9 SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES

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1 9 SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 9. Co ua calculadora, forma térmios de las siguietes sucesioes y estudia a qué valores tiede. a) a b) b c) c 5 a) a a 8 5,6 a 0 00,98 a , Se observa que tiede a. b) b,5 b 0 0,757 b 00 00,97 b , Se observa que tiede a. c) c 5 0, c 0, c 0 0,0 c 00 0,00 c 000 0,000 c ,0000 Se observa que tiede a Calcula térmios de las siguietes sucesioes y observa si tiee límite. a) a b) b c) c a) a a 5 a 0 0 a La sucesió o parece teder a igú úmero real; por tato, o tiee límite. b) b b 8 b b La sucesió o parece teder a igú úmero real; por tato, o tiee límite. c) c c c 0 8, c 00 98,09 c ,00 c La sucesió o parece teder a igú úmero real; por tato, o tiee límite Dada la sucesió a : a) Halla su límite. b) Calcula las distacias etre los térmios a 0, a 00 y a 000, y el límite. c) A partir de qué térmio esta distacia es meor que ua cetésima? d) Y meor que ua diezmilésima? a) Calculamos alguos térmios: a 0,95 a 00,9955 a 000,999 6 Por tato, lim. b) a 0,95 0,066; a 00,9955 0,00665; a 000,999 0, c) a , A partir del térmio 67, la diferecia etre los térmios de la sucesió y su límite es meor que ua cetésima. d) b ,. A partir del térmio 6667, la diferecia etre los térmios de la sucesió y su límite es meor que ua diezmilésima. 76

2 9. La sucesió de térmio geeral b tiee por límite 0. Halla a partir de qué térmio se verifica que b 0 < 0, Por tato, a partir del térmio se verifica que: b La sucesió de térmio geeral c tiee por límite. Calcula a partir de qué térmio se verifica que c < 0, ,6. Por tato, a partir del térmio 87 se verifica que: c Comprueba que la sucesió de térmio geeral a 7 tiede a meos ifiito. Calculamos alguos térmios de la sucesió: a 0 7; a 00 07; a ; a Los térmios se va haciedo cada vez meores, de forma que por muy pequeño que sea u valor, siempre ecotramos térmios iferiores a él. Por tato, lim a. 9.7 Comprueba que lim ( 5). Formamos alguos térmios de la sucesió: a 0 50; a ; a Los térmios se va haciedo cada vez mayores, de forma que por muy grade que sea u valor, siempre ecotramos térmios superiores a él. Por tato, lim ( 5). 9.8 Dados k y la sucesió de térmio geeral a, averigua a partir de qué valor del ídice sus térmios so mayores que k. a ,995 A partir del térmio 00, los térmios siguietes so mayores que Efectúa las siguietes operacioes cuado. a) ( ) b) a) ( ) () b) 0 () ( ) 9.0 Realiza las correspodietes operacioes cuado. a) (5) 5 b) a) (5) 5 5 () 5 5 b) 0 77

3 9. Dadas las sucesioes a y b 5 5, 9 calcula: a 5a ylim b ylim 7b c) lim (a b )ylim(a ) b a) Formamos alguos térmios de las sucesioes para hallar los límites. a 0, ; a 00,907 ; a 000,9900 Por tato, lim 5 b 0 0, ; b 00 0,097 ; b 000 0,009 Por tato, lim 5 0, 5 (5a ) lim 5 lim (7b ) lim 7 5 c) lim (a b ) lim lim (a ) b lim 5 5 lim lim lim lim 5 lim b (a ) Dadas las sucesioes a y b 5, halla: a ylim b (a b ) c) lim a b ylim(a ) b a) Formamos alguos térmios de las sucesioes para hallar los límites. a 0 0,95 ; a 00 0,9995 ; a 000 0,99995 Por tato, lim 5 b 0 6,66 ; b 00 6,906 ; b 000 6,9 7 Por tato, lim 7 (a b ) lim lim lim a c) lim lim b 5 7 lim 5 7 lim 7 lim (a ) b lim lim b (a ) 7 9. Halla lim lim lim

