UNIDAD 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 Tem. Sistems de Ecuciones UNIDD. SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrls.. Definición, sistems equivlentes.. Clses de sistems de ecuciones... Epresión de sistems en form mtricil. Sistems de Crmer. Teorem de Rouchè-Fröbenius. Discusión soluciones sistem. Resolución generl de sistems de ecuciones lineles por Crmer... Sistems comptibles determindos.. Sistems comptibles indetermindos 5. Resolución de Sistems homogéneos.. Resolución de sistems por Guss.

2 Tem. Sistems de Ecuciones Conteto con l P..U. Por lo generl en los eámenes de selectividd, uno de los dos problems de ls dos opciones es reltivo l estudio resolución de sistems. Suele ser un problem más o menos sencillo metódico, con los que podremos obtener puntos. Tmbién en lguns ocsiones un cuestión del emen vlord en punto) está relciond con l resolución de sistems, por lo generl homogéneo. Pr l resolución de estos problems es esencil el cálculo de determinntes rngos de mtrices que vimos en el tem nterior. puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE)

3 Tem. Sistems de Ecuciones. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrlos. Definiciones. Sistems equivlentes. Definición: se llm sistem de ecuciones lineles con n incógnits l conjunto formdo por m ecuciones con n incógnits. n n b ) n b n ) m m mn m b m ij coeficientes del sistem b j términos independientes j incógnits Ejemplo -5 ) m) 5 ) ecuciones incógnits --- ) t ) -t ) ecuciones incógnits Resolver un sistem es obtener tods sus posibles soluciones. S soluciones de ) S soluciones de ) S soluciones del sistem S S S m comunes tods) S m soluciones de m) Definición: Dos sistems son equivlentes si tienen ls misms soluciones. Form de obtener sistems equivlentes: ) Sumr un constnte mbos miembros de l iguldd de un o vris ecuciones - S S 5 S S -

4 Tem. Sistems de Ecuciones ) Multiplicr por un constnte, distint de cero, mbos ldos de l iguldd de un o vris ecuciones - S S S - ) Sustituir un ecución por un combinción linel de l mism con ls restntes ecuciones S ) )-) 8 S )- ) - S S ) ñdir o quitr ecuciones que sen combinción linel de ls restntes ecuciones: ) ) 5 S ) - ) - S S S S ))) 7.. Clses de sistems de ecuciones Dos criterios pr clsificr los sistems de ecuciones lineles:. Según el vlor de los términos independientes: - Homogéneos: todos los términos independientes son nulos - No homogéneos: lgún término independiente es diferente de cero Homogéneo No homogéneo -5. Según el número de soluciones: - Comptibles: tienen solución Determindos: únic solución Indetermindos: infinits soluciones - Incomptibles: sin solución. Ejemplos: Comptible determindo - puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE)

5 Tem. Sistems de Ecuciones - Comptible indetermindo sin solución Incomptible.. Epresión de sistems en form mtricil Un mner más cómod útil de trbjr con los sistems de ecuciones lineles es de form mtricil. El sistem visto en el prtdo. de form mtricil vendrá definido como: n b n b m m mn m b n { { Mtri de coeficientes * Mtri mplid b) X B m m X B n b n b mn bn Ejemplo: X b * XB. Sistems de Crmer Definición: un sistem de ecuciones lineles se dice que es de Crmer si cumple ls siguientes condiciones: - Mismo número de ecuciones que de incógnits nm - El determinnte de l mtri de coeficientes es distinto de cero Los sistems de Crmer son todos comptibles determindos un sol solución). Eisten dos métodos de resolución de los sistems de Crmer.

6 Tem. Sistems de Ecuciones puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE) Método: prtir de l mtri invers. El sistem de Crmer se puede escribir en form mtricil como Xb, tl que tiene invers l ser un mtri cudrd con determinnte distinto de cero. sí podemos epresr ls soluciones como: X - B Ejemplo: - ecuciones incógnits, Sistem de Crmer - X Método: por desrrollo de columns En este método no tendremos que clculr l mtri invers, sino tntos determinntes como incógnits suele resultr más sencillo b b b nn n n n n b b b nn n n n n,, b b b n n n n Ejemplo: vemos el sistem nterior:, Ejercicio : Resuelve los siguientes sistems prtir de Crmer si es posible.

