MICROECONOMIA Y REGIMEN DE LA COMPETENCIA EN LA UE COLUSION EN OLIGOPOLIOS

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1 MICROECONOMIA Y REGIMEN DE LA COMPETENCIA EN LA UE PARTE COLUSION EN OLIGOPOLIOS

2 TEMA 8: JUEGOS REPETIDOS: TEOREMAS Y PARADOJAS 1. Juegos repetdos: Conceptos báscos y ejemplos. 2. Paradojas en los juegos de equlbro únco con horzonte fnto y certo: Dlema de los Presos y Cadena de Almacenes. 3. Juegos con horzonte nfnto o ncerto: Estrategas de Gatllo y de Represala. Multples equlbros y Teorema Folk. Faíña, Mcroeconomía 2

3 Juegos repetdos: El dlema de los prsoneros como ejemplo de un negoco EL EJEMPLO: S ambos cumplen su parte del trato, obtenen las ganancas normales del dlnegoco 1. El que defrauda df d gana el doble a expensas del dlque cumple. S nnguno cumple no hay negoco. E st r a t e g a J 1 C D Estratega de J2 JUEGO EN FORMA NORMAL: Coopera Defrauda G = (S1,S2,U1,U2) Conjuntos de Estrategas Puras 1 2 S1 = S2 = {C, D} Funcones de pagos pg U1,U2 1 1 El juego de etapa posee el únco equlbro (D,D) 11 0 qué ocurre s el juego se repte en períodos sucesvos? Promesas de 2 0 cooperacon y amenazas de castgo pueden generar cooperacón? Faíña, Mcroeconomía 3

4 JUEGOS REPETIDOS: CONCEPTOS BASICOS I Sea G un juego en forma normal, G=(S 1, S 2,..., S n ; U 1,U 2,..., U n ), es decr un par de Conjuntos de Estrategas (S ) y Funcones de Pagos (U ) para cada uno de los jugadores: Se denotará por G T el juego que resulta de repetr el juego de base o etapa, G, un número T de veces. El concepto de estratega se complca un poco. Ya no puede nterpretarse como una smple accón para el juego de etapa. En el juego repetdo una estratega debe especfcar el plan completo de decsones del jugador para cada una de las posbles hstoras del juego, H t, en cada uno de los períodos t del juego. Faíña, Mcroeconomía 4

5 H1 = 4 H2 = 16 H3 = 64...Ht J1 J2 J1 J2 Clasfcacón Hstoras: Dlema de los Presos C C C D D C D D C C... La hstora Los subjuegos C D... en cada pueden clasfcarse D C... nuevo según los tpos de D D... período íd se hstoras que los C C... preceden. C D... bfurca en D C... cuatro nuevas ramas. nca un subjuego. Cada juego de etapa D D... C C... El bloque Los subjuegos C D... sombreado deben empezar en D C... nodos donde la de 4 D D... hstora anteror del posbles C C... juego es de domno resultados C D... públco (un CI de D C... del juego únco nodo). de etapa D D... Faíña, Mcroeconomía 5

6 JUEGOS REPETIDOS: CONCEPTOS BASICOS II Esto es análogo al concepto de estratega en la formulacón extensva, donde el juego, Γ, era el sexteto, Γ=(K, P, Y, C, p, h), formado por el árbol, los nodos de los dstntos t jugadores, los conjuntos de nformacón, las eleccones de los jugadores, las probabldades para el azar y las funcones de pg pagos. El juego repetdo Γ T denotará de forma análoga el juego que resulta de la repetcón T veces del juego de base o etapa, Γ. Una estratega t es un plan completo lt de decsón ó dlj del jugador ante cualquera de las contngencas del juego que especfca la eleccón a tomar en todos y cada uno de sus conjuntos de nformacón. Las estrategas de los jugadores en Γ T deberán especfcar en cada período t de T una estratega t de Γ para cada una de las posbles hstoras del juego hasta ese período. Formalmente las estrategas del juego repetdo son correspondencas desde el conjunto de todas las posbles hstoras del juego a las estrategas del juego base en los T períodos. Faíña, Mcroeconomía 6