4 9. 5 Calcula lim. lim lim Dada la sucesió de térmio geeral: a 9 9. a) Halla los térmios a 00, a 000 y a b) Está acortada la sucesió? Es creciete? 09 a) a ,7059 ; a b) La sucesió está acotada superiormete y es creciete ,769 ; a , Dada la sucesió de térmio geeral: a. a) Calcula los térmios a 00, a 000 y a b) Está acortada la sucesió? Es creciete? a) a ,705 ; a ,769 ; a ,78 b) La sucesió está acotada superiormete y es creciete 9.7 Calcula: lim 5 e lim lim lim e 5 e Calcula: 5 lim lim lim ( ( ) ) e e 5 lim lim lim e 79

5 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 9.9 De forma muy parecida se obtiee el aticopo de ieve. Observa la secuecia siguiete.... Cuáles será los perímetros sucesivos de las figuras aticopo de ieve? Forma la sucesió de los perímetros. Sea L la medida del lado del triágulo equilátero. Los parámetros sucesivos de las figuras aticopo de ieve so: p L p L L L L 8L p L 6L 9 Para pasar del perímetro de ua figura al de la siguiete, basta co multiplicar por. La sucesió de los perímetros es ua progresió geométrica de razó ; por tato, los térmios de esta sucesió so los siguietes: L; (L); (L); (L) 9.0 Observa las siguietes figuras.... A partir de u recuadro, lo vamos bordeado co semicircuferecias y aparece dos sucesioes: las áreas rayadas e verde y los perímetros de las semicircuferecias. Estudia ambas sucesioes. Sea L la medida del lado del cuadrado. Sucesió de las áreas rayadas e verde: A L A L A 8 8 L L L L 8 Por tato, L ; L ; L ; L L, Sucesió de los perímetros de las semicircuferecias: L p L L p L L p 8 L 8 Se trata de ua sucesió costate. L, L, L 80

6 ACTIVIDADES EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Sucesioes. Hacia la idea de límite 9. Calcula alguos térmios de estas sucesioes y halla el valor al que tiede. a) a 5 6 c) c b) b d) d a) c) a,98,9998, b) d) b 0,77 0,097 0, c,59,06, d 0,55 0,505 0,5005 0,5 9. Comprueba si la sucesió a tiee límite. a 0 0,9; a 00 0,99; a 00 0,999 lim 9. Cuáles de las siguietes sucesioes o tiede a u valor real? a) a c) c b) b d) d 7 a) a 0 9; a 00 99; a c) c 0,95; c 00 9,995; c ,9995 b) b 0 0,975; b 00 0,9975; b 000 0,99975 d) d 0 7; d ; d Las sucesioes a, c y d o tiede a u úmero real. 9. Escribe el térmio geeral de ua sucesió cuyo límite sea. a Límite de ua sucesió 9.5 El límite de la sucesió a es. Halla el térmio a partir del cual la distacia al límite es meor que 9 0, A partir de a 89 8

7 9.6 8 Dada la sucesió a : a) Calcula su límite. b) Halla la distacia etre el térmio a 00 y el límite. Es meor que ua milésima? 8 lim 8 8 lim 8 b) ,00 0,00. No es meor que ua milésima. 9.7 Halla el límite de la sucesió b calculado alguos térmios. A partir de cuál de ellos la diferecia etre estos y el límite es meor que 0,000? b 0,8 ; b 00,98 ; b 000,998 lim b A partir de a Cosidera las sucesioes a y b. a) Calcula sus límites. b) Ecuetra e cada ua de ellas el térmio a partir del cual la diferecia etre los térmios y el límite es meor que ua milloésima. c) Compara los resultados obteidos. a) a 0 0,; a 00 0,0; a 000 0,00; lim a 0 b 0 0,; b 00 0,0; b 000 0,00; lim b E los dos casos es a partir del térmio a b) c) Los límites so iguales, y el térmio a partir del cual la diferecia etre los térmios y el límite es meor que ua determiada catidad es tambié el mismo. 9.9 Demuestra que lim. Por tato, para cualquier valor de se puede ecotrar u valor de de tal modo que a partir del térmio a, la distacia etre estos y el límite es meor que. 8

