EXPRESIONES ALGEBRAICAS. El tripe de un número menos «cinco» en lenguaje algebraico se escribe

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1 1 Álgebral EXPRESIONES ALGEBRAICAS El tripe de un número menos «cinco» en lenguaje algebraico se escribe 3x 5: 3x 5 es una expresión algebraica donde x es la incógnita. La letra x representa un número desconocido. Si asignamos a la letra x un valor numérico, la expresión algebraica pasará a tener también un valor numérico: Para x obtenemos Expresa en lenguaje algebraico: a) El cuadrado de un número Æ b) El cuádruple de un número Æ c) La suma de un número más su cuádruple Æ d) El cubo de un número menos su mitad Æ e) El triple de un número más 1 Æ f) El cubo de un número Æ Para qué valor de x las siguientes expresiones resultan ser ciertas? a) 3x 9 c) 6x 6 0 b) x 10 d) 4x 1 3 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo a los distintos valores de x: x x 1 1 x 3x 3 x + 1 5(x ) x x/ 1 1 0

2 MONOMIOS Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número por una o varias incógnitas. El grado de la incógnita y es El grado de la incógnita x es 1 fi El grado del monomio es Los monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. xy, 16xy son semejantes Parte literal 5xy Coeficiente 4 Completa la tabla: Coeficiente xy z 3 x y 6x 3 y 3 3x y 6 15x 4 y 3 7xz Parte literal Grado 5 Escribe un monomio que cumpla las condiciones dadas en cada caso: a) Tener grado 3 y tres incógnitas distintas Æ b) Tener coeficiente negativo, dos incógnitas y grado 5 Æ c) Tener coeficiente 5, una sola incógnita y grado 5 Æ d) Tener coeficiente fraccionario, una incógnita y grado 4 Æ 6 Qué monomios son semejantes entre sí? f(x) x y h(x) 3x y j(x) 5xy g(x) 6xy i(x) 4x yz k(x) x yz 7 Escribe un monomio semejante a cada uno de los dados: a) 50x y Æ c) 4xyz Æ b) 3xz 3 Æ d) 7x z Æ 3

3 OPERACIONES CON MONOMIOS Suma y resta Sólo se pueden sumar o restar monomios semejantes. Para ello operamos los coeficientes y mantenemos la parte literal. 3x 8x + 5xy (3 8)x + 5xy 5x + 5xy Multiplicación y división Para multiplicar o dividir monomios se multiplican o dividen los coeficientes por un lado y las partes literales por otro. 4xy 3x 3 y (4 3) (xy x 3 y) 1 (x (1 + 3) y ( + 1) ) 1x 4 y 3 0x y 3 : 5xy (0 : 5) : (x y 3 : xy ) 4 : (x ( 1) y (3 ) ) 4xy 8 Calcula: a) xyz + xyz 4xyz c) 40y z 8y z 1y z b) 3x + 7x y d) x 3 y + 9x 3 y 5xy 9 Completa los monomios que falten: a) xy z + xy z xy z c) x 3 y 5x 3 y + x 3 y b) xy z + xy z xy z d) 4xy + 4xy 0 10 Realiza los siguientes productos: a) 5y 5x y e) 8x yz 8x z b) ( y z 3 ) xyz 3 f) ( 10x) ( 5x yz) c) 1x 3 y x y 3 g) x 4 yz 3 3x 3 y 3 z d) 5x y z ( 8xyz) h) 9x 3 y 3xz 11 Realiza las siguientes divisiones: a) 0x z 5 : 10xz e) 150x y 3 z 5 : 3xz 4 b) x 3 z :x 3 f) 18x y z : 6x z c) 15x 5 z : ( 3x 3 z) g) 49x z : 7x z d) ( 36x 4 y z 3 ) : 1x 3 y h) ( 36x z ) : 6xz 4

