2.6 Prismas y paralelepípedos

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1 UNIDAD Geometría.6 Prismas y paraeepípedos 5.6 Prismas y paraeepípedos OBJETIVOS Cacuar e área atera y e área tota de prismas rectos. Cacuar e voumen de prismas rectos. Resover probemas de voúmenes en os cuaes es necesario utiizar as fórmuas de áreas y voúmenes de prismas rectos. En ésta sección se estudiará como cacuar e voumen y e área de os objetos geométricos de tres dimensiones, taes como e cubo y a caja rectanguar. E voumen de un sóido es e espacio utiizado por é y se mide en unidades cúbicas; a a superficie que imita a sóido se e ama área superficia y se mide en unidades cuadradas. Para e estudio de ésta sección se procederá primero a definir as características generaes de os sóidos y uego se presentarán as epresiones para cacuar e área superficia, e área tota y e voumen. La deducción de agunas de as fórmuas que se presentan requiere e uso de cácuo integra, e cua será estudiado en cursos posteriores. Prismas Un prisma es un sóido que tiene a menos dos de sus caras iguaes y contenidas en panos paraeos, estas caras son amadas bases. Las otras caras de un prisma son amadas caras ateraes y tienen a forma de un paraeogramo. Las caras de un prisma se intersecan unas con otras en segmentos amados aristas. Las aristas que unen dos caras ateraes se aman aristas ateraes. Un prisma se ama prisma recto si as caras ateraes son perpendicuares a sus bases. Un prisma se ama prisma obicuo cuando as caras ateraes no son perpendicuares a sus bases. A os prismas se es denomina de acuerdo a a forma de sus bases, si por ejempo si se tiene un prisma cuyas bases son un triánguo y sus caras ateraes son perpendicuares a as bases se e ama prisma trianguar recto. En a figura siguiente se muestra un prisma trianguar recto y un prisma eagona obicuo. Prisma trianguar recto Prisma eagona obicuo Atura de un prisma La atura de un prisma es e segmento que va de una base a otra y es perpendicuar a eas. Área y voumen de un prisma E área atera, A.L. es a suma de as áreas de as caras ateraes y como se muestra en a figura de a dereca éstas caras son paraeogramos de base i y atura, entonces n

2 UNIDAD Geometría.6 Prismas y paraeepípedos 5 Donde P es e perímetro de a base. A L.. 3 n P 3 E área tota, A.T. de un prisma es a suma de área atera más as áreas de as dos bases, B. entonces n A. T. A. L. B P B E voumen, V de un prisma es e producto de área de su base B, mutipicada por a atura, es decir V B Ejempo : E tanque de sección trapezoida Un bebedero de agua en un zooógico tiene forma de trapecio isóscees con pies de base, pies de atura y ies de anco en a parte superior, como se muestra en a figura. E trapecio tiene una ongitud de pies y contiene agua con una profundidad de 0.5 pies. (a) Cacue e voumen de agua en e depósito. (b) Si e voumen de agua es de 36 pies cúbicos, cacue a atura de agua. Soución (a) A observar e voumen de agua, puede verse que tiene a forma de un prisma recto con bases en forma de trapecio y atura de pies. En a figura siguiente se muestra a base trapezoida y as variabes utiizadas para cacuar e área de a región sombreada. 0.5 E área B de a región sombreada tiene a forma de un trapacio B b b Donde b, 0.5 y a base mayor es b. Para cacuar es necesario utiizar semejanza de triánguos Entonces e área sombreada es E voumen de agua es B (0.5) (0.5).5 pies V B (.5)() 3.5 pies 3

3 UNIDAD Geometría.6 Prismas y paraeepípedos 53 (b) Aora se conoce e voumen, pero no se conoce a atura de agua. La figura siguiente muestra a nueva situación E área sombreada es B b b Donde b y a base mayor es b. Aora se usa a semejanza de triánguos para epresar en términos de ya que queremos encontrar a atura. Aora b se puede epresar en términos de Entonces e área de a región sombreada es E voumen de agua es Despejando en a ecuación anterior Resoviendo por fórmua cuadrática b B ( ) V B ( )() 36 pies () ( 6) Como debe ser positiva, se tiene que a atura de agua es 0.6 pies. E cubo y a caja rectanguar Dos de os prismas rectos más utiizados en Geometría son e cubo y a caja rectanguar o paraeepípedo. En ésta sección se presentan as fórmuas para cacuar sus áreas y sus voúmenes.

