Planificaciones Análisis Matemático II A. Docente responsable: TROPAREVSKY MARIA INES. 1 de 7

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1 Planificaciones Análisis Matemático II A Docente responsable: TROPAREVSKY MARIA INES 1 de 7

2 OBJETIVOS * Objetivos específicos de la asignatura - Conocer los fundamentos del cálculo para funciones escalares y vectoriales. - Interpretar el lenguaje simbólico apropiado para la operar con los conceptos inherentes a la asignatura. - Resolver problemas que combinen razonamientos teóricos y métodos de cálculo. * Objetivos relativos a la formación profesional - Proveer de una metodología rigurosa para el análisis, modelización y resolución de problemas. - Afianzar, incrementar y perfeccionar los conocimientos matemáticos siendo que la Matemática es el lenguaje de la Ingeniería. - Proveer de herramientas matemáticas imprescindibles para el trabajo en Ingeniería y para la creación de nuevas tecnologías. CONTENIDOS MÍNIMOS PROGRAMA SINTÉTICO - Nociones elementales de Topología de espacios reales de dimension finita. Funciones de varias variables. - Límite y continuidad para funciones de varias variables. - Diferenciabilidad. Derivadas direccionales. Gradiente. - Polinomio de Taylor. Extremos libres y condicionados. - Curvas. Integrales de línea. - Integrales múltiples. - Superficies. Integrales de superficie. - Teoremas de Green, de Stokes y de Gauss. - Ecuaciones diferenciales de primer orden. Aplicaciones. PROGRAMA ANALÍTICO 1. Geometría del plano y el espacio Nociones elementales de cónicas y cuádricas. Coordenadas polares. Nociones elementales de Topología en el plano y el espacio tridimensional real: conjuntos abiertos y cerrados, entorno, frontera, puntos de acumulación, conjuntos conexos y simplemente conexos. 2. Funciones y límites. Derivadas parciales. Funciones escalares. Conjuntos de nivel. Funciones vectoriales. Límite y continuidad. Derivada de funciones escalares. Derivadas parciales. Definición de curva. Parametrización de curvas. Vector tangente. Vector aceleración. Rapidez. 3. Diferenciación Definición de función diferenciable. Vector gradiente. Teorema del valor medio. Continuidad y derivabilidad. Derivada direccional. Plano tangente y recta normal. Derivada de funciones vectoriales. Matriz Jacobiana. Definición de superficies. Parametrización de superficies. Curvas paramétricas. Plano tangente y recta normal a una superficie. 2 de 7

3 4. Funciones compuestas y funciones implícitas Composición de funciones. Regla de la cadena. Aplicaciones geométricas. Campos escalares y vectoriales. Funciones definidas implícitamente. Teorema de existencia. Jacobianos. 5. Formula de Taylor. Extremos relativos. Extremos condicionados. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz. Diferenciales totales sucesivas. Fórmula de Taylor. Puntos estacionarios. Extremos absolutos y relativos. Condición necesaria para la existencia de extremos relativos. Condición suficiente. Hessiano. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange. 6. Ecuaciones diferenciales Ordinarias (EDO) Definición de ecuación diferencial. Soluciones. Ecuaciones diferenciales de primer orden: ecuación a variables separables, ecuación lineal de primer orden y ecuación de Bernoulli. Trayectorias ortogonales. 7. Integrales de línea Curvas de Jordan. Puntos regulares y singulares. Longitud de arco. Parámetro intrínseco. Definición de integral de línea de campos escalares y vectoriales. Propiedades. Trabajo. Circulación. Aplicaciones geométricas y físicas. Campos de gradientes. Propiedades. Función potencial. Condición necesaria y suficiente para la existencia de una función potencial. Ecuación diferencial total exacta. Ecuaciones diferenciales transformables a una ecuación diferencial exacta (factor integrante). Líneas de campo. 8. Integrales múltiples Definición de integral doble. Propiedades. Aplicaciones geométricas y físicas. Cambio de variables en integrales dobles. Jacobiano. Coordenadas Polares. Integrales triples. Cambio de variables. Jacobianos. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Aplicaciones geométricas y físicas. 9. Integrales de superficie Definición de elemento de área. Área de una superficie en el espacio. Orientación de una superficie. Flujo de un campo vectorial. Distintas expresiones para la integral de superficie. 10. Análisis vectorial Teorema de Green. Su extensión a recintos múltiplemente conexos. Definición de divergencia y rotor de un campo vectorial. Operador nabla. Campos solenoidales e irrotacionales. Funciones armónicas. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss. Aplicaciones. BIBLIOGRAFÍA * Cálculo vectorial - Apostol, T. M. (2010). Calculus II. Reverte. - Apostol, T. M. (2001). Calculus. Reverte. - Courant, J.(1984). Introducción al cálculo y al análisis matemático 2. Limusa. - Mardsen, J. & Tromba, A. J. (1998). Addison-Wesley - Penney, E. (1994). Cálculo y geometría analítica. Prentice-Hall Hispanoamericana - Pita Ruiz, C. (1995). Cálculo vectorial Prentice-Hall Hispanoamericana. - Santaló, L. A.(1993). Vectores y tensores con sus aplicaciones. Eudeba. - Spiegel, M. (1991) Cálculo Superior. Mc-Graw Hill. * Ecuaciones Diferenciales - Acero, F. y Comas, J.(2007). Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. - Kreider, D., Kuller y Ostberg, D. (1973). Ecuaciones Diferenciales. Fondo Educativo Interamericano. - Zill, D. G. (2007). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamericana. RÉGIMEN DE CURSADA Metodología de enseñanza Cada curso desarrollará la asignatura durante 8 horas semanales: 4 horas de teoría, a cargo del profesor responsable del curso; y, 4 horas de trabajos prácticos, a cargo de docentes de práctica bajo la dirección del profesor responsable. Con el trabajo conjunto del grupo de docentes (profesor-docentes de práctica) asignados a cada curso, se pretende orientar al alumno hacia un estudio global de la materia. Esto significa impulsar una formación integradora del alumno que permita ir generando las bases del esperado "criterio profesional" de un egresado universitario; es decir, darle las herramientas necesarias para que su accionar se vea favorecido para combinar los razonamientos teóricos y los métodos de cálculo a fin de afrontar la 3 de 7

