UNA INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DE SERIES TEMPORALES NO LINEALES

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1 UNA INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DE SERIES TEMPORALES NO LINEALES Juan Gabrel Rodríguez Hernández* Mayo 00 *Unversdad Rey Juan Carlos. Campus de Vcálvaro, 803 Madrd. Ese rabajo se a benefcado de los comenaros de Plar Grau Carles. Por supueso, cualquer error es solo responsabldad del auor.

2 Resumen En el presene rabajo se nroduce al lecor en los modelos de seres emporales no lneales. Por un lado, se esudan los modelos auorregresvos para la varanza condconada eerocedásca, prncpalmene los modelos ARCH y GARCH. Por oro lado, se analza el caso en el que la no lnealdad se encuenra en las varables del modelo. Aparecen así, el modelo blneal, el modelo umbral, el modelo exponencal auorregresvo y una clase de modelos que ncluye cómo casos parculares a los anerores, el modelo de esado de dependenca. Palabras clave: seres emporales no lneales, modelos ARCH, modelos no lneales en varables.

3 ÍNDICE I. Inroduccón II. Modelo unvarane ARCH.. Inroduccón.. Modelos... Rudo blanco... Modelo de regresón.3. Esmacón.3.. Esmacón del modelo ARCH unvarane.3.. Esmacón del modelo ARCH de regresón.4. Idenfcacón y conrase de la esrucura ARCH III. GARCH: modelo arc generalzado 3.. Modelo 3.. Esmacón 3.. Idenfcacón y conrase del modelo GARCH IV. Exensones V. No lnealdad en varables: nroduccón VI. Modelos blneales 6.. Modelo 6.. La deeccón de la no-lnealdad 6.3. Efeco de la agregacón emporal y la longud de la sere 6.4. Esmacón VII. Modelos umbral 7.. Modelo TAR 7.. Esmacón VIII. Modelo exponencal auorregresvo 8.. Modelo 8.. Esmacón IX. Un modelo general 3

4 . INTRODUCCIÓN La eerocedascdad se a asocado, en general, a daos de seccón cruzada, menras que las seres emporales se an vendo esudando denro del conexo de procesos omocedáscos. Sn embargo, el análss de daos macroeconómcos por pare de algunos auores, Engle (98), Engle (983), a evdencado que las varanzas de las perurbacones son menos esables de lo pensado asa ese momeno. Así, los resulados de Engle en modelos de nflacón encuenran que los errores de predccón aparecen agrupados en nervalos, ello sugere algún po de eerocedascdad bajo la cual la varanza del érmno de error cambaría suavemene en el empo, y por ano, podría predecrse a parr de los resduos prevos. La lógca de odo ello se encuenra en que ulzar la fórmula de predccón como esperanza condconal resula ópmo s se quere mnmzar el error cuadráco medo (ECM) de la prevsón resulane. Sn embargo, no se ulza la varanza condconal de la varable dependene y para raar de mejorar esas prevsones y ésa puede ser una nformacón relevane. S se esá ane modelos en los que la varanza condconal no es consane, sno que depende del conjuno de nformacón dsponble en cada nsane, gnorar ese eco conducrá a esmadores nefcenes, y por ello, los nervalos de confanza de la prevsón serán más amplos. Exsen, además, eorías que requeren la modelzacón y esmacón numérca de varables que represenan la volaldad de y (generalmene de su componene no predecble), que puede asocarse al concepo esadísco de varanza condconal. Así, en fnanzas, las careras de acvos de nversón se escogen a parr de la meda y la varanza esperadas de las asas de rendmeno, de forma que los cambos en la composcón de la carera deben explcarse por esos facores. En ese conexo, s se especfca un modelo economérco radconal para el rendmeno medo esperado, su varanza queda resrngda a una consane y no es, por ano, conssene con el supueso eórco de parda. Ignorar la presenca de eerocedascdad condconal conduce, en el mejor de los casos, a una pérdda de efcenca en la esmacón de los parámeros del modelo. S en el modelo aparecen reardos de la varable endógena como varables explcavas, ocurre además que las esmacones de los errores esándar de los parámeros esmados no son conssenes. En ese rabajo, además de los modelos de seres emporales con varanza eerocedásca, se esudarán aquellos que son no lneales en las varables explcavas especfcadas. Surgrán, de esa manera, el modelo blneal, el modelo umbral y el modelo exponencal auorregresvo, así cómo, una clase de modelos más general que recbe el nombre de modelos de esado de dependenca. No se esudarán, sn embargo, los modelos caócos de seres emporales al quedar fuera del propóso de ese rabajo. El neresado en ese po de modelos puede enconrar un exenso desarrollo eórco, así como, una aplcacón al mercado de capales español en Grau (996). 4

5 . MODELO UNIVARIANTE ARCH.. INTRODUCCIÓN Consderemos el modelo unvarane AR(), y φy - +, donde es un proceso de rudo blanco con var( ) σ. La esperanza y varanza ncondconales de y son respecvamene, 0 y σ /(- φ ). Menras que los momenos condconales de y dado el conjuno de nformacón de que se dspone en el nsane - (Ψ - {y -, y -,...}) son E(y Ψ - ) φy - y var(y Ψ - ) σ. Se observa, por ano, que las varanzas condconal e ncondconal son consanes en el empo. Eso ambén se cumple para modelos ARMA más generales y modelos de regresón de y sobre un conjuno de varables explcavas deermnsas x. Cuando la varanza condconal es consane, como en los casos anerores ulzar la esperanza condconal como prevsón resula ópmo s se quere mnmzar el error cuadráco medo. Sn embargo, cuando dca varanza condconal no es consane (depende de la nformacón dsponble en cada nsane) ésa es una nformacón relevane que puede mejorar las prevsones. Ignorar ese eco conducría a esmadores nefcenes por lo que se ace necesaro desarrollar modelos en los que la varanza condconal del proceso cambe en el empo. Un posble camno son los modelos ARCH (eerocedascdad condconal auorregresva)... MODELOS... Rudo blanco El caso más sencllo sería consderar un proceso de rudo blanco. Los momenos condconales de, dado el conjuno de nformacón de que se dspone en el nsane - (Ψ - { -, -,...}), son: E( Ψ - ) E - 0 var( Ψ - ) E - donde es una funcón conenda en el conjuno de nformacón dsponble en -. Por ano: E EE - 0 var( ) E EE - E S aora se supone, por ejemplo, que: 5

