PROGRESIONES ARITMETICAS

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1 PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00 S00 00 ( + 00 ) 50 El término generl de los múltiplos de siete es: 7 : n 7 + ( n ) n 7 7n d 7 7 ; ( ) S 00. Hllr cuántos enteros consecutivos prtir de 0 se deben tomr pr que su sum se 05. d Progresión ritmétic, 0,, n 0 + ( n ) n + 9 L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: Sn 05 + n 0 + n + 9 Sn n : 0 : 05 n n n n 9n n + 9n n 74 (no válid) 9 ± n n 55 (válid) 9 4 ( 4070). Demostrr que l sum de n enteros impres consecutivos prtir del es igul n. Los números impres formn un progresión ritmétic de d y : n + ( n ) n L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo n términos impres: + n n S n n n n 4. Hllr tres números en p.. sbiendo que l sum del primero y el tercero es, y que el producto del primero por el segundo es 4. Tres números en progresión ritmétic son: ; + d; + d l sum del primero y el tercero es : + + d + d el producto del primero por el segundo es 4 : ( ) 4

2 Ls dos condiciones permiten plnter un sistem de ecuciones no lineles. + d 6 d 6 + ( 6 ) 4 + d 4 + d 4 Los números son: 4; 6; d Hllr tres números en p.. cuy sum es y cuyo producto es 80 Tres números en progresión ritmétic son: ; + d; + d Si sumn : + + d + + d + d + d 7 + d + d Si su producto es 80: ( ) ( ) 80 Ls dos condiciones permiten plnter un sistem de ecuciones no lineles. + d 7 + d 7 + d 7 : : ( + d) ( + d) 80 7 ( + d) 80 ( + d) 40 d 7 : ( + ( 7 ) ) 40 : ( 4 ) 40 ( + d) 40 Ordenndo se obtiene un ecución de º grdo : ( 4) ± ( 4) Si 4 d 7 4 4; 7; 0 0 d 7 0 0; 7; Si 4 6. Tres números están en l rzón : 5 : 7. Hllr dichos números sbiendo que si se rest 7 del segundo los números formn un p.. Si los números están en rzón propuest: n; 5n; 7n En progresión ritmétic están: n; 5n 7; 7n Si están en progresión ritmétic, l diferenci de términos consecutivos es constnte. 5n 7 n 7n ( 5n 7) n 7 n + 7 n 4 Los números son: 8; 70; Hllr l sum de todos los enteros comprendidos entre 00 y 800 que sen múltiplos de Los múltiplos de comprendidos entre 00 y 800 formn un progresión ritmétic de diferenci. El primer término será el primer múltiplo de tres myor que 00 (0), y el último será el myor múltiplo de menor que 800 (798). Pr hllr l sum necesitmos sber cuntos términos formn l progresión, y pr ello plicmos l definición de término generl l último término.

3 ( n ) d n ( n ) n n L sum de los primeros términos de l progresión ritmétic es: S Un cuerpo ce libremente, prtiendo del reposo, y recorre 6 metros durnte el primer segundo, 48 metros en el segundo, 80 metros en el tercero, etc. Hllr l distnci que recorre durnte el quincevo segundo y l distnci totl que recorre en 5 segundos, prtiendo del reposo. Los términos 6, 48 y 80 están en progresión ritmétic de diferenci cte El término generl es: 6 n + ( n ) d 6 + ( n ) n 6 d Cd término indic el espcio recorrido en cd segundo, por lo tnto el espcio recorrido en el quincevo segundo será el término m L distnci totl que recorre en quince segundos es l sum de los quince primeros términos S m 9. Clcul l sum de los múltiplos de 59 comprendidos entre 000 y 000. Lo primero de todo es clculr cul es el primer múltiplo de 59 superior 000 y cul es el myor múltiplo menor de ,94... ( 6 ) , n 59 El número de términos se clculn plicndo el término generl l último término. 00 n + ( n ) d : n 947 : ( n ) 59 d n Conocido el número de términos se clcul l sum. + 7 S

