CAPÍTULO XIII. SUCESIONES

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1 CAPÍTULO XIII SUCESIONES NUMÉRICAS SECCIONES A Sucesioes covergetes y límites de oscilació Sucesioes moótoas y acotadas B Sucesioes recurretes C Ejercicios propuestos 59

2 A SUCESIONES CONVERGENTES Y LÍMITES DE OSCILA- CIÓN SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS E el capítulo 8 se defiió el cocepto de covergecia de sucesioes uméricas Vamos a estudiar aquí las sucesioes e u cotexto más geeral, mostrado otros coceptos fudametales de las sucesioes y las relacioes etre ellos Estos coceptos so los de covergecia, mootoía y acotació, que pasamos a defiir a cotiuació ACONVERGENCIA a) Ua sucesió {a } N es covergete cuado existe u úmero real L tal que ε > 0, N N : a L < ε, > N Ituitivamete, quiere decir que todos los térmios de la sucesió, excepto quizá los N primeros, cae detro del itervalo (L ε, L+ ε), es decir su distacia a L es meor que ε E este caso se dice que L es el límite de la sucesió y se escribe L = lím a, o bie a L (observa que, a diferecia de las fucioes reales, o tiee setido calcular límites de sucesioes cuado x 0, pues e u etoro de x 0 puede o haber igú úmero atural) b) Ua sucesió es divergete cuado se verifica ua de las siguietes propiedades: M > 0, N N : a > M, > N (y se dice que a ) M < 0, N N : a < M, > N (y se dice que a ) c) Ua sucesió es oscilate cuado o es covergete i divergete, es decir, o hay igú úmero (fiito i ifiito) e cuyas proximidades se ecuetre todos los térmios de la sucesió, a partir de uo de ellos e adelate Defiimos subsucesió de ua sucesió {a } a cualquier sucesió coteida e el cojuto {a, a,, a, } Ua caracterizació de las sucesioes covergetes la proporcioa el () criterio de covergecia de Cauchy: Ua sucesió {a }, co a R,, es covergete si y sólo si ε > 0, N N : a a m < ε,, m > N 60

3 Esta codició, auque teórica, permite comprobar la covergecia de ua sucesió si ecesidad de coocer su límite Otras propiedades de iterés so las siguietes: () El límite de ua sucesió, e caso de existir, es úico (3) Si a a y a 0, etoces existe N N tal que a tiee el mismo sigo que a, > N (4) Si a < b,, etoces lím a lím b (5) Si a b c, y L = lím a = lím c, etoces L = lím b (6) Si {a } es covergete (o divergete), toda subsucesió de ella tiee el mismo límite Esta propiedad tambié se puede expresar diciedo que o se altera el valor del límite de ua sucesió al reordear arbitrariamete sus térmios U cocepto más geeral que el de límite de ua sucesió es el de límite de oscilació Decimos etoces que u úmero L es límite de oscilació de ua sucesió {a } si cualquier itervalo de la forma (L ε, L + ε) cotiee ifiitos térmios de la sucesió Llamamos límite superior de {a } al mayor, si existe, de los límites de oscilació (y utilizamos la otació L = lím sup a ) y el límite iferior de {a } será el meor de los límites de oscilació, e caso de existir (y utilizamos la otació aáloga L = lím if a ) A MONOTONIA a) Ua sucesió {a } N es moótoa creciete cuado a + a, N b) Aálogamete, ua sucesió {a } N es moótoa decreciete cuado a + a, N E geeral, diremos que ua sucesió es moótoa cuado es, o bie moótoa creciete, o bie moótoa decreciete A3ACOTACION a) Ua sucesió {a } N está acotada superiormete cuado M R : a M, N 6

4 b) Ua sucesió {a } N está acotada iferiormete cuado M R : a M, N Decimos e geeral que ua sucesió está acotada si lo está superior e iferiormete Los resultados que relacioa estos tres coceptos so los siguietes: ) Toda sucesió covergete está acotada a) Toda sucesió creciete y acotada superiormete es covergete Además el límite es el supremo del cojuto {a } N b) Toda sucesió decreciete y acotada iferiormete es covergete E este caso el límite es el ífimo del cojuto {a } N 3) Toda sucesió cotiee algua subsucesió que es creciete o decreciete 4) Toda sucesió acotada tiee algua subsucesió covergete E particular: 5) Toda sucesió acotada tiee límites superior e iferior fiitos Así pues, se dice que el límite superior de ua sucesió es + si la sucesió o está acotada superiormete y que el límite iferior es si o está acotada iferiormete E los siguietes problemas se muestra ejemplos de alguas de estas propiedades y la forma de aplicarlas a casos cocretos PROBLEMA 3 Determiar el meor valor de N para el que se verifica lo siguiete: a) a < 0 5, > N, si a = 4 + / b) + ( ) < 0 6, > N 6