7 Tem. Sistems de Ecuciones Sistem de Crmer pues tiene ecuciones incógnits Método: X, -, Método : , Teorem de Rouchè-Fröbenius. Discusión soluciones del Sistem Teorem: se un sistem con m ecuciones lineles con n incógnits, el sistem es comptible tiene soluciones) si, sólo si, el rngo de l mtri de los coeficientes es igul l rngo de l mtri mplid Sistem comptible rng)rng*) Según l relción entre el rngo el número de incógnits tenemos que el sistem será comptible determindo, comptible indetermindo o incomptible. Veámoslo en l siguiente tbl resumen:. rng)rng * ) Sistem incomptible no solución). rng)rng * )r ) si rn nnº incógnits) Comptible determindo b)si r<n nnº incógnits) Comptible indetermindo con n-r prámetros libres

8 Tem. Sistems de Ecuciones. Resolución generl de sistems de ecuciones por Crmer. En el prtdo vimos como resolver sistems con igul número de incógnits que de ecuciones cundo el determinnte de l mtri de los coeficientes es distinto de cero. En este prtdo vmos ser más genéricos, resolviendo por Crmer todo tipo de sistem comptible; es decir sistems en los que rng)rng * ) tnto si son comptibles determindos como indetermindos. Vemos uno uno los dos csos:.. Comptible determindo Pr que un sistem se comptible determindo es necesrio que el número de ecuciones m se mor o igul que el de incógnits n m n), que se cump que rng)rng * )n. De est form sólo h n ecuciones independientes, tl que si el sistem tiene m ecuciones, m-n son dispensbles podemos eliminrls. Es importnte comprobr que ls n ecuciones escogids sen independientes, lo cul se comprueb viendo que el rngo del nuevo sistem continúe siendo n. El nuevo sistem será equivlente l nterior mism solución) se puede resolver por Crmer. Ejemplo: * 7 S) el sistem no puede ser de Crmer pues nm rng) que 7 7, rng * ) que * rng)rng * )n nºincógnits) Comptible determindo. Como el rngo es, tenemos sólo ecuciones linelmente independientes, de form que podemos eliminr un de ls ecuciones, de mner que el rngo del sistem continúe siendo. Vmos quitr l tercer ecución pues, cundo clculmos el rngo de comprobmos que, pr los coeficientes de ls dos primers ecuciones, el determinnte es distinto de cero S ) - rng ) S S misms soluciones) Solución: S ) es hor de Crmer puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE)

9 Tem. Sistems de Ecuciones.. Comptible indetermindo Se un sistem con m ecuciones n incógnits, tl que rng)rng )r<n, entonces el sistem es comptible indetermindo con n-r prámetros libres. Tenemos sí que buscr un sistem equivlente con r ecuciones r incógnits:. Tommos r ecuciones independientes rngo del sistem es r). Psmos n-r incógnits l derech de l iguldd ls trtmos como prte del término independiente prámetros libres).. El sistem se resuelve por Crmer con n-r prámetros libres Ejemplo: -- S) * Si clculmos los rngos se cumple que rng)rng * ). Luego el sistem es comptible indetermindo con - prámetro libre. Tomremos l como prámetro libre ls primers ecuciones: S ) por lo tnto el rngo no será, tenemos que o bien coger l otr ecución o cmbir de prámetro libre. Cmbiremos de prámetro tomndo l : - - S ) rng ) S S misms soluciones) Tenemos sí que S se puede resolver por Crmer: Es lógico que no pudiérmos tomr l como prámetro libre, pues tiene un vlor fijo, por tnto, no podemos poner ls demás vribles en función de l. 7

10 Tem. Sistems de Ecuciones 5. Resolución de sistems homogéneos. Recordemos que los sistems homogéneos son los que tienen todos sus términos independientes nulos. n n ) n ) m m mn m m) Un de ls crcterístics más relevntes es que todo sistem homogéneo es comptible, que l últim column de l mtri mplid, *, es nul, con lo que siempre rng)rng * ). demás, es fácil ver que todo sistem homogéneo tiene como solución l denomind solución trivil o impropi n. Pr discutir obtener l solución del de un sistem homogéneo tenemos el siguiente esquem rng)rng * )r con n incógnits: Si rn, comptible determindo. L únic solución l solución trivil Si r<n, comptible indetermindo con n-r prámetros libres ecuciones independientes. Ejemplo: C. Septiembre del, prueb. Estudir el número de soluciones del siguiente sistem en función de m, resolver cundo se posible: m m m ) Vemos el rngo de en función de m: -m m- m m m ) Si m rng ), sistem comptible indetermindo b) Si m rng), sistem comptible determindo,. Vemos ls soluciones si m comptible indetermindo): λ µ λ µ 8 puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE)

