ESTRATEGIAS PERT EN EL MERCADO DE OPCIONES

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1 ESTRATEGIAS PERT EN EL MERCADO DE OPCIONES JOSÉ GARCÍA PÉREZ Departamento de Economía Aplicada SALVADOR CRUZ RAMBAUD Departamento de Dirección y Gestión de Empresas ANTONIO S. ANDÚJAR RODRÍGUEZ Departamento de Estadística y Matemática Aplicada Universidad de Almería 1. CAPITALES FINANCIERO-ALEATORIOS De acuerdo con Gil Peláez (199) un capital financiero-aleatorio es "toda variante 1 bidimensional (ξ,η) que representa a todos y cada uno de los posibles capitales asociados a los resultados de un fenómeno aleatorio". En la práctica financiera, los capitales financiero-aleatorios pueden presentarse de multitud de formas, por lo que seguidamente expondremos algunas de ellas, de menor a mayor complicación metodológica y ofreciendo, en todo momento, un enfoque relacionado con la cotización de activos financieros AMPLIACIÓN ÚNICA E INMEDIATA DE ACCIONES Si, inmediatamente antes de la ampliación en t 0, hay N acciones que cotizan a un precio P y queremos emitir N títulos a un precio P, inmediatamente después de la ampliación tendremos N d = N + N' acciones valoradas a un precio teórico P d que es la incógnita a determinar (De Pablo, 1995). N P N N d = N + N P P d =? t 0 Figura 1 1 Aquí se utiliza variante como sinónimo de variable aleatoria

2 t 0 Figura 40 J. GARCÍA S. CRUZ A. S. ANDÚJAR En efecto, el proceso de ampliación de capital puede ser contemplado, en este caso, como una variable aleatoria dicotómica: N P, con probabilidad N + N X = N P, con probabilidad N + N que representa el precio aleatorio de la acción de una empresa inmediatamente antes de producirse la ampliación en t 0. En este caso, el tiempo τ es cierto (t 0 ) y, por tanto, la variable ξ es ahora X. Siguiendo a Gil Peláez, una vez que se ha producido la sustitución de la variante bidimensional (ξ,η) por una variante unidimensional (ξ',τ), mediante la proyección con una ley financiera, "la función de distribución de ξ' será la inducida correspondiente y su valor medio o esperanza matemática E(ξ') es la cuantía en η que determina el capital cierto (E(ξ'),η) considerado como estadísticamente equivalente al (ξ,η) dado que las desviaciones respecto al mismo tienden a compensarse". En este caso, el valor medio de X nos proporcionaría el precio teórico de la acción después de la ampliación y, consecuentemente, el valor teórico del derecho de suscripción: NP + N P Pd = E(X) = ; d = P - Pd (1) N + N El mismo razonamiento podría hacerse cuando la ampliación es múltiple y simultánea: N', P' N'',P'' N N d = N + N'+ N'' P P d =? P d = E(X)= NP + N P + N P ; N + N + N d = P - P d ()

3 ESTRATEGIAS PERT EN EL MERCADO DE OPCIONES AMPLIACIÓN ÚNICA DIFERIDA. En este caso, se supone que la cotización de las acciones va a crecer a una tasa media por período q, con lo que la evolución del precio de un título viene dado por un proceso financiero-aleatorio continuo en el intervalo [t 0,t s ], donde para todo t [t 0,t s ]: t t N 0 P(1+ q ), con probabilidad N + N X = N P, con probabilidad N + N siendo t 0 la fecha en que se toma la decisión de ampliar y t s la fecha en que se producirá efectivamente la ampliación. Así: t t 0 NP(1+ q ) + N P t t0 Pd(t)= E(X(t))= ; d(t)= p(1+ q ) - Pd (t) (3) N + N Como puede observarse, en los casos anteriormente expuestos, el capital financiero-aleatorio empleado se ha ido haciendo cada vez más complejo. En efecto, hemos empezado considerando una variable aleatoria localizada en un punto y hemos finalizado con un proceso estocástico y financiero, pasando por una variable aleatoria que toma n valores en el punto t 0. Ahora bien, el tratamiento de estos capitales se ha efectuado desde un punto de vista "estocástico" ya que el elemento "financiero" no existe al estar ausente el concepto de ley financiera. Es por ello que seguidamente vamos a desarrollar un ejemplo "completo" de capital financiero-aleatorio, haciendo una descripción, desde nuestra perspectiva, de las operaciones con opciones.. OPCIONES Consideremos un activo cualquiera o un título cuyo precio está sometido a fluctuaciones en los mercados correspondientes. Para protegerse de cambios bruscos en el precio del activo o simplemente por motivos especulativos, los agentes financieros recurren a un instrumento llamado opción que es un derecho (no una obligación) para comprar (opciones call) o vender (opciones put) el activo subyacente a un precio determinado de antemano. Si la opción puede ser ejercida en cualquier momento entre la fecha de compra y la fecha de ejercicio, la opción es americana, mientras que si la fecha de ejercicio es fija, la opción es europea. Pues bien, las operaciones con opciones son operaciones financiero-aleatorias en las que intervienen: 1º) Una ley financiera, usualmente la capitalización compuesta.

