Derivadas TEORIA DE DERIVADAS. Incrementos. Pendiente

Transcripción

1 TEORIA DE DERIVADAS Derivadas El conjunto de todas las funciones presenta una diversidad tal que es casi imposible descubrir propiedades generales interesantes que convengan a todas ellas. Puesto que las funciones continuas constituyen una clase restringida, cabría esperar que se hallaran algunos teoremas no triviales para ellas... Pero los resultados más interesantes y más penetrantes acerca de funciones sólo se obtendrán cuando limitemos aún más nuestra atención a funciones que tienen mayor derecho aún a recibir el nombre de 'razonables', con un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones continuas. (Spivak, 181-2) Incrementos El incremento x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x 0 a otro x = x 1 de su campo de variación. Así, pues, o bien Si se da un incremento x a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x 0 a x = x 0 + x), la función y = f (x) se verá incrementada en y = f (x 0 + x) - f (x 0 ) a partir del valor y = f (x 0 ). El cociente recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x 0 a x = x 0 + x. (Ayres, 22)] Pendiente [Si h ¹ 0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)) determinan, como en la figura 6, una recta cuya pendiente es Figura 6.

2 Como indica la figura 7, la 'tangente' en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado nunca del 'límite' de rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a, f (a)) debería ser (Spivak, 183-4)] Definición [La función f es derivable en a si Figura 7. En este caso el límite se designa por f' (a) y recibe el nombre de derivada de f en a. (Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f.) Definimos la tangente a la gráfica de f en (a, f (a)) como la recta que pasa por (a, f (a)) y tiene por pendiente f' (a). Esto quiere decir que la tangente en (a, f (a)) sólo está definida si f es derivable en a. (Spivak, 185)] [Para una función dada f, la derivada f' se designa a menudo por No hace falta decir que las distintas partes de esta expresión carecen de todo significado cuando se consideran separadamente; las d no son números, no pueden simplificarse, y la expresión completa no es el cociente de otros dos números 'df (x)' y 'dx'. Esta notación se debe a Leibniz (generalmente

3 considerado como el codescubridor independiente del cálculo infinitesimal junto con Newton) y es llamada afectivamente notación de Leibniz. Leibniz llegó a este símbolo a través de su noción intuitiva de la derivada, que él consideraba no como el límite de los cocientes (f (a+h)-f (a))/h, sino como el 'valor' de este cociente cuando h es un número 'infinitamente pequeño'. Esta cantidad 'infinitamente pequeña' fue designada por dx y la correspondiente diferencia 'infinitamente pequeña' f (x+dx)-f (x) por df (x). Aunque es imposible reconciliar este punto de vista con las propiedades de los números reales, algunos encuentran simpática esta noción de la derivada. (Spivak, 190-1)] [La derivada de y = f (x) con respecto a x se puede representar por uno cualquiera de los símbolos (Ayres, 23)] {En otras palabras, la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la tangente de dicha función en ese punto} Fórmulas de derivación [En las fórmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de x. 1.- siendo c una constante

4 (Ayres, 28ss)] {Véanse ejemplos de derivadas en (Ayres, 30ss)} Derivada segunda [Para una función cualquiera f, al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f' (cuyo dominio puede ser considerablemente más pequeño que el de f ). La noción de derivabilidad puede aplicarse a la función f', por supuesto, dando lugar a otra función (f' )', cuyo dominio consiste en todos los punta a tales que f' es derivable en a. La función (f' )' se suele escribir por lo general simplemente f'' y recibe el nombre de derivada segunda de f. Si f'' (a) existe, entonces se dice que f es dos veces derivable en a, y el número f'' (a) recibe el nombre de derivada segunda de f en a... No existe razón alguna para detenerse en la derivada segunda; podemos definir f''' = (f'' )', f'''' = (f''' )', etc. Esta notación se hace pronto difícil de manejar, por lo que se suele adoptar la siguiente abreviación (se trata en realidad de una definición recursiva): Las distintas funciones f (k), para k ³ 2, son a veces llamadas derivadas de orden superior de f... De hecho, se puede dar una definición para f (0), a saber, Debemos mencionar también la notación de Leibniz para las derivadas de órdenes superiores. El símbolo natural de Leibniz para f'' (x), a saber, se abrevia poniendo, o más frecuentemente.

