5. El teorema de los multiplicadores de Lagrange.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO El teorema de los multiplicadores de Lagrange. gxy= es decir, { } Sea g una función de dos variables suficientemente regular y consideremos la curva C de ecuación implícita (, ) 0, C: = ( x, y) : g( x, y) = 0. Se trata de un conjunto cerrado y su- pongamos que es un conjunto acotado. Si f :( x, y) U f( x, y), con C U, es una función suficientemente regular (en particular continua) entonces alcanza el máximo y el mínimo absolutos en C. Sin embargo, ningún punto de la curva es necesariamente un punto crítico de la función f, luego las técnicas estudiadas en la sección anterior no son válidas en este caso. Sin embargo, si C: t I C( t): = ( x( t), y( t)), siendo x = xt ( ) e y = yt ( ) funciones suficiente- mente regulares, es una parametrización de la curva C, y consideramos la función de una variable h: t I h( t): = f( x( t), y( t)), se verifica que: f alcanza un máximo (mínimo) absoluto en el punto ( x0, y = C( t C si y sólo si h alcanza un máximo (mínimo) absoluto en el punto t0 I. Por tanto, el problema de obtener los extremos de la función f en C se reduce a obtener los extremos absolutos de la función h en I. A veces no es posible determinar una parametrización de la curva C, hecho que ocurre generalmente cuando la curva está definida implícitamente por la ecuación gxy= (, ) 0. En este caso se acude al método de los multiplicadores de Lagrange que exponemos a continuación. Multiplicadores de Lagrange para funciones de dos variables. Antes de enunciar el resultado central de esta sección vamos a presentar un ejemplo que ilustrará el camino a seguir. EJEMPLO. Consideremos la circunferencia C de ecuación x + y = y la función f ( xy, ) = x+ y. Queremos determinar los puntos de donde la función f alcanza el máximo y el mínimo absolutos. Observa que estos puntos existen puesto que C es un conjunto cerrado y acotado y f es una función continua. Consideremos las rectas x + y = c, siendo c. En los puntos ( x, y ) donde esta recta corta a C, tenemos que f ( xy, ) = c. Si hacemos variar c, obtenemos un haz de rectas paralelas. El valor máximo (o mínimo) de c en puntos de la curva C se obtiene cuando la recta correspondiente es tangente a C. En dichos puntos, la función f alcanza los extremos absolutos. Observa que en dichos puntos, los vectores normales a la curva, x, y, y el vector nor- C esto es ( ) mal a la recta, esto es ( 1,1 ), deben ser proporcionales. Por tanto, existirá λ tal que x = λ y y = λ. En consecuencia x = y y los puntos son ( 1,1 ), donde se alcanza el máximo absoluto y ( 1, 1 ), donde se alcanza el mínimo absoluto. DEFINICIÓN. Sea f :( x, y) U f( x, y) una función y sea C U una curva de ecuación implícita gxy= (, ) 0. Se dice que f alcanza en ( x0, y C un máximo relativo sujeto (condicionado) a la restricción gxy= (, ) 0, si existe un disco D centrado en ( x0, y tal que f ( x, y ) f( x, y) para todo ( x, y) D C ( ( x, y) D y gxy= (, ). Se dice que f alcanza en ( x0, y C un mínimo relativo sujeto (condicionado) a la restricción gxy= (, ) 0, si existe un disco D centrado en ( x0, y tal que 1