11 Tem. Sistems de Ecuciones EXÁMENES DE PU Junio 8. Prueb B. PR-.- Se consider el sistem donde es un prámetro rel ) Discutir el sistem en función del vlor de b) Resolver el sistem pr c) Resolver el sistem pr Solución ), * Rngo de rng)<; rng) independientemente del vlor de. Rngo de * : vemos los menores de * de orden ) Si rng) ) Si rng) ) Si rng) Luego Rng * ) siempre que. Si rng*) Conclusión:

12 Tem. Sistems de Ecuciones R-{} rng) rng * ) S.C.I. S.I. El sistem es comptible indetermindo infinits soluciones) con un prámetro libre si. Siempre que entonces el sistem será incomptible sin soluciones) b) Si no tiene solcuiones c) Si sistem incomptible indetermindo. Tenemos que buscr un sistem equivlente con dos ecuciones un prámetro libre. Este sistem tiene que cumplir que rng)rng * ). Como tomemos ls primers ecuciones con e de incógnits: En este cso es sencillo resolver el sistem: - ---)- Soluciones: t t t Septiembre 8. Prueb B. PR-.- Se un prámetro rel. Se consider el sistem ) Discutir el sistem en función del vlor de. b) Resolver el sistem pr. c) Resolver el sistem pr. puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE)

13 Tem. Sistems de Ecuciones ), * Rngo de : -) Si {,} entonces rng). Si rng) Si rng) Rngo de * Si {,} entonces rng * ). Si *,, rng * ) Si * rng * ) Conclusión R-{,} rng) Rng * ) S.I. S.C.I S.C.D.

14 Tem. Sistems de Ecuciones puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE) b) Si tenemos que buscr un sistem equivlente con dos ecuciones dos incógnits. Como podemos coger ls dos primers ecuciones con e como incógnits: -; ---)-- -t, --t, t c) Si sistem incomptible sin soluciones Septiembre. Prueb B. P..- Discútse, en función del prámetro rel, el siguiente sistem de ecuciones lineles. Resolver cundo se posible. ) * S Pr estudir el sistem h que ver los rngos de ls mtrices * en función del prámetro libre.. Rngo de : El rngo mor de puede ser. rng) o o Ls ecuciones que quedn son ls siguientes: ± Pr que el rngo se deberín de ser todos los determinntes nulos, como no eiste ningún vlor de que hg todos los determinntes nulos, entonces el rngo de siempre es. Luego R rng). Rngo de * : el rngo de * puede ser como máimo.. rng), ± R-{,, -} rng * )

15 Tem. Sistems de Ecuciones b. rng) solo puede ser en, o -. Vemos lo que ocurre pr estos vlores: * *, rng * ), rng * ) - *, 5 rng * ) Se cumple sí que pr,, - el rngo de l mplid es dos. Conclusión: vmos pornos en est tbl pr discutir el sistem de ecuciones: - R-{,,-} rng) rng * ) Comp. Det. Comp. Det. Comp. Det. Comp. Indet. El número de soluciones según son: Si,, - Sistem comptible determindo Si R-{,, -}Sistem incomptible. L segund prte del enuncido dice que lo resolvmos pr los vlores de que teng solución. Podrímos resolverlo independientemente pr los tres vlores de, unque serí mu lborioso. Vmos resolverlo en función de. Como el rngo de es, tendremos que buscr dos ecuciones independientes, en los que el rngo se. S') * Vemos como dos ecuciones independientes pr los tres vlores de rngo de es ): - pr, -.

16 Tem. Sistems de Ecuciones puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE) Resolvmos el sistem: Si, Si, - Si - -/5, -/5 Junio. Prueb B. P..- Se consider el sistem de ecuciones lineles. ) Discútse el sistem según el vlor del prámetro rel. b) Resuélvse el sistem pr. Solución: ) ) ) * S Vemos el rngo de de * :. Rngo de ) rng) -,- R-{,-}, rng) b) Vemos el rngo cundo : ), rng)) c) Vemos hor cundo - -), rng-))

17 Tem. Sistems de Ecuciones. Rngo de * ) rng * ) siempre que R-{,-}. b) Vemos el rngo pr de *, rng * )) c) Vemos el rngo pr - de * rng * -)) Luego el rngo de * es independientemente del vlor de. Vemos l siguiente tbl pr discutir el sistem según el vlor de : - R-{,-} rng) Rng * ) INC INC C.D. Conclusión: R-{,-} Sistem Comptible determindo solución),- Sistem incomptible sin soluciones) b) Solución cundo : el sistem es comptible determindo, resolviendo por Crmer tenemos que ls soluciones son,,. Septiembre 5. Prueb B. 5