4 4 J. GARCÍA S. CRUZ A. S. ANDÚJAR º) Un capital financiero-aleatorio (ξ,τ), donde el dominio de la variable aleatoria τ es {t}, en el caso de una opción europea, o un intervalo [t 0,t 1 ], en el caso de que la opción sea americana, siendo t 0 la fecha de compra de la opción y t 1 la fecha de ejercicio (máxima) de la opción. Lo cierto es que, en un principio, la cotización del activo subyacente es un capital del que no se conoce su distribución de probabilidad pero sobre la que se efectúan diversas hipótesis en orden a determinar el valor teórico de la opción. Con carácter general, si la función de distribución conjunta del capital financieroaleatorio es F(C,t) = Prob (ξ C,η t) y F(t,p) es la ley financiera unitaria empleada, el valor de la opción en un instante τ es F( τ, p) + Cτ = (C - E)dF(C/ τ) E (4) F( t0, p) siendo F(C/τ) la función de distribución de la variable aleatoria ξ condicionada a η = τ, y F( τ, p) el factor financiero de desplazamiento negativo o a izquierda de τ a t 0. F( t0, p) Dicho de otra forma, C τ es la esperanza matemática, actualizada, de la variable aleatoria máx(ξ-e,0) condicionada a η = τ, a la que llamaremos µ τ, es decir: 1 Cτ = τ- E( µ ) t (1+ i ) 0 τ (5) en el supuesto de que la ley financiera de valoración sea la capitalización compuesta de parámetro i. Una vez que hemos hecho un planteamiento general del valor teórico de una opción, supuesta conocida la distribución de probabilidad conjunta del capital financiero-aleatorio correspondiente, nuestro objetivo es proponer un proceso estocástico de distribuciones beta para la cotización del activo subyacente a una opción. Hasta ahora, existen dos modelos fundamentales para calcular el valor teórico de una opción (Lamothe, 1993): 1º)El modelo de Cox-Ross-Rubinstein, basado en un proceso aleatorio en el que el precio del activo puede evolucionar al alza, con una determinada probabilidad, o hacerlo a la baja, con la probabilidad complementaria. Como puede demostrarse, dichas probabilidades están relacionadas con el tipo de interés de los activos libres de riesgo. º)El modelo de Black-Scholes, basado en un proceso estocástico en el que el precio del activo evoluciona como un "ruido blanco", obteniéndose un proceso de distribuciones normales. A pesar de que estos dos modelos son generalmente utilizados, no cabe duda que presentan algunos inconvenientes importantes y que no son los derivados