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO f ( x, y ) f( x, y) para todo ( x, y) D C (( x, y) D y gxy= (, ) 0 ). En ambos casos decimos que f alcanza en ( x0, y C un extremo relativo sujeto (condicionado) a la restricción gxy= (, ) 0. Observa que los extremos absolutos de la función f en C se alcanzan en puntos donde la función f alcanza extremos relativos condicionados a gxy= (, ) 0. TEOREMA (DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE). En las condiciones anteriores, supongamos que f alcanza un extremo relativo en el punto ( x0, y sujeto a la restricción gxy= (, ) 0 y que las funciones f y g tienen derivadas parciales continuas en un disco D centrado en ( x0, y. Si Dg( x0, y 0, entonces existe un número λ (llamado multiplicador de Lagrange) tal que f x( x0, y = λgx( x0, y, Df ( x0, y = λ Dg( x0, y, es decir, se verifica que f y( x0, y = λgy( x0, y. DEM. Puesto que g tienen derivadas parciales continuas, gx ( 0, y = 0 y Dg( x0, y 0, la función g verifica las hipótesis del teorema de la función implícita. Por tanto, podemos despejar una de las variables en función de la otra. Supongamos que existe una función y = y( x), definida en el intervalo ( x0 δ, x0 + δ ), tal que y( x = y0 y gxyx (, ( )) = 0 para todo x ( x0 δ, x0 + δ ). Derivando implicitamente en el punto x 0 obtenemos que gx( x0, y + gy( x0, y y ( x = 0. Consideremos la función una variable hx ( ) = f( xyx, ( )), definida para x ( x0 δ, x0 + δ ). Se trata de una función derivable con derivada continua. Puesto que gxyx (, ( )) = 0 y la función f alcanza un extremo relativo sujeto a la restricción gxy= (, ) 0, la función hx ( ) = f( xyx, ( )) alcanza un extremo relativo en x 0. Por consiguiente, h ( x = 0. Por otro lado sabemos que h ( x) = fx( xyx, ( )) + fy( xyx, ( )) y ( x) para todo x ( x0 δ, x0 + δ ). En particular, 0 = h ( x = fx( x0, y + fy( x0, y y ( x. Por tanto, los vectores ( gx( x0, y, gy( x0, y ) y ( fx( x0, y, fy( x0, y ) son ortogonales al vector ( 1, y ( x0 )) y, por consiguiente, son paralelos. Luego, teniendo en cuenta que Dg( x0, y 0, debe existir un número λ tal que Df ( x0, y = λ Dg( x0, y. EJEMPLO. En el resultado anterior, el hecho de que Dg( x0, y 0 se ha usado para poder aplicar el teorema de la función implícita. Sin embargo, como muestra este ejemplo, es necesario exigir tal restricción. Consideremos la función f ( xy, ) = x + y y la curva gxy (, ) = ( x 1) y = 0. Es claro que el mínimo de f restringido a gxy= (, ) 0 se alcanza en el punto P = (1,, puesto que la función f expresa el cuadrado de la distancia del punto ( x, y ) al origen de coordenadas. Sin embargo, Df (1, = (, y Dg (1, = (0, con lo que no existe λ tal que Df (1, = λ Dg(1,. OBSERVACIÓN. Los posibles extremos relativos de la función f restringidos a gxy= (, ) 0 se encuentran entre las soluciones del siguiente sistema (no lineal) de tres ecuaciones con tres incógnitas ( x, y y λ )

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO gxy (, ) = 0, fx( xy, ) = λgx( xy, ), f y( xy, ) = λgy( xy, ). También es necesario analizar los puntos de la curva gxy= (, ) 0 de forma que Dg( x, y ) = 0. EJEMPLO. Vamos a calcular los extremos absolutos del campo escalar f :( x, y) f( x, y) definido por f ( x, y) = y + x y+ x + y 4y 8 en el conjunto U : = {( x, y) : x + y 1 }. Observa que al ser la función f continua y U un conjunto cerrado y acotado, los valores máximos y mínimos se alcanzan en puntos del conjunto U, que pueden estar en su interior o en su frontera. Los que se encuentren en su interior, necesariamente serán puntos críticos de f. Por tanto, determinaremos los puntos críticos de f y analizaremos qué información proporciona el criterio de las derivadas segundas sobre cada uno de dichos puntos críticos. Como sabemos, los puntos críticos son aquellos donde se anulan simultáneamente las derivadas parciales de