de que la lógica proposicional no sirve para fundamentar la validez efectiva de este argumento. Qué sucede aquí? Vemos que la estructura del primer razonamiento es del tipo Todos los X son Y. Z es X. Por tanto X es Z. Mientras que el segundo es del tipo X es Y. X es Z. Por tanto, existe algún Y tal que es Z. No podemos demostrar la validez de estos argumentos sólo con la lógica proposicional, porque ésta no depende de las relaciones entre las premisas y la conclusión, sino de relaciones entre ciertos objetos que satisfacen las proposiciones que intervienen en las premisas y la conclusión. En estas notas exploraremos, muy básicamente, las herreamientas que nos permiten dilucidar la validez de estos argumentos. 2

3 2 Predicados Definición 1. Un predicado es un enunciado que expresa una propiedad entre ciertos objetos. Un predicado se denota con el símbolo p(x) (también usamos q(x), s(x), P (x), Q(x), etc.) donde p representa la propiedad en cuestión, y x es una variable que representa a los objetos a los que se refiere el predicado p. En general, si un predicado se refiere a n objetos, entonces escribimos p(x 1,..., x n ). Usamos predicados para representar propiedades de un solo objeto, o bien propiedades y relaciones entre diversos objetos. Ejemplo 1. Los siguientes son ejemplos de predicados: 1. p(x) : x 2 7x + 10 = q(x, y) : x es divisor de y. 3. S(x) : x 2 es impar. 4. r(x) : x es un conjunto finito. 5. T (x, y, z) : si x y y y z entonces x z. 6, u(x) : x > 0. 3 Predicados y proposiciones Los predicados no son por sí mismos proposiciones. Un predicado p(x) no significa nada, a menos que ubiquemos la variable x dentro de un rango de significados. Por ejemplo, los predicados p(x) : x 5 y q(x, y) : 3x = y no son proposiciones puesto que no se puede afirmar de ellas ningún valor de verdad. En cambio, si tomamos x = 0, entonces p(0) : 0 5 es una proposición F, pero p(10) : 10 5 es V. También q(1, 2) : 3 1 = 2 es F, pero q(0, 0) : 3 0 = 0 es V. Por otra parte, sería bastante absurdo si la variable x fuese elegida dentro del rango dado por los siete colores del arcoiris. No esperamos que una expresión como azul 5 tenga sentido. 3

4 Hemos motivado así la siguiente definición. Definición 2. Si p(x) es un predicado, llamaremos universo local de significados (o simplemente universo de significados, o bien, universo de intrepretación) al rango U de valores que puede tomar la variable x, de tal forma que, para cada valor particular x = c dentro del universo de significados U, p(c) es una proposición, que puede interpretarse desde U como V o F. Ejemplo 2. Consideremos p(x, y) : x es divisor de y. Si nuestro universo de significados es el conjunto de los números enteros Z, entonces p( 2, 6) es una proposición verdadera y p(12, 6) es falsa. Ejemplo 3. Sea p(x) : 2 < 3. Sobre el universo de los números naturales N, (o cualquier otro universo que contenga a N y admita la relación de orden usual, como por ejemplo R), se tiene que para cualquier x, p(x) es de hecho una proposición V. A este tipo de predicados suele llamárseles predicados constantes, o de aridad cero. Observación 1. Note que según los ejemplos anteriores, para una misma proposición podemos considerar más de un universo de significados. Observación 2. El universo de significados puede ser un conjunto, como los números enteros Z o los números reales R. Otras veces el universo local es tan grande que no puede ser abarcado en ningún conjunto (como el conjunto de todos los conjuntos, el cual en realidad, no es un conjunto). Veremos más detalles de esta observación un poco adelante en el curso. Convención. Si queremos decir que para algún x sucede que p(x) es una proposición verdadera, a veces sólo escribimos p(x), y obviamos la frase es verdadera. Si en cambio, queremos decir que p(x) es falsa, entonces algunas veces sólo escribimos p(x). Por ejemplo, consideremos el predicado p(x) : x es par, sobre el universo de los números naturales N. Si tomamos x como algún múltiplo de 6, entonces p(x). Si por el contrario, tomamos x algún impar, entonces p(x). Más específicamente, tenemos por ejemplo que p(12) y p(9). 4