4 0. El producto de tres términos consecutivos de un p.. es 80 y l rzón es. Hllr dichos términos. Si los números están en progresión ritmétic de rzón serán: ; + d ; + d Teniendo en cuent que su producto es 80, se plnte un ecución con un incógnit ( ) ( ) Resolviendo por Ruffini se obtiene un únic solución rel. Por lo tnto los números son: ; 5; 8. Cuántos términos hy que sumr de l progresión ritmétic, 8, 4,... Pr obtener como resultdo 064? L sum de n términos de un progresión ritmétic es: + n Sn n Por ser un progresión ritmétic de diferenci 6 ( ): + ( n ) d + ( n ) 6 6n 4 n Sustituyendo en l expresión de l sum de n términos de un progresión ritmétic se obtiene un ecución en función de n. + ( 6n 4) 064 n 8 ( 6n ) n 6n n 8 0 n n n ( ) ± ( ) 4 ( 064) n 9 ± n 9 6 n 56 ( no válid). L sum de los términos de un p.. limitd es 69 y su término centrl vle. Averigu el número de términos de dich progresión? L expresión de l sum de n términos de un progresión ritmétic est bsd en que l sum de términos equidistnte es constnte cte + n n n Si l progresión tiene término centrl es por que est formd por un número impr de términos y por tnto l sum de términos equidistntes es igul l doble del término centrl. Si denominmos como m l término centrl: + n m Sustituyendo en l expresión de l sum de n términos se plnte un ecución con un solo incógnit, el número de términos de l progresión. + n m Sn n n n 69 n 4

5 . L sum de n números nturles consecutivos tomdos prtir de es 75. Cuántos términos hemos sumdo? L sum de n términos de un progresión ritmétic es: + n Sn n Teniendo en cuent que el primer término es y que l diferenci es (números nturles consecutivos), el término enésimo es n + (n ) d n + n n + ( ) 0 Sustituyendo en l expresión de l sum: + ( n + 0) S n n 75 n + n n + n 40 0 ± n ( ) 40 4 ( 40) ± 9 n 49 n 70 Teniendo en cuent que el número de términos de un progresión no puede ser negtivo, solo es válid l solución positiv, n Sbiendo que 5 8 y d, hll l sum de los nueve primeros términos de l sucesión. L cuestión se puede resolver de dos forms diferentes. ª. Teniendo en cuent que l sum de términos equidistntes de un progresión ritmétic limitd es constnte, y que en el cso de ser impr es igul l doble del término centrl, en l progresión que nos proponen es de nueve términos y el término centrl ( 5 ) es 8: S ª Conocido el quinto término de l progresión y l diferenci, se clcul el primer y el noveno ( ) ( 9 ) S 9 5. Se considern 6 términos consecutivos de un p... L diferenci de los extremos es 6, y l sum del curto y el decimotercero es 8. Clcul los extremos. L diferenci de los extremos es 6: 6 6 L sum del curto y el decimotercero es Teniendo en cuent que l sum de términos equidistntes es constnte: Sustituyendo 4 + por + 6, se puede plnter un sistem de dos ecuciones con 6 6 dos incógnits :

6 Sumndo ls ecuciones se obtiene Conocido 6, se clcul Un progresión ritmétic limitd de 0 términos es tl que l sum de los extremos es igul 0, y el producto del tercero y el octvo es 75. Formr los 0 primeros términos de l progresión. L sum de los extremos es igul 0: Por ser un progresión ritmétic limitd de 0 términos: Por otro ldo, el producto del tercero y el octvo es 75: 8 75 Los dtos nos permiten clculr un sistem de ecuciones no lineles: El sistem se resuelve por sustitución, y tiene dos posibles soluciones: 8 0 ( 0 ) 75 ; ( 0) ± ( 0) ± 0 5 : Conocidos dos términos culesquier de l progresión ritmétic, l diferenci es: n m n m (n m) d ; d n m Aplicdo l primer solución del sistem ( 5; 8 5): d d ( ) ( ) 9 Los 0 primero términos de l progresión son: 9; 7; 5; ; ; 9; 7; 5; ; Aplicdo l segund solución del sistem ( 5; 8 5): d d ( ) Los 0 primero términos de l progresión son: ; ; 5; 7; 9; : ; 5; 7; 9 6