la función f ( xy, ), es decir, fx( x, y) = xy+ 4x= x( y+ ) = 0, De la primera ecuación deducimos que o bien x = 0 o bien fy ( x, y) = y + x + 4y 4= 0. y =. Si x = 0, entonces y + 4y 4= 0. Es decir, y = o y =. Por otro lado, si y =, entonces fy ( x, ) = 1 + x 8 4 = 0. Por tanto, x = 0. Resumiendo, hay solamente dos puntos críticos: P1 = 0, y P ( ) = 0,. Observa que P U. Para aplicar el criterio de las derivadas segúndas calculamos la matriz diferencial segunda, esto es, D f( x, y) = y + 4 x x 6y+ 4 y, por tanto, D f( P1 ) 16 0 =, que es definida positiva. En consecuencia, en el punto P 1 = 0, la función alcanza un mínimo relativo. Ahora usaremos el teorema de los multiplicadores de Lagrange 0 8 para buscar los puntos de la frontera de U, es decir puntos que verifican x + y = 1, en los que la función f alcanza extremos relativos condicionados. Llamemos g( x, y) = x + y 1. Si el punto ( x, y ) es un extremo relativo de f ( xy, ) sujeto a gxy= (, ) 0, entonces existe un número real λ tal x( y+ ) = λ x, que Df ( x, y) = λ Dg( x, y), es decir, Distinguimos dos casos. Si x = 0, y + x + 4y 4= λ y. la primera ecuación se verifica y de g(0, y) = y 1 = 0 obtenemos los puntos P = (0,1) y P 4 = (0, 1) son dos candidatos a ser extremos relativos. Para ambos la segunda ecuación tiene solución. Si x 0, entonces y + = λ. Por tanto, y + x + 4y 4 = ( y+ ) y. Simplificando esta ecuación obtenemos que x + y = 4. Esto contradice que gxy= (, ) 0. Por tanto, no hay extremos relativos condicionados tales que x 0. Por el teorema de Weierstrass, la función f ( xy, ) alcanza el máximo absoluto y el mínimo absoluto en el conjunto de puntos que verifican x + y = 1 (ya que

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO este conjunto es cerrado y acotado). Puesto que estos extremos absolutos deben ser extremos relativos condicionados, necesariamente son P = (0,1) y P 4 = (0, 1). Para determinar en cuál se alcanza el máximo absoluto evaluaremos la función f ( xy, ) en dichos puntos: f ( P ) = 9 y f ( P 4 ) =. Es decir, P = (0,1) es el punto donde la función alcanza el mínimo absoluto y P 4 = (0, 1) es el punto donde alcanza el máximo absoluto. Finalmente, determinaremos los puntos donde el campo f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en U. El único punto crítico del interior es P 1 56 y f ( P 1) =. En cuanto a los segundos ya los hemos calculado en el apartado anterior. Por tanto, el máximo absoluto se alcanza en P 7 4 = (0, 1) y el mínimo absoluto en P1 = 0,. Multiplicadores de Lagrange para funciones de tres variables en una superficie. En el caso tridimensional, el método funciona de forma análoga en el caso de una restricción gxyz (,, ) = 0, lo que corresponde a considerar los valores máximo o mínimo absolutos de una función f ( xyz,, ) de S: = ( xyz,, ) : gxyz (,, ) = 0. tres variables sobre la superficie { } DEFINICIÓN. Sea f :( x, y, z) U f( x, y, z) una función y sea S U una superficie de ecuación implícita gxyz (,, ) = 0. Se dice que f alcanza en ( x0, y0, z S un máximo relativo sujeto (condicionado) a la restricción gxyz (,, ) = 0, si existe una bola B centrada en ( x0, y0, z tal f ( x, y, z ) f( x, y, z) para todo ( x, yz, ) B S (o sea, ( x, yz, ) B y gxyz (,, ) = 0 ). Se que 0 dice que f alcanza en ( x0, y0, z S un mínimo relativo sujeto (condicionado) a la restricción gxyz (,, ) = 0, si existe una bola B centrado en ( x0, y0, z tal que f ( x0, y0, z f( x, y, z) para todo ( x, yz, ) B S(o sea, ( x, yz, ) By gxyz (,, ) =. En ambos casos