8 Sucesioes divergetes 9.0 Idica a qué tiede estas sucesioes. a) 6 0 c) 5 b) d) 0 a) a 0 60; a ; a Por tato, lim (6 0) b) b 0 80; b ; b Por tato, lim ( ) c) c 0 5; c 00 95; c Por tato, lim (5 ) d) d 0 96; d ; d Por tato, lim (0 ) 9. Calcula el térmio de la sucesió a a partir del cual todos so mayores que A partir de a Halla el térmio de la sucesió a a partir del cual todos so meores que A partir de a Comprueba que a partir del térmio b, todos los térmios de la sucesió b so meores que 000. Cuál es su límite? ,9 lim ( ) 9. Demuestra que lim 6. Dado k 0, 6 k 6 k k 6 6 k Etoces, para cada valor k 0 se puede ecotrar u valor de de modo que todos los térmios a partir de a sea meores que ese valor de k. 9.5 Dada la sucesió a : a) Calcula su límite. b) Demuestra que se puede ecotrar u térmio a partir del cual todos so mayores que 00. a) a 0 8, ; a 00 98,0 ; a ,00 Por tato, lim b) Resolvemos la iecuació obteiedo las raíces de ; 0,96, y,96 Como lo que buscamos es el térmio de la sucesió a a partir del cual todos los térmios so mayores que él, cosideramos solo la raíz positiva. El térmio buscado es 0. 8

9 Límites de operacioes co sucesioes 9.6 Si lim a y lim b, calcula: (a b ) c) lim a b (a b ) (a ) b (a b ) lim a lim b c) lim a b lim lim b a (a b ) lim a lim b (a ) b lim lim b (a ) () Halla el resultado de estas operacioes cuado. a) 7 c) b) d) ( ) (5 ) 9 a) (7 ) c) 0 b) 9 d) ( ) (5 9 ) () 9.8 Calcula: 6 5 c) lim e) lim 5 f) lim c) lim e) lim f) lim 5 Idetermiacioes 9.9 Calcula: 5 c) lim 6 e) lim 5 5 lim 6 6 e e) lim c) lim lim 0 e 8

10 9.0 Halla: c) lim lim c) lim lim lim lim Ecuetra los siguietes límites: lim lim lim e lim 8 e 8 9. Halla: 7 5 c) lim 7 lim e 7 5 lim lim 8 5 lim e 8 c) lim lim lim lim e lim lim lim e e 85

11 CUESTIONES PARA ACLARARSE 9. Si ua sucesió tiede a 0, se puede afirmar que tiee límite? Razoa tu respuesta. Sí, puesto que 0 es u úmero real. 9. A partir del térmio a 50 de ua sucesió, todos los térmios so mayores que 000. A qué tiede esa sucesió? La sucesió tiede a. 9.5 Si a partir de u térmio, todos los de ua sucesió está a ua distacia de meor que 0,0000, es el límite de esa sucesió? Sí 9.6 Si la diferecia etre los diez primeros térmios de ua sucesió y 5 es meor que 0,000, es 5 el límite de la sucesió? No ecesariamete, puesto que la distacia etre los primeros térmios de la sucesió y el límite o es importate e el cocepto de límite. 9.7 Razoa si es posible ecotrar ua sucesió de térmios egativos que tieda a. Y ua de térmios positivos que tieda a? E el primer caso, si los térmios so egativos y la sucesió es decreciete, tederá a, y si so egativos y la sucesió creciete, o tederá a u úmero. Del mismo modo, si los térmios so positivos y la sucesió creciete, tederá a, y si so positivos y la sucesió decreciete, tederá a u úmero. 9.8 Escribe ua sucesió que tieda a: a) c) b) d) a), 8,, 96, 80, 880 c), 8,, 96, 80, 880 b) ;,5;,8;,9;,99 d) ;,5;,;,0;, Explica si ua sucesió puede teer dos límites diferetes. No es posible. Como a partir de u térmio de la sucesió la diferecia etre los térmios y el límite es ta pequeña como queramos, si existiera dos límites, o se podría cumplir esa codició para los dos valores, puesto que si sucede para uo, es imposible que suceda lo mismo para el otro Razoa si so verdaderas o falsas estas afirmacioes: a) El límite de ua sucesió cuyos térmios so todos egativos es. b) Ua sucesió co todos sus térmios iguales o tiee límite. c) Si a partir de u térmio, todos los de la sucesió so mayores que u valor positivo cualquiera, la sucesió es divergete. d) Ua sucesió de térmios decimales o puede teer por límite u úmero etero. a) Falsa. La sucesió a tiede a 0 y todos sus térmios so egativos. b) Falsa. Su límite sería el valor de todos los térmios de la sucesió. c) Verdadera. Tiede a. d) Falsa. La sucesió del apartado a es u ejemplo de ello. 86

