EJERCICIOS PAU MAT II CC SOC. ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com.

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1 FUNCIONES 1- a) Dada la función:, Definida para 0, 0, encontrar el punto (x,y) que maximiza f sujeto a la restricción x+y=36. b) Calcular: Aragón 2014 Opción A Junio 2- Dada la función: Calcular: a) Dominio de f. lim b) Para qué valores de x es la función positiva? c) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Aragón 2014 Opción B Junio 3- a) Dada la función: 4 Encontrar los extremos absolutos de f en el intervalo 1,5. b) Calcular: Aragón 2014 Opción A Septiembre # 2! " 12

2 4- a) Dada la función:, Definida para 0,9, 0,3, encontrar el punto (x,y) que maximiza f sujeto a la restricción x + y 2 = 9. b) Calcular: Aragón 2014 Opción B Septiembre '7 3 )" 5- a) Disponemos de euros para la campaña de publicidad de un producto y los tenemos que invertir entre televisión y radio. Si llamamos x al dinero (en miles de euros) invertido en televisión e y al dinero (en miles de euros) invertido en radio, se estima que las ventas (en miles de unidades del producto) que haremos vendrán dadas por: * 2720 Determinar cuánto dinero tenemos que invertir en televisión y en radio para maximizar las ventas y cuál será el valor máximo de ventas que conseguiremos. b) Calcular: Aragón 2013 Opción A Junio 6- Dada la función Determinar: a) Su dominio. b) Sus cortes con los ejes. 2 1 " c) Sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. d) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Aragón 2013 Opción B Junio 13

3 7- Tenemos que invertir en un fondo de inversión una cantidad de dinero mayor o igual que 1000 euros y menor o igual que 9000 euros. El beneficio B que se obtiene depende de la cantidad invertida x de la siguiente manera: 1 / , / Donde tanto x como B(x) están expresadas en miles de euros. a) Estudiar la continuidad de la función B en el intervalo (1,9). b) Para qué valores de 1,9 el beneficio es positivo? c) Encontrar el máximo valor que alcanza el beneficio con 4,9. Aragón 2013 Opción A Septiembre 8- a) Encontrar los extremos absolutos de la función: En el intervalo 31,4. b) Calcular: Aragón 2013 Opción B Septiembre ' 4 6)" 9- a) Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a1) 567 a2) 8 9 b) Calcular : ;< + ". c) Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad invertida según la fórmula = 5, donde x representa la cantidad invertida en miles de ; euros. c1) Qué cantidad de dinero se debería de invertir para obtener el máximo rendimiento? c2) Es posible perder dinero con este fondo de inversión? Aragón 2012 Opción A Junio 14

4 10- a) Calcular las derivadas de las siguientes funciones: A 5 5 a2) 8 b) Calcular : 5 B ". 5! / #5; c) Considerar la función C /0 D 3. B 5 5! c1) Estudiar la continuidad de f(x) en x=3. c2) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) así como los máximos y mínimos si x<3. Aragón 2012 Opción B Junio 11- a) Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a1) 9 5 a2) 8 </B < # b) Calcular A ". c) Considerar la función < 5 B. c1) Hallar el dominio de definición de f. c2) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f así como sus máximos y mínimos. c3) Hallar los puntos de inflexión de f. Aragón 2012 Opción A Septiembre 15