5 ESTRATEGIAS PERT EN EL MERCADO DE OPCIONES 43 precisamente de las limitaciones que exhiben. En efecto, el modelo de Cox-Ross- Rubinstein utiliza un proceso estocástico de variables aleatorias binomiales para estimar la cotización del activo subyacente a la opción. Surge así un modelo probabilístico basado en una distribución discreta y en un crecimiento o decrecimiento fijados de antemano. Por su parte, la distribución normal es la distribución contínua que se obtiene cuando el número de experimentos en la binomial tiende a infinito. Es lógico que haya surgido un procedimiento basado en este modelo probabilístico, ya que la distribución normal supera las críticas anteriores. Este método es el modelo de Black-Scholes. Sin embargo, la distribución normal tiene algunas limitaciones que ya fueron comentadas por los creadores de la metodología PERT 3 cuando justificaron el uso de una distribución beta como modelo de distribución para la duración de una actividad en lugar de la normal. Las razones esgrimidas en aquellos momentos son los graves inconvenientes que presenta la normal para modelizar adecuadamente esa variable aleatoria, a saber: 1º)La variable aleatoria cotización tiene un recorrido finito y la normal no, es decir, la cotización de un activo financiero es finita y las colas de la distribución normal no. º)Generalmente, la cotización de un activo es esencialmente asimétrica y la distribución normal es completamente simétrica. En definitiva, proponemos, para la valoración de un activo financiero, la distribución beta de primera especie que puede presentar un recorrido finito, (Dumas de Rauly, 1968) y tener una moda con todo tipo de asimetría (Pérez Rodríguez, 1995). Incluso podemos utilizar distribuciones alternativas a la beta como la distribución Berny que permite que una de las colas sea infinita (concretamente, en este caso, la de la cotización superior, ya que la cotización inferior está limitada por el cero, de una forma natural). Como sabemos la metodología PERT utiliza la distribución beta de primera especie como modelo probabilístico subyacente. Esta distribución tiene la función de densidad (x - a ) f(x)= (b- a ) p-1 (b- x ), β(p,q) p+q-1 q-1 a x b, p > 1, q > 1 (6) Estas limitaciones son independientes de las hipótesis que deben cumplir ambos modelos. Para ello, véanse, por ejemplo, Ferruz y otros (1994) o Díez de Castro y Mascareñas (1994). 3 PERT: Program Evaluation Research Task, Phase I Summary Report, Special Projects Office, Bureau of Ordenance, Department of the Navy. Washington D.C. Julio 1958, citado por MacCrimmon, K.R. y Ryavec, C.A. (1964).

6 44 J. GARCÍA S. CRUZ A. S. ANDÚJAR Las características estocásticas de esta distribución (Dumas de Rauly, 1968) son las siguientes: p 1 q 1 Moda m = b + a (7) p + q p + q Media Varianza p q µ = b+ a (8) p+ q p + q pq(b- a ) σ = (9) (p+ q - 1)(p+ q ) El método PERT requiere que el "experto" asigne tres valores distintos (tiempos (T) en el caso de tareas, flujos de caja (Q) en el caso de inversiones, etc.), a saber, T 0 (Q 0 ) optimista, T m (Q m ) más probable y T p (Q p ) pesimista. Cada una de estas estimaciones tiene un sentido claro en el problema y nos permite identificar directamente a y b, haciéndolos coincidir, según el caso, con los valores pesimista y optimista; si además se identifica el valor más probable con la moda, véase la ecuación (7), se tiene la siguiente expresión que relaciona p con q p - 1 q - 1 T m = b + a (10) p + q - p + q - Esta expresión, obviamente, no determina exactamente los valores de p y q. El PERT clásico sacrifica en este punto el rigor en favor de la simplicidad aceptando implícitamente que: p = 3 + y q = 3 -, si a + b m > (11) p = 3 - y q = 3+, si a+ b m < (1) En el caso de que la moda sea ( a + b), se utiliza una distribución simétrica β(4,4,a,b). Se puede comprobar fácilmente que, a partir de la ecuación (10) y las relaciones (11) y (1), es posible obtener directamente las fórmulas de los parámetros del PERT clásico, a saber: a + 4m + b (b - a ) µ = y σ = (13) 6 36 sin hacer uso de ningún tipo de hipótesis adicional, ni de relaciones simplificadores, ni de razones lógicas. Por otra parte, parametrizando las ecuaciones anteriores (llamando k = p+q-), Golenko-Ginzburg (1988) obtiene: m - a b - m p = 1+ k y q = 1+ k (14) b - a b - a

7 ESTRATEGIAS PERT EN EL MERCADO DE OPCIONES 45 y, a partir de ellas, deduce unas expresiones más generales que las (13) para los parámetros del modelo probabilístico del PERT: a+ km+ b Media µ = (15) k + Varianza Moda Media Varianza t f(t)= p-1 k (m - a)(b- m) + (k +1)(b- a ) σ = (16) (k + 3)(k+ ) Obsérvese que estos modelos probabilísticos ponderan de forma variable el valor más probable determinado por el experto. Posteriormente, Herrerías (1989) establece la siguiente relación entre los parámetros (15) y (16) ( µ - a)(b- µ ) σ = (17) k +3 Como p>1 y q>1, es evidente que k variará en el intervalo (0, ) y, por tanto, para unos valores dados de a, b y m, existe una distribución beta distinta, para cada valor de k mayor que 0. Como puede observarse, comparando las expresiones de la media (13) y (15), el caso clásico del PERT corresponde al valor de k = 4. Pero siempre, como afirma Sasieni (1986), se puede plantear el caso más general con las ecuaciones (15) y (16), en lugar de las ecuaciones (13). Por otra parte, si se hace el cambio x - a tx = (18) b - a (con lo cual t a = 0, t b = 1 y sólo varía la moda estandarizada que estará entre 0 y 1), las ecuaciones anteriores (6), (7), (8) y (9) quedan reducidas a las expresiones siguientes: (1- t ) β(p,q) q-1 si 0 t, p > 1 y q > 1 (19) p - 1 m = (0) p+ q - p µ = (1) p + q pq σ = () (p+ q +1)(p+ q ) y las reparametrizadas (14), (15), (16) y (17) se reducen a: p = 1+ km, q = 1+ k(1- m) (3) Media 1+ km µ = (4) k +