6 δ 0 + δ - con δ 0 >0, δ 0 obenemos enonces el llamado modelo ARCH de orden. Las condcones mpuesas sobre los parámeros δ permen asegurar que la varanza condconal es posva. S se supone además normaldad el modelo ARCH() puede escrbrse como: En érmnos más generales, Ψ - N(0, ) () δ 0 + δ -, δ 0 >0, δ 0 () δ 0 + δ δ p -p, δ 0 >0, δ 0,..., p (3) deermna un modelo ARCH(p). Pueso que ene que ser posva los parámeros δ serán no negavos. Una esmacón de δ negava, aún pudendo ser compable con una varanza posva a lo largo de odo el nervalo muesral ulzado, debe generar sospecas de mala especfcacón de la eerocedascdad condconal, ben en relacón al número de reardos de ncludos, o ben a que la represenacón de dca eerocedascdad requera un modelo más general. Tomando esperanzas en () se ene que el proceso ARCH() debe sasfacer además la condcón δ < para obener la esaconaredad en varanza del modelo y evar que sea explosvo. es: Es sencllo ver que, bajo el supueso de esaconaredad, la varanza ncondconal var( ) E δ 0 ( δ )... Modelo de regresón Una generalzacón del modelo ARCH unvarane es el modelo ARCH de regresón. Aora es el érmno de error de un modelo de regresón el que adopa una esrucura ARCH. es: S se consdera ψ - { x, x -,..., y -, y -,... }, el modelo ARCH de regresón y Ψ - N(x ß, ) Un proceso ARCH de orden p es esaconaro en covaranza, s y solo s, las raíces de la ecuacón caracerísca de caen fuera del círculo undad (la demosracón se encuenra en Engle 98). 6

7 ( -,..., -p, δ) y - x ß Pasamos a connuacón a esudar la esmacón de los modelos anerores..3. ESTIMACIÓN.3.. Esmacón del modelo ARCH unvarane Los parámeros de un modelo ARCH se an llegado a esmar por el méodo de Máxma Verosmlud (Engle, 98) que es asnócamene superor a los mínmos cuadrados ordnaros, por el Méodo Generalzado de los Momenos (Mark, 988), o por nferenca bayesana (Geweke, 989). Nuesro análss se cenrará en el méodo de Máxma Verosmlud (MV) y para ello se expondrá el algormo de opmzacón numérca propueso en Novales y Graca-Díez (993). Sea el proceso descro en las ecuacones () y (3). Cada observacón ene una dsrbucón condconal normal ndependene de las demás, luego el logarmo de la funcón de verosmlud condconal es la suma del logarmo de la verosmlud de cada una de las T observacones muesrales: L T l T T (ln + ) T (4) El logarmo neperano de la conrbucón del período a la funcón de verosmlud es l y sus dervadas prmera y segunda respeco a δ son: l δ ( ) δ l δδ 4 + ( ) δ δ δ δ el gradene aneror es un vecor (p + ) y la marz essana es smérca de orden (p+) (p+). La esrucura ARCH nroduce dependenca enre las dsrbucones de probabldad de correspondenes a perodos sucesvos de empo, por lo que ene sendo defnr la marz de nformacón como la esperanza condconal del essano de la funcón de 7

8 verosmlud, cambada de sgno. Además, como E - ( / ) la marz de nformacón acaba sendo: l δδ l δδ δ δ E ( ) 4 Aora consderemos que es una funcón lneal como en (3): (5) δ 0 + δ δ p -p z δ donde z (, -,..., -p) y δ (δ 0, δ,...,δ p ). Por ano, /δ z y, L δ l δ menras que (5) quedaría como sgue z z lδδ 4 z ( ) Expresones que se ulzan en un algormo eravo po scorng para obener el esmador MV de los parámeros del modelo. Ese algormo es: ˆ l δ + ( l ˆ ˆ δδ δ )( ) δ ˆ + δ δ De ese modo, el algormo de esmacón fnalmene es: donde : ~ ~ ~ δ + δ + (Z Z) - Z W ~ Z (, -,..., -p)/ ~ ~ ~ ~ Z (z, z,..., z T ) es (p+) T w ( / ) - W (w, w,..., w T ) es T por lo que la varacón a nroducr en la esmacón del vecor δ en cada eapa del proceso eravo vene dada por los coefcenes MCO en una regresón de la varable w sobre el 8

9 ~ vecor Z para p+,..., T, donde es conocdo en el perodo muesral y el valor numérco de en cada eracón se obene con los parámeros esmados en la eracón preva. La marz de covaranzas del esmador MV del vecor δ se esma conssenemene a parr de la nversa de la marz de nformacón. Como crero de convergenca se ulza generalmene el esadísco G: L L G ( )( ) δ δδ L ( ) δ que se dsrbuye como una c-cuadrado de grados de lberad. Ese esadísco concde con el R de la úlma regresón efecuada en el aneror algormo. S el esadísco oma un valor superor al de las ablas, se nerprea que el cambo en la esmacón es grande, y se connua erando. En caso conraro, se deene el proceso y se conserva el úlmo valor obendo. El proceso aneror supone esmar p+ parámeros. Para lmar la dmensonaldad del vecor de parámeros, aunque manenendo p reardos en la esrucura ARCH, Engle (983) a propueso la paramerzacón sguene: δ 0 + δ Σ ω - p (6) donde los ω son érmnos que ponderan la mporanca que las observacones recenes enen en la deermnacón de la varanza y normalmene suman. Aora /δ (, S ), donde S Σ ω -, con lo que el algormo funconaría como el de un ARCH() Esmacón del modelo ARCH de regresón S no aparecen reardos de la varable endógena como varables explcavas del modelo de regresón, la esperanza de y condconal en x es x ß para odo y la marz de varanzas y covaranzas del vecor y es σ I T, por lo que el esmador MCO es nsesgado y conssene, aunque no alcanza la coa de Cramer-Rao. El esmador de máxma verosímlud (MV), que es no lneal, es asnócamene más efcene. S el vecor x ncluye reardos de y, los esmadores MCO segurán sendo conssenes, aunque sus errores esándar, no lo serán, ya que las perurbacones al cuadrado esán correlaconadas con el cuadrado de las varables reardadas del modelo. De nuevo, en ese caso será más 3 No obsane, la condcón de esaconaredad debe comprobarse a parr de las raíces del polnomo: - δ ω B+...+ δ ω p B p 0 y no en la raíz de -δ B 0. 9

10 0 efcene el esmador MV que además proporcona esmacones conssenes de los errores esándar. El logarmo de la funcón de verosmlud condconal del modelo de regresón vene dado por la expresón en (4), sendo, en ese caso, no observable. Aora se necesará la expresón analíca del vecor gradene y la marz essana. Para la esraega de esmacón será de uldad saber que la esmacón de δ y ß por separado es asnócamene efcene (Engle, 98). Se obenen enonces por separado las dervadas con respeco a ß y δ ulzando, en prmer lugar la paramerzacón más general que fgura en (3). Las dervadas de cada érmno del logarmo con respeco a ß son: (7) Tenendo en cuena que - /ß - x - - enonces /ß - Σ δ x - - por lo que (7) quedaría: agrupando érmnos Dervando de nuevo, se ene Tomando esperanzas condconales en Ψ - la marz de nformacón correspondene al vecor ß es : (8) enendo en consderacón que ) ( x x l p x x l ) ( δ x l ) ( 4 δ ) ( x x x L + x x E L E l 4 ) (