4 DIVISIÓN DE MONOMIOS Para dividir monomios seguiremos los siguientes pasos: 1.º Calculamos el signo del cociente..º Dividimos los coeficientes. 3.º Dividimos las potencias de la misma base una a una. Llamamos fracción algebraica al cociente de dos polinomios. 1 Calcula las siguientes divisiones de monomios: 0x a) y 5 b) 1xy 4 c) 15a b 5a d) 1x 4 y z 7x y 4 e) x 3 y 4 3 : x y 9 8 f) 6xy : 5xz 13 Simplifica las fracciones algebraicas: a) 48x 4 y 3 z 1x yz 4 b) 1a 3 b 4 c 5 4a 5 b c 3 c) 45m n 3 q 5 9mn 4 q 6 14 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas sacando, previamente, factor común: a) xy + y xy y b) 3x y + 6x 3 y 3x yz 3x y c) d) e) x 3 yza + x 3 ybz x 3 yza x 3 ybz (3x 6x) (9x + 3x ) (x + 3xy) (x + 3y) 5

5 POLINOMIOS Un polinomio es una expresión algebraica formada por sumas y restas de dos o más monomios. x y 6x 3 y + 5xyz 4xy El grado de un polinomio es el grado de su monomio de mayor grado. x y 6x 3 y + 5xyz 4xy Æ Grado 5 Si un polinomio tiene monomios de todos los grados, incluido el cero, se dice que es un polinomio completo. Si faltan monomios de algún grado, se dice que es un polinomio incompleto. 15 Reduce y después indica el grado de los siguientes polinomios: a) xy + 9xy + 3x y 9x y b) x y 10x y + 3x 4 y x 4 y + 5xy c) y z + y z 8y z y z d) u v w + 6u v w 7u v w + 5u v w 16 Opera e indica el grado del polinomio resultante: a) ( 10x zy + 8x zy) : xzy b) (4x 4 y 3 + x 4 y 3 ) : 6x y c) 8x y xz : 4x z x y d) 3xyz xz + 5x yz + xz + 6x yz : xy 17 Reduce las siguientes expresiones: a) (5x z 5 15x z ) : 5xz b) x (5x 7y + xy) + 3x y c) xy 4x + x z 3xyz 3x z 3xy d) 3xyz 9x z + 6x 4 y 3 : xy + 3x 3 y 7x 3 y + 1xz 3 5xyz 3 e) 3x4 yz 5 : 4x z + 3x z + x z 6 6

6 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Para sumar o restar polinomios sumamos o restamos sus términos semejantes. Para sumar dos polinomios se agrupan los términos semejantes y se simplifican haciendo la suma: 3x 3 + 4x 4x + 6 x 3 x + 5x 5x 3 + 3x + x + 6 Para restar dos polinomios se agrupan los términos semejantes, se cambia de signo el polinomio que se resta y se agrupan los términos semejantes: 3x 3 + 4x 4x + 6 x 3 + x 5x x 3 +5x 9x Realiza las siguientes sumas de polinomios: a) (3x x + 4) + (x + 6x 3) b) (x 3 x 3x + ) + (x 3 x 3x 5) c) (7x 4x + 1) + (5x 4 + x 5x) 19 Realiza las siguientes restas de polinomios: a) (x 4 + x 3 5x) ( x 4 + x 3 + 8) b) (x 3x + 1) (3x 1 5x + ) 1 c) x 3 x + 3x 1) (x 3 5x 1 + x + ) 3 0 Efectúa las siguientes operaciones con polinomios: a) x 4 [3x (x x)] + 1 b) (x 3 + x 1) [(x x + 1) (x 3 x 1)] + (x 3 x + x) 7