5 Solució a) Se trata de resolver la desigualdad a < 0 5 Debido a que a >,, teemos la siguiete cadea de equivalecias: 4 + / < / < / < (/) < (0 5 + ) / < > ( ) = 0 0 ( ) El resultado idica que la sucesió dada por a = 4 + / tiee límite b) Procediedo aálogamete al caso aterior, teemos: + ( ) < ( ) < ( ) > 0 Si resolvemos esta iecuació de segudo grado, resulta: - Cuado es par: 0 6 > 0 = > = > [ ] Cuado es impar: > 0 = > = > [ ] < 0 6 E defiitiva, para > 0 6 se verifica la desigualdad propuesta PROBLEMA 3 Demostrar, utilizado la defiició de límite, que la sucesió de térmio geeral a = 4 3 coverge a 4 + Solució Debemos probar que, dado cualquier úmero ε > 0, somos capaces de ecotrar u úmero atural N tal que la distacia etre a y el límite 4, es meor que ε, > N Ahora bie, dicha distacia es a 4 = = 7 + = 7 +, 63

6 y será a 4 < ε si y sólo si > 7 Por tato, basta elegir cualquier ε úmero atural N > 7 para que se cumpla la defiició de límite ε PROBLEMA 33 Sea a y b positivos Probar que lím Solució E primer lugar, si a = b, lím a + b = lím a + b = máx{a, b} a = lím a = a = máx{a, b} Supogamos ahora que a > b Etoces lím a + b = lím a [ + (b/a) ] = lím a + (b/a) = a = máx{a, b}, debido a que (b/a) 0 Aálogamete se deduce el caso e que b > a PROBLEMA 34 ( ) a + Sabiedo que lím = 9, calcular el valor de a a Solució Como se trata de ua idetermiació de la forma, podemos tomar logaritmos y aplicar la equivalecia l a + a a + De este modo, ( ) a + a l 9 = lím a = lím a = a, co lo que debemos tomar a = l 9 PROBLEMA 35 Hallar la relació etre los parámetros a y b para que se verifique ( ) + a +3 ( ) + 3 b+4 lím = lím

7 Solució Ambos límites so de la forma Tomado logaritmos y aplicado la equivalecia l u u, cuado u, obteemos: ( ) ( ) + a + a l L = lím ( + 3) l = lím ( + 3) + + = lím l L = lím (b + 4) l + a ( + 3) = (a ), ( + ) + 3 = lím (b + 4) = lím (b + 4) = b + ( ) Para que L = L, debe cumplirse que e (a ) = e b, o bie (a ) = b PROBLEMA 36 Probar que la sucesió de térmio geeral es de Cauchy a = Solució La sucesió {a } es precisamete la sucesió de sumas parciales de la serie de térmios positivos Como dicha serie es covergete (lo cual se puede probar fácilmete aplicado el criterio de la raíz), tambié lo es la sucesió de sumas parciales y coverge a la suma de la serie Como toda sucesió covergete es de Cauchy, obteemos el resultado deseado PROBLEMA 37 Sea {x } ua sucesió moótoa creciete Probar que tambié lo es la sucesió de térmio geeral y = x + + x 65

8 Solució Probaremos que y + y, para lo cual utilizamos el hecho de que x x x x + : y + = x + + x + x + = x + (/)x x + (/)x x ( + /) + + x ( + /) = y ( + /) = y + + Aálogamete se prueba que si {x } es decreciete, tambié lo es la sucesió de sus medias aritméticas PROBLEMA 38 Demostrar que es covergete la sucesió de térmio geeral Solució x = Demostraremos que la sucesió es moótoa creciete y acotada superiormete, lo que da como cosecuecia la covergecia de la sucesió *) La sucesió está acotada superiormete pues: x = < + + = = *) La sucesió es moótoa creciete, como se comprueba al realizar la siguiete resta: x + x = = > 0, 6( + )(3 + )(3 + )( + ) Como hemos idicado al pricipio, se aquí se deduce que la sucesió es covergete PROBLEMA 39 Ecotrar los límites de oscilació de las sucesioes siguietes: a) a = [ + ( ) ] b) a = + se π 4 66