11 ya que la esperanza condconal de los producos cruzados - -j es cero cuando j, la marz l ßß puede escrbrse: o lo que es lo msmo ( ) 4 Por ora pare, las dervadas con respeco al vecor δ se obenen del msmo modo que en el modelo ARCH(p) unvarane. La esmacón consaría de las sguenes eapas: ) Esmar ß por MCO en el modelo de regresón y x ß + y obener los resduos. ) Ulzar para esmar el vecor δ por un algormo eravo (MV). 3) Alcanzada la convergenca en la eapa aneror, ulzar δ para esmar el vecor ß por un algormo eravo. 4) Volver a erar en δ y ß s se desea. E 4 l x x ( + 4 En cada eapa del proceso Novales y Graca-Díez (993) sugeren ulzar el algormo de scorng. El algormo eravo del vecor δ en la eapa del proceso de esmacón, es el msmo que se emplea en la esmacón de un proceso unvarane ARCH(p) donde, aora, no es observable y se esma a parr de los resduos MCO del modelo de regresón. De la msma forma, la marz de covaranzas de los esmadores MV se esma conssenemene por *(Z Z) -. Las neracones sobre el vecor ß en la eapa 3 del proceso, pueden acerse medane el algormo: ^ ^ + + (X X) - X e donde se an efecuado las sguenes ransformacones en las varables: δ δ x x δ l x x ( + ) 4 x x )

12 ~ δ x x ( + / ) 4 X ( x, x,..., x T ) es k T e δ ( ( ( δ / ) 4 ) ) e (e, e,..., e T ) es T para consrur esas varables ransformadas, se ulzan los resduos MCO del modelo de regresón y la esmacón del vecor δ obenda en la eapa. En cada eapa, puede ulzarse como crero de convergenca el esadísco G ya defndo. La formulacón del algormo de esmacón en érmnos de la paramerzacón resrngda (6), ya menconada, sgue la msma dea del procedmeno expueso para la especfcacón más general..4. IDENTIFICACIÓN Y CONTRASTE DE UN MODELO ARCH La exsenca de un proceso ARCH() ncremena los errores esándar de las esmacones de las auocorrelacones muesrales. En parcular, los errores esándar asnócos son + δ T mayores que el error esándar de un proceso omocedásco (T -/ ) (Wess, 984). Por ano, las erramenas radconales, la funcon de auocorrelacón (FAC) y de auocorrelacón parcal (FACP) de, no srven para conocer la presenca y orden de un modelo ARCH, pueso que al ncremenarse los errores esándar las bandas ulzadas no son las correcas. Es por ello que se an propueso oros conrases alernavos. Para llevar a cabo los conrases de esrucura ARCH es radconal emplear el conrase de los mulplcadores de Lagrange (LM). En general, dado un modelo de regresón y x ß +, N(0, σ Ψ(θ) ) en el que se desean conrasar m resrccones lneales: H 0 : g(γ ) 0 H : g(γ) 0

13 donde γ (ß, θ, σ ) y g es una funcón vecoral de dmensón m, el conrase LM consse en deermnar s el gradene del logarmo de la funcón de verosmlud del modelo, calculado para el modelo más general y evaluado bajo H 0, es próxmo a cero. Engle (984) demuesra que el esadísco a ulzar es: (L/γ 0 )( Y(γ 0 )) - (L/γ 0 ) χ m Para el caso parcular del conrase de exsenca de esrucura ARCH, la póess nula es: y la alernava H 0 : 0 H : (z, δ) El vecor de dervadas prmeras respeco a δ bajo H 0 es: L ( ) 0 z ( ) Z W δ donde W 0 es el vecor W evaluado bajo H 0. La marz de nformacón bajo H 0 es: l z δδ 0 ( ) z El correspondene esadísco se puede esmar conssenemene como: /W 0 Z(Z Z) - Z W 0 χ p Un esadísco asnócamene equvalene vendría dado por: TR χ p donde R es el coefcene de deermnacón de la regresón de W 0 sobre Z. Pero R es ambén el coefcene de deermnacón de la regresón de sobre una consane y p reardos suyos, odos ellos obendos bajo la póess nula. Para llevar a cabo esa regresón se ulzan los resduos MCO del modelo, por lo que el conrase de exsenca de esrucura ARCH puede realzarse sn necesdad de esmar bajo la póess alernava. Es mporane resalar que ese conrase es váldo con ndependenca de la forma funconal de, sempre que dependa de δ an sólo a ravés del produco z δ. Como puede aprecarse, el conrase es condconal en un orden p del modelo ARCH especfcado en la póess alernava H, por lo que debe realzarse para varos valores de dco parámero. Por oro lado, para conrasar un modelo ARCH de un deermnado orden frene a una esrucura ARCH de orden nferor, por ejemplo, para conrasar la póess nula 0 0 3

14 H 0 : δ 0 en el modelo δ 0 + δ - + δ -, se compara el produco TR 0 con una varable χ, donde R 0 provene de la regresón de un vecor (T ) de unos sobre el vecor gradene de la funcón de verosmlud. En efeco, s se denoa por g 0 la marz de observacones del vecor gradene calculada para el modelo más general, pero evaluada bajo la póess nula, el esadísco a ulzar sería: g 0 (g 0 g 0 ) - g 0 T R 0 Hasa aquí se a vso el modelo más sencllo, el ARCH (p). Pasamos a connuacón a esudar modelos que amplían el análss aneror, prncpalmene, el GARCH (p, q). 3. GARCH: MODELO ARCH GENERALIZADO 3.. MODELO El modelo GARCH (Bollerslev, 986) especfca que, en cada perodo, la varanza condconal de,, depende de los úlmos resduos, pero ambén de sus propos valores prevos. Es decr, q p δ 0 + Σ δ - + Σ θ j δ 0 + δ(b) + θ(b) j donde p> 0, q >0, δ 0 >0, δ 0,..., q ; θ j 0 j,..., p. S odas las raíces del polnomo - θ(b) esán fuera del círculo undad, se ene: (9) δ 0 ( - θ(b)) - + δ(b)( - θ(b)) - Por ano, el proceso puede escrbrse como un ARCH ( ). El modelo GARCH, como demuesra Bollerslev con un ejemplo, ene como prncpal vrud que con un menor número de parámeros, se compora gual o mejor que el modelo ARCH. 3.. ESTIMACIÓN De manera general vamos a esudar la esmacón de máxma verosmlud del modelo GARCH (p, q) de regresón. Ese modelo se obene s en (9) es la perurbacón de la regresón y x ß +. S se denoa por: 4