4 resolución de diferentes tipos de problemas; evaluar los procedimientos más convenientes, asociar conceptos y analizar la "lógica" del resultado obtenido (homogeneidad de unidades, cumplimiento de leyes y/o propiedades fundamentales, entre otros). Se utiliza una guía de trabajos prácticos común para todos los cursos que pretende impulsar el enfoque antes indicado; esta guía se va actualizando o corrigiendo acorde a las necesidades y se publica en la página Recordamos que tanto las clases teóricas como las prácticas son de carácter obligatorio. Modalidad de Evaluación Parcial EVALUACIONES El examen parcial y los recuperatorios, así como las fechas diferidas, son propuestos por los profesores Jefes de Trabajos Prácticos de la asignatura. La elaboración de todas las evaluaciones integradoras es realizada por Silvia Gigola, Cristina Unger y Eduardo Zitto bajo la supervisión de María Inés Troparevsky, contando con aportes de los profesores de la materia. PÁGINA WEB La página web de la asignatura, diseñada y actualizada por Jorge Comas es: MODALIDAD DE LAS EVALUACIONES PARCIALES E INTEGRADORAS Se tomará una Evaluación Parcial y una Evaluación Integradora. Se está evaluando la posibilidad de tomar un segundo parcial y un cambio en el orden del dictado de los temas. La Evaluación Parcial cuenta con dos (2) recuperatorios. La Evaluación Integradora podrá rendirse en a lo sumo 3 (tres) veces durante los Periodos de Evaluaciones habilitados para cada cuatrimestre por la correspondiente reglamentación vigente en la Facultad. Podrán presentarse a rendir la Evaluación Integradora todos los alumnos que hayan aprobado la Evaluación Parcial (y eventualmente el segunda parcial) y figuren anotados como alumnos regulares en los listados definitivos de los alumnos inscriptos en la asignatura. Todas las evaluaciones serán escritas. El temario para la Evaluación Integradora se corresponde con la totalidad del programa de la materia, el cual se encuentra en Las Evaluaciones Parciales y las Evaluaciones Integradoras serán corregidas por los profesores de la asignatura asistidos por los profesores Jefes de Trabajos Prácticos, de ser necesario; en todos los casos, los temas se generarán desde la Dirección de la asignatura. Para rendir la Evaluación Integradora, el alumno DEBERÁ inscribirse previamente con el tiempo de antelación que oportunamente se indique para cada fecha. Para rendir cada evaluación (parcial o integradora) es IMPRESCINDIBLE que el alumno presente su Libreta Universitaria; no se permitirá rendir la evaluación a aquellos alumnos que no cumplan este requisito. Todo alumno que haya aprobado la Evaluación Integradora tendrá aprobada la asignatura. 4 de 7

5 CALENDARIO DE CLASES Semana <1> 15/08 al 20/08 <2> 22/08 al 27/08 <3> 29/08 al 03/09 <4> 05/09 al 10/09 <5> 12/09 al 17/09 <6> 19/09 al 24/09 <7> 26/09 al 01/10 <8> 03/10 al 08/10 <9> 10/10 al 15/10 <10> 17/10 al 22/10 <11> 24/10 al 29/10 <12> 31/10 al 05/11 <13> 07/11 al 12/11 <14> 14/11 al 19/11 Temas de teoría Geometría del plano y el espacio. Cónicas y cuádricas. Coordenadas cartesianas y polares. Funciones de varias variables. Límite y continuidad. Derivadas. Curvas. Diferenciabilid ad. Gradiente. Tangentes y normales. Derivada direccional. Superficies. Parametrizació n. Plano tangente. Recta normal. Regla de la cadena. Funciones implícitas. Polinomio de Taylor. Extremos libres. Extremos condicionados. Problemas de extremos. Ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferenciales. Longitud de curvas. Diferencial de arco. Integrales de línea. Función potencial. Líneas de campo Coordenadas cilíndricas y esféricas. Cambio de variables en integrales múltiples. Integrales múltiples en coordenadas cartesianas. Aplicaciones Resolución de problemas Laboratorio Otro tipo Fecha entrega Informe TP Bibliografía básica EDO. EDO. Cálculo Vectorial y de EDO. 5 de 7

6 Semana <15> 21/11 al 26/11 <16> 28/11 al 03/12 Temas de teoría físicas y geométricas Superficies. Área de superficies. Integrales de superficie. Flujo. Teoremas integrales (Green, Stokes, Gauss). Resolución de problemas Laboratorio Otro tipo Fecha entrega Informe TP Bibliografía básica 6 de 7

7 CALENDARIO DE EVALUACIONES Evaluación Parcial Oportunidad Semana Fecha Hora Aula 1º 10 22/10 9:00 2º 13 12/11 9:00 3º 4º Otras observaciones Fechas diferidas: 1º instancia: 24/10 a las 9 hs. 2º instancia: 14/11 a las 9 hs. La tercera oportunidad de recuperación de la evaluación parcial será el martes 6 de diciembre a las 9hs. 7 de 7