GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES

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1 CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS Y CIENCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES Productos notles es el nomre que recien quells multiplicciones con epresiones lgerics cuo resultdo puede ser escrito por simple inspección, sin verificr l multiplicción que cumplen cierts regls fijs. Su plicción simplific sistemtiz l resolución de muchs multiplicciones hitules. Cd producto notle corresponde un fórmul de fctorizción. CUADRADO DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES ( + ) = + + Y ( - ) = - + El cudrdo de l sum de dos términos es igul l cudrdo del primer término más el dole producto de mos términos más el cudrdo del segundo término. EJEMPLOS:. (5 + 7) ²= ) El cudrdo del er término es (5)(5) = 5 ) El dole producto de mos términos es (5)(7)=(0)(7) = 70 c) El cudrdo del do término es (7)(7) = 9 Entonces ( ) = El cudrdo de l diferenci de dos términos es igul l cudrdo del primer término menos el dole producto de mos términos más el cudrdo del segundo término. EJEMPLO: ) (3 8²)² ) El cudrdo del er término es (3)(3) = 9 ) El dole producto de mos términos es (3)(8 ) = (6)(8 ) = 8 c) El cudrdo del do término es (8 )(8 ) = 6 Entonces ( 3-8 ) = Resuelve plicndo el cudrdo: c c d ,9,3

2 CUBO DE UNA SUMA Y DE UNA DIFERENCIA ( + ) 3 = Y ( - ) 3 = El cuo de l sum de dos términos es igul l cuo del primer término más el triple del cudrdo del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cudrdo del segundo término más el cuo del segundo término. EJEMPLO: ( + )³= ()³+ 3 ()² () + 3 ()()² - ()³ = 8³ +8²+96²+6³ El cuo de l diferenci de dos términos es igul l cuo del primer término menos el triple del cudrdo del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cudrdo del segundo término menos el cuo del segundo término. EJEMPLO: (6 )³= (6)³- 3 (6)² () + 3 (6)()² - ()³ = 6³ - 6²+7² - 8³ Desrrollr: m n

3 PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES ( + ) ( - ) = - L sum de dos términos multiplicd por su diferenci es igul l cudrdo del primer término menos el cudrdo del segundo término. EJEMPLO: ( + 9 ) ( - 9 ) = 6-8 ( ) ( 0-3 ) = 00-6 Utilice el modelo nterior pr hllr el resultdo de los siguientes ejercicios:. (+) (-). (m-n)(m+n) ( -) (+ ). (n-) (n+) (-3) (3+) (-8) (8+) (m+9) (m - 9) 3 3 m m

4 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN ( + )( + ) = + (+) + El producto de dos inomios de est form que tienen un término común es igul l cudrdo del término común más l sum de los términos no comunes multiplicdo por el término común más el producto de los términos no comunes. EJEMPLO: ) ( + )( + 7 ) = + ( + 7) + ()(7) ) El cudrdo del término común es ()() = ) L sum de términos no comunes multiplicdo por el término común es ( + 7) = 9 c) El producto de los términos no comunes es ()(7) = Entonces: ( + )( + 7 ) = ) ( + 9)( - ) = + (9 - ) + (9)(-) Entonces: ( + 9)( - ) = Escriir, por simple inspección, el resultdo de:. (+) (+ ). (+) (+ ) (n-9 ) (n+0). (-5) (+) (²-)( ²-7) (+5) (-6 ) 6 6 á

5 COCIENTES NOTABLES Son quellos cocientes que sin efectur l operción de división, pueden ser escritos por simple inspección. Los cocientes notles son cocientes ectos. COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES L diferenci de los cudrdos de dos cntiddes dividid por l sum de ls cntiddes es igul l diferenci de ls cntiddes. EJEMPLOS: ) L ríz cudrd de es ) L ríz cudrd de 6 es 6 Ejemplo: Ejemplo : COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES L diferenci de los cudrdos de dos cntiddes dividid por l diferenci de ls cntiddes es igul l sum de ls cntiddes. EJEMPLOS: Ejemplo : 6 8 ) L ríz cudrd de es ) L ríz cudrd de 6 es Entonces: 8 Ejemplo 5 5 5