5 4 Cuantificadores A partir de un predicado y un universo de significados podemos construir nuevas proposiciones mediante un proceso que llamamos de cuantificación. Cuantificador universal. Sea p(x) un predicado. Si nos intersa afirmar que todos los elementos de un determinado universo local satisface p(x), entonces bastará escribir cualquiera de la siguientes frases para todo x, p(x), p(x), para cualquier x, p(x), para cada x. Todas estas frases se abrevian usando el símbolo, el cual se lee para todo, escribiendo la cadena de símbolos: x (p(x)). (2) El símbolo es conocido como cuantificador universal. En una expresión como (2), decimos que la variable x está gobernada por el cuantificador universal. Valor de verdad del cuantificador universal. Dentro de un universo de significados, la fórmula (2) es una proposición (aquella que afirma que p(x) es V, para cada x). El valor de verdad de dicha proposición dependerá de si, en efecto, p(x) es V sin importar el valor que asuma x dentro del universo local que estemos considerando. Por tanto, postulamos el siguiente principio: es V si, y sólo si, p(x) es V para cada x. x(p(x)) es F si, y sólo si, p(x) es F para al menos un x. Cuantificador existencial. Si en cambio sólo nos intersa afirmar que existe al menos un valor para x para el cual p(x) es una proposición V, entonces bastará escribir cualquiera de las siguientes frases: existe x tal que p(x), para algún x, p(x), p(x), para al menos un x. 5

6 Lo cual se abrevia con símbolo, el cual se lee existe, escribiendo x (p(x)). (3) El símbolo es conocido como cuantificador existencial. En una expresión del tipo (3), decimos que la variable x está gobernada por el cuantificador existencial. Valor de verdad del cuantificador existencial. Dentro de un universo de significados, la fórmula (3) es una proposición (aquella que afirma que p(x) es V, para al menos un x). El valor de verdad de dicha proposición dependerá de si, en efecto, existe al menos un valor para x para el cual p(x) es una proposición V. Por tanto, postulamos el siguiente principio: es V si, y sólo si, p(x) es V para algún x. x(p(x)) es F si, y sólo si, p(x) es F para cada x. Cuantificador existencial único!. Es común también la necesidad de afirmar que existe un único objeto x para el cual la proposición p(x) es V. Esto es denotado como lo cual se lee existe un único x tal que p(x).!x(p(x)), (4) Valor de verdad del cuantificador único existencial!. Dentro de un universo de significados, la fórmula (4) es una proposición (aquella que afirma que p(x) es V, para un único x). El valor de verdad de dicha proposición dependerá de si, en efecto, existe exactamente un valor para x para el cual p(x) es una proposición V. Por tanto, postulamos el siguiente principio: x!(p(x)) es V si, y sólo si, p(x) es V para un único x. es F si, y sólo si, p(x) es F para cada x, o bien p(x) y p(y) son proposiciones V, para al menos dos x y y distintos. 6

7 Ejemplo 4. Sobre el universo de los números reales R, 1. x(x 2 0) es una proposición V, 2. x(x = 0) es una proposición F, 3.!x(x 2 = 0) es una proposición V. 5 Formación de predicados y proposiciones por medio de predicados Un predicado es también llamado fórmula bien formada, abreviado fbf. Hay reglas sintácticas precisas para construir predicados (fbf s). Aquí no nos detendremos nosotros en esos detalles. Confiaremos siempre en nuestra experiencia y buen sentido para construir e indentificar predicados (fbf s). Únicamente mantendremos siempre presente la siguiente observación para formar predicados: Supongamos que p(x) es un predicado. Sea q cualquier proposición que pueda interpretarse sobre algún universo de significados. Entonces los siguientes son también predicados: p 0 (x) : p(x) p 1 (x) : p(x) q, p 2 (x) : p(x) q, p 3 (x) : p(x) q p 4 (x) : q p(x). En general, si es cualquiera de los conectivos binarios, entonces son predicados. p(x) q y q p(x) Más generalmente, si p(x) y q(x) son predicados, y es un conectivo binario, entonces p(x) q(x) y q(x) p(x), son también predicados. 7