4 UNIDAD Geometría.6 Prismas y paraeepípedos 5 E cubo E cubo es un prisma recto en e cua sus bases son cuadrados de ado y atura también es igua a. Por tanto, sus caras ateraes también son cuadrados de ado. La figura muestra a forma de un cubo. Como e cubo tiene 6 caras iguaes, de área, e área tota de cubo es A 6 E voumen de cubo es e área de a base mutipicado por a atura V ( ) ( ) V La caja rectanguar o paraeepípedo 3 La caja rectanguar es un prisma recto que tiene como bases dos rectánguos de anco a y de argo b. Si a atura de a caja rectanguar es, as caras ateraes son rectánguos dos de base a y atura y dos de base b y atura. La figura siguiente muestra una caja rectanguar a b E área atera de a caja rectanguar se encuentra sumando as áreas de as cuatro caras, es decir A. L. ( a) ( b) E área tota se encuentra sumando as áreas de as bases a área atera A. T. a b ab E voumen es e área de a base mutipicada por a atura V ( ab) Ejempo : Voumen de un cubo Encontrar e área y e voumen de un cubo cuya diagona mayor mide 6 3 cm Soución La figura muestra un cubo de ado, su diagona principa y una de as diagonaes en a base de cubo. La ongitud de a diagona d en a base es d d 6 3

5 UNIDAD Geometría.6 Prismas y paraeepípedos 55 Usando nuevamente e teorema de Pitágoras para cacuar a ongitud de a diagona principa d (3) Aora ya se puede cacuar e área y e voumen de cubo A cm V cm 3 Ejempo 3: Dimensiones de una caja rectanguar Se quiere construir una caja rectanguar abierta de base cuadrada y una atura de 6 cm. La caja será construida de un materia para a base que cuesta Q3 e centímetro cuadrado y e materia para os ados tiene un costo de Q e centímetro cuadrado. Determine as dimensiones de a caja si se dispone de Q576 para su construcción. Soución Sea a ongitud de a base, como se muestra en a figura siguiente E costo de os materiaes depende de área superficia de a caja. E área de a base es AB Note que soo se toma una de as bases pues a caja es abierta. E costo de a base se encuentre mutipicando e costo unitario Q3 por e área C. B. 3 Como as cuatro caras ateraes son iguaes, e área atera es A. L. (6) E costo de os ados se encuentra mutipicando Q por e área atera. C. L. 8 E costo tota se encuentre sumando e costo de a base más e costo de os ados Resoviendo a ecuación para Costo tota = Costo de a base + Costo de os ados C. T