5 Una notación parecida se usa para f (n) (x). (Spivak, 201-2)] Máximos y mínimos [Si f'(a) > 0, la función f(x) es creciente en el punto x = a y si f'(a) < 0, es decreciente en dicho punto. Cuando f'(a) = 0, diremos que la función es estacionaria en el punto x = a. Una función y = f(x) tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto x = a, cuando f(a) es mayor (menor) que los valores de la función para los puntos inmediatamente anteriores y posteriores al considerado. (Ayres, 42)] La diferencial de una función [La diferencial de una función surgió históricamente del concepto de 'indivisible'. Este concepto, que desde un punto de vista moderno nunca estuvo muy claramente definido, era en su tiempo (en el siglo XVIII) fundamental en el análisis matemático. Las ideas referentes a él sufrieron cambios esenciales en el transcurso de varios siglos. Los indivisibles, y más tarde la diferencial de una función, se representaban como verdaderos infinitésimos, como algo de magnitud constante extremadamente pequeña, que sin embargo no era cero. La definición dada en esta sección es la aceptada en el análisis moderno. De acuerdo con esta definición, la diferencial es una magnitud finita para cada incremento x, y al mismo tiempo proporcional a x. La otra propiedad fundamental de la diferencial, el carácter de su diferencia respecto a y, sólo puede reconocerse 'en movimiento', por así decirlo: si consideramos un incremento x que se aproxima a cero (que sea un infinitésimo), entonces la diferencia entre dy e y será tan pequeña como se desee incluso comparada con x. Esta sustitución de los incrementos pequeños de la función por la diferencial forma la base de la mayoría de las aplicaciones del análisis infinitesimal al estudio de la naturaleza. El lector verá esto de un modo particularmente claro en el caso de las ecuaciones diferenciales. (Aleksandrov, 1, 152)] [Dada la función y = f(x) se define:

6 (a) (b) dx, leído diferencial de x, por la relación dx = x. dy, leído diferencial de y, por la relación dy = f'(x)dx. La diferencial de una variable independiente es, por definición, el incremento que experimenta; sin embargo, la diferencial de una variable dependiente o función no es igual a su incremento. (ver fig. 23-1) Fig Si dx = x es relativamente pequeño con respecto a x, el valor de y se puede obtener aproximadamente hallando dy. (Ayres, 119)]

7 EJERCICIOS PRACTICOS TEMA : MERCADO 1.- Derive las condiciones de primero y segundo orden para la producción que tiene que obtener una empresa perfectamente competitiva, con el fin de maximizar las ganancias totales. Las ganancias totales (π ) son iguales al ingreso total (IT) menos los costos totales (CT). Es decir: π = IT - CT Donde : π, IT y CT son todos funciones de la producción 'Q' Si se toma la primera derivada de p respecto a Q y se iguala a cero, se tiene : Por lo que: Puesto que en competencia perfecta IM = P, la condición de primer orden para la maximización de la ganancia en una empresa perfectamente competitiva se convierte en: P = IM = CM Lo anterior es solo la condición de primer orden para la maximización (y la minimización). La condición de segundo orden para la maximización de la ganancia requiere que la segunda derivada de π con respecto a Q sea negativa. Es decir: Por lo que: Puesto que en competencia perfecta la curva IM es horizontal, esto significa que la curva CM tiene que estar ascendiendo en el punto donde IM = CM, para que la empresa maximice su ganancia total (o minimice sus perdidas totales).

