MATEMÁTICAS III (Carrera de Economía) MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

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1 MATEMÁTICAS III (Carrera de Economía) MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES ( ) (El contenido de esta nota ha sido, en lo esencial, tomado de: P. Piskunov, Cálculo Diferencial e Integral, Ediciones Quinto Sol Edward T. Dowling, Introduction to Mathematical Economics, Shaum s Outlines. Los ejemplos fueron tomados de Simon Blume, Mathematics for Economists, W.W. Norton) DEFINICIONES 1. Se dice que la función z= f (, ) tiene un máimo local en el punto P(, ) es decir, cuando =, =, si se cumple que: (, ) > (, ) f f para todos los puntos (, ) suficientemente próimos distintos al punto (, ).. De igual manera, se dice que la función z f (, ) punto (, ) = tiene un mínimo local en el P es decir, cuando =, =, si se cumple que: (, ) < (, ) f f para todos los puntos (, ) suficientemente próimos distintos al punto (, ). Los puntos de máimo de mínimo de z f (, ) = son los etremos de esa función Una definición alternativa de los puntos de máimo mínimo locales es la siguiente: Se tiene (, ) f hacemos = +Δ, = +Δ, luego: 1

2 (, ) (, ) (, ) (, ) Δ f = f f = f +Δ +Δ f Ahora tenemos: 1. Si Δ f < para todas las variaciones suficientemente pequeñas de las variables independientes, la función f (, ) tiene un máimo local en el punto (, ) P.. Si Δ f > para todas las variaciones suficientemente pequeñas de las variables independientes, la función f (, ) tiene un mínimo local en el punto (, ) P. TEOREMAS 1. Condición necesaria para la eistencia de un etremo: Si la función (, ) z= f tiene un etremo cuando =, = entonces cada derivada parcial de primer orden de z se anula para estos valores de las variables independientes o bien la derivada no eiste. Los puntos de la función donde se verifica que las derivadas parciales de primer orden son cero o no eisten son puntos críticos de la función. Nótese que la eistencia de puntos críticos es una condición necesaria para un etremo, es decir, los etremos (máimos o mínimos) de una función son puntos críticos. Sin embargo, no en todos los casos en que las derivadas parciales sean cero o no eistan tendremos etremos. En otras palabras, la eistencia de puntos críticos de una función no es suficiente para la eistencia de un punto etremo.. Prueba de las segundas derivadas: Tenemos una función z f (, ) un dominio en el que está el punto (, ) = definida en P que tiene derivadas parciales continuas al menos de hasta segundo orden. Suponemos que en (, ) derivadas parciales de primer orden. Esto es: P se anulan las

3 (, ) (, ) f f =, = Luego, se puede demostrar que (, ) P es: 1. Un máimo, si evaluadas las derivadas parciales de segundo orden en =, = se tiene que: Y f < ( ) f f f >. Un mínimo, si evaluadas las derivadas parciales de segundo orden en =, = se tiene que: Y f > ( ) f f f > 3. No es máimo ni mínimo si evaluadas las derivadas parciales de segundo orden en =, = se tiene que: ( ) f f f < Este caso se le denomina punto silla. En un punto silla, la función z f (, ) un mínimo en alguna dirección un máimo en otra dirección. = tiene 3

4 4. Se requiere más análisis para decidir si (, ) P es un punto etremo cuando: ( ) f f f = LA MATRIZ HESSIANA Para evaluar la condición de segundo orden para un etremo resulta conveniente construir una matriz con las derivadas parciales de segundo orden llamada matriz Hessiana de esta manera: f f H = f f H es una matriz simétrica si se cumple el teorema de Young, esto es, f = f Donde las derivadas parciales están evaluadas en el punto (, ) P. Definimos el determinante de la matriz Hessiana como H. Entonces en ese punto tenemos: 1. Un máimo, si: Y f < H >. Un mínimo, si: Y f > H > 4

5 3. No es máimo ni mínimo (un punto silla) si: H < 4. Se requiere más análisis si: H = Ejemplos: Encontrar los puntos críticos verificar si son etremos mediante la condición de segundo orden. 1. (, ) z = f = Podemos ver en la gráfica siguiente que la función parece tener un máimo. Vamos a comprobarlo z La condición de primer orden es:

6 f f = = = = De manera que el punto crítico de la función es: =, o = Ahora probamos la condición de segundo orden para los cual calculamos las derivadas parciales de segundo orden: f =, f =, f = f = De manera que tenemos f <, f f f ( ) >, En efecto: ( )( ) ( ) De manera que la función (, ) P(,). = 4> z = f = tiene un máimo en el punto. (, ) z = f = + Podemos ver en la gráfica siguiente que la función parece tener un mínimo. Vamos a verificarlo z 1 La condición de primer orden es: 6

7 f f = = = = De manera que el punto crítico de la función es: =, o = Ahora probamos la condición de segundo orden para los cual calculamos las derivadas parciales de segundo orden: f =, f =, f = f = De manera que f > Y f f ( f ) >, En efecto: ( )( ) ( ) Vemos entonces que la función (, ) P(,). 3. (, ) z = f = = 4> z = f = + tiene un mínimo en el punto De la gráfica de la función no parece que se pueda concluir que sea un máimo o un mínimo; más bien el dibujo de la función muestra un punto silla z - -1 Vamos a verificarlo. 7

8 La condición de primer orden es: f f = = = = De manera que el punto crítico de la función es: =, o = Ahora probamos la condición de segundo orden para los cual calculamos las derivadas parciales de segundo orden: f =, f =, f = f = De manera que f > Y f f ( f ) <, En efecto: ( )( ) ( ) = 4< Vemos entonces que la función (, ) ( ) punto P,. z = f = tiene un punto silla en el 8