decimos que f alcanza ( x, y, z ) S un extremo relativo sujeto (condicionado) a la restricción gxyz (,, ) = 0. en 0 TEOREMA (DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE). En las condiciones anteriores, supongamos que f alcanza un extremo relativo en el punto ( x0, y0, z sujeto a la restricción gxyz (,, ) = 0 y las funciones f y g tienen derivadas parciales continuas en una bola B centrada en ( x0, y0, z. Si Dg( x0, y0, z 0, entonces existe un número λ (llamado multiplicador de Lagrange) tal que fx( x0, y0, z = λgx( x0, y0, z, Df ( x0, y0, z = λ Dg( x0, y0, z, es decir f y( x0, y0, z = λgy( x0, y0, z, fz( x0, y0, z = λgz( x0, y0, z. EJEMPLO. Supongamos que entre todas las cajas rectangulares con área constante e igual a 10 m hay una caja de mayor volumen posible. Vamos a hallar sus dimensiones. Llamemos x, y y z a las longitudes de los lados de la caja. Su volumen es xyz y el área de la superficie de la caja viene dada por ( xy+ xz+ yz). Por tanto, el problema es calcular el máximo de f ( xyz,, ) = xyzsujeto a la restricción g( x, y, z) = xy + xz + yz 5= 0. Además, observemos que puesto que x, y y z repre- 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO sentan longitudes, estos valores deben ser positivos: x > 0, y > 0 y z > 0. El punto solución debe gxyz (,, ) = 0, fx( xyz,, ) = λgx( xyz,, ), satisfacer las ecuaciones para un cierto número λ. En nuestro caso, tenemos que Puesto que estamos interesados solamente en soluciones del primer f y( xyz,, ) = λgy( xyz,, ), fz( xyz,, ) = λgz( xyz,, ), 0= xy + xz + yz 5, yz = λ( y + z), xz = λ( x + z), xy = λ( x + y). octante, tenemos que la suma de cualesquiera dos coordenadas es no nula. Por tanto, de la segunda yz xz y tercera ecuaciones anteriores se sigue que =, lo que implica que yx + yz = xy + xz. Es y + z x+ z decir, x = y. Análogamente, se obtiene que x = z. Sustituyendo en la ecuación xy + xz + yz = 5, 5 concluimos que x = y así 5 x =. Luego la solución es la caja con todos los lados iguales a 5. Observemos que no hemos probado que ésta caja tenga volumen máximo. Lo que hemos obtenido es que si existe tal caja esa es la que hemos obtenido. Usualmente llegados a este punto se hace uso de otros argumentos para concluir que la solución obtenida es la que optimiza. Multiplicadores de Lagrange para funciones de tres variables en una curva en. También puede que estemos interesados en obtener los extremos de una función f( x, y, z ) = 0 definida sobre una curva C: S1 S S : = (,, ) : (,, ) 0 1 xyz gxyz = y = dada por la intersección de las superficies { } { } S : = ( x, y, z) : h( x, y, z) = 0. DEFINICIÓN. Sea f :( x, y, z) U f( x, y, z) una función y sea C: = S1 S U una curva intersección de dos superficies de ecuaciones implícitas gxyz (,, ) = 0 y hxyz (,, ) = 0, respectivamente. Se dice que f alcanza en ( x0, y0, z C un máximo relativo sujeto (condicionado) a las restricciones gxyz (,, ) = 0 y hxyz (,, ) = 0, si existe una bola B centrada en ( x0, y0, z tal que f ( x, y, z ) f( x, y, z) para todo ( x, yz, ) B C (( x, yz, ) B y gxyz (,, ) = hxyz (,, ) =. Se 0 dice que f alcanza en ( x0, y0, z C un mínimo relativo sujeto (condicionado) a las restricciones gxyz (,, ) = 0 y hxyz (,, ) = 0, si existe una bola B centrada en ( x0, y0, z tal que f ( x, y, z ) f( x, y, z) para todo ( x, yz, ) B C (( x, yz, ) B y gxyz (,, ) = hxyz (,, ) =. En 0 ambos casos decimos que f alcanza en ( x0, y0, z C un extremo relativo sujeto (condicionado) a las restricciones gxyz (,, ) = 0 y hxyz (,, ) = 0. En este contexto se verifica el siguiente resultado. 