EL TETRAEDRO REGULAR. sección principal
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- Pascual Moreno Ramírez
- hace 7 años
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1 cr el tetrero EL TETRAERO REGULAR El tetrero regulr es un poliero conexo que tiene cutro tringulos equiláteros como crs, cutro értices y seis rists. Conocieno su sección principl poemos construirlo conocieno solo lgunos e us tos como pue ser l rist, y que conocieno l rist poemos ibujr un e sus crs y prtir e ell su sección principl. sección principl Arrib obsermos un tetrero regulr poyo en un rist con su sección principl etermin por est rist () y os lturs e cr (), l erech un ibujo e un e sus crs y en tercer lugr l sección principl que reel l ltur el tetrero (). A l erech emos, en el primer ibujo, como prtir e l bse poy en P, poemos ibujr en P tmbién el értice superior trzno os bisectrices. A prtir e hí empleno l sección principl e l izquier hemos hllo l cot e icho értice prtir tomno l mei e. En tercer lugr, moo necótico, emos un tetrero regulr poyo en P e proyección sobre un e sus rists. l bse e un tetrero regulr poyo en P e proyección completr l proyección horizontl y ibujr l PV el poliero. º- eterminmos el értice superior en proyección horizontl. Bt con trzr os bisectrices o os lturs y trzr l curt rist el tetrero. x () x 4 ' º- En l P prolongmos un e ls rists, -, hst cortr l opuest en l bse, -, en el punto x. A prtir el értice superior trzmos un perpeniculr es rist. º- Con centro en x y rio l ltur e l cr (x-) trzmos un rco que cort l nterior perpeniculr en (). L istnci ()- x es l ltur el tetrero. () () () 4º- Subimos los puntos PV. Como se muestr en l ilustrción en cbller rrib l erech, lo que hemos hecho con este métoo es btir el triángulo -x- sobre el P pr obserr (ltur totl el tetrero) en erer mgnitu. Este pso no es más que un breición e l sección principl que en l perpspecti serí -x-. Abjo l erech emos como poemos inscribir en un cubo el tetrero trzno lguns e ls igonles e l cr el cubo siguieno un put concret. A l izquier emos como prtir e l sección principl hemos poio representr con circunferencis (contornos prentes) ls siguientes esfers en relción l tetrero: - Esfer tngente ls crs, esfer inscrit en el tetrero. Su rio tiene un curt prte e l ltur totl (/4) el tetrero. - Esfer tngente ls rists (es secnte l tetrero), su rio es igul mei ltur el tetrero (/). - Esfer circunscrit, tngente los értices el tetrero, su rio es igul tres curts prtes e l ltur totl el tetrero (/4) EL TETRAERO REGULAR
2 l bse e un tetrero regulr poyo en P e proyección, con un e sus rists perpeniculr LT, completr l proyección horizontl y ibujr l PV el poliero. Pr plicr este métoo es necesrio contr con un e ls rists poys sobre P perpeniculr LT, e no ser sí un poemos ller cbo este métoo si preimente plicmos un cmbio e plno que nos posibilite ich perpeniculri. ' '' º- ibujmos l totli el tetrero en P, subimos PV los értices e l bse ',0 y '. Lentmos l perpeniculr LT por. Necesitmos sber l ltur. º- Representmosl cr -- bti sobre PV, se trt e un triángulo equilátero. empleno como chrnel l rist -. reporesentmos el ertice btio en proyección erticl sobre l LT ()'. º, con centro en '-' y rio hst ()' trzmos un rco que cort l perpeniculr LT por. obtenieno l PV e y sí l ltur el tetrero regulr puieno representrlo e este moo en PV. ' ()' () '' POLIERO CONJUGAO Un poliero conjugo es quel cuyo número e crs e es igul l número e értices e otro y iceers. Según el teorem e Euler eben tener, el mismo número e rists. EL TETRAERO ES EL CONJUGAO E SI MISMO Y que tiene 4 crs y cutro