18 Tem. Sistems de Ecuciones puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE) PR-.- Se un número rel. Considérese el sistem de ecuciones lineles. ) Discútse según los vlores de e interprétese geométricmente el resultdo. b) Resuélvse el sistem pr. Solución ) * ) S Vemos un rngo de de * :. Rngo de ) rng) --) ),- R-{,-}, rng) b) Cundo : ), rng)) c) Cundo - -), rng-)). Rngo de * ) rng * ) siempre que R-{,-}. b) Pr de *, rng * )) c) Pr - de *

19 Tem. Sistems de Ecuciones rng * -)) Estudiemos l siguiente tbl pr discutir el sistem según el vlor de : Conclusión: - R-{,-} rng) Rng * ) INC C. IND C.D. R-{,-} Sistem Comptible determindo solución) - Sistem incomptible sin soluciones) Sistem comptible indetermindo con dos prámetros libres b) Solución cundo : el sistem es comptible determindo, resolviendo por Crmer tenemos que l solución es -/, /, /. Junio 5. Prueb. PR-.- ) Discútse el sistem, en función del vlor de. b) Pr el vlor, hállese, si procede, l solución del sistem. Solución: ) S) ) * Vemos un rngo de de * :. Rngo de ) rng) -,/ R-{,/}, rng) 7

20 Tem. Sistems de Ecuciones 8 puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE) b) Rngo cundo : ), rng)) c) Rngo cundo / /) / / /, 5 rng/)). Rngo de * ) rng * ) siempre que R-{,/}. b) Rngo pr de *, rng * )) c) Rngo pr / de * / / / / / / / rng * /)) Estudiemos l siguiente tbl pr discutir el sistem según el vlor de : / R-{,/} rng) Rng * ) INC INC C.D. Conclusión: R-{,/} Sistem Comptible determindo solución), / Sistem incomptible sin soluciones)

21 Tem. Sistems de Ecuciones b) Solución cundo : el sistem es comptible determindo, resolviendo por Crmer tenemos que ls soluciones son -,, Septiembre. Prueb B. PR-.- Se consider el sistem de ecuciones lineles. ) Eiste lgún vlor del prámetro pr el cul el sistem se incomptible? b) Eiste lgún vlor del prámetro pr el cul el sistem se comptible determindo? c) Resuélvse el sistem pr. Solución: ) ) ) * S Clculemos los rngos de *. Rngo de ) rng) no h ningún vlor de que hg el determinnte distinto de cero, luego el rngo siempre es menor que. rng): pr que el rngo se tiene que hber lgún menor de orden distinto de cero. Clculndo los menores:,, Luego siempre que el rngo de será. R-{} rng) b) Cundo ), rng)). ls tres fils son proporcionles). Rngo de * * Tenemos que buscr un menor de orden no nulo pr que se de rngo :

22 Tem. Sistems de Ecuciones puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE),. No h ningún menor de orden no nulo l tercer fil es sum de ls dos primers), con lo que el rngo es menor que pr culquier vlor de. Vemos si h lgún menor de orden no nulo: independientemente del vlor de. Luego el rngo de * es siempre, independientemente del vlor de. R-{} rng) rng * ) INC C.I. Conclusión: R-{} Sistem Comptible indetermindo prámetro libre) Sistem incomptible sin soluciones) b) Solución cundo : el sistem es comptible indetermindo, ) S, tenemos sólo dos ecuciones independientes un prámetro libre. Si cogemos ls primers ecuciones l como prámetro libre el sistem es el siguiente: ) ') tn ') ' ' ') S S to por rng S, Junio. Prueb B.