8 Ejemplo 5. Supongamos que p(x), q(x) y r(s) son predicados. Entonces los siguientes son también predicados: p(x) q(x) r(x), p(x) q(x), p(x) [q(x) r(x)]. Por otro lado, si p(x, y) es un predicado con dos variables, entonces podemos formar nuevos predicados con los cuantificadores, de la siguiente manera, q(y) : x (p(x, y)) y r(y) : x (p(x, y)). Note que en estos casos, solo la variable x de p(x, y) está gobernada por alguno de los cuantificadores. Decimos que y es una variable libre Ejemplo 6. Sea p(x, y) : x es divisor de y, sobre el universo de los números enteros Z. Entonces el predicado q(y) : x (p(x, y)), se interpreta como: todo entero es divisor de y. Obviamente, no importa cual sea el valor de y, q(x) es una proposicón falsa. Por otra parte, el predicado r(y) : x (p(x, y)), se interpreta con la oración: existe un divisor de y. Obviamente, no importa cual sea el valor de y, r(y) es una proposición verdadera. Ejemplo 7. Sea p(x, y) : x + y = 0 y consideremos el conjunto Z como universo. Entonces la proposición x y!(p(x, y)), la cual se lee para todo entero x, existe un único entero y, tal que x+y = 0, es verdadera. Los predicados y los cuantificadores sirven también para representar simbólicamente propiedades inherentes a un determinado universo local. Las herramientas son los conectivos de la lógica proposicional que ya estudiamos. 8

9 Ejemplo 8. Sean los predicados p(x, y, z) : xy = z, q(x, y) : x = y, r(x, y) : x > y. Consideremos como universo local el conjunto Z de los números enteros. Traduciremos a lenguaje simbólico las siguientes proposiciones. 1. Si y = 1, entonces xy = x para cualquier x. y [ q(y, 1) x(p(x, y, x)) ]. 2. Si xy 0, entonces x = 0 y y = 0. x y [ p(x, y, 0) q(x, 0) q(0, y) ]. 3. 5x = 0 si, y sólo si, x = 0. x [ p(5, x, 0) q(x, 2)]. 4. No existe solución para x 2 = y, a menos que y 0. y [ r(0, y) ( x(p(x, x, y)]. 5. No es cierto que x = y y x < y. x y [ q(x, y) r(y, x) ]. Algunas veces un predicado p(x) puede contener parámetros, los cuales no son necesariamente elementos del universo de significados desde donde interpretamos p(x). Tales parámetros determinan también el valor de verdad que asignamos a p(x) para cada x. Enlistamos un par de ejemplos: Ejemplo 9. Sea f : R R una función. Sobre le universo de los números reales, el valor de verdad de los enunciados (1) x(f es continua en x) y (2) x(f es continua en x), 9

10 depende de las características propias de f. En este caso, el predicado p(x) : f es continua en x, contiene el parámetro f, el cual pertenece al universo de todas las funciones reales de variable real. Note entonces que, de hecho, (1) y (2) son predicados que interpretamos sobre dicho universo. Por ejemplo, si f(x) = x 2, entonces las proposiciones (1) y (2) se convirten en proposiciones verdaderas. Pero si f(x) = max{n Z : x < n} (la función escalón), entonces (1) es F pero (2) es V ( por qué?). Ejemplo 10. Sean a, b R. Sobre el universo de los números reales, el valor de verdad de los enunciados (1) x(ax + b = 0) y (2) x(ax + b = 0), depende de a y b. En este caso, el predicado, p(x) : ax + b = 0 contiene los parámetros a y b. Note entonces que, de hecho, (1) y (2), son predicados que interpretamos sobre el universo R 2 = R R. Por ejemplo, si a = 0 y b = 0, entonces (1) y (2) son proposiciones verdaderas. Si a = 1 y b = 0, entonces (1) es F y (2) es V. Si a = 0 y b = 1, entonces (1) y (2) son F. 6 Cálculo de predicados Sobre el cálculo de predicados y cuantificadores pueden probarse reglas generales, del mismo modo que hicimos para el cálculo proposicional. 10