9 Solució a) Si es par, teemos la sub-sucesió a = que es divergete (su límite es + ) Por otra parte, si es impar, resulta a = 0, que coverge a cero E defiitiva, los límites de oscilació so 0 y + b) E este caso, si es impar, se π 4 = ±, co lo que a = que coverge a / ( + ) Si es múltiplo de 4, se π 4 coverge a cero = 0 y la subsucesió correspodiete Si es de la forma = 4k +, k N, etoces se π 4 que a = que coverge a + E defiitiva, los límites de oscilació so {0, /, } = ±, co lo PROBLEMA 30 Ecotrar los límites de oscilació de la sucesió cuyo térmio geeral es a = se π cos π Solució Si es par, = k, teemos la sub-sucesió a k = se kπ + + k k + k k+ cos kπ = ( ) k (debido a que se kπ = 0 y cos kπ = ( ) k + k ) Como lím k = /, la subsucesió {a k } es oscilate Por lo tato, si k uevamete es par, la subsucesió correspodiete tiee límite /, y si k es impar, la sub-sucesió coverge a / Por otra parte, si es impar, = k +, obteemos la sub-sucesió a k+ = se (k + )π + + k+ (k + )π k+ cos = ( ) k, que tambié es oscilate pero tiee límites de oscilació y E defiitiva, los límites de oscilació de la sucesió propuesta so, /, / y, que so los límites de las subsucesioes {a 4k+3 }, {a 4k+ }, {a 4k } y {a 4k+ }, respectivamete 67

10 PROBLEMA 3 Ecotrar los límites de oscilació de la sucesió {m/ : m, N, mcd(m, ) = } ordeada de modo que m + vaya de meor a mayor Solució Como la sucesió costa de todos los úmeros racioales positivos, tiee por límites de oscilació a todos los reales o egativos pues, como es sabido, e cualquier etoro de u úmero real hay siempre ua ifiidad de úmeros racioales PROBLEMA 3 Sea f ua fució real moótoa creciete y acotada e el itervalo [0, ] Defiimos las sucesioes {s } y {t } como: s = f(k/), k=0 t = f(k/) k= i) Demostrar que s 0 f(x) dx t y 0 0 f(x) dx s f() f(0) Solució ii) Demostrar que las sucesioes {s } y {t } coverge ambas a 0 f(x)dx i) Como f es creciete, si P = {0, /, /,, ( )/, } es ua partició cualquiera del itervalo [0, ], etoces ( ) ( ) ( k k k f f(x) f, x, k ), k =,, De aquí se deduce que k/ ( ) k f dx (k )/ k/ (k )/ f(x) dx k/ (k )/ f ( ) k dx, de modo que, sumado a lo largo de los subitervalos de la partició P, se obtiee precisamete que s 68 0 f t

11 Si restamos s a los tres miembros de la desigualdad aterior, obteemos que 0 0 f s t s = [ k= ] f(k/) f(k/) k=0 = [f() f(0)] Si, e vez de restar s, restamos t e la misma desigualdad, se obtiee la desigualdad aáloga [f() f(0)] f t 0 ii) De las dos últimas desigualdades, al calcular el límite de los extremos se obtiee que [ ] 0 lím f s lím 0 [f() f(0)] = 0 = lím s = 0 = lím [ ] [f() f(0)] lím f t 0 = lím t = f; f PROBLEMA 33 Sea X el cojuto de los úmeros reales que so solució de las ecuacioes x (3 )x + ( 3 ) = 0 para cada N Hallar sup X e íf X Solució Al resolver la ecuació obteemos las raíces x = (3 ) ± (3 ) 4 ( 3 ) = a = +, b = { } : N Co- { } + Resulta etoces el cojuto X = : N mo la sucesió a = + b = es decreciete y tiee límite y la sucesió es creciete y tiee límite, se deduce que sup X = a = 3 e íf X = b = 69

12 B SUCESIONES RECURRENTES Sabemos que para defiir ua sucesió es ecesario dar ua regla de formació de todos sus térmios Esa regla puede ser ua fórmula explícita que dé la image de cada úmero atural o ua fórmula recurrete, mediate la cual cada térmio viee dado e fució de uo o varios térmios precedetes Este caso merece especial ateció pues o se puede aplicar las reglas usuales para el cálculo de límites sio que la covergecia se deduce de forma idirecta E los siguietes problemas utilizaremos fudametalmete el siguiete esquema: Determiar si la sucesió es moótoa (bie creciete o decreciete), mediate la comparació de dos térmios cosecutivos a E caso afirmativo, comprobar si la sucesió está acotada Esto ya da como cosecuecia la covergecia de la sucesió b E caso egativo, aplicar el criterio de covergecia de Cauchy 3 Ua vez comprobada la existecia de límite, aplicar la propiedad de uicidad del mismo Esto quiere decir que, e particular, L = lím a = lím a + Esto da lugar a ua ecuació cuya solució es el límite de la sucesió PROBLEMA 34 Calcular el límite de las sucesioes de térmio geeral a) a = ( veces) b) a = ( veces) Solució a) Si escribimos el térmio geeral como a = / /4 / = /+/4+ +/, y sabiedo que el expoete es la suma de los térmios de ua progresió geométrica de razó /, / + /4 + + / = al calcular el límite obteemos: / /+ / = /, lím a = lím / = 70