23 Tem. Sistems de Ecuciones PR-.- Se consider el sistem λ λ λ. ) Discútse según los vlores del prámetro c. b) Resuélvse pr λ. c) Resuélvse pr λ Solución: ) ) * λ λ λ λ λ λ λ λ S Vemos el rngo de de * :. Rngo de ) rng) -λ λ- λ λ R-{}, rng) b) Cundo λ: λ), rngλ)). Rngo de * ) rng * ) siempre que R-{}. b) Pr λ de *, rng * λ)) Vemos l siguiente tbl pr discutir el sistem según el vlor de : λ λ R-{} rng) rng * ) Com In C.D. Conclusión: λ R-{-} Sistem Comptible determindo solución)

24 Tem. Sistems de Ecuciones λ Sistem comptible indetermindo infinits soluciones) b) Solución cundo λ-: El sistem es comptible determindo. Resolvemos por Crmer. Solución: -, -, - c) Solución cundo λ: El sistem es comptible indetermindo con prámetros libres. Sólo ecución independiente, tomremos, como prámetros libres. Solución: -- Junio 7. Prueb B. 7 PR-- Sen ls mtrices, B, C, D, D 5 ) Hllr l mtri B T donde B T indic l mtri trspuest de B. Es inversible? b) Hllr el rngo de T D c) Clculr M que verific l ecución B T C) ME Solución 7 No invertible pues B T dos columns proporcionles) T ) B 7 ). Es un mtri de, es decir un número, como es distinto de cero el rngo es uno. b) T D ) rng T D ) c) B t C)ME rngr)rngr*) S.C.D. Resolviendo por Crmer -/7; ; - R Septiembre 7. Prueb. puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE)

25 Tem. Sistems de Ecuciones PR-.- Se consider el sistem, donde es un prámetro rel. ) Discutir el sistem en función del vlor de. b) Resolver el sistem pr. Solución ) * Rngo de : ---)/) Si R-{,-/} rng) Si,, rng) Si -/ / /, / /, rng) Rngo de *: Si R-{,-/} rng) Si L column l column son igules, luego no todo menor de orden que esté formdo por mbos es nulo. Vemos el que qued: rng * ) Si -/ / / / rng * ) Orgnicemos l informción en l siguiente tbl:

26 Tem. Sistems de Ecuciones -/ R-{,-/} rng) Rng * ) S.I S.C.I S.C.D. Conclusión: Si -.5 el sistem no tiene solución Si el sistem tiene infinits soluciones con un prámetro libre Pr todo R-{,-/} un únic solución b) Si rng)rng * ) SCD. Tenemos que encontrr un sistem equivlente con dos ecuciones dos incógnits, psndo l otr incógnit l término independiente. Como el rngo del sistem equivlente h de ser, tommos el sistem cus fils sen ls reltivs l determinnte no nulo de orden que clculmos l estudir el rngo de. Es decir ls primers ecuciones con, como incógnits. ) ) Podemos resolverlo fácilmente por reducción: )) - - )-) Soluciones: t t t R Otros Ejercicios Eámenes nteiore) puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE)

27 Tem. Sistems de Ecuciones 5 Problem. Se el siguiente sistem: ) Discute según los vlores del prámetro puntos) b) Resuelve el sistem cundo se posible punto) Solución * Estudio del rngo de R Estudiemos si eiste lgún vlor de pr el cul rng). Pr que esto ocurr tiene que cumplirse que todos los menores de orden sen nulos, es decir que se nulen pr el mismo vlor de : como no eiste un vlor de que nule todos los menores de hecho no eiste ninguno que nule estos dos menores) se cumple que rng) R Estudio el rngo de * : Vemos cundo los tres menores de orden distintos de ) se nuln. El rngo será si h lgún vlor de en el que se nulen los tres menores de orden :, ) R Si rng * ), si rng * ) Resummos los resultdos en l siguiente tbl R-{}

28 Tem. Sistems de Ecuciones rng) rng * ) C.I. Inc Conclusión: Si sistem comptible indetermindo con un prámetro libre; si el sistem es incomptible, no tiene solución b) Sólo tiene solución si. Result que sólo h dos ecuciones independientes con un prámetro libre: S) S') rng ') S S' Solución, Problem. Se el siguiente sistem: ) Discute según los vlores del prámetro.75ptos) b) Resuelve el sistem cundo cundo.5 ptos) ud: fíjte en el sistem ntes de escribir * Solución Ordenndo l segund ecución: * Estudio del rngo de - -, -/ Luego : ) o -/ rng) b) R-{,-/}rng ) Estudio el rngo de * : Si R-{,-/} rng) puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE)

29 Tem. Sistems de Ecuciones 7 *,, rng * ) / * rng * ) Resummos los resultdos en l siguiente tbl - R-{,- } rng) rng * ) C.I. Inc C. D. Conclusión: sistem comptible indetermindo con un prámetro libre -/ incomptible, no solución R-{,-/}sistem comptible determindo, un solución b) sistem comptible determindo: * - / - sistem comptible indetermindo con un prámetro libre dos ecuciones independientes

