TRABAJO EN GRUPO 04/2009 Permutación 1 Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.)

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1 TRABAJO EN GRUPO 04/2009 Permutación 1 Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.) Problema 1 (i) Probar que el sistema { ln(x 2 + y 2 + 1) + z 2 = π sen(z 2 ) (x 2 + y 2 ) xz = 0, dene dos funciones implícitas x = x(y), z = z(y) en un entorno del punto (0, 0, π). (ii) Sea α la curva parametrizada por α(y) = (x(y), y, z(y)), calcular la recta tangente y el plano normal a dicha curva en el punto (0, 0, π). (iii) Hallar la variación de la función F (x, y, z) = x 3 y + e xz y 2 en el punto (0, 0, π). según α. SOLUCIÓN (i) Vericaremos que se cumplen las 3 condiciones del Teorema de la Función Implícita. f 1 (x, y, z) = ln(x 2 + y 2 + 1) + z 2 π f 2 (x, y, z) = sen(z 2 ) (x 2 + y 2 ) xz f 1 (0, 0, π) = 0 + π π = 0 f 2 (0, 0, π) = = 0 Ahora calculamos las derivadas parciales de ambas funciones y las evaluamos en el punto (0, 0, π). 2x (x, y, z) = 2y (x, y, z) = x 2 + y x 2 + y (x, y, z) = 3x(x2 + y 2 ) z (x, y, z) = 3y(x2 + y 2 ) 1 2 (x, y, z) = 2z (x, y, z) = 2z cos(z2 ) + x (0, 0, π) = 0 (0, 0, π) = π (0, 0, π) = 0 (0, 0, π) = 0 (0, 0, π) = 2 π (0, 0, π) = 2 π El determinante siguiente tendrá que ser no nulo para que exista x = x(y) y z = z(y). (0, 0, π) (0, 0, π) (0, 0, π) (0, 0, = π) 0 2 π π 2 π = 2π 0

2 Por el Teorema de la Función Implícita el sistema dene dos funciones implícitas, x = x(y) y z = z(y), en el entorno del punto (0, 0, π). (ii) Observamos en primer lugar que α(0) = (0, 0, π). Por tanto el vector tangente a la curva en y = 0 es α (0) = (x (0), 1, z (0)) donde las derivadas se calculan por el Teorema de la Función Implícita 1 [ ] x (0) = (0, 0, π) z (0) (0, 0, π) [ = 0 2 π π 2 π ] 1 [ 0 0 (0, 0, π) (0, 0, π) ] [ ] 0 = 0 Por lo que α (0) = (0, 1, 0) y la ecuación de la recta tangente es (x, y, z) = (0, 0, π) + λ(0, 1, 0) (0, 0, π) (0, 0, π) y el plano normal a esta curva en el punto (0, 0, π) es 0(x 0) + 1(y 0) + 0(z π) = 0 y = 0 (iii) Para hallar la variación de la función F necesitamos calcular su gradiente F (x, y, z) = (3x 2 y + ze x, x 3 2y, xe z ) F (0, 0, π) = ( π, 0, 0) Calcularemos la derivada direccional de F en la dirección del vector tangente a α en el punto (0, 0, π). D v F (0, 0, π) = F (0, 0, π) α (0) = ( π, 0, 0) (0, 1, 0) = 0 ( y Problema 2 La ecuación g(x, y, z) = f x x), z = 0, donde f es una función diferenciable, dene una función z = z(x, y) de forma implícita. Teniendo en cuenta que según el Teorema de la función implícita (x, y, z) (x, y) = y (x, y, z) demostrar, aplicando la regla de la cadena, que se verica: x (x, y) + y (x, y) = z (x, y, z) (x, y) = (x, y, z)

3 SOLUCIÓN En primer lugar debemos calcular las derivadas parciales de la función g de la siguiente manera = u u + = y u x 2 = u u + = u x = u u + = x y Entonces (x, y) = u + z x x que es lo que queríamos demostrar. + z x 2 y (x, y) = (x, y) + y (x, y) = y u u y u + z = z

4 TRABAJO EN GRUPO 04/2009 Permutación 2 Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.) Problema 1 (i) Probar que el sistema { e x 1 + y 3 z x = 2 sin(y 1) + x 2 z 2y = 0, dene dos funciones implícitas x = x(y), z = z(y) en un entorno del punto. (ii) Sea α la curva parametrizada por α(x) = (x, y(x), z(x)), calcular la recta tangente y el plano normal a dicha curva en el punto. (iii) Hallar la variación de la función F (x, y, z) = x 2 y z + y 3 x en el punto según α. Problema 2 Demostrar que la función z determinada de forma implícita por la ecuación F (x az, y bz) = 0, donde F es una función diferenciable y a y b son constantes reales, satisface la ecuación: a + b = 1 SOLUCIÓN Problema 1 (i) Vericaremos que se cumplen las 3 condiciones del Teorema de la Función Implícita. f 1 (x, y, z) = e x 1 + y 3 z x 2 f 2 (x, y, z) = sen(y 1) + x 2 z 2y f 1 = = 0 f 2 = = 0 Ahora calculamos las derivadas parciales de ambas funciones y las evaluamos en el punto (x, y, z) = ex 1 1 (x, y, z) = 3y2 z (x, y, z) = 2xz (x, y, z) = cos(y 1) 2 (x, y, z) = y3 (x, y, z) = x2 = 0 = 4 = 6 = 1 = 1 = 1 El determinante siguiente tendrá que ser no nulo para que exista x = x(y) y z = z(y).