6 UNIDAD Geometría.6 Prismas y paraeepípedos ( )( 8) 0 De donde se obtiene que 8 y. Como no puede ser negativa, se concuye que as dimensiones de a caja rectanguar son de 8 cm por ado en a base y 6 cm de atura. Ejercicios de a sección.6. Encuentre e área tota y e voumen de un cubo si a diagona de una de sus caras mide 6 cm.. Encuentre e voumen de un cubo si a ongitud de su diagona mayor mide 8 cm. 3. Si e área tota de un cubo mide 08 cm, cacue su voumen.. Si e voumen de un cubo mide 5 cm 3, cacue e área tota. 5. Para determinar e voumen de un sóido irreguar, este es sumergido en un depósito en forma de paraeepípedo rectanguar de base cuadrada de 0 cm por ado. Si a atura de agua en e depósito aumenta. cm a introducir e sóido, cacue su voumen. 6. La base de un prisma recto es un triánguo equiátero de ado 6 cm. Encontrar e voumen y e área tota si a atura es de 0 cm. 7. La base de un prisma recto es un rombo con diagonaes de 6 cm y 8 cm. Encontrar e voumen de sóido y e área atera si a atura es de 0 cm. 8. La base de un prisma recto de atura ies, es un eágono reguar. Si e área atera de prisma es ies. Encontrar e voumen de prisma. 9. Cuántos adrios de 0 por 0 por 5 cm se necesitan para construir una pared de 6 m por m por 0 cm, considerando que e % de a pared es utiizado por a mezca que va entre os adrios? 0. Dos de as dimensiones de un prisma rectanguar recto son de 6 y 8 pugadas. Si a diagona de prisma mide pugadas. Encontrar a tercera dimensión.. Un recipiente rectanguar recto tiene una base de cm por 8 cm. Se ena con agua asta una profundidad de 5 cm y se observa que a sumergir competamente un cubo sóido e nive de agua sube a 5.5 cm. Encontrar a arista de cubo.. La atura de un prisma eagona recto mide e dobe de ado de a base. Si e voumen de prisma es de 9 3 cm 3, Encuentre e área atera de prisma. 3. Un prisma rectanguar recto de área tota 36 cm tiene atura de 6 cm. Si e anco de a base es menor en cm que su ongitud. Encuentre su voumen.. Un depósito tiene una ongitud de 0 pies y su sección transversa se muestra en a figura (a) Cacue a capacidad tota de depósito. (b) Si a atura de agua es de pies, cacue e voumen de agua en e depósito. (c) Si e voumen de agua en e depósito es de 60 pies 3. Cacue a atura de agua. (d) Cacue e área de espejo de agua en a superficie si a atura es de pies. 6 p 6 p 5. Un depósito tiene una ongitud de 0 pies y su sección transversa es e trapecio isóscees que se muestra en a figura (a) Cacue a capacidad tota de depósito. (b) Si a atura de agua es de pies, cacue e voumen de agua en e depósito. (c) Si e voumen de agua en e depósito es de 60 pies 3. Cacue a atura de agua. (d) Cacue e área de espejo de agua en a superficie si a atura es de pies. 6 p p

7 UNIDAD Geometría.6 Prismas y paraeepípedos Un depósito tiene una ongitud de 0 pies y su sección transversa se muestra en a figura (a) Cacue a capacidad tota de depósito. (b) Si a atura de agua es de pies, cacue e voumen de agua en e depósito. (c) Si e voumen de agua en e depósito es de 60 pies 3. Cacue a atura de agua. (d) Cacue e área de espejo de agua en a superficie si a atura es de pies. p 5 p 7. Un depósito tiene una ongitud de 0 pies y su sección transversa se muestra en a figura (a) Cacue a capacidad tota de depósito. (b) Si a atura de agua es de 3 pies, cacue e voumen de agua en e depósito. (c) Si e voumen de agua en e depósito es de 00 pies 3. Cacue a atura de agua. (d) Cacue e área de espejo de agua en a superficie si a atura es de pies. 0 p p p 6 p 8. A partir de una ámina rectanguar de pies de argo y pies de anco se va a construir un cana rectanguar, dobando acia arriba a ámina en a ínea que se muestra discontinua en a figura. Determine de ta forma que a capacidad de cana sea de.5 pies 3. p 9. De un cartón cuadrado se va a construir una caja rectanguar de base cuadrada y atura cm. Para acero se cortarán cuadrados de cm por ado en cada una de as esquinas de cartón como se muestra en a figura. Determine e vaor de de ta forma que e voumen de a caja sea de 3 cm Para que una maeta de equipaje en os vueos de avión sea adecuada, debe tener a forma de una caja rectanguar de manera que e argo de a base sea e dobe de anco y a suma de perímetro de a base con a atura debe ser de 8 pugadas. Determine as dimensiones de a maeta si e área superficia tota es de 836 pugadas cuadradas. p