30 Tem. Sistems de Ecuciones 8 puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE) S) S ) rng ) S) S ) -, // Problem. Se el siguiente sistem: ) Discute según los vlores del prámetro ptos) b) Resuelve el sistem cundo se comptible pto) Solución ), * Estudiemos el rngo de : , luego el rngo de no puede ser pr ningún vlor de, que el determinnte siempre es cero Por otro ldo, eiste un menor de orden dos no nulo, pr culquier vlor del prámetro: rng) pr culquier vlor de. Estudiemos el rngo de * : Pr que el rngo de * se menor que tienen que nulrse los menores, uno de ellos es, que como hemos visto siempre es cero, vemos pr que vlores de se nuln los otros menores., ) )

31 Tem. Sistems de Ecuciones 5 5 ± ) )) )), 5 - Pr que el rngo se menor que todos los menores de * hn de ser cero, ésto ± 5 sólo ocurre si, que pr - no se nul el º clculdo, pr no se nuln ni el º, ni el º.. R-{} rng * ) *., rng * )) Resummos los resultdos en l siguiente tbl R-{} rng) rng * ) C.I. Inc Concluisón: R-{}el sistem incomptible por tnto no tiene soluciones Si el sistem es comptible indetermindo, con infinits soluciones con un prámetro libre. ) b) ) S) ) Como el rngo es un prámetro libre, por tnto h que eliminr un ecución poner un prámetro l otro ldo del igul: ) S' ) rng S ) S). No hce flt utilir Crmer, ) sustituendo por en ), ls soluciones son:, - Problem. Se el siguiente sistem

32 Tem. Sistems de Ecuciones puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE) : ) Discute según los vlores del prámetro.75ptos) b) Resuelve el sistem cundo cundo.5 ptos) Solución ) * Estudiemos el rngo de : - si,. R-{,} rng). Pr : rng). Pr : rng) Estudiemos el rngo de *:. Pr R-{,} rng * ), pues rng).. Pr *, tenemos que el menor de orden : rng * ). Pr * Todos los menores de de orden son nulos:

33 Tem. Sistems de Ecuciones,, rn * ) pues Resummos los resultdos en l siguiente tbl R-{,} rng) rng * ) Inc C.I. C. D. Conclusión: R-{,}, sistem comptible determindo, si, sistem comptible indetermindo, si, sistem incomptible. b) ) ) ) ) S tenemos que rng),luego sólo h dos ecuciones independientes un prámetro libre ) ') ) ' ) ) S S rng S. Ls soluciones son, ) ) ) ) S Comptible determindo, resolvemos por Crmer: -,, 5 Problem5: Discútse el siguiente sistem resuelvs cundo se posible.

34 Tem. Sistems de Ecuciones puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE) * ) S. Rngo de * ) rng * ) * -) ),-, Por lo tnto R-{,-,} el rngo de * es b) Vemos el rngo pr. *, tomndo el menor: luego rng * )) c) Rngo pr -, tomndo el menor: rng * -)) d) Rngo pr rng * )). Rngo de ) El rngo máimo es, luego pr R-{,-,}, donde el rngo de * es, el sistem es incomptible. Vemos pr los demás vlores de b) rng)

35 Tem. Sistems de Ecuciones - rng-)) c) rng)) Resummos los resultdos en l siguiente tbl: - R-{,-,} rng) < Rng * ) Sistem C.D. C.D C.I. INCOM Conclusión: Si, - el sistem tiene un únic solución Si el sistem tiene infinits soluciones con dos prámetros libres Si R-{,-,}no tiene solcuiones b) Resolver si : sistem homogéneo C.D. Resolver si : Como el rngo es uno, nos quedmos con un ecución dos prámetros libres: -- s t s t t,s R Resolver si - el rngo de es, luego nos quedmos con tres ecuciones; cundo vimos el rngo ls ecuciones ern l ), l ) l ). Por Crmer,,

36 Tem. Sistems de Ecuciones Hcer los siguientes problems Problem 5. Se el siguiente sistem: m m m ) Discute según los vlores del prámetro m.75pto) b) Resuelve el sistem si m..5 ptos) c) Resuelve el sistem si m pto) Problem. Se el siguiente sistem: ) Discute según los vlores del prámetro.75ptos) b) Resuelve el sistem cundo se posible es decir no se incomptible)..5 ptos) puntes de Mtemátics II ºBchillerto) pr preprr el emen de l PU LOE)