5 = = 4 0 Por el Teorema de la Función Implícita el sistema dene dos funciones implícitas, x = x(y) y z = z(y), en el entorno del punto. (ii) Para calcular la recta tangente a la curva parametrizada α(y) = (x(y), y, z(y)) procedemos de la siguiente manera: α (1) = (x (1), 1, z (1)) vector tangente en y = 1, donde las derivadas se calculan por el Teorema de la Función Implícita. Por lo que α (1) = [ ] x (1) = z (1) [ ] 1 [ ] = = ( ) 7, 1, 6 y la ecuación de la recta tangente es 4 ( ) 7 (x, y, z) = + λ, 1, 6 4 y el plano normal a esta curva en el punto es 7 4 (x 1) + 1(y 1) 6(z 2) = x + y 6z = 0 (iii) Para hallar la variación de la función F necesitamos calcular su gradiente F (x, y, z) = (2xy + y 3, x 2 + 3y 2, 1) F = (3, 4, 1) Calcularemos la derivada direccional de F en la dirección del vector tangente a α en el punto. ( ) 7 D v F = F α (1) = (3, 4, 1), 1, 6 =

6 Problema 2 Dadas las hipótesis anteriores, como z = z(x, y) sabemos cómo calcular sus derivadas parciales. z x = f x f z z y = f y f z f x = 1f u + 0f v = f u f y = 0f u + 1f v = f v f z = af u bf v Entonces az x + bz y = af u bf v af u bf v = 1 que es lo que queríamos demostrar.

7 TRABAJO EN GRUPO 04/2009 Permutación 3 Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.) Problema 1 (i) Probar que el sistema { x 2 y sin(xz) + 3xz 2 = 2 e xyz + y 2 x 3 = 5, dene dos funciones implícitas x = x(z), y = y(z) en un entorno del punto. (ii) Sea α la curva parametrizada por α(z) = (x(z), y(z), z)), calcular la recta tangente y el plano normal a dicha curva en el punto. (iii) Hallar la variación de la función F (x, y, z) = e x2 y 2 z + y 3 x en el punto según α. SOLUCIÓN (i) Vericaremos que se cumplen las 3 condiciones del Teorema de la Función Implícita. f 1 (x, y, z) = x 2 y sin(xz) + 3xz 2 2 f 2 (x, y, z) = e xyz + y 2 x 3 5 f 1 = = 0 f 2 = = 0 Ahora calculamos las derivadas parciales de ambas funciones y las evaluamos en el punto (x, y, z) = 2xy z cos(xz) + 3z2 (x, y, z) = yzexyz + 3x 2 y 2 (x, y, z) = x2 (x, y, z) = xzexyz + 2yx 3 (x, y, z) = x cos(xz) + 6xz (x, y, z) = xyexyz = 4 = 12 = 1 = 4 = 1 = 2 El determinante siguiente tendrá que ser no nulo para que exista x = x(z) y y = y(z). = = 4 0

8 Vemos que el sistema si que dene dos funciones implícitas, x = x(z) y y = y(z), en el entorno del punto. (ii) Para calcular la recta tangente a la curva parametrizada α(z) = (x(z), y(z), z) procedemos de la siguiente manera: α (0) = (x (0), y (0), 1) vector tangente en z = 0, y las derivadas parciales se calculan mediante el Teorema de la Función Implícita. Por lo que α (0) = [ ] x (0) = y (0) [ ] 1 [ ] = = ( ) 3 2, 5, 1 y la ecuación de la recta tangente es ( ) 3 (x, y, z) = + λ 2, 5, 1 y el plano normal a esta curva en el punto es 3 2 (x 1) 5(y 2) + 1(z 0) = x 5y + z = 0 (iii) Para hallar la variación de la función F necesitamos calcular su gradiente F (x, y, z) = (2xe x2 + y 3, 3y 2 x 2yz, y 2 ) F = (2e + 8, 12, 4) Calcularemos la derivada direccional de F en la dirección del vector tangente a α en el punto. ( ) 3 D v F = F α (0) = (2e + 8, 12, 4) 2, 5, 1 = 3e 52 ( y Problema 2 Demostrar que la función z = arctan satisface la ecuación de Laplace: x) 2 z z 2 = 0 SOLUCIÓN

9 El primer paso será calcular las primeras y segundas derivadas parciales de la función ( y z = arctan x) = = y x 2 ( y 1 + x 1 ( x y 2 = 1 + x) ) 2 = y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 2 z 2 = 2 z 2 = 2xy (x 2 + y 2 ) 2 2xy (x 2 + y 2 ) 2 Entonces 2 z + 2 z 2xy 2xy = = (x 2 + y 2 que es lo que queríamos demostrar. ) 2