6 Hllr, por simple inspección, el resultdo de: z z 0. n n n n

7 CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS Y CIENCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION DESCOMPOSICION FACTORIAL Fctorizr signific descomponer en dos o ms componentes. Por ejemplo : Fctorizr los siguientes números 5= 3 5 ; 7=3 9 ; 99 = 9 ; 6 = 3 FACTORES: Se llmn fctores o divisores de un grn epresión lgeric ls epresiones lgerics que multiplicds entre sí dn como el producto l primer epresión. Así. Multiplicndo por + tenemos: (+)= ²+. +, que multiplicds entre si dn como producto ²+ son fctores o divisores de ²+. DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORAR un epresión lgeric es convertirl en el producto indicdo de sus fctores. Cso I - Fctor común: Scr el fctor común es etrer l literl común de un polinomio, inomio o trinomio, con el menor eponente el divisor común de sus coeficientes. Fctor común monomio: + c + d = ( + c + d) Fctorr o descomponer en dos fctores:.. 8m mn m n 70m m n 0m n 0m c 50 c 50 c 00c m ) Fctor Común polinomio: 8. Descomponer (+) + m (+) Los dos términos de est epresión tienen de fctor común el inomio (+) Escrio (+) como coeficiente de un préntesis dentro del préntesis escrio los coeficientes de dividir los dos términos de l epresión dd entre el fctor común (+), o se: m m. Descomponer (-) (-) Fctor común (-). Dividiendo los dos términos de l epresión dd entre el fctor común (-), tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) Tendremos (-)-(-)=(-) (-)

8 Fctorr o descomponer en dos fctores:. (+)+(+). (n+)+n+ (+)--. 3(-)-(-) m-n+(m+n) 3 (²+) (m-n)+ (m-n) (+-) (²+)-²- CASO III - TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Se identific por tener tres términos, de los cules dos tienen ríces cudrds ects, el restnte equivle l dole producto de ls ríces del primero por el segundo. Pr solucionr un T.C.P. deemos reordenr los términos dejndo de primero de tercero los términos que tengn ríz cudrd, luego etremos l ríz cudrd del primer tercer término los escriimos en un préntesis, seprándolos por el signo que compñ l segundo término, l cerrr el préntesis elevmos todo el inomio l cudrdo. ( + )² = ² + + ² ( - )² = ² - + ² Ejemplo : (5 3)²= 5² ² Ejemplo : (3 + )²= 9² + + ² Ejemplo 3: ( + )²= ² + + ² Resolver: Fctorr o descomponer en dos fctores:. 36 m m n mn 9m m 70m n 5 n

9 CASO IV - DIFERENCIA DE CUADRADOS Se identific por tener dos términos elevdos l cudrdo unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos préntesis, (precido los productos de l form (-)(+), uno negtivo otro positivo. ()² - ()²= ( - ) ( + ) L fctorizción de l diferenci o rest de cudrdos consiste en otener ls ríz cudrd de cd término representr ests como el producto de inomios conjugdos EJERCICIOS Fctorr o descomponer en dos fctores: n 9 n 5 n n

10 CASO VI - TRINOMIO DE LA FORMA X + BX + C Se identific por tener tres términos, h un literl con eponente l cudrdo uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos préntesis, en los cules se colocn l ríz cudrd de l vrile, uscndo dos números que multiplicdos den como resultdo el término independiente sumdos (pudiendo ser números negtivos) den como resultdo el término del medio. Ejemplo: ² + ª 5 = ( + 5 ) ( - 3) Ejemplo: ² = ( + 3) ( + ) Ejemplo: ²+ 0 = ( + ) ( - ) EJERCICIOS Fctorr o descomponer en dos fctores: n n m 8m 008. m m c 3c m 30m 675

11 CASO VII TRINOMIO DE LA FORMA AX + BX + C En este cso se tienen 3 términos: El primer término es un cudrdo perfecto, o se que tiene ríz cudrd ect, el segundo término tiene l mitd del eponente del término nterior el tercer término es un término independiente, ose sin un prte literl, sí: ² Pr fctorizr un epresion de est form; primero se coje el término l ldo de, (en este cso el ) se multiplic por tod l epresión, dejndo el segundo término igul pero en prentesis dejndo todo esto en un frcción. Usndo como denomindor el término que estmos multiplicndo, multiplicndolo con el Luego seprmos en dos frcciones el término Y después procedemos eliminr ls frcciones. EJERCICIOS: Fctorr: m 3m

12 CASO VIII. CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Teniendo en cuent que los productos notles nos dicen que: es decir que dee cumplir con ls siguientes crcterìstics: Dee tener cutro términos. Que tnto el primero como el último término sen cuos perfectos Que el segundo término se proimdmente el triplo del cudrdo de l ríz cúic del primer término multiplicdo por l ríz cúic del último término. Que el tercer término se más que el triplo de l ríz cúic del último. EJERCICIOS: m 3 3 3m n 3mn n

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