12 9.5 Cuado al calcular el límite de ua sucesió surge ua idetermiació, sigifica que: a) El límite o se puede calcular. b) Tiede a o a. c) Es ecesario utilizar otro método para obteer el límite. Señala la respuesta correcta. La respuesta correcta es la c. PROBLEMAS PARA APLICAR 9.5 Partiedo de u cuadrado de metro de lado, se costruye otros trazado paralelas a los lados por sus putos medios. ) ) ) a) Copia e tu cuadero y completa esta tabla. m Pasos 5 N. o de cuadrados 7 0 Logitud del lado del cuadrado más 8 pequeño (m) 6 b) Cuátos cuadrados hay e el décimo paso? Cuáto mide el lado de los cuadrados más pequeños e este paso? c) Estudia a qué tiede la sucesió del úmero de cuadrados y la de la logitud del cuadrado más pequeño. b) La sucesió del úmero de cuadrados e cada paso es ua progresió aritmética de primer térmio y diferecia ; por tato, e el décimo paso habrá 8 cuadrados. La sucesió de la logitud del cuadrado más pequeño es ua progresió geométrica de primer térmio y razó ; por tato, e el décimo paso la logitud del cuadrado más pequeño será 9 5. c) La sucesió del úmero de cuadrados tiede a, y la del lado del cuadrado más pequeño, a Javier y Laura se ecuetra a ua distacia de 0 metros. Javier avaza la mitad de esa distacia y Laura retrocede la cuarta parte. Después, Javier avaza de uevo la mitad de la distacia que lo separa de Laura y esta retrocede la cuarta parte. a) Halla los térmios de la sucesió que idica e cada movimieto la distacia que los separa. b) Llegará a jutarse e algú mometo? a) a ,5 a ,65 a ,875 a 0 b) Se trata de ecotrar u térmio, o lo que es lo mismo, u valor de de modo que a 0 0. Pero eso o es posible puesto que 0 para cualquier valor de. Si embargo, lim 0 0. Por tato, solo se jutaría e el. 87

13 9.5 Los padres de Jua abriero ua cartilla co 60 euros a u % aual cuado ació. a) Si o volviero a igresar diero, calcula qué catidad había al fializar el primer año, el segudo y el tercero. b) Escribe el térmio geeral que permite obteer el diero que tiee la cartilla al fial de cada año. c) Halla el límite de la sucesió. d) Si o se saca diero, a partir de qué año tedrá ua catidad superior a euros? a) Al fializar el primer año: a ,0 60,0 6, Al fializar el segudo año: a 60,0,0 60,0 6, Al fializar el tercer año: a 60,0,0 60,0 6,678 b) a 60,0 c) lim (60,0 ) d) 60, , log,0 log log , log,0 A partir del año 59. log,0 log El crecimieto de ciertas platas es de aproximadamete 0, milímetros al día. a) Calcula el térmio geeral de la sucesió que muestra su crecimieto diario. b) Si se deja crecer idefiidamete, a partir de qué día su altura será superior a metro? a) Si l es la logitud de la plata, a l 0, b) m 000 mm l 0, 000 0, 000 l l Segú la logitud iicial de la plata, el valor de varía De u material radiactivo se sabe que kilogramo se reduce a la mitad cada año. a) Cuál es el térmio geeral de la sucesió que expresa la pérdida de material co el tiempo? b) A qué tiede esta sucesió? c) Ecuetra el año a partir del cual la catidad de material que queda es iferior a gramo. a) a 0 c) 0,00 0,00 log log 0,00 lo g A partir del décimo año. 0,00 9,97 log 9.57 Cada persoa produce al año uos 00 kilogramos de basura, de la que u 90% se puede reciclar. Calcula a partir de qué año la catidad de basura reciclable es superior a 0000 toeladas. Catidad aual de basura reciclada por persoa: 00 0,9 70 kilos. Al cabo de años se obtedrá 70 kilos de basura reciclada ,07 70 A partir del año