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO TEOREMA (DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE). En las condiciones anteriores, supongamos que f alcanza un extremo relativo en el punto ( x0, y0, z sujeto a las restricciones gxyz (,, ) = 0 y hxyz (,, ) = 0 y que las funciones f, g y h tienen derivadas parciales continuas en una bola B centrada en ( x0, y0, z. Si Dg( x0, y0, z y Dh( x0, y0, z son linealmente independientes entonces existen dos números λ, μ (llamados multiplicadores de Lagrange) tales que es decir Df( x, y, z ) = λ Dg( x, y, z ) + μ Dh( x, y, z ), 0 fx( x0, y0, z = λgx( x0, y0, z + μhx( x0, y0, z, f y( x0, y0, z = λgy( x0, y0, z + μhy( x0, y0, z, fz( x0, y0, z = λgz( x0, y0, z + μhz( x0, y0, z. DEM. La demostración es análoga a la del teorema de los multiplicadores de Lagrange para una curva en el plano. En este caso usaremos el teorema de la función implícita con tres incógnitas y dos ecuaciones. Puesto que los vectores Dg( x0, y0, z y Dh( x0, y0, z son linealmente independientes, gx( x0, y0, z gy( x0, y0, z gz( x0, y0, z la matriz hx( x0, y0, z hy( x0, y0, z hz( x0, y0, z tiene rango dos. De esta forma hay dos columnas que son linealmente independientes. Supongamos que son las dos últimas (de forma análoga se hace en las otras dos posibilidades). Por el teorema de la función implícita, existen un intervalo I centrado en el punto x 0 y dos únicas funciones escalares y y z derivables con derivadas continuas en I tales que y( x = y0, zx ( = z0 y ( x, yx ( ), zx ( )) es una solución del sistema de gxyz (,, ) = 0, ecuaciones para cada x I. Es decir, la curva C, alrededor del punto ( x0, y0, z, se hxyz (,, ) = 0, parametriza mediante la aplicación Cx ( ) = ( xyx, ( ), zx ( )), con x I. Además, derivando en el sistema de ecuaciones anterior obtenemos que gx( x0, y0, z + gy( x0, y0, z y ( x + gz( x0, y0, z z ( x = 0, hx( x0, y0, z + hy( x0, y0, z y ( x + hz( x0, y0, z z ( x = 0. Es decir, el vector C ( x ) ( 1, y ( x ), z ( x )) 0 = es normal al plano generado por Dg( x0, y0, z y Dh( x0, y0, z. Por otro lado, la función ϕ ( x) : = f( x, y( x), z( x)) tiene un extremo relativo en el punto x 0. De esta forma, ϕ ( x0 ) = 0. Si aplicamos la regla de la cadena obtenemos que ϕ ( x) = f( xyx, ( ), zx ( )) + f( xyx, ( ), zx ( )) y ( x) + f( xyx, ( ), zx ( )) z ( x) = Df( xyx, ( ), zx ( )) C ( x). x y z En particular, obtenemos que Df ( x0, y0, z C ( x = 0 y Df ( x0, y0, z es ortogonal a C ( x0 ). De esta forma comprobamos que el vector Df ( x0, y0, z pertenece al plano generado por los vectores Dg( x0, y0, z y Dh( x0, y0, z. Por consiguiente, existen dos escalares λ y μ tales que Df( x, y, z ) = λdg( x, y, z ) + μdh( x, y, z ). 0 6

7 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO EJEMPLO. Vamos a calcular la distancia de un punto arbitrario, pero fijo, digamos P= ( x0, y0, z a y =, la recta r usando el teorema de los multiplicadores de Lagrange. Para ello planteamos x + z = el problema como un problema de mínima distancia. Dado un punto genérico ( xyz,, ), su dis- tancia a P= ( x0, y0, z viene dada por la expresión ( x x + ( y y + ( z z. Dicha distancia es máxima o mínima cuando su cuadrado lo sea. Por tanto, nuestra función objetivo es f ( xyz,, ) = ( x x) + ( y y) + ( z z). 