5 12- a) Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a1) 2>?67 a2) 5 B + b) Calcular : 4!! ". c) Se ha realizado una encuesta a una determinada población con el fin de determinar el número de personas que utilizarían el sistema de autobuses si la tarifa admitiera distintos importes. Basándose en los resultados de las encuestas, los analistas de sistemas han determinado una función aproximada que expresa el número diario de pasajeros en función de la tarifa. La función demanda viene dada por F 9103 ; #, donde x representa la tarifa en euros. c1) Qué tarifa habrá que aplicar para obtener el mayor número de pasajeros? c2) Si la tarifa aplicada está entre 1 y 2 euros, Cómo es la variación en la afluencia de pasajeros? Creciente o decreciente? Aragón 2012 Opción B Septiembre 13- a) Derive las funciones G/A.! b) Calcule : ". Aragón 2011 Opción A Junio 14- Halle el dominio de definición, los máximos y mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función >?1. Aragón 2011 Opción A Junio 15- a) Calcule las derivadas de las funciones >? B!, 8 9 <. + b) Calcule : 5 ". Aragón 2011 Opción B Junio 16- Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario de monóxido de carbono, CO 2, en el aire en partes por millón (ppm), en una ciudad está relacionado con la población p expresada en miles de habitantes, por la siguiente expresión HI 9 JB 17. La evolución del tamaño de población en esta ciudad en t años se estima que está dado por la relación, IK 3,10,1K en miles de habitantes. Con qué rapidez estará variando la concentración de CO 2 en esta ciudad dentro de 3 años? Aragón 2011 Opción B Junio 16

6 17- a) Derive las funciones >? 1, 8 b) Calcule : B ". Aragón 2011 Opción A Septiembre < 5 B!. 18- Halle los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 2 1. Calcule sus intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los de concavidad y convexidad. Aragón 2011 Opción A Septiembre 19- a) Derive las funciones! 5, 8 B;. # b) Calcule : L / M". Aragón 2011 Opción B Septiembre 20- Determine el dominio de definición de la función 67. Halle sus intervalos de concavidad y convexidad así como sus puntos de inflexión. Aragón 2011 Opción B Septiembre 21- a) Derive las siguientes funciones: >? >?>?, 8 >? 3, N O! 5>? 3 5 b) Razone cual es el dominio de la función. Calcule, si existen, los máximos B 55P y mínimos relativos de f en su dominio. Aragón 2010 Opción A Junio 22- a) Derive las siguientes funciones: 3! < 2, 8 >? 3! 5, N ; O 1 1 b) Dada la función Q 1 /0 1 2! /0 D 2 B 5! Estudie la continuidad de f en x=2. Analice el crecimiento de la función f(x) si x>2. Tiene f algún máximo o mínimo relativo si x>2? Aragón 2010 Opción B Junio 17

7 23- a) Derive las siguientes funciones:! >? 2, 8 9, N B b) Razone cuál es el dominio de definición de la función B. Calcule, si existen, los máximos y mínimos relativos de f. Tiene algún punto de inflexión? Aragón 2010 Opción A Septiembre 24- a) Derive las siguientes funciones: >?L M, 8 < >? 1, N >?R O 1 S 1 / b) Considere la función: Q / B 5P b1) Estudie la continuidad de f en x = 3. b2) Calcule la recta tangente a f(x) en x = 4. Aragón 2010 Opción B Septiembre 25- a) Derive las funciones 4 >?, 8 1 B, N T b) Razone a qué es igual el dominio y calcule los valores de x, si existen, para los que la función f(x) del apartado anterior, alcanza máximo o mínimo relativo. Aragón 2009 Opción B1 Junio 26- a) Derive las funciones >?, 8 5!, N 3 ;5 b) La demanda de un bien conocido su precio, p, viene dada por: FI U 40II / I I / I 1 40 Represéntela. A la vista de su gráfica diga para qué valor del precio se alcanza la máxima y la mínima demanda y para cuáles es mayor que 375 unidades. Aragón 2009 Opción B2 Junio!5 < 18