11 Primero enunciamos una regla de reemplazo para cuantificadores. Teorema 1 (Reemplazo). Sean p(x) y q(x) predicados. Sobre un mismo universo de significados cualquiera, si para todo valor particular de x, p(x) es (lógicamente) equivalente a q(x), entonces se cumplen las equivalencias x(p(x)) x(q(x)) x(p(x)) x(q(x)). Demostración. Si para cada x, p(x) tiene la misma tabla de valores de verdad que q(x), entonces x(p(x)) tiene la misma tabla que x(q(x)). Ahora, supongamos que x(p(x)) es V, entonces p(x) es V para algún x, por lo cual, q(x) es V para ese mismo valor x, así que x(q(x)) es V. De modo recíproco, si x(p(x)) es F, entonces para cada x, p(x) es F, por lo cual, q(x) para cada x. Así que x(q(x)) es F. Ahora mostramos que los cuantificadores y son operadores recíprocos en el sentido siguiente. Teorema 2 (Negación de los cuantificadores, Leyes de De Morgan). Sea p(x) un predicado. Entonces, independientemente del universo de significados, se cumplen las equivalencias x(p(x)) x( p(x)), x(p(x)) x( p(x)). Demostración. Para la primera equivalencia, mostraremos que x(p(x)) y x( p(x)) tienen la misma tabla de valores de verdad. Supongamos que ( x(p(x))) es V. Entonces x(p(x)) es F. Por lo tanto, debe existir algún x tal que no cumple p(x), es decir, para algún x, p(x). Por tanto, x( p(x)) es V. En cuanto a la segunda equivalencia, tenemos, x(p(x)) x( ( p(x))) x( p(x)). (reemplazo) (primera equivalencia). Por lo tanto, ( x(p(x))) x( p(x)). 11

12 Ejemplo 11. Sea la proposición (sobre el universo R) x y z(x < z < y). Construimos la negación de esta proposición como sigue: x y z(x < z < y) x( y z(x < z < y)) x y( z(x < z < y)) x y z (x < z < y). Ahora, Por lo tanto, (x < z < y) (x < z) (z < y). (x < z < y) (z x) (y z). De este modo, x y z(x < z < y) x y z((z x) (y z)). Ahora mostramos una forma equivalente para el cuantificador existencial único, a partir de los cuantificadores universal y existencial Teorema 3. Sea p(x) un predicado. Entonces sobre cualquier universo de significados se cumple la equivalencia!x(p(x)) [ x(p(x))] [ x y(p(x) p(y) x = y)]. Demostración. Supongamos que!x(p(x)) es V. Es claro así que x(p(x)) es V. Pero la condición de existencia es única, por lo que para cada x y cada y, no puede ocurrir que x y, al mismo tiempo que ocurre p(x) y p(y). Es decir, la proposición [(p(x) q(y)) (x = y)] es V. Pero, [p(x) q(y) x = y] [(p(x) q(y)) (x = y)]. De modo que x y(p(x) p(y) x = y) es V. 12