0 Calcularemos, a continuación, el mínimo de la función f ( xyz,, ) sujeto a las restricciones gxyz (,, ) = y = 0, que son las ecuaciones de la recta. Por el teorema de los multiplicadores hxyz (,, ) = x+ z = 0, de Lagrange, si ( x, yz, ) es el punto donde se alcanza dicho mínimo, deben existir dos números λ y μ tales que Df ( x, y, z) = λ Dg( x, y, z) + μ Dh( x, y, z). En este caso, estas ecuaciones quedan como ( y y = λ, De la primera y tercera ecuación deducimos que x z = x 0 ( x x0 ) = μ, z. 0 Esto, junto con ( z z = μ. el hecho de que hxyz (,, ) = x+ z = 0, implica que x = 1+ y z = 1 +. Por otro lado, la restricción gxyz (,, ) = y = 0 fuerza a que y =. Es decir, el punto de la recta donde la distancia es mínima es 1 +,,1 +. En particular, dicha distancia es x0 z0 z0 x0 x z z x x0 ( y z0 ( y x z z x x z = 1 +. x + + = 1 a la re- y z Ahora vamos a calcular los puntos más cercano y más lejano del elipsoide y =, cta r Una vez que tenemos la expresión de la distancia de un punto arbitrario P a la x + z =. recta r tenemos que calcular cuándo esta función alcanza un mínimo o máximo suponiendo que el y z punto P= ( x, y, z) pertenece al elipsoide de ecuación x + + = 1. De nuevo podemos considerar como función objetivo el cuadrado de la distancia. Es decir, queremos buscar el mínimo y el máximo de la función f ( xyz,, ) = 1 + ( y) x+ z sujeto a la restricción definida por la fun- y z = + + = Por el teorema de los multiplicadores de Lagrange, los puntos ción (,, ): x 1 0. gxyz 7

8 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO fx( xyz,, ) = λgx( xyz,, ), donde dichos mínimos y máximos se alcancen deben verificar que f y( xyz,, ) = λgy( xyz,, ), para fz( xyz,, ) = λgz( xyz,, ) + x + z = λ x, un cierto número real λ. En nuestro caso tenemos que ( y) = λ y, Si λ = 0, entonces + x + z = λ Z. y z z y = y x+ z =. Sustituyendo en x + + = 1 obtenemos que ( z) + + = 1. Puesto que el término de la izquierda es mayor que, ésta ecuación no tiene solución. Por consiguiente, 1 λ 0. De la primera y tercera ecuación deducimos que λx = λ z. Por tanto, x = z. Despejando ahora λ en la primera y segunda ecuación se obtiene que 4 x = y. Por tanto, x + 8x + x = 1. Es decir, x =±. De esta forma, obtenemos las dos soluciones: una es 1,, 6 P = 6 y la otra es P =,,. 6 Evaluamos ahora la función f ( xyz,, ) en estos puntos y obtenemos por una parte f( P 1) = 8 4 y, por otra, f( P ) = Por tanto, la distancia mínima se alcanza en el punto P 1 y dicha distancia vale 8 4 y la distancia máxima se alcanza en el punto P y vale EJERCICIO 1. Considera la función f x y x y x y (, ) = + +. (1) Calcula y clasifica los puntos críticos de la función f. () Halla los posibles extremos relativos de la función f sujetos a la restricción 4x + y = 4. () Determina el máximo y el mínimo absolutos (y los puntos donde se alcanzan) de la función f ( xy, ) :4x + y 4. en el conjunto { } x y EJERCICIO. Considera la función f xy = e ( x + y) (, ). (1) Calcula y clasifica los puntos críticos de la función f. () Halla los posibles extremos relativos de la función f sujetos a la restricción () Enuncia el teorema de Weierstrass para funciones de dos variables. x + y = 1. (4) Determina el máximo y el mínimo absolutos (y los puntos donde se alcanzan) de la función f en el círculo x + y 1. 8