7 7. L sum de tres números en progresión ritmétic es y su producto 87. Hll estos números. L sum de tres números en progresión ritmétic es : + + Considerndo los tres términos como un progresión limitd, y teniendo en cuent l constnci de l sum de términos equidistntes, y que es el término centrl: + Sustituyendo en l ecución nterior: + El producto de tres números en progresión ritmétic es 87: 87 Teniendo en cuent el vlor de, ls dos ecuciones se reducen : El sistem se resuelve por sustitución: 7 ( ) ± ( ) ( ) ± 4 : 9 9 Ls posibles soluciones son: 9; ; ; ; 9 8. Tres números en progresión ritmétic tienen por producto 6640; el más pequeño vle 0. Hll los otros dos. Tres números en progresión ritmétic tienen por producto 6640: 6640 El menor vle 0: 0; 0 + d; 0 + d Sustituyendo en l primer ecución: d 0 + d d + 0d 6 0 ( ) ( ) d 0 + d ( 0 + d) ( 0 + d) 8 ( ) ( ) 46 0 ± d 0 Si d 6 0; 6; Si d 6 0; 6; 5 4 ( 6) 0 ± 4 d 6 : d 6 7

8 9. Clcul tres números sbiendo que están en progresión ritmétic, que su sum es 8 y que l sum del primero y del segundo es igul l tercero disminuido en dos uniddes. Tres números en progresión ritmétic cuy sum es 8: L sum del primero y del segundo es igul l tercero disminuido en dos uniddes + Por estr en progresión ritmétic: n + (n ) d d d d + + d 8 + d + d + ; + d 8; + d ; d Ls dos condiciones propuests y l definición de término generl, permiten plnter un sistem de ecuciones. + d 6 Sumndo ls ecuciones: 4 ; d Conocido se clcul l diferenci. d Conocido el primer término y l diferenci se clculn los restntes término de l progresión. ; + 4 6; L sum de los primeros términos de un progresión ritmétic es 76 y l diferenci de los extremos es 0. Hll los primeros términos de l progresión. L sum de n términos de un progresión ritmétic es: + n Sn n Aplicd pr once términos: + S 76 Ordenndo: + L diferenci de los extremos es 0: 0 Ls condiciones del problem permiten plnter un sistem de ecuciones: + 0 Sumndo ls ecuciones se clcul : + 0 : 6 Aplicndo l definición de término generl l término once, se clcul l diferenci. + ( ) d ; + 0 d ; d ; ; ; 4 4; 5 5; 6 6; 7 7; 8 8; 9 9; 0 0; 8

9 . Hll cutro números en progresión ritmétic, conociendo su sum, que es, y l sum de sus cudrdos, 66. Cutro números en progresión ritmétic cuy sum es : L sum de sus cudrdos es Por estr en progresión ritmétic: n + (n ) d + d ; + d ; 4 + d Sustituyendo en ls condiciones: d + + d + + d ; 4 + 6d ; + d d + + d + + d + + d + d + + 4d + 4d + + 6d + 9d d + 4d 66 ; + 6d + 7d 8 + ( ) ( ) ( ) 66 Ls condiciones permiten plnter un sistem de ecuciones no linel. + d d Por sustitución: + 6d + 7d 8 + 6d + 7d 8 d d + 6 d + 7d 8 66d + 9d 66d + 9d + d 9d + 7d 8 ; + d 9d + 7d d + 9d + 66d 8d + 4d 66 ; 5d ; d ± ± 5 Si d ; 4 ; 7 ; 4 0 ( ) Si d 0 ; 7 ; 4 ;. L rzón de un progresión ritmétic es 4. El producto de los cutro primeros términos es 585. Hll los términos. Si l diferenci es 4 y los números están en progresión ritmétic: n + (n ) 4 ( + 4) ( + 8) ( + ) ( ) ; ( ) ( ) 585 ; 585 El polinomio de grdo cutro que prece se resuelve por Ruffini, obteniendo un únic solución rel., 5; 9; 4 9