8 46 J. GARCÍA S. CRUZ A. S. ANDÚJAR Varianza k m(1- m) +(k + 1) σ = (5) (k + 3)(k+ ) µ (1- µ ) σ = (6) k + 3 Obsérvese que si p y q cumplen las relaciones (11) o (1) entonces la moda m está perfectamente determinada sin necesidad de preguntarle al experto, ya que, a partir de (0) puede obtenerse, según la asimetría de la distribución beta, que: 1 m = ± (7) 4 Evidentemente, si se sustituye en (5) cualquiera de los dos valores de m dados en (7) y se toma k = 4, se obtiene que σ =1 36, valor coincidente con el estandarizado obtenido a partir de (13) y, recíprocamente, si se toma k = 4 y que (5) es 1 36, se obtiene (7). 3. PROPUESTA DE UN NUEVO MODELO DE VALORACIÓN DE OPCIONES BASADO EN LA METODOLOGÍA PERT Si en el método PERT eran básicas las estimaciones del experto sobre los valores optimista, pesimista y más probable (PERT clásico), para estimar la cotización de un activo financiero podemos sustituir inicialmente al experto por los valores históricos del activo subyacente: 1º) Valores optimista y pesimista: Es conocido que los valores máximo y mínimo son publicados diariamente por la prensa económica. Su seguimiento periódico puede permitirnos estimar su evolución mediante series temporales u otros métodos econométricos. No cabe duda de que esta mecánica, aunque fácil de realizar con la ayuda del ordenador, es muy laboriosa por lo que podríamos pensar en los valores máximo y mínimo absolutos en un período de tiempo (por ejemplo, un año). Esta información también está disponible en las publicaciones económicas especializadas y puede ser utilizada directamente o bien proyectando sus valores mediante una ley financiera hasta el momento de ejercicio de la opción. º) Valor modal: La determinación del valor modal histórico exigiría un seguimiento diario de la cotización del activo en un determinado momento (al cierre, en una hora determinada, etc.) de la sesión. Posteriormente se proyectaría por métodos econométricos, lo que no impide, como antes, la previsión por parte del experto.

9 ESTRATEGIAS PERT EN EL MERCADO DE OPCIONES 47 3º) Valor medio: Como sabemos, el PERT clásico restringe la elección de la beta cuatriparamétrica a una subfamilia al objeto de poder determinar los cuatro parámetros a partir de las tres estimaciones del experto y de la restricción impuesta. Nuestro propósito es superar estas críticas y elegir, para cada caso, la beta específica. Para ello, podemos utilizar como cuarto dato la media, de la que podemos disponer de una evolución histórica fácil de conseguir en la información de los sharts. Otras formas de conseguir este dato sería utilizando los métodos de subasta (Herrerías y García, 1996) o de confianza (García, Cruz y Andújar, 1997) FUNCIONAMIENTO DEL MODELO. EJEMPLOS Y COMPARACIÓN CON OTROS MODELOS A) Primer caso: Consideremos un activo financiero del que hemos estimado los valores mínimo (a), máximo (b), más probable (m) y medio (µ): a(t) a(t 1 )=a b(t) b(t 1 )=b m(t) m(t 1 )=m µ (t) µ ( t 1 ) = µ t 0 t 1 Figura 3 El conocimiento de a y b nos permite utilizar las fórmulas (0) y (1) de la moda y de la media estandarizadas, respectivamente: p - 1 p m = µ = p+ q - p +q Además, como m y µ también son conocidas, estamos en presencia de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que siempre tiene solución: m - 1 m - 1 p = µ y q = (1- µ ) (8) m - µ m - µ La exigencia de que p>1 y q>1 en una distribución beta nos lleva a afirmar que estas soluciones tendrán sentido sólo cuando m' > µ' > 1/, lo que, deshaciendo la estandarización, es equivalente a m > µ > ( a + b).