15 5 φ (δ 0, δ,..., δ q, θ,..., θ p ) Γ (, φ ) se ene que el logarmo de la funcón de verosmlud del modelo vene dado en (4) y que sus dervadas prmeras y segundas con respeco a φ son: donde (0) La esperanza condconal del segundo érmno de la segunda dervada es cero, por lo que la submarz de la marz de nformacón correspondene al vecor φ puede esmarse conssenemene a parr del prmer érmno de la msma expresón, susuyendo / por su valor esperado de. Por ora pare, las expresones para el gradene y la marz de nformacón correspondene al vecor son las msmas que las desarrolladas para el modelo ARCH de regresón, que fguran en las ecuacones (7) y (8), respecvamene. En ambas expresones ay que ener en cuena que s la esrucura de es GARCH (p,q): () Al gual que en el modelo ARCH de regresón, el bloque fuera de la dagonal en la marz de nformacón resula ser cero, por lo que φ puede esmarse separadamene de ß sn perder efcenca asnóca. La presenca de érmnos recursvos en (0) y () ace que no se pueda represenar el algormo de scorng como una regresón. Por ello, es aconsejable ulzar el algormo de Bernd, Hall, Hall y Hausman (974), que para un vecor genérco θ puede escrbrse: donde λ es una varable de longud de paso que posbla una rápda convergenca. En ese algormo, la dreccón de salo puede obenerse a parr de una regresón de un vecor L ) ( φ φ φ φ φ φ φ φ + 4 ) ( ) ( L + p z φ θ φ + q p x θ δ θ θ θ λ θ θ + + L L L ) ( ˆ ˆ

16 de unos sobre la marz muesral L /Γ. Además, dado que depende de sus valores pasados, en cada eracón las dervadas deben evaluarse recursvamene a parr de p condcones ncales IDENTIFICACIÓN Y CONTRASTE DEL MODELO GARCH La denfcacón del modelo GARCH ene los msmos problemas asocados al modelo ARCH. El conrase de un modelo GARCH vendrá deermnado por un esadísco defndo a ravés de los mulplcadores de Lagrange. Descomponemos la varanza condconal del sguene modo: z φ + z φ donde z (, q ) z ( -,..., -p ) φ (δ 0, δ,...,δ q ) φ (θ, θ,...,θ p ) y se quere conrasar la póess nula: φ 0 (un proceso ARCH frene a un GARCH), el esadísco de los mulplcadores de Lagrange correspondene es de nuevo: ξ LM (/)W 0 Z 0 (Z 0 Z 0 ) - Z 0 W 0 sendo (( T W ),...,( 0 T )) Z,..., T ) φ φ T 0 ( donde Z 0 es una marz T s (sendo s el número de varables en ) evaluada bajo H 0. El esadísco ξ LM se dsrbuye χ r donde r es el número de parámeros en φ. Ese esadísco concde asnócamene con el produco TR, donde R es el coefcene de la regresón MCO en la prmera eracón del procedmeno de Bernd e al. (974) a parr de la esmacón obenda bajo H 0. 6

17 4. EXTENSIONES A ESTOS MODELOS El modelo ARCH-M (Engle, Llen y Robns, 987) ncorpora el supueso adconal de que la varanza condconal del érmno de error nfluye en cada perodo sobre el nvel de la varable que se preende explcar. Tal supueso es muy apropado cuando se consdera que la renabldad depende del resgo, meddo por la varanza condconada. Consderamos, por ano, el modelo ARCH-M: y g(x -, ; ) + Ω - ~ N(0, ) donde g( ) suele ser una funcón lneal o logarímca. Cuando los parámeros son cambanes enemos el modelo TVP-ARCH-M (Cou, Engle y Kane, 99). En la prácca, no es nfrecuene que los parámeros esmados se encuenren en zonas próxmas a la no esaconaredad, dando lugar a los modelos ARCH negrados (IARCH) o a los modelos GARCH negrados (IGARCH). Las nnovacones de ese po de procesos enen nfluenca permanene, de modo smlar a lo que ocurre con los modelos ARIMA. El desarrollo de conrases de raíces unaras para la varanza de Lumsdane (99) sugere que ransformacones smples de los procedmenos cláscos de conrase (Dckey-Fuller) pueden ser de uldad, s ben las evdencas de Mone Carlo (Hong, 988) sugeren que los amaños muesrales deben ser grandes. Una lmacón de los modelos ARCH y GARCH es que la varanza depende sólo de la magnud de pero no de su sgno. Trabajos anerores sugeren que la volaldad ende a subr s los rendmenos son menores de lo esperado y a bajar s los rendmenos son mayores de lo esperado, probablemene debdo a la presenca de efecos de apalancameno (frecuene en los mercados de accones) que ocasonan que el resgo prevso varíe de forma dferene según el sgno de la nnovacón. Para raar de superar esos nconvenenes, Nelson (990) propone el modelo GARCH Exponencal (EGARCH). Esa formulacón ene la venaja de garanzar sempre que la varanza es posva, no mpone resrccones en los parámeros y perme efecos asmércos y no lneales de las nnovacones sobre la varanza de la sere (lneales sobre el logarmo). Por ora pare, Tsay (987) propone una clase de modelos eerocedáscos más generales, que nclurían a los ya cados ARCH y a unos modelos llamados RCA (modelo auorregresvo de coefcenes aleaoros), menras que los prmeros acen uso de las perurbacones pasadas, los modelos RCA ulzan las observacones pasadas. Esa clase de modelos más generales se denomna proceso ARMA con eerocedascdad condconal (CHARMA), de forma que cada modelo de ese po vendría dado por un proceso ARMA y una funcón de ransferenca con coefcenes aleaoros, la cual descrbría la varacón de la varanza condconal. 7