értices. Por ello se ice que el tetrero es un poliero utoconjugo. Aemás los polieros conjugos pueen ser inscritos unos entro e otros. e este moo son el resulto e unir los centros e ls crs. Es ecir, los centros e ls crs e unos son los értices e su conjugo inscrito. SECCIONES IMPORTANTES A UN TETRAERO SECCIÓN CUARAA: Si cortmos el tetrero con un plno que ps por los puntos meios e tos ls rists menos e os opuests entre sí, el plno que seccion será prlelo ichs rists. Obtenemos un sección cur prlel mbs rists opuests sin cortr. ' () ()' () '' ' ' SECCIÓN TRIANGULAR: Obtenremos un triángulo equilátero si cortmos el tetrero con un plno perpeniculr culquier e ls lturs totles el tetrero. SECCIÓN RECTANGULAR: Si cortmos el tetrero con un plno perpeniculr l mínim istnci entre rists exceptuno si lo cort pro su punto meio, el plno que seccion será prlelo ichs rists. Obtenemos un sección rectngulr prlel mbs rists opuests sin cortr. ESARROLLOS EL TETRAERO REGULAR: A l erech emos os posibles mners e isponer ls crs tringulres pr el esrrollo e este poliero. EL TETRAERO REGULAR
3 EL EXAERO REGULAR O CUBO El tetrero regulr es un poliero conexo que tiene seis curos como crs, ocho értices y oce rists. Conocieno su sección principl poemos construirlo conocieno solo lgunos e us tos como pue ser su igonl. El trzo e un tetrero no suele trer problems, siempre epenieno e los tos y su isposición, grcis l prlelismo y perpeniculri existentes entre sus rists y sus crs. cr el cubo sección principl /=R Sobre ests lines un perspecti el cubo con su sección principl. A su erech l representción e un e sus crs con su igonl (:igonl e cr). Y l erech e est l sección principl el cubo con l igonl, el poliero conteni en est. Vemos como prtir e los értices que no contienen l igonl señl, trzno perpeniculres est obtenemos ls lturs e los értices cuno el cubo se poy sobre l igonl perpeniculr l plno e poyo. Tmbién emos como está señlo el punto meio e l igonl el hexero, el cul es el centro e l esfer ircunscrit l poliero. /=h En el cubo cbe señlr que encontrmos os tipos e igonles; : igonl e cr y :igonl el poliero. A l erech emos os representciones el cubo en sistem iérico. En l primer e ells el cubo se poy sobre un e sus crs y se encuentr ispuesto e form oblicu en relción l PV e proyección. En culquier cso, cuno el cubo se poy sobre P e proyección ls rists que prten e l bse e poyo son rects erticles que muestrn su perpeniculri y su erer mgnitu en PV e proyección, lo cul simplific sobremner l representción el poliero. A l erech emos el cubo poyo sobre uno e sus értices y con l igonl el poliero perpeniculr P e proyección. e este moo precimos como el contorno prente el cubo en pproyección horizontl es un hexágono regulr inscrito en un circunferenci (que represent el contorno prente e l esfer circunscrit) e rio l mit e l igonl. En proyección erticl obsermos como los értices se isponen en tres lurs que pueen ser hlls en l sección principl el moo expuesto. /=R POLIERO CONJUGAO Mientrs el cubo cuent con seis crs el octero cuent con seis értices. El cubo y el octero tienen rists. Si eterminmos los centros e ls crs el cubo (trzno ls os igonles e c curo) y unimos los puntos conseguimos un octero inscrito en el hexero. e igul moo, l iners, suceerá cuno hgmos lo mismo con ls crs el octro. /=h /=h A l erech emos como prtir e l sección principl hemos poio representr con circunferencis (contornos prentes) ls siguientes esfers en relción l cubo: - Esfer tngente ls crs, esfer inscrit en el hexero regulr. Su rio equile l mit e l rist (/). - Esfer tngente ls rists (es secnte l cubo), su