10 48 J. GARCÍA S. CRUZ A. S. ANDÚJAR a ( a+ b) µ m b Figura 4 O bien m'<µ'<1/, lo que es equivalente a m < µ < ( a + b) a m µ ( a + b ) Figura 5 b En lo que sigue, vamos a llamar: S: Precio del activo subyacente en el momento de la compra o de la venta de la opción. E: Precio de ejercicio de la opción, de compra en una call y de venta en una put. n: Número de períodos entre el momento actual (t 0 ) y el vencimiento de la opción (t 1 ). rˆ : 1 + tipo de interés de los activos libres de riesgo. EJEMPLO a = 40,96 n = 4 meses b = 07,36 rˆ = 1,0 m = 9,16 µ = 108,4 La disposición práctica de los cálculos podría ser: a #1. µ = µ -. b - a

11 ESTRATEGIAS PERT EN EL MERCADO DE OPCIONES 49 #. m - a m =. b - a #3. m - 1 # - 1 p = µ =#1. m - µ #-#1 #4. m #1 q = (1- µ ) =#3. m - µ #1 #5. Γ(p) Γ(q) Γ(#3) Γ(#4) β (p,q)= =. Γ(p+ q) Γ(#3+#4) #6. n p+q-1 #3+#4-1 rˆ (b - a ) β (p,q)= r(b ˆ - a ) #5. b E p-1 q-1 #7. (x - E)(x - a ) (b - x ) dx. #7 #8.. #6 La implementación de estos cálculos en el programa DERIVE nos da como solución que C = 19,33 u.m. y P = 11,71 u.m.. Hay que hacer notar que este primer caso descrito es muy propicio para relacionar nuestro modelo con el de Cox-Ross-Rubinstein. En efecto, conocidos los parámetros del modelo de Cox-Ross-Rubinstein, a saber: u: factor multiplicativo al alza en el precio del activo con probabilidad p, d: factor multiplicativo a la baja en el precio del activo con probabilidad q = 1-p, podemos calcular los parámetros de nuestro modelo de la siguiente forma: a = S.d n, (9) b = S.u n, (30) µ = S.(p.u+q.d) n, (31) m = S.u k.d n-k n k n-k n i n-i, siendo k tal que p q = max p q k i n (3) 1 i Concretamente, el ejemplo anterior está deducido con las fórmulas anteriores de un ejemplo de Lamothe (1993) en el que: u = 1,, con p = 0,55, d = 0,8, con q = 0,45. En este caso, C = 19,66 u.m. y P = 1,04 u.m.. Recíprocamente, conocidos los parámetros de nuestro modelo, podemos conocer los del modelo de Cox-Ross-Rubinstein mediante las relaciones: S d = n. (33) a

12 50 J. GARCÍA S. CRUZ A. S. ANDÚJAR S u = n. (34) b µ S n - n S b p = ; q= 1 - p, (35) S S n - n a b siempre que µb > S. Obsérvese que, para hallar p y q, hemos utilizado la media. También podría haberse utilizado la moda pero con el inconveniente de que se obtendría un intervalo de fluctuación posible para p y q. B) Segundo caso: Consideremos un activo financiero del que hemos estimado los valores mínimo (a), máximo (b), medio (µ) y la varianza (σ ) 4 : a(t) a(t 1 ) = a b(t) b(t 1 ) = b µ(t) µ(t 1 ) = µ σ(t) σ(t 1 ) = σ t 0 t 1 Figura 6 El conocimiento de a y b nos permite utilizar las fórmulas [1] y [] de la media y de la varianza estandarizadas, respectivamente: µ = p p+ q σ pq = (p+ q +1)(p+ q ) Además, como m y µ también son conocidas, estamos en presencia de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que siempre tiene solución: µ µ - -σ µ - µ - p = µ σ y q = (1- µ ). (36) σ σ La exigencia de que p>1 y q>1 en una distribución beta nos lleva a afirmar que estas soluciones tendrán sentido sólo cuando 4 Para un análisis exhaustivo de las volatilidades histórica, implícita y futura, véase Lamothe (1993).