18 En numerosas ocasones el análss exge adopar una perspecva mulvarane. Los modelos vecorales o mulvaranes raan de explcar la varacón smulánea de las varanzas eerocedáscas de dferenes varables. Aparecen así, el modelo Mulvarane ARCH (Kraf y Engle, 983), el modelo GARCH Mulvarane (Bollerslev, Engle y Wooldrdge, 988) y los ARCH Facorales (Engle, 987), esos úlmos mponen resrccones que permen reducr el número de parámeros a esmar. Además, se an propueso oras modfcacones del modelo GARCH básco, enre las que cabría car el ARCH semparamérco (SPARCH) de Engle y González (99), el ARCH no lneal (NARCH) desarrollado por Bera y Hggns (990) que consdera para la varanza condconada una funcón smlar a la conocda funcón CES, el ARCH esrucural (STARCH) de Harvey, Ruíz y Senana (99) que se obene cuando los errores del modelo esrucural básco (Harvey, 989) enen una conduca eerocedásca. 5. NO LINEALIDAD EN VARIABLES Para un proceso lneal, la condcón ρ k 0, k 0, es necesara y sufcene para que el proceso sea rudo blanco. S el proceso no es lneal, dca condcón es solamene necesara. Lo cual quere decr que, en caso de que se dé, podemos esar ane un proceso que no es rudo blanco. En las aplcacones práccas, rara vez se conrasa la póess de lnealdad, y, por ano, la ausenca de correlacón se nerprea como ndependenca, lo cual puede llevarnos a obener predccones subópmas. Ejemplo: Supongamos que se a obendo un modelo para predecr x, que, expresado como meda móvl nfna, vene dado por: x a + Σ Ψ a - Donde acepamos que a es rudo blanco, porque su funcón de auocorrelacón (FAC) así lo ndca. La predccón de x un período por delane vendrá dada por: ^ x () Σ Ψ a -+ ya que a -j, j 0, es conocdo en el momeno, y, al consderar a rudo blanco, 8

19 E a + 0. () Supongamos que a no es propamene rudo blanco, sno que es el resulado de un proceso del po: a a donde ~Nd(0, σ ) y <. Veamos como es la FAC de a : E(a a - ) E(a a -3 - )( - ) + E(a -3 - )( ) + E(a - )( -) + E( - )( ) Eso es, E(a a - ) 0. Procedendo de ese modo se llega fnalmene a que ρ K (a ) 0, k 0, es decr, a presenará una FAC ípca de rudo blanco. Sn embargo, E a + a -, Con lo cual () es ncorreco. La predccón es ambén ncorreca, pues a + puede predecrse, por lo cual ene que modfcarse de la sguene manera: ^ ^ x () a () + Σ Ψ a -+ Pueso que la FAC de la sere no revelaría dca no-lnealdad, es precso dsponer de algún méodo de análss más general que perma deecar el error comedo al ulzar un modelo lneal. El mundo real es, en general, no lneal, la lnealdad juega un papel de aproxmacón de prmer orden. Para algunas seres, esa aproxmacón será sufcene, menras que, para oras, la no lnealdad jugará un papel más mporane. Una vez deecada, será precso dsponer de una clase de modelos que puedan recoger la no lnealdad de la sere. 6. MODELOS BILINEALES 6.. MODELO La nroduccón de procesos blneales en el análss de seres emporales en empo dscreo se debe a Granger y Andersen (978). 9

20 Un modelo blneal puede represenarse en general de la sguene manera: p q m k x Σ φ x - + Σ θ - + Σ Σ ß jx - -j + j (3) donde Nd(0, σ ). La esrucura blneal, obvamene, corresponde al doble sumaoro, de modo que, para ß j 0 para odo, j, se obene un modelo ARMA (p, q) convenconal. Esos auores an analzado las propedades de algunas formas blneales sencllas caracerzadas como: x δ x - -j +. S >j el modelo recbe el nombre de superdagonal, s j dagonal, y s <j, se llamará subdagonal. En el prmer caso, s se defne λ δσ, enonces x ene meda cero y varanza σ / (- λ ), por lo que λ < será la condcón necesara para que exsa esabldad. El proceso de denfcacón deermnará que x es rudo blanco, aunque s se analza x se debería denfcar, al menos en eoría, un proceso ARMA(, j). En el caso de modelos de po dagonal la condcón de esaconaredad es la msma, eso es, λ <. Aora x se denfcará como un MA(), menras que x lo ará como un ARMA(, ) 4. El modelo subdagonal se compora de manera smlar al modelo superdagonal, así, al gual que ese, la sere aparena ser rudo blanco pero, en general, su cuadrado sgue un proceso ARMA(, j). Por oro lado, se ene que bajo ceras condcones, una manera más general de especfcar un proceso no lneal como el de arrba es represenarlo en forma de una expansón en sere de Volerra (ver aparado, un modelo general), del po: x Σ ß j - + Σ Σ ß j - -j + Σ Σ Σ ß jk - -j -k 0 0 j0 0 j0 k0 (4) Medane susucones sucesvas de x - en (3), es fácl ver que (3) represena un caso parcular de (4). Sn embargo, puede observarse que, para nervalos fnos de empo, (3) puede aproxmar modelos del po (4) asa el grado de precsón que se desee. 4 Ese resulado perme dsngur al modelo dagonal del modelo lneal MA(), dado que, Granger y Newbold (976) demosraron que una sere x que sgue un proceso MA(), enonces x ambén lo ace. 0

21 Así, pues, del msmo modo que un proceso ARMA aproxma un proceso lneal, un proceso blneal aproxma una clase general de procesos no lneales (los procesos blneales se presenan como una exensón naural de los procesos ARMA). 6.. LA DETECCIÓN DE LA NO-LINEALIDAD Cabe la posbldad de que la sere no sea lneal, y, por ano, que los resduos esén smplemene no correlaconados, no sendo ndependenes. La prmera mplcacón es que la sere no puede ser gaussana, pueso que, en ese caso, no correlacón mplcaría ndependenca. Para ver s la sere x, o la sere son normales, el prmer paso será compuar su coefcene de asmería y su coefcene de kuross. S la sere fuese normal, el prmero sería gual a cero y el segundo gual a 3. En cuano a los ess propamene dcos, por un lado esán los ess basados en el domno de la frecuenca, los cuales resulan de una complejdad consderable 5. Más sencllos son los ess que parecen dervarse de los mulplcadores de Lagrange. Sn embargo, esos úlmos requeren una cera especfcacón de la póess alernava, es decr, del proceso no-lneal que se consdera. Granger y Andersen (978) sugeren el sguene procedmeno para deecar suacones en las que el análss lneal resula nadecuado: Sea a el resduo del análss lneal, supuesamene rudo blanco. S a es realmene rudo blanco, y, por ano, ndependene, a será ambén ndependene y presenará una FAC ípca de rudo blanco. S, por el conraro, a smplemene no esá correlaconado, la FAC de a revelará la exsenca de dependencas no lneales. Esa FAC no será, por ano, ípca de rudo blanco. Por ano, un posble es para deecar no lnealdades en una sere consse en elevar ésas al cuadrado y obener su FAC una vez obendas sus nnovacones lneales. Se calcula la FAC de los resduos a. Sn embargo, esán los resulados del es fueremene nfludos por la especfcacón concrea del modelo lneal ulzado para obener la sere de nnovacones? Errores en la especfcacón del modelo lneal endrán, en prncpo, poco efeco sobre el es de no-lnealdad anes menconado. Para ver eso, se necesa el sguene resulado (Maravall, 98): ρ K (x ) (ρ K (x )) donde x es un proceso gaussano esaconaro. 5 Véase el survey sobre ese po de ess de Can y Tong (986).