7 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Para multiplicar polinomios multiplicaremos cada término de uno de ellos por todos los términos del otro polinomio. Multiplicar los polinomios: 3x 3 + x 1 y 4x + 3x 3 + x 1 4x + 6x 3 + 4x 1x 4 + 8x 3 4x 1x x 3 + 4x 4x 1 Dado el polinomio P(x) 3x 3 x + x. Calcula los siguientes productos: a) P(x) 3x 3 b) P(x) (x 1) c) P(x) (x x + 3) Realiza las siguientes operaciones y reduce al máximo el resultado: a) (3x x + x ) + x (x ) b) (3x x + ) ( x) + (x 1) (x 1) c) (a x) (x 3b) + (a b) x 3 Efectúa los siguientes productos y simplifica el resultado: a) (x ) (x + 1) + (x 1) (x + ) b) (x + y) (3x y + 3xy 1) 4 8

8 DIVISIÓN DE POLINOMIOS Para dividir un polinomio P(x) entre otro Q(x) obtendremos un polinomio cociente C(x) y un resto R(x) tal que: P(x) Q(x) C(x) + R(x) Efectuar la siguiente división de polinomios: (x 3 + 4x 1) : (x ). Realizamos la división como si de una división numérica se tratase indicando todos los pasos hasta obtener un resto de grado menor que el divisor. x 3 + 4x + 0x 1 x x 3 + 4x x + 4 4x + 4x 1 4x + 8 4x + 7 C(x) x + 4 y R(x) 4x Nos dicen que al efectuar la división (x 3 + 5x + 3x + ) : (x + 3x + 1), se ha obtenido como cociente C(x) x 1 y como resto R(x) 4x + 3. Comprueba si son correctos los resultados. 5 Divide: (4x 6 4x 4 + 6x 5 ) : x 3 6 Realiza la siguiente división de polinomios: (x 4 4x 3 + 5x x + 3) : (x x + 1) 9

9 IDENTIDADES NOTABLES Cuadrado de una suma: (a + b) a + ab + b Cuadrado de una diferencia: (a b) a ab + b Suma por diferencia: (a + b) (a b) a b (x + ) x + x + x + 4x + 4 (x 1) 4x + x ( 1) + ( 1) 4x 4x + 1 (a + 3b) (a 3b) a (3b) a 9b 7 Desarrolla las siguientes identidades notables: a) (x + 3) b) (x + x) c) (x 3) d) (ab c) e) (a c) (a + c) f) (4x 3) g) (x + x) 8 Desarrolla las siguientes igualdades notables con números racionales: 1 a) ( x ) b) (x 1 + ) 3 x c) ( x 3 ) 3 9 Expresa como una igualdad notable: a) 4x 4x + 1 b) x + xy + y c) x 4x + 4 d) x 4 + 6x + 9 e) x + 6ax + 9a f) 4x 6 4x 4 + x g) 49 y h) X 6 81 i) 5 30x + 9x 10

10 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Para factorizar un polinomio debemos expresarlo como producto de factores irreducible. Se pueden utilizar varias estrategias: unas veces podremos hacerlo sacando factor común, y otras, aplicaremos las identidades notables. Para factorizar: x 4 + 8x 3 3x sacamos x factor común: x 4 + 8x 3 3x x x + 8 x x 3 x x (x + 8x 3). Para factoriza x 9 aplicaremos las identidades notables: x 9 (x + 3) (x 3) 30 Extrae factor común: a) 30x 4 + 5x 3 15 x 5x 6x + 5x x 5x 3 5x ( 6x + x 3) b) 6xyz+ 1xy 3xz 15 x c) 5xy+ 3xyz xyu 5 4 d) x y x y + 5x e) x y + 4x y xy + 5y f) 6uvw 1uvw + 4uvw 31 Simplifica las siguientes fracciones sacando factor común como en el ejemplo: a) xz+ xy x + x y x ( z + y ) z + y x ( 1+ y ) 1+ y b) x y 3x 3y c) 3 xy xy 5xy x y d) x + xz x + xz 3 Son correctas las siguientes simplificaciones? En caso de que no lo sean, escribe cuál sería la operación correcta. a) x + xz xz x c) x + yx xy 1 y + y b) 3ab 3b ab + a b+ a d) xy x y yx xy 11