14 9.58 La catidad de putos e estas figuras determia los llamados úmeros triagulares. a) Determia los primeros térmios de la sucesió de los úmeros triagulares. b) Calcula su térmio geeral. c) Qué térmio es igual a? d) Es ua sucesió covergete o divergete? Demuéstralo. a) a 6; a 0; a 5; a ; a 5 8 b) a ( ) 6 ( 5 ) 6 ( ) 5 6 c) a Es divergete. REFUERZO Sucesioes. Hacia la idea de límite 9.59 Cuál es el límite, si lo tiee, de estas sucesioes? a),, 5, 7, 9, b) 0,; 0,; 0,7; 0,8; 0,9; 0,99 c),7;,8;,9;,99;,999 a) No tiee límite; es divergete. b) c) 9.60 Idica, obteiedo alguos térmios, si tiee límite estas sucesioes. 5 a) a c) c 6 b) b d) d a) c) a 0,05 0,0005 0, b) d) b,,0, c, 0 6, d,,0,00 89

15 9.6 Comprueba que existe u térmio de la sucesió a a partir del cual la diferecia etre los térmios y es meor que 0, A partir del térmio a Halla el límite de la sucesió a y comprueba que, a partir del térmio a 998, todos dista del límite meos de 0,00. a 0 0,076 ; a 00 0,0097 ; a 000 0,00099 Por tato, lim A partir del térmio a 997, todos dista del límite meos de 0, Dada la sucesió a. a) Calcula su límite. b) Halla el térmio a partir del cual la diferecia etre los térmios de la sucesió y el límite es meor que 0,00. a) a 0,; a 00,0; a 000,00. Por tato, lim. b) A partir de a Sucesioes divergetes 9.6 Ecuetra el térmio de la sucesió a a partir del cual todos so mayores que A partir de a Comprueba que existe u térmio de la sucesió a a partir del cual todos so meores que A partir de a Copia e tu cuadero y completa Covergetes Divergetes

16 Cálculo de límites 9.67 Calcula: ( ) 6 5 c) lim 7 8 ( ) c) lim Calcula: c) lim 0 5 lim c) lim 0 5 lim 0 5 lim 0 e AMPLIACIÓN 9.69 Halla los siguietes límites. c) lim 5 lim lim e c) lim 5 lim 5 0 lim e 9.70 Demuestra que la sucesió a es divergete. A qué tiede? a 0 80; a ; a Por tato, lim ( ) 9.7 Escribe el térmio geeral de dos sucesioes cuyo límite sea. El térmio a partir del cual la distacia etre los térmios y el límite es meor que ua milésima es el mismo e ambas? a ; A partir de a 000. b ; ,6 A partir de b. 9

17 9.7 Ecuetra el valor de k para que el límite sea el que se idica. k k k k k k k k k k k k 9.7 Halla el valor de a para que se cumpla: a a a a a a 9.7 Calcula los límites y comprueba que o se cumple las igualdades de las operacioes co límites. A qué crees que es debido? 7 : lim lim lim lim lim 7 lim 7 lim 7 lim 7 lim No se cumple las igualdades porque e el caso de aplicar las operacioes co límites sale idetermiacioes Calcula el térmio de la sucesió a a partir del cual todos los térmios so mayores que log log 000 6,9 A partir de a 7. 9