22 Sea x un proceso lneal esaconaro que se represena a connuacón: x Ψ(B) a El sguene paso sería suponer que el modelo que se ajusa es: x ζ(b) b donde, por ejemplo, ζ(b) θ q (B)/φ p (B) corresponde a un flro ARMA(p, q), y dado que Ψ(B) ζ(b), exse un error de especfcacón. De las expresones anerores, se obene: b λ(b) a donde λ(b) ζ(b) - Ψ(B). Las nnovacones b serán lneales, aunque no rudo blanco. Como es lógco, sus auocorrelacones serán relavamene reducdas. Aplcando, pues, el eorema, las auocorrelacones de b resularán, en consecuenca, ndeecables. Por ano, no afecará apenas al es de no-lnealdad. Es decr, s se obene que ρ (b ) es relavamene grande, eso no podrá ser debdo sólo a un error en la especfcacón del modelo lneal. El resulado del eorema es váldo para un proceso esaconaro y normal en general, por lo que un es de lnealdad del po: H 0 : ρ K (x ) (ρ K (x )) podría aplcarse a la sere x, sn necesdad de obener prevamene las nnovacones a que resulan de un flrado lneal. Más precsamene, supongamos que se ene una sere z y se conrasa la póess nula H 0 : ρ K (x ) (ρ K (x )) k. S x es lneal esa póess se cumplrá, en el caso de que ρ K (x ) (ρ K (x )) para algún valor de k, x sería no lneal. S se preende deecar la no lnealdad la varable a resula preferble a x. S se realza el es sobre la FAC de x, lo que es equvalene a acepar la póess de lnealdad, el que no aumenen las correlacones puede deberse a la neraccón de la esrucura lneal y la no lneal, y no a que la sere sea lneal. Por el conraro, s se realza el es sobre la FAC de a, la neraccón de la correlacón lneal y la no lneal desaparece, pueso que a esá lmpa de la prmera 6. De odas formas, la FAC del cuadrado de los resduos no ofrece un es formal en el sendo de proporconar un esadísco con una funcón de dsrbucón deermnada, sobre la que se pueda esablecer una regón críca que perma recazar o no la póess de 6 Las auocorrelacones ulzadas son esmadores muesrales de las correlacones eórcas. Las fórmulas para aproxmar las varanzas y covaranzas de esos esmadores son váldas para procesos gaussanos esaconaros. Pero, s el proceso es no lneal, surge la posbldad de que se produzca un deeroro consderable en la precsón de esos esmadores.

23 lnealdad de manera caegórca. Su uso requerrá, sn duda, un elemeno de juco por pare del analsa. Un es no demasado complcado es el propueso por Keenan (985). Es un es en el domno del empo que consdera explícamene la expansón en seres de Volerra de x. Sea x µ + Σ ψ a - + Σ ψ j a - a -j + Σ ψ jk a - a -j a -k +. -,j-,j,k- x es no lneal s alguno de los coefcenes de orden gual o superor a ψ j no es gual a cero. Por ano, un es de no lnealdad será equvalene a esear la presenca de érmnos mulplcavos en la expresón aneror. El mecansmo del es sería: ) Se ene la realzacón (x,., x n ) sendo n sufcenemene grande. Se regresa x sobre {, x -,., x -m } y se calculan los valores ajusados y los resduos, eso es, {x } y {e }, para m+,.,n. Después se calcula la suma de cuadrados de los resduos Σ e. ) Se regresa x sobre {, x -,., x -m } y se calculan los resduos {ξ } para m+,., n. 3) Fnalmene, se regresa e sobre ξ obenéndose n η η 0 (Σ ξ ) /, donde η 0 es el coefcene de regresón, y m+ F η (n - m - )/ Σ e - η Bajo la póess nula de lnealdad, F se dsrbuye como F(, n - m - ). Oro es de no lnealdad es el denomnado es BDS (Brock, Decer y Scenkman, 987). Se conrasa la póess nula de que la sere es un proceso ndependene e gualmene dsrbudo (..d.), por lo que deecará cualquer no lnealdad EFECTO DE LA AGREGACIÓN TEMPORAL Y LA LONGITUD DE LA SERIE Pueso que el es de no lnealdad se basa en los esmadores ρ K (a ), la sensbldad del es para deecar aquella dependerá de la desvacón ípca de esos esmadores. Lógcamene, pues, cuanas más observacones enga la sere, más capaz será el es de deecar no lnealdades. Eso mplca que, en general, será más adecuado para seres mensuales que rmesrales, decenales que mensuales, daras que decenales, ec. 3

24 En érmnos de seres económcas, eso ndcaría que el mes vendría a ser el período de observacón líme para poder aplcar el es de ρ(a ). Para frecuencas mayores, el es sería sufcenemene precso. Por el conraro, para seres rmesrales, por ejemplo, es raro que se dsponga del número de años necesaro para poder confar en la precsón de los esmadores. Para seres mensuales, concreamene, convendrá dsponer de un número de años relavamene elevado para que enga sendo aplcar el es. Pero, al msmo empo, las seres que enderán a ser más no lneales serán las seres relavamene desagregadas. Eso se deberá a dos pos de efecos: a) Uno esadísco: la agregacón emporal (en ese caso, ulzando medas armécas) nduce Normaldad asnóca, y, al acerse más cercanos a procesos Normales, la no lnealdad rá desaparecendo. b) Oro geomérco: Las aproxmacones lneales a funcones desconocdas son ano más razonables cuano más reducdo es el nervalo que se analza. Los modelos blneales pueden verse como aproxmacones de segundo orden. Será, pues, lógco que, cuano más desagregada esé la sere, más probable resule que una esrucura blneal mejore la aproxmacón del modelo ESTIMACIÓN Una vez deecada la no lnealdad, la aplcacón de modelos blneales puede acerse de dos maneras: () Por medo de un modelo blneal general, del po de la ecuacón (3). () Sguendo un méodo de dos eapas. En la prmera, se realza un análss lneal, y, en la segunda, a los resduos se les ajusa un modelo blneal. El prmer procedmeno presena dos venajas, una, que es más general, y ora, que no requere la resrccón de que la FAC semeje la de rudo blanco. Aunque, el segundo méodo es más sencllo de programar, la condcón de que la FAC sea la propa de rudo blanco no parece que sea muy resrcva, y además, el es de no lnealdad que se ulza mplca que la prmera eapa ya a sdo realzada. () Consderemos el modelo blneal BL(p, 0, m, k): m k z - φ z φ p z -p α + Σ Σ ß j z - -j + j j Los prncpos báscos que ay derás del proceso de esmacón son esencalmene los msmos de la esmacón de modelos unvaranes ARMA. Se esablecen de esa forma 4