7 El dlema de los presos repetdo: Paradoja con horzonte fnto y certo El juego acaba en un. período certo y fnto T. C C En el últmo período, sea cual sea la hstora del C J2 D C J2 D juego, la estratega domnante es defraudar. J1 J1 Luego en el período C C anteror T 1, ocurre gual D J2 D D J2 D y as sucesvamente. El únco equlbro perfecto es defraudar Jugadores J1 y J2, sempre. No mporta la Estrategas: Coopera, C, Defrauda, D. duracón de T. Dos agentes raconales no aprovechan las ganancas de la cooperacón: 100 en 100 períodos, por tratar de antcparse al otro para ganar 2 y no Faíña, Mcroeconomía perder 1 en el período 101 y en los nmedatos anterores. 7

8 LA PARADOJA DE LOS JUEGOS REPETIDOS UN NUMERO CIERTO Y FINITO DE VECES La paradoja generada por la nduccón haca atrás (retrospectva) no sólo afecta al dlema de los presos: ocurre gual con todos aquellos juegos de etapa que sólo poseean un únco equlbro. La paradoja fue formulada ncalmente para la Cadena de Almacenes por SELTEN (1978). Pero la aplcacón al dlema de los presos es muy mportante porque recoge los dlemas de ncentvos mplcados en las desvacones del equlbro de Nash del Juego de Etapa, como ocurre en casos tan mportantes como los de colusón en los modelos Bertrand y Cournot. Empírcamente, los resultados dferen de los obtendos por nduccón retrospectva. AXELROD (1981) mostróque lala estratega del Talón resultaba ganadora en concursos con dlema de los presos repetdos. Orgen paradoja: las stuacones reales modelzadas como juegos Faíña, Mcroeconomía 8 repetdos se caracterzan por ser de nformacón ncompleta.

9 Entra Monopolo y juegos entrada J2 Lucha J1 0 J2 0 J1 Comparte J1 1 J2 1 No Entra J1 0,5 J2 2 Sólo un Equlbro perfecto en subjuegos: (E,C) S el juego se repte, el monopolsta estará nteresado en luchar para desanmar futuras entradas. Desanmar una entrada compensa los costes de un período de lucha Faíña, Mcroeconomía 9

10 La Paradoja de la Cadena de Almacenes Lucha Lucha P Entra M Comparte P Entra M Comparte No Entra No Entra Con nformacón completa: S T certo y fnto, la nduccón haca atrás genera la paradoja SELTEN (1978, T & D): En el últmo período, para cualquer posble hstora, no hay nada que ganar luchando. El entrante T 1 lo sabe, luego entra. Entonces nada se consgue luchando contra el entrante T 2, quén lo sabe y entra y, así...sucesvamente... El únco equlbro perfecto en subjuegos es: Td Todos entran y el Monopolsta sempre comparte. Estos resultados no son robustos. Cuando T es nfnto o ncerto camban radcalmente. Informacón ncompleta: S exsten dudas d sobre los pagos dl del entrante (KREPS&WILSON, 1982, JET) o sobre los pagos del monopolsta cuando lucha (MILGROM&ROBERTS, 1982, JET), aunque sean pequeñas, exsten equlbros razonables donde el Monopolsta lucha creando unareputacón que prevene la entrada. Faíña, Mcroeconomía 10

11 JUEGOS REPETIDOS: DESCUENTO EN HORIZONTE INFINITO El factor de descuento: s cada período se devenga un tpo de nterés de r por uno, los valores actuales de los pagos pg en el período sguente se descontarán por: 1 δ = ;0 < r < 1 0 < δ < 1 1+ r Entre el factor de descuento y la tasa de nterés exste la sguente relacón nversa: r 1 δ 1 = = 1; 0 < δ < 1 0 < r < 1 δ δ Propedad la sere de potencas de δ converge a un valor fnto (suma de los térmnos de una progresón geométrca de razón menor que 1) δ + δ 2 3 t δ + δ +... = δ = t= 1 1 Faíña, Mcroeconomía δ 11

12 JUEGOS REPETIDOS: DESCUENTO Y PROBABILIDAD EN HORIZONTE FINITO PERO INCIERTO δ puede nterpretarse tambén para analzar los juegos que se repten un número aleatoro de veces. Esto proporcona p una analogía formal entre los juegos repetdos de horzonte nfnto y de horzonte ndetermnado. La probabldad constante de que el juego de etapa se acabe en una ronda es 0<p<1. Exste entonces una probabldad postva de que el juego contnúe un período másde (1 p). La probabldad de que el juego llegue al período t será (1 p) t. De manera que para el nterés r, r el factor esperado de descuento será: 1 p δ = ; 0 (1 p ) 1 y 0 < r < 1 0 δ < 1 1+ r Faíña, Mcroeconomía 12