10 . Hll los seis primeros términos de un progresión ritmétic sbiendo que los tres primeros sumn y los tres últimos 4. Los tres primeros sumn : + + Los tres últimos sumn 4: Lo ms sencillo es plicr el término generl cd término de l progresión, y de est form poder expresr cd ecución en función de y d, obteniendo un sistem de dos ecuciones con dos incógnits. d ; d ; d ; 4d ; 5d d + + d d + + 4d + + 5d ; + d ; + d ; + d 4 ; + 4d 8 + d Restndo ls ecuciones se despej d. d 9 ; d + 4d 8 d 4 Conocidos y l diferenci se clculn los términos de l progresión. 4; ; ; 4 5; 5 8; 6 4. En un progresión ritmétic, el undécimo término excede en uniddes l octvo, y el primero y el noveno sumn 6. Clcul l diferenci y los términos menciondos. El undécimo término excede en uniddes l octvo: 8 + El primero y el noveno sumn 6: Aplicndo l definición de término generl cd termino de ls ecuciones propuests, se consigue un sistem de dos ecuciones con dos incógnits (, d). 0d ; 7d d + 7d d d 6 8d + ; d + ; + 6 ; + 4d d d Por sustitución : + 4d + 0d d d En un progresión ritmétic, los términos segundo y tercero sumn 9, y los términos quinto y séptimo sumn 40. Hálllos. Los términos segundo y tercero sumn 9: + 9 Los términos quinto y séptimo sumn

11 Se plic l definición de término generl, pr obtener un sistem de dos ecuciones con dos incógnits. + d + 9 : : + d + + d 9 ; + d 9 + d 5 + 4d : : + 4d + + 6d 40 ; + 0d d + d 9 Restndo ls ecuciones: 7d ; d + 0d 40 9 d 9 + d d d d d Hll los ángulos de un triángulo sbiendo que están en progresión ritmétic. Los ángulos de un triángulo sumn 80º, si están en progresión ritmétic: º Por estr en progresión ritmétic, l sum de términos equidistntes es constnte, y si el número de términos es impr, l sum de términos equidistntes será igul l doble del término centrl. + Sustituyendo est ultim relción en l primer, se despej º : + 80º ; 80 ; 60º + Llegdo este punto, el problem tiene infinits soluciones, le hrí flt lgun condición más pr que l solución fuese únic Posibles soluciones: 0º; 60º, 90º 0º; 60º, 00º 7. Los seis ángulos de un hexágono están en progresión ritmétic. L diferenci entre el myor y el menor es 60. Clcul el vlor de cd ángulo. Si están en progresión ritmétic y el menor mide 60º: 60º; 60º + d; 60º + d; 4 60º + d; 5 60º + 4d; 6 60º + 5d Teniendo en cuent que los ángulos de un hexágono sumn 70º: 60 º + 60º + d + 60º + d + 60º + d + 60º + 4d + 60º + 5d º + 5d 70º ; d 4º 60º; 84º; 08º; 4 º; 5 56º; 6 80º

12 8. Hll los ldos de un triángulo rectángulo, sbiendo que sus medids son números pres consecutivos. Si son números pres consecutivos: n ; n + ; n + 4 L hipotenus siempre es el myor de los ldos del triángulo rectángulo, y como se debe cumplir el teorem de Pitágors: ( n) + ( n + ) ( n + 4 ) Desrrollndo y ordenndo se obtiene un ecución de º grdo. 4n + 4n + 8n + 4 4n + 6n + 6 ( ) ± ( ) 4 ( ) 4n 8n 0 ; n ± 4 n 0 ; n n ó n L solución negtiv no tiene sentido por trtrse de longitudes de ldos. 6 ; 8 ; 0 9. Los ldos de un triángulo están en progresión ritmétic, su perímetro mide 8 m y l sum de los cudrdos de los ldos es igul 6. Hll los ldos. Su perímetro mide 8 m: L sum de los cudrdos de los ldos es igul 6: Teniendo en cuent que están en progresión ritmétic: + d ; + d Sustituyendo en ls condiciones: + + d + + d 8 ; + d 8 ; + d 6 ( + d) + ( + d) 6 + ; + + d + d d + 4d 6 + 6d + 5d 6 Ls dos condiciones permiten plnter un sistem de ecuciones no linel. + d 6 6 d : Por sustitucón + 6d + 5d 6 + 6d + 5d 6 ( 6 d) + 6 ( 6 d) d + 5d 6 ; ( 6 d + d ) + 6d 6d + 5d d + d + 6d 6d + 5d 6 ; d 8 ; d ± 4 ± Si d 6 4; 6; 8 Si d 6 ( ) 8; 6; 4

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