rio es igul l mit e l igonl e cr (/). - Esfer circunscrit, tngente los értices el cubo, su rio es igul l mit e l igonl el poliero (/) SECCIONES IMPORTANTES A UN TETRAERO ESARROLLOS Seccionno el cubo perpeniculrmente l igonl por su punto meio obtenemos un hexágono regulr. El lo el hexágono es l mit el igonl e cr. Seccionno el cubo por un plno perpeniculr su igonl un trecer prte e est obtenemos un triángulo equilátero que comprte los értices con el cubo. Si el plno ps un sexto e l igonl el triángulo psr por el punto meio e ls rists. EL CUBO O EXAERO REGULAR
4 EL OCTAERO REGULAR El octero regulr es un poliero conexo que tiene ocho triángulos equiláteros como crs, seis értices y oce rists. Conocieno su sección principl poemos construirlo conocieno solo lgunos e sus tos. Ls posiciones más crcterístics el octero son quell en l que l igonl principl se situ perpeniculr l plno e poyo (P e proyección en sistem iérico) y con un cr poy sobre icho plno. cr el octero sección principl L sección principl es un rombo que tiene l rist por igonl menor y l igonl principl el poliero por igonl myor. Los los el rombo Abjo l izquier emos os ilustrciones el se corresponen con octoero poyo en un e sus crs. Vemos l ltur e l cr como el contorno prente pr estos csos es tringulr el un hexágono inscrito en un circunferenci e poliero. rio l mit e l igonl principl. ich circunferenci represent l esfer circunscrit l poliero. Abjo l erech se h giro el octero en relción con el PV e proyección. c /=R / c c Sobre ests lines, l izquier emos ls esfers tngentes l octero: - Esfer inscrit o tngente ls crs el poliero, su rio equile l mit e l istnci entre crs (c/). - Esfer tngente ls rists, es secnte l poliero, su rio es igul l mit e l rist (/). - Esfer circunscrit, que contiene los értices el octero, su rio es igul l mit e l igonl principl (/) POLIERO CONJUGAO Mientrs el cubo cuent con seis crs el octoero cuent con seis értices. El cubo y el octoero tienen rists. Si eterminmos los centros e ls crs el octero y unimos los puntos conseguimos uncubo inscrito en el octero. SECCIONES IMPORTANTES A UN OCTAERO Si cortmos l octero por un plno perpeniculr l minim istnci entre crs (prlelo os e sus crs) y por su punto meio obtenemos un hexágono regulr. Si cortmos l octero por un plno perpeniculr su igonl obtenemos un curo como sección. Por su punto meio será l sección rect, cuyo lo equile l rist el poliero. ESARROLLOS EL OCTAERO Cunto myor es el número e crs e un poliero má son ls posibilies pr esplegrlo sobre un plno. EL OCTAERO REGULAR
5 EL ICOSAERO El oecero regulr es un poliero conexo que tiene oce crs pentgonles como crs, einte értices y treint rists. cr el oecero h c Esfer tngente ls rists imetro=istnci entre rists () =R sección principl c h h El oecero prtir el cubo: proporción ure Arist Cubo inscrito Cubo circunscrito EL OECAERO
6 EL ICOSAERO El icosero regulr es un poliero conexo que tiene einte triángulos equiláteros como crs, oce értices y curent rists. El icosero prtir el cubo: proporción ure Arist el icosero Arist el cubo circunscrito NOTA: Estos ibujos están relizos en perspecti cbller con escl e reucción / EL ICOSAERO
POLIEDROS REGULARES. Nº de caras por. Poliedros regulares Nº de caras. Suma de ángulos en cada vértice < 360º CARAS. Condiciones.
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I TRJ Nombre Nº orden imestre IVº 4ºgrdo - sección iclo IVº ech: - 11-10 Áre : temátic Tem LIRS RULRS IRRULRS LIRS RULRS s quel poliedro en el cul sus crs son regiones poligonles congruentes entre sí,
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