13 ESTRATEGIAS PERT EN EL MERCADO DE OPCIONES µ 1- µ σ < min µ, µ (37) µ EJEMPLO a = 60,03 n = 3 meses b = 134,94 rˆ = 1,01 σ = 13,50 µ = 9,74 La disposición práctica de los cálculos podría ser: #1. a µ = µ -. b - a #. σ = σ. b - a µ - - µ σ #1-# -# #3. p = µ =#1 1. σ # µ - µ -σ 1-#1 #4. q = (1 - µ ) =#3. σ #1 La implementación de estos cálculos en el programa DERIVE nos da como solución que C = 9,8 u.m. y P =,31 u.m.. Análogamente al caso anterior, hay que hacer notar que este segundo caso descrito es ideal para relacionar nuestro modelo con el de Black-Scholes. En efecto, conocidos los parámetros del modelo de Black-Scholes, σ, volatilidad del título, podemos calcular los parámetros de nuestro modelo, a través de los del modelo de Cox-Ross-Rubinstein, de la siguiente forma: rt n u = e 1 t n (38) 1 d = (39) u rˆ = e, siendo r = ln(1+i), (40) rˆ - d p = ; q = 1 - p (41) u - d Si realizamos el ejemplo anterior por el método de Black-Scholes Lamothe (1993) obtendríamos: C = 9,66 u.m. y P =,8 u.m.. Recíprocamente, conocidos los parámetros de nuestro modelo, podemos conocer los del modelo de Black-Scholes mediante la relación:

14 5 J. GARCÍA S. CRUZ A. S. ANDÚJAR volatilidad = µ σ, (4) ya que realmente la volatilidad empleada en Black-Scholes es el coeficiente de variación y no la desviación típica. La descripción de los dos casos anteriores no agota las posibilidades de utilización de nuestro modelo. Por ejemplo, si no conocemos la media pero conocemos la opinión del experto sobre la moda y su confianza en ella, también puede quedar determinada la beta. Finalmente, debemos observar que estos procedimientos podrían haberse realizado también utilizando las fórmulas [3], [4], [5] y [6], hallando el valor de k como parámetro de conexión entre a, b, m, µ y σ y p y q. En definitiva, podemos esquematizar las relaciones entre los tres modelos en la siguiente figura: (38) (39) (40) (41) MODELO DE COX ROSS RUBINSTEIN MODELO DE BLACK - SCHOLES (9) (30) (31) (3) (33) (34) (35) (4) NUESTRO MODELO Relación recogida en este trabajo Relación no recogida en este trabajo Figura 7 4. ESTRATEGIAS PERT EN EL MERCADO DE OPCIONES 4.1. INTRODUCCIÓN. El comprador de una opción conoce el precio al que le venden la opción (C v = C ó P, según se trate de una opción de compra o de venta) y el precio de ejercicio de la opción E; a partir de ellos puede elaborar una estrategia para decidir si debe o no comprar la opción al precio de coste C v. La elaboración de la estrategia parte de las siguientes hipótesis:

15 ESTRATEGIAS PERT EN EL MERCADO DE OPCIONES 53 1ª) El precio del activo subyacente sigue una distribución beta de 1ª especie. Las razones de esta hipótesis han sido ya expuestas a lo largo de este trabajo. ª) El vendedor, cuando fija el coste C v para un precio E del activo subyacente en el período de ejercicio, considera anticipadamente que el valor del activo subyacente en el período de ejercicio coincidirá con la moda m, por lo que el caso en que E sea mayor que m no tiene interés en ser estudiado ya que siempre gana el vendedor y pierde el comprador 5 en el caso de una call y recíprocamente en el caso de una put. En conclusión, consideraremos sólo el caso en que E < m. En lo que sigue, para fijar ideas, vamos a centrarnos en el comprador de una opción call. 4.. DATOS DISPONIBLES. Admitidas estas hipótesis y como ya hemos afirmado, el comprador de una opción sobre un determinado bien puede conocer, a través de las publicaciones comerciales habituales, el valor mínimo (a), el valor máximo (b) y la media (µ) que ha alcanzado el bien en cuestión en las últimas n sesiones 6. Estos valores a, b y µ pueden proyectarse hasta el período de ejercicio siguiendo una ley financiera, una serie temporal o un modelo econométrico. Por tanto, podemos suponer que el comprador conoce de antemano los valores mínimo (a), máximo (b) y medio (µ) en el período de ejercicio. A partir de estos valores, podemos distinguir dos casos: 1º) ( a + b) < µ º) ( a + b) > µ ESTUDIO DEL PRIMER CASO. En este caso, la moda m > µ y sólo compraremos en el recorrido (a,m), es decir, cuando E < m. El comprador piensa que el precio del activo subyacente en el período de ejercicio es menor que m, de modo que si en el período de ejercicio ocurre lo más probable, es decir, la moda: 5 Al vendedor le interesa vender la opción a cualquier precio y al comprador no le interesa comprar a ningún precio. 6 n es el número de sesiones anteriores que el comprador decide utilizar para elaborar su estrategia. Sería interesante fijar, si se pudiera, un valor óptimo para n, pero en principio es lógico pensar que, cuanto mayor sea, mejor será.