25 dos eapas. En prmer lugar, se deermnan los órdenes (p, m, k) del modelo. En segundo lugar, para unos valores dados de p, m y k se esman los parámeros α, {φ }, {ß j }, σ. Lo lógco sería llevar a cabo la prmera eapa y poserormene la segunda. Sn embargo, el méodo más efcene es ajusar un conjuno de modelos que vengan dados por dferenes valores de p, m y k, para poserormene selecconar el más adecuado de acuerdo a un crero de seleccón 7 que enga en cuena la magnud de la varanza esmada del resduo, y el número de parámeros a esmar. S aora nos fjamos en la segunda eapa, se ene que para un conjuno dado de valores de p, m, y k y la póess de que sgue una dsrbucón N(0, σ ) se puede consrur la funcón de verosmlud. Sn embargo, no se podrán calcular los resduos para los valores ncales, por ano, abrá que consderar la funcón de verosmlud condconada de z γ+, z γ+,., z N dados z, z,, z γ, sendo γ max(p, m, k). La funcón de verosmlud quedará como sgue: N (/πσ ) ( N-γ ) / exp {(- /σ ) Σ } γ+ N funcón que ay que maxmzar, o ben, mnmzar Q Σ. γ+ Esa mnmzacón se debe realzar de forma numérca (la aplcacón de esa aproxmacón se encuenra en dealle en Rao, 98). Dado un conjuno de valores de α, {φ } y {ß j } se puede evaluar recursvamene { } y después ulzar el méodo de opmzacón de Newon-Rapson para mnmzar Q. S denomnamos θ (θ, θ,., θ n ) al conjuno de parámeros α, {φ } y {ß j }, la eracón a realzar queda de la sguene manera: θ (+) θ () - H - (θ () ) G(θ () ) G es el vecor gradene y H la marz Hessana: G(θ) {Q/θ, Q/θ,.., Q/θ n } H(θ) { Q/θ θ j } Cuando los parámeros an sdo fnalmene esmados, θ, σ se esma como sempre, N σ ( / N-γ) Q(θ) ( / N-γ)Σ Por úlmo, se emplearía un crero de nformacón de los ya comenados, selecconando aquel modelo que dera para dco crero un valor mínmo. γ+ 7 Enre oros los creros de nformacón AIC (Akake,974), BIC (Rssanen, 978), Φ (Hannan, 980). 5

26 () El procedmeno de las dos eapas mplca que, en la prmera de ellas, se obene un modelo del po: x Ψ(B) a (5) S la FAC de a ndca no lnealdad, se modelza a según el proceso: a +N( -k, z -j ) k, j>0 (6) donde N( -k, z -j ) es, en general, una suma de érmnos blneales al que la FAC de a es análoga a la de rudo blanco, y donde Nd(0, σ ). Susuyendo (6) en (5), se obene: x Ψ(B) ( + N( -k z -j )) l + n donde l Ψ(B) es un proceso lneal y n es un proceso no lneal. Además, pueso que ρ K (a ) 0 para odo k dsno de 0, la FAC de x será gual a la FAC del proceso lneal l. Independenemene de que a sea lneal o no. Como consecuenca, no abrá que preocuparse de que la sere pueda ser lneal o no: la FAC de x denfcará correcamene, en cualquer caso, el flro Ψ(B) de (5). Por oro lado, como ya se a vso, denfcar el proceso blneal adecuado para la sere a es un proceso que debe sasfacer dos condcones: a) que posea FAC propa de rudo blanco, y b) que genere FAC eórcas para el cuadrado de la varable, más o menos smlares a la que emos obendo empírcamene para a. Esa úlma propedad perme ulzar la FAC de los resduos al cuadrado, no sólo para deecar no lnealdades, sno ambén para proporconar nformacón sobre la esrucura emporal de las msmas. Una vez realzada la denfcacón, se procederá a la esmacón, para lo cual, será necesara una esandarzacón preva del modelo blneal debdo a que, los modelos blneales presenan un problema de undades de medda. S se aleran las undades de la sere x, pueso que la sere ene la msma dmensón que x, será precso que los parámeros en (3) varíen ambén al cambar las undades. Por ano, se ace necesara la esandarzacón del modelo. Esa esandarzacón suele conssr en dvdr la sere x por su desvacón ípca. Los parámeros del modelo orgnal podrán recuperarse por medo de / σ z donde es un parámero del modelo esandarzado. 6

27 Aora se lleva a cabo la esmacón por máxma verosmlud y vamos a poner como ejemplo a esmar el sguene modelo: a a a Bajo el supueso de Nd (0, σ ), y omando un valor T sufcenemene elevado, la funcón de verosmlud es aproxmadamene proporconal a: T exp -(/ σ ) Σ (, ) Por lo ano, los esmadores máxmo-verosímles se pueden obener por medo de: T T (, ) Σ (, ) mn Σ (, ), S en el ejemplo aneror despejamos el érmno de error en el momeno queda: a - a a -6-5 parendo de unas condcones ncales, es posble compuar la sere recursvamene para unos valores dados de y, y, por ano, la suma de cuadrados Σ (, ). Las condcones ncales mpuesas, para el caso de ese ejemplo, conssrían en gualar 5 a la meda de sus dsrbucones margnales, es decr, 0,,, 3, 4, MODELOS UMBRAL 7.. MODELO TAR (Tong y Lm (980), Tong(983)) 8 La dea que descansa derás de ese modelo es esablecer un modelo lneal en el que se deja a los parámeros varar de acuerdo a los valores de un número fno de valores pasados de x. Por ejemplo, un resold AR de prmer orden (TAR()) sería: x φ () x - + () φ () x - + () s s x - < d x - d donde () y () son procesos de rudo blanco, φ () y φ () consanes, y la consane d es el parámero llamado umbral. 8 Véase Márquez y Vllazón (999) para una aplcacón de ese po de modelos a los benefcos del IBEX-35 en España. 7