8 2.- Una empresa perfectamente competitiva se enfrenta a: P = $4, CT = Q 3-7Q Q + 5 a) Determine, con la utilidad del calculo, el nivel optimo de producción de la empresa mediante el enfoque marginal. b) Determine la ganancia total de la empresa a este nivel de producción. Solución: a) IT = PQ = $4Q Por lo que IM = d(it)/dq = $4 = P y CM = d(ct)/dq = 3Q 2-14Q + 12 Si se establece que IM = CM y despejando Q, se obtiene: 3Q 2-14Q + 12 = 4 o 3Q 2-14Q + 8 = 0 Por lo que: (3Q - 2) (Q - 4) = 0 Q = 2/3 y Q = 4 Por consiguiente, IM = CM en que Q = 1 y en Q = 4. Pero con el fin de maximizar las ganancias en lugar de minimizarlas, la curva CM tiene que estar ascendiendo en el punto donde IM = CM. La ecuación para la pendiente de la curva CM es: d(cm)/dq = 6Q -14 En Q = 2/3, la pendiente de la curva CM es -10 (minimiza ganancias) En Q = 4, la pendiente de la curva CM es 10 (maximiza ganancias). b)

9 3.- Una empresa de artículos electrónicos utiliza 600 cajas de transistores cada año. El costo de almacenamiento de una caja durante un año es 90 centavos, y los gastos de envío son $30.00 por pedido. Cuántas cajas debe solicitar la empresa en cada envío para mantener el costo total en un mínimo? SOLUCIÓN.- En 600 cajas a x cajas por pedido el número de pedidos es = 600/x. Costo de solicitud a $30 cada uno = (30)(600)/x = 18,000/x. El costo de almacenamiento = (x/2)(.90)=.45x El costo total es C =.45x + (1800/x). Su derivada es C =.45 - (1800/x²) = 0.45x² = 1800 x = sqr(18000/.45) = 200 cajas Probaremos que este valor hace un mínimo en C: La segunda derivada es C'' = 36,000/x³ y si hacemos x=200, resulta C'' >0 que es la condición necesaria y suficiente para hacer un mínimo. 4.- Por medio de sus estaciones autorizadas, una compañía petrolera distribuye 16,000 mapas de carreteras cada año. El costo de poner en marcha una impresora para editar los mapas es $ por cada jornada de producción. Además, los costos de producción son 6 centavos por mapa y los costos de almacenamiento son 20 centavos por mapa al año. Los mapas se distribuyen a un ritmo uniforme durante el año y se imprimen en lotes iguales, espaciados, de manera que cada uno llega justo cuando el anterior se ha agotado. Cuántos mapas debe imprimir la compañía petrolera en cada lote para minimizar el costo? SOLUCIÓN.- 16,000 mapas a x mapas por jornada, resulta un número de jornadas = 16,000/x Costo de puesta en marcha = 100 (16,000/x) = 1'600,000/x Costo de producción = (.06) (16,000) = $ Costo de almacenamiento = (x/2)(.20) =.1x Costo total C = (1'600,000 /x) +.1x La derivada es C' = 0 - (1'600,000/x²) +.1 = 0 1'600,000 /x² =.1 x = sqr (1'600,000 /.1) x = 4,000 mapas

10 Bibliografía Spivak, M., (1975): Calculus. Tomo 1. Barcelona: Reverté. Aleksandrov, A.D., Kolmogorov, A.N., Laurentiev, M.A., et al., (1985): La Matemática: su contenido, métodos y significado. 3 vols., Madrid: Alianza. Ayres, F. Jr., (): Cálculo Diferencial e Integral. México: McGraw-Hill.

11 APLICACIONES DE CALCULO NOMBRE: PEDRO VICENCIO FIGUEROA

12 INTRODUCCION Este trabajo que realice tiene como objeto demostrar el aspecto teórico de la materia pasada en el semestre es aplicable a las tareas cotidianas de las empresas con bases matemáticas.. Estas también son aplicables a la economía aunque los ejercicios son ficticios lo importante es la manera de usar las herramientas de calculo son efectivas y exactas para la toma de decisiones en las empresas, para mostrar un análisis científico a cualquier tipo de empresa de producción de bienes, y servicios u otras. para disminuir los costos del proceso productivo,etc, usando tipos de derivadas.

13 CONCLUSION Como conclusión he podido apreciar lo eficaz que pueden ser la signatura de calculo para ser mas eficiente en el ámbito de los negocios, siendo una herramienta indispensable en un momento determinado cuando tenga que aplicar lo aprendido en un posible futuro en los negocios para tener claro como y donde aprovechar los recursos de la empresa, solucionado problemáticas que surgen con estos métodos de calculo.