13 De modo análogo, supongamos que!x(p(x)) es F. Entonces, o bien x(p(x)) es F, o bien, x y(p(x) p(y) (x y)) es V. En este último caso, note que (p(x) p(y)) (x y) [ (p(x) q(x)) (x = y)] (p(x) q(x) x = y]. de donde x y(p(x) p(y) (x y)) x y (p(x) q(x) x = y) x[ y(p(x) q(x) x = y)] x y(p(x) q(x) x = y). Por lo tanto, x y(p(x) q(x) x = y) es F. Enunciamos otras equivalencias importantes. Teorema 4. Sea p(x) un predicado y sea q una proposición. Entonces se cumplen las siguientes equivalencias (independientemente del universo de significados). (i) x[p(x) q] [ x(p(x))] q. (ii) x[p(x) q] [ x(p(x))] q (iii) x[p(x) q] [ x(p(x))] q. (iv) x[p(x) q] [ x(p(x))] q. Demostración. (i). Probaremos que x[p(x) q] y [ x(p(x))] q tienen la misma tabla de valores de verdad. Supongamos que x[p(x) q] es V. Entonces para cada x, p(x) q es V. Por tanto, para todo x, p(x) es V, o bien q es V. Analizamos entonces dos casos: Caso 1. Si x(p(x)) es V, entonces es claro que [ x(p(x))] q es V. Caso 2. Si x(p(x)) es F (i.e., no es cierto que p(x) es V para todo x), entonces q es V, pero esto implica de inmediato que [ x(p(x))] q es V. En ambos casos, concluimos que [ x(p(x))] q] es V. 13

14 Supongamos que x[p(x) q] es F, entonces para al menos un x, sucede que p(x) q es F. Se sigue que para al menos un x, p(x) es F y q es F. Luego, x(p(x)) es F y q es F. Esto es, [ x(p(x))] q es F. Para probar (ii), mostraremos también que x[p(x) q] y [ x(p(x))] q tienen la misma tabla de valores de verdad. Supongamos que x[p(x) q] es V. Significa esto que para algún x, p(x) q es V, es decir, p(x) es V o bien q es V. Analizamos dos casos: Caso 1. Supongamos que x(p(x)) es F. Entonces, p(x) es F, para todo x. Así que q es V, y por tanto, [ x(p(x))] q es V. Caso 2. Si x(p(x)) es V, es inmediato que [ x(p(x))] q es V. De forma análoga, si x[p(x) q] es F, entonces p(x) q es F, para todo x. Esto es, para cada x, tanto p(x) como q son F. Luego, x(p(x)) es F y q es F, y por tanto [ x(p(x))] q es F. Para probar (iii), procedemos así: x[p(x) q] x[ p(x) q] x[ ( p(x) q)] x( p(x) q) ([ x( p(x))] q) [ x( p(x))] q [ x( p(x)] q [ x(p(x))] q. Para probar (iv) se procede de forma análoga. Se deja como ejercicio. Corolario 1. Sea p(x) un predicado y q una proposición. Entonces se cumplen las siguientes equivalencias, independientemente del universo de significados: i) [ x(p(x))] q x[p(x) q] ii) x[q p(x)] q [ x(p(x))]. 14

15 Demostración. (i). Tenemos, [ x(p(x))] q [ x(p(x))] q [ x( p(x))] q x[ p(x) q] x[p(x) q] (reemplazo) (De Morgan) (teorema anterior) (reemplazo). La prueba de (ii) es análoga, se deja como ejercicio. Desde luego, podemos enunciar y probar reglas de inferencia usando predicados. Ejemplo 12. Sen p(x) y q(x) predicados. Probaremos que el siguiente razonamiento es válido (independientemente del universo de significados) x(p(x) q(x)) p(a) q(a). Debemos probar que la implicación [ x(p(x) q(x))] p(a) q(a), es tautología. Pues bien, la única manera en que esta implicación sea F es que la proposición [ x(p(x) q(x))] p(a) sea V y q(a) sea F. Veamos si esto es posible: Si [ x(p(x) q(x))] p(a) es V, entonces x(p(x) q(x)) y p(a) son V. Es decir, por un lado, para todo x, si p(x) entonces q(x) es una afirmación V. En particular, si p(a) entonces q(a), es una afirmación V. Como p(a) es V, se sigue que q(a) es V. De modo que [ x(p(x) q(x))] p(a) q(a) nunca es F, y por ello es una tautología. 15