18 9.76 Dada la sucesió a 5 : a) Calcula su límite. b) Halla el térmio de la sucesió a partir del cual la diferecia etre los térmios y el límite es meor que ua cetésima. a) a 0 0,000 0 ; a 00, ; lim 5 0 b) log 5 log 00 0,9 5,0. A partir de a 6. PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 9.77 Rombo de arajas U cojuto de arajas se agrupa e ua especie de rombo co cuatro arajas por cada lado. a) Idica el úmero de arajas ecesarias para costruir ua figura semejate a la dada, pero supoiedo que el lado del rombo tuviera dos, tres y cico uidades e cada caso. b) Cuál de los siguietes térmios geerales represeta el úmero de arajas ecesarias para costruir ua figura co uidades por lado? b) a 6( ) b c 6 a) Para la figura de lado dos se ecesitará ( ) 6 arajas; para la de lado tres se ecesitará ( ) arajas, y para la figura de lado cico se ecesitará ( 5) 0 arajas. b) Para ua figura co uidades por lado se ecesita ( ) ( ) ( ) Autoalimetació Cierta especie de isectos parecidos a las abejas se orgaiza de la siguiete forma: 50 aimales se dedica al mateimieto de la colmea y a proporcioarle calor, y el resto de los isectos liba el éctar ecesario de las flores para fabricar la miel que alimeta a toda la població. Cada 00 recolectores elabora 5 gramos de miel diarios, y la miel producida se reparte etre todos los miembros de la colmea. a) Supoiedo que haya 500 idividuos, de cuáta miel puede dispoer cada isecto al día? b) Y cosiderado que sea 000 idividuos? Y si so 0 000? c) Geeraliza los resultados calculado los gramos de miel co los que puede cotar cada isecto supoiedo que la colmea está formada por idividuos. Después, estima dichos gramos supoiedo que la població de la colmea es imesa. a) Hay recolectores, que obtiee 50 0,05 7,5 gramos de miel. Por tato, cada idividuo recibirá 7, ,05 gramos diarios de miel. b) E ua població de 000 isectos hay recolectores, que obtiee 850 0,05,5 gramos. Por tato, cada isecto dispodrá de 0,05 gramos de miel. E ua població de isectos hay recolectores, que obtiee ,05 9,5 gramos. Cada idividuo tedrá 0,095 gramos de miel. c) Geeralizado los resultados ateriores, la catidad de miel diaria de que dispoe cada isecto e ua població de idividuos viee dada por ( 5 0) 0,05. El límite de la sucesió aterior es 0,05 y, por tato, e ua població imesa de isectos, cada uo de ellos dispoe de 0,05 gramos de miel al día. 9

19 AUTOEVALUACIÓN 9.A Halla los térmios que sea ecesarios para obteer el valor al que tiede estas sucesioes y calcula dicho valor. a) a b) b 5 a) b) a 0,60 0,7 0,97 0,997 0, b 0,5 0,005 0,00 0, A Calcula el límite de estas sucesioes y halla el valor del térmio a partir del cual todos los demás difiere del límite meos de 0,00. a) a b) b lim A partir de a A partir de a A Calcula, si es posible, el térmio de las sucesioes a partir del cual todos los siguietes so meores que a) a 5 b) b 8 a) A partir de a b) ,7 No existe u térmio a partir del cual todos los demás sea meores que 0 000, ya que el valor de que se obtiee idica que cumple esa codició los térmios meores que a A Idica si estas sucesioes so divergetes. A qué tiede? a) a b) b lim. No es divergete.. Sí es divergete. 9

20 9.A5 Calcula los siguietes límites. ( 5) 8 c) lim 7 9 ( 5) 8 c) lim A6 Halla los siguietes límites. 6 7 c) lim c) lim 5 lim lim lim 5 9.A7 Calcula: 5 lim e 5 lim e MURAL DE MATEMÁTICAS MATETIEMPOS Sumas y más sumas Fíjate e las siguietes sumas.,5,67,7 Calcula las tres sumas que cotiúa la serie. Cuál crees que es el resultado si se suma ifiitos térmios? Costruiremos la siguiete tabla. Térmio a a Valor a a 6 a a 0 a a Suma,5,67,708,767,78,78 El resultado de la suma de ifiitos térmios es el úmero e. 95

3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79

3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Solucioes a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Pág. P RACTICA Sucesioes formació térmio geeral Escribe los cico primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) Cada térmio se obtiee sumado 7 al aterior.

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