8 27- a) Derive las funciones B # >? b) Sea la función V 1 /0 2,2 /0 2,4 5 b1) Razonar si f es continua en x=2 y en x=4. b2) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) para los valores 2,2. Aragón 2009 Opción B1 Septiembre 28- a) Derive las funciones 1!, 8 8, N! b) Razone a que es igual el dominio de la función g(x) del apartado anterior y calcule sus intervalos de concavidad y convexidad, así como sus puntos de inflexión. Aragón 2009 Opción B2 Septiembre 29- a) Derive las funciones >?1, 8 B X X b) La velocidad (en metros/minuto) de un juguete viene dada por *K U 10KK /0 K 0,2 8,10 16 /0 K 2,8 B, N 25 Siendo la variable t el número de minutos transcurrido desde que se pone en marcha. b1) Represente la función velocidad. b2) A la vista de la gráfica, diga cuál es la velocidad máxima y en qué momento o momentos se alcanza. b3) Calcule la velocidad del juguete pasados 30 segundos desde su puesta en marcha. Hay algún otro momento en el que lleva la misma velocidad?, en caso afirmativo, diga en cuál. Aragón 2008 Opción B1 Junio 30- a) Derive las funciones 7 9, 8 1, N b) Razone a qué es igual el dominio de la función f(x) del apartado anterior, y diga los puntos en los que alcanza máximo o mínimo relativo. Aragón 2008 Opción B2 Junio 5 19

9 31- a) Derive las funciones 5, 8 15# b) Razone a qué es igual el dominio y calcule los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x) del apartado anterior, así como los puntos de inflexión. Aragón 2008 Opción B1 Septiembre 32- a) Derive las funciones 8 Z, >?.! b) Sea la función Q /0 6,1! 1 /0 1,4 b1) Razone si f(x) es continua o discontinua en x=-1 y en x=-4. b2) Calcule los intervalos de crecimiento o decrecimiento de f(x) para los valores 6,1. Aragón 2008 Opción B2 Septiembre 33- a) Derive las funciones 2 >?, 8 P5[ < T, N b) Razone a qué es igual el dominio y calcule los valores de x, si existen, para los que f(x) alcanza máximo o mínimo relativo. Aragón 2007 Opción A Junio 34- a) Derive las funciones < 8, 8 #!, N / b) Diga si la función \ U es continua en x=4. 8 /0 4 2 c) Escriba la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función m(x) en x = 9. Aragón 2007 Opción B Junio 35- a) Derive las funciones B! B, 8 5 #, N 5 >? b) La oferta de un bien conocido su precio, p, es: 30I200 /00 1 I 1 10 ]I U I 60I1000 / I Represéntela y a la vista de su gráfica, diga para qué valor del precio se alcanza la máxima y la mínima oferta y para cuáles la oferta es menor que 200 unidades. Aragón 2007 Opción A Septiembre 20

10 36- a) Derive las funciones P 8, 8 67, N!. b) Razone a qué es igual el dominio de la función f(x) y calcule los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de dicha función. Aragón 2007 Opción B Septiembre 37- Se considera la función ^! _>? siendo a y b parámetros reales. a) Determine los valores de a y b sabiendo que f(1)=2 y que la derivada de f(x) es nula en x=1. b) Para a = 4/3 y b=1, determine los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de f(x). c) Para a=b=-2, calcule lim lim +. Aragón 2006 Opción A Junio 38- Se considera la función ^ ` siendo a un parámetro real. a) Razone a qué es igual el dominio de f(x). b) Determine el valor de a para que la gráfica de f(x) pase por el punto (0,-4). c) Para a = -2, determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x). Existen máximos y mínimos relativos de f(x)?, en caso afirmativo, decir dónde se alcanzan y su valor. Aragón 2006 Opción B Junio 39- Se considera la función B siendo a y b parámetros reales. `5a a) Determine los valores de los parámetros a y b para los que f(2) = -4 y la recta tangente a la gráfica de f(x) en x=6 es horizontal. b) Para a = 1 y b = -1. b1) Razone cuál es el dominio de f(x) y la existencia de asíntotas verticales. b2) Determine los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión de f(x). Aragón 2006 Opción A Septiembre 21

11 40- En una factoría la función de costes es H! 3>?, donde x>0 es el número de toneladas que se producen. a) Calcule el coste mínimo, si existe, y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste. b) Si la función de ingresos es b! 12, escriba la función de beneficios. c) Calcule los intervalos en los que la función de beneficios es creciente o decreciente y diga si existe beneficio máximo y en caso afirmativo el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho beneficio. Aragón 2006 Opción B Septiembre 22

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