9 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO EJERCICIO. Usando el teorema de los multiplicadores de Lagrange, encuentra el máximo de la / 1/ función f ( xy, ) = x y en el segmento que une los puntos (1, y (0,1). EJERCICIO 4. Encuentra el punto más cercano al origen de coordenadas de la curva xy = 1, siendo x > 0 e y > 0. EJERCICIO 5. Calcula las dimensiones del rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio R. Calcula también las dimensiones del rectángulo de mayor área inscrito en la elipse de semiejes a > 0 y b > 0, cuyos lados son paralelos a los ejes de la elipse. EJERCICIO 6. Calcula las dimensiones de los paralelepípedos de mayor área y de mayor volumen inscritos en una esfera de radio R. EJERCICIO 7. Estrategia para dibujar el mapa del escondite donde el pirata Morgan tiene guardado el supuesto tesoro de la isla del tesoro. La figura representa el contorno de la isla en la que el pirata Morgan escondió el tesoro. N Fijado un sistema de coordenadas cartesianas en el que las abscisas representan la longitud y las ordenadas la latitud (como es habitual en los mapas), el contorno de la isla es la curva de ecuación implícita x 4x+ 4y + y =. Para encontrar el tesoro debes ejecutar los siguientes 4 4 pasos: (1) Halla las coordenadas del punto N más septentrional de la isla. () Comprueba que en dicho punto la curva define la latitud y como función de la longitud x y obtener el polinomio de Taylor de orden de dicha función definida implícitamente. () Se sabe que el tesoro está en el punto T de la isla en el que la gráfica de dicho polinomio corta el eje de abscisas. Calcula las coordenadas del punto T. (4) Dibuja la localización aproximada de los ejes coordenados, los puntos N y T y la gráfica del polinomio de Taylor mencionado. 9

10 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO EJERCICIO 8. Calcula las dimensiones de la pirámide recta de base cuadrada y máximo volumen que puede construirse con un alambre de longitud L. EJERCICIO 9. Encuentra el punto más cercano al origen de coordenadas de la superficie xyz = 1, siendo x > 0, y > 0 y z > 0. EJERCICIO 10. Calcula el máximo y el mínimo absolutos de la función f ( xyz,, ) = x + y + z + x+ y+ z sobre el conjunto U = { x y z x + y + z y+ z = } : (,, ) : 1, 1. EJERCICIO 11. Sea f ( xyz,, ) = x + 4 xy+ z. Calcula los extremos absolutos de f en el sólido cilíndrico U = { x y z x + y z } : (,, ) : 1,. EJERCICIO 1. Calcula las coordenadas del punto más alto de la curva x + y + z = 6, x+ y z =. EJERCICIO 1. Calcula las coordenadas del punto de la elipse de coordenadas. x + z = x + y = 1,, más próximo al origen EJERCICIO 14. Sea S la superficie dada en por la ecuación implícita 4 z zx zy y xy x y = 0. (1) Prueba que en un entorno del punto P = (1,1, puede obtenerse la coordenada z de los puntos de S como una función explícita z = z( x, y) de las otras dos coordenadas. () Calcula el polinomio de Taylor de grado de z en el punto (1,1). () Prueba que (1,1) es un punto crítico de z y clasifícalo. (4) Sea C la intersección de la superficie S con el plano OXY. Sea gxy (, ) = xy ( 1). Queremos hallar los extremos relativos de g sujetos a la restricción C. Cuáles son los puntos candidatos a extremos relativos que proporciona el teorema de los multiplicadores de Lagrange para este caso? (5) Halla los extremos absolutos de g sujetos a la restricción C. EJERCICIO 16. Sea la ecuación F x y z z x z y z xy (,, ) = = 0. (1) Prueba que en un entorno del punto P = (0,0,) puede definirse la variable z como función z = z( x, y) de las otras dos variables x e y. () Prueba que (0, es un punto crítico de zxy (, ) y clasifícalo. () Sea C la curva intersección de la superficie de ecuación F( x, y, z ) = 0 con el plano de ecuación z = 1 y sea f ( xy, ) = x + y. Halla los extremos relativos de f sujetos a la restricción C. 10

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