28 El proceso aneror podría exenderse de la sguene forma: x φ () x - + () s x - R (),,, k donde los dferenes R () son subconjunos de la reca real R. Un proceso TAR de orden p puede ser defndo de forma smlar: x - φ 0 () - φ () x φ p () x -p (), s (x -,., x -p ) R (),,, k (7) dónde aora R () es una regón dada del espaco Eucldeo p-dmensonal. Sn embargo, en la prácca eso supone deermnar las regones umbral en un espaco p-dmensonal. Es por ello que el msmo Tong a reducdo la aencón al caso en el que los dferenes conjunos de valores de los parámeros son uncamene deermnados por un valor pasado, x -d. En defnva el modelo (7) quedaría como sgue: p x φ 0 () + Σ φ () x -j + (), s x -d R (),,, k j (8) Hemos asumdo asa aquí que el orden p es común para odas las auorregresones, sn embargo, en cada regón umbral puede darse un orden dsno, por lo que podemos generalzar (8) de la sguene forma: p x φ 0 () + Σ φ () x -j + (), s x -d R () j,, k (9) Ese modelo se denomna SETAR 9 de orden (k, p,..., p k ). Tong (983) a exenddo ese po de modelos para nclur aquellos casos en los que los parámeros no varían de acuerdo a los valores pasados de x, sno respeco de los valores pasados de un proceso asocado y. Un modelo de esa clase quedaría como sgue: m m x φ 0 () + Σ φ j () x -j + Σ γ j () y -j + () j j0, s y -d R (),, k El nombre de ese modelo es TARSO 0 (r, (m, m ),.., (m r, m r )). Como una prolongacón de los anerores enemos los modelos resold bvaranes en los que x sasface una ecuacón como la arrba señalada y a su vez y sasface la sguene ecuacón: 9 SETAR: self-excng resold auoregressve model. 0 TARSO: open loop resold AR 8

29 n y α 0 () + Σ α j () x -j + Σ j () y -j + η () n j j s x -d R,,, k. Ese modelo se llama TARSC. 7.. ESTIMACIÓN Suponemos que se enen N observacones (x, x,, x N ) de la sere x. Enonces un modelo como (9) puede ser ajusado esmando por separado cada uno de los k componenes, por medo del apropado subconjuno de observacones. Por ejemplo, s nos cenramos en el componene k-ésmo se selecconarán aquellas observacones x, x,..., x M para las que x k-d R (), y después se esman los coefcenes φ (k),, φ p (k) por mínmos cuadrados ordnaros o s se supone Gaussandad por máxma verosmlud, es decr, como cuando se esma el modelo auorregresvo. Por ano, la esmacón de los parámeros presena, en prncpo, poca dfculad. Aora ben, la deermnacón de los parámeros esrucurales, eso es: d, {R () }, y los ordenes del modelo p,.,p k es basane más complcada. El algormo propueso por Tong (983) descansa báscamene en la ulzacón del crero de nformacón de Akake. Para Tong ese crero servría como guía a la ora de selecconar un pequeño conjuno de modelos plausbles, los cuales deberían ser poserormene examnados con respeco al cumplmeno de deermnadas propedades deseables. 8. MODELO EXPONENCIAL AUTORREGRESIVO 8.. MODELO (Haggan y Ozak, 98) Se defne un modelo lneal, de forma smlar a como se zo en el caso aneror, pero aora los parámeros van a ser funcones exponencales de x - : x - φ x φ p x -p donde φ (α + exp(- γx - )). Cuando x - alcanza un valor grande φ se aproxmará a α para odo, menras que s alcanza un valor pequeño φ se acercara a α + para odo. Por ano, esos modelos se comporan de manera semejane a los modelos umbral, salvo que en los prmeros, los coefcenes varían suavemene enre los segmenos del modelo. TARSC: closed loop resold AR. 9

30 8.. ESTIMACIÓN Haggan y Ozak (98) sugeren el sguene procedmeno de esmacón de los parámeros del modelo: ) Prmero se fja el valor de γ. Después, se esmarían α,, α,,...,α p, p regresando por mínmos cuadrados ordnaros x sobre x -, x - exp(-γx - )), x -,. Una vez eco eso, se deermnaría el orden p medane la mnmzacón del crero de nformacón de Akake. ) El análss aneror es repedo para dferenes valores de γ, usándose fnalmene el crero de Akake en la seleccón del valor más adecuado de γ. Los valores de γ empleados deben ser ales que exp(-γx - ) varíe de forma ampla sobre el nervalo (0, ). 9. UN MODELO GENERAL Cada uno de los modelos anerores descrbe un po parcular de no lnealdad. En la prácca, sn embargo, es muy dfícl decdr que modelo se ajusa mejor a los daos, por eso, parece razonable nenar consrur una clase de modelos no lneales más general, que ncluya como casos parculares a los anerores y perma, por ano, una mayor flexbldad a la ora de ajusar una esrucura no lneal. Esos modelos más generales son conocdos como modelos de esado de dependenca (Presley, 980). Su prncpal venaja es que esablecen un ajuse no lneal sn presuponer una deermnada esrucura a pror, como era el caso de los modelos ya vsos. Supongamos una sere que es observada en empo dscreo. Enonces un modelo que rae de esablecer la esrucura de dca sere debe deermnar una relacón enre x -, x -, x, x +, x +, al que se dé lugar a un proceso de rudo blanco. Así, un modelo para la sere {x } debería, en su caso más general, descrbrse por una ecuacón como esa: ( x -, x -, x, x +, x +, ) Esa ecuacón desaforunadamene esablece una relacón enre nfnas varables. Asumendo que la relacón se defne enre un número fno de varables podemos descrbr la ecuacón aneror en érmnos de los valores pasados de {x } y { } de la sguene manera: x (x -,, x -k, -,... -r ) + S a connuacón se realza una expansón de Taylor de prmer orden sobre un puno arbraro 0, se obene: 30

31 x k r ( x,..., x k,,..., r ) + fu ( x )( xu x u ) + g u ( x )( u u u u 0 ) + (0) sendo x el vecor de esado, x ( -r+,.,, x -k+,., x ) y f u, g u funcones que dependen de las dervadas parcales de prmer orden de. La expresón (0) puede ser escra ambén como sgue k x - Σ φ (x - ) x - µ(x - ) + + Σ θ (x - ) -, nos queda enonces el Modelo de Esado de Dependenca de orden (k, r). Ese modelo ene, así, una nerpreacón naural: localmene es un modelo lneal ARMA, cuya evolucón es gobernada por un conjuno de coefcenes auorregresvos φ, un conjuno de coefcenes de meda móvl θ, y una meda local µ, odos dependenes del vecor de esado en el momeno -. De eco, s µ, φ, y θ fuesen consanes se esaría ane un modelo ARMA (k, l). Los modelos vsos con anerordad se obendrían de la sguene manera: () Modelo blneal r Se oman µ y φ como consanes y θ k θ (x - ) θ + Σ δ j x -j,,.., r. j El modelo ncal se convere en el modelo blneal de (3). () Modelo TAR En ese caso acemos θ 0 para odo ; y µ µ (j), φ (x - ) φ (j), s x - R (j). Obenemos un TAR (p) con un parámero adconal, la meda local. () Modelo exponencal auorregresvo Hacemos θ 0 para odo, e mponemos: φ (x - ) α + exp(- γx - ),,, k 3

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