13 Valor óptmo y gananca meda en Juegos Infntamente Repetdos El valor óptmo de los subjuegos que arrancan en períodos subsguentes permte analzar este tpo de juegos. En el juego repetdo nfntamente G cualquer subjuego a partr del período t es gual al juego orgnal. Es tambén un juego nfnto y su valor óptmo será el msmo, V. S π t es el pago de equlbro de t, entonces los valores óptmos de los subjuegos con nco en t y en t+1 han de cumplr: V = π t + δ.v Defncón: Dado el factor de descuento δ, y la sucesón (nfnta) de ganancas π 1, π 2, π 3,..., π t,..., se denomna gananca meda el pago o gananca, û, cuyo valor descontado equvale al de la sucesón, esto es: t = 1 t δ _ u = _ δ u δ = t t 1 δ. π t u = (1 δ ). δ. π t Faíña, Mcroeconomía 13 1 t = 1 t = 1 _

14 EL TEOREMA FOLK FRIEDMAN (1971) probó que los juegos repetdos nfntamente t t pueden sustentar equlbros con pagos superores a los del equlbro del juego base. En el caso de los juegos bpersonales FUDEMBERG y MASKIN (1986) demuestran que en los juegos repetdos nfntamente puede sustentarse por un equlbro cualquer vector de pagos factble que conceda a cada jugador una gananca superor a su pago de reserva (el mayor pago que cada jugador puede garantzarse con ndependenca de lo que hagan los demás) TEOREMA FOLK (FRIEDMAN 1971): Sea un juego de etapa con nformacón completa G=(S, Π ) (Denomnamos Π a las funcones de pagos para que no se confundan con las H de hstoras). Sean e=(e 1,...,e n ) las ganancas en un equlbro de Nash de G y sean x=(x 1,...,x, n ) otras ganancas factbles cualquera de G. S x >e para cada jugador y s δ está lo sufcentemente cerca de 1, exste un equlbro de Nash perfecto en subjuegos del juego repetdo nfntamente G que proporcona como gananca meda tales pagos factbles Faíña, Mcroeconomía de G x=(x 14 1,...,x n ).

15 EQUILIBRIO DE ESTRATEGIA DETONANTE I Consderemos la sguente estratega detonante o de gatllo (Trgger): Jugar a x en la prmera etapa y, a contnuacón, en cualquer etapa t ésma: 1) jugar a x s en la hstora H t nngún jugador se ha desvado nunca de a x no exste nngún a d en H t y 2) a e en cualquer otro caso. Veamos s es un equlbro de Nash: S todos los jugadores ( ) sguen tal estratega, la mejor respuesta de será segurla tambén: En cualquer etapa t 1, con una hstora que contenga alguna desvacón, los restantes jugadores ( ) elgrán a e de manera que será óptmo para jugar a e En cualquer hstora sn desvacón o en la prmera etapa al jugador le nteresara segur tal estratega y jugar a x s el valor esperado es superor al de a d. Faíña, Mcroeconomía 15

16 EQUILIBRIO DE ESTRATEGIA DETONANTE II Valor esperado de a d. 1 δ δ d. e S es óptmo a 1 δ Valor óptmo esperado V = x δ. V S es óptmo a x δ Jugar ax es una mejor respuesta d + e 1 δ 1 δ 2 δ = d + δ. e + δ. e +... = d + e δ d x d + d + x e Faíña, Mcroeconomía 16

17 EQUILIBRIO DE ESTRATEGIA DETONANTE III d x Como d x > e para cada se cumple que < 1 d e S δ esta próxmo a 1, la estratega será de equlbro s : δ d x max para cada = 1,..., n d e Veamos ahora que la estratega detonante es un equlbro perfecto en subjuegos. Efectvamente: t 1) Los subjuegos cuya hstora no contene nnguna desvacón a d son guales al juego completo y por tanto la estratega detonante es un equlbro de Nash y 2) En aquellos otros subjuegos cuya hstora contenga una desvacón a d, los jugadores acconan el dsparador y juegan el equlbro del juego de etapa a e que es tambén un equlbro de este subjuego. Faíña, Mcroeconomía 17