16 54 J. GARCÍA S. CRUZ A. S. ANDÚJAR a µ E m Figura 8 Cv b él pueda comprar a E, vender a m y resarcirse de C v. Por lo tanto, considerará que la moda es, al menos: m = E + C v. (43) A partir de a, b, µ y m, podrá determinar una única beta β(a,b,p,q) 7 y obtener el precio del comprador para la opción, según la fórmula: b (x - E)(x- a ) (b - x ) = dx (44) E p+q- β(p,q)(b- a ) p-1 q-1 Cc 1 Finalmente, decidiremos del siguiente modo: * Si C c > C v entonces se compra. * Si C c < C v entonces no se compra. * Si C c = C v entonces es indiferente ESTUDIO DEL SEGUNDO CASO. En este caso, se daría la siguiente situación: a E m µ Cv Figura 9 El comprador pensaría que el vendedor conoce la moda m que, en este caso (y siempre bajo el supuesto de la distribución beta), será menor que µ y mayor que el b 7 Siempre que m > µ; en caso contrario, no sería aplicable la estrategia.

17 ESTRATEGIAS PERT EN EL MERCADO DE OPCIONES 55 valor E al que se ofrece la opción cuyo precio es C v (propuesto por el vendedor). Según el comprador, el vendedor cree que lo más probable es que ocurra m, luego si vende a un valor E < m, y ocurre m, pondrá el precio de la opción (C v ), como mínimo, en un valor tal que E + C v = m y, a partir de a, b, m y µ, obtendrá la beta β(a,b,p,q) y calculará C c por la fórmula [44], estableciendo una regla similar a la anterior. BIBLIOGRAFÍA DE PABLO, A. (1995): Matemática de las Operaciones Financieras. U.N.E.D., Madrid. DÍEZ DE CASTRO, L. y MASCAREÑAS, J. (1994): Ingeniería Financiera. Ed. MacGraw- Hill, Madrid. DUMAS DE RAULY, D. (1968): L'estimation Statistique. Gauthier-Villars, París. FERRUZ, L. (1994): Operaciones Financieras. Descripción, análisis y valoración. Ed. Ariel, S. A., Barcelona. GARCÍA, J., CRUZ, S Y ANDÚJAR, A.S. (1997): La confiance de l'expert comme base pour particulariser la bêta du PERT. Revista Europea de Dirección y Economía de la Empresa (en revisión). GIL, L. (199): Matemática de las Operaciones Financieras. Editorial AC, Madrid. GOLENKO-GINZBURG, D. (1988): On the Distribution of Activity Time in PERT. J. Op. Res. Soc., Vol. 39, Núm. 8, pp HERRERÍAS, R. (1989): Utilización de modelos probabilísticos alternativos para el método PERT. Aplicación al Análisis de Inversiones. Estudios de Economía Aplicada, Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Valladolid, pp HERRERÍAS, R y PÉREZ, E. (1996): Nuevos argumentos a favor del modelo probabilístico del PERT. X Reunión Anual Asepelt-España, Albacete (en prensa). HERRERÍAS, R. y GARCÍA, J. (1997): Modelos probabilísticos de la metodología PERT. Mesocúrticos y de varianza constante. Actualidad Financiera (en revisión). LAMOTHE, P. (1993): Opciones Financieras. Ed. McGraw-Hill, Madrid. SASIENI, M.W.(1986): A Note on PERT Times. Management Science, Núm. 3, pp Artículo defendido en la I Reunión Científica de Programación, Selección y Control de Proyectos, celebrada en 1997 en la Universidad de Almería. Publicado en las Actas de la mencionada Reunión, páginas (Servicio de Publicaciones de la Universidad de Almería)

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