13 Otro método: El térmio geeral se puede escribir como a = a y se puede probar que es moótoa creciete y está acotada superiormete Por iducció se demuestra que a <, : Como a =, es evidete que a < Si supoemos ahora que a <, probaremos que a < : a = a < = a Por otra parte, como = a es moótoa creciete a >, se deduce que la sucesió Lo aterior prueba que la sucesió es covergete y, por tato, de la relació L = lím a = lím a resulta que: L = L = L = L = L = 0 ó L = Como a > 0, y es creciete, sólo puede ser L = b) Como o podemos escribir ua fórmula explícita (simple) para expresar el térmio geeral, aplicamos el segudo método del apartado aterior Escribimos para ello e forma recurrete a = + a, y probamos que la sucesió es moótoa y acotada - La sucesió está acotada superiormete por : Es evidete que a = < y, si supoemos que a <, resulta que a = + a < + = - La sucesió es moótoa creciete Para ello escribiremos desigualdades equivaletes a la que queremos probar: a + a + a a + a a a a 0 (a )(a + ) 0 a, lo que es evidetemete cierto De lo aterior se deduce uevamete que la sucesió es covergete Si llamamos L a su límite, debido a que L = lím a = lím a +, teemos: L = + L = L = +L = L L = 0 = (L )(L+) = 0 = L =, ya que los térmios de la sucesió so todos positivos y el límite o puede ser egativo 7

14 PROBLEMA 35 Se cosidera la sucesió (a ) defiida por a = a = a > 0, a = a +, si 3 Probar que es moótoa y acotada y a calcular su límite Solució Es evidete por la misma costrucció del térmio geeral que a 0,, lo que idica por ua parte que la sucesió está acotada iferiormete por 0 Veamos que es moótoa decreciete Para ello escribimos a = a a a + a y obteemos que a a = como queríamos probar a a + a < = a < a, Para calcular el límite teemos e cueta que L = lím a = lím a = lím a y plateamos la ecuació L = Esto implica que L = /L + /L L/ de dode L = 0 PROBLEMA 36 Sea (x ) N la sucesió defiida de la siguiete forma: { x =, x + = x +x Demostrar que es covergete y que lím x = 0 Solució Para probar que es covergete, basta ver que está acotada iferiormete y que es decreciete Por ua parte, es evidete que x 0, Por otra parte, como x + x = + x <, se deduce que x + < x, Sabiedo ya que es covergete, para calcular el límite tedremos e cueta que lím x = lím x + Si llamamos L a dicho límite, resulta que L = + L L = L = 0 ó = = L = 0 + L 7

15 PROBLEMA 37 Sea (a ) N la sucesió defiida de la siguiete forma: { a =, a + = (+a) +a Probar que lím a = Solució (*) Probaremos e primer lugar por iducció que a < : a = < ; Si a <, a + = 4 + a + a 4 + 4a + a = + 4a + a 4 + 4a + a Pero como a <, etoces + 4a + a < 4 + 4a + a, de dode a + < Queda pues probado que la sucesió está acotada superiormete por (*) Por otra parte, como a <, etoces a + = + a a a + a > = a + > a, es decir que la sucesió es moótoa creciete (*) De lo aterior podemos cocluir que la sucesió es covergete; si llamamos L = lím a, teemos L = ( + L) + L = L + L = + L = L = = L =, pues a 0 para todo PROBLEMA 38 Sea (x ) N la sucesió defiida de la siguiete forma: { x = ( 0, ) x + = x + x Demostrar que es covergete y que lím x = 73

16 Solució *) Veremos que la sucesió está acotada iferiormete Para ello probaremos e primer lugar por iducció que x > 0, : Es evidete que x > 0 y, si supoemos que x > 0, teemos que x +/x > 0, de dode x + > 0 Veamos a cotiuació que además x, Para ello supoemos tambié que x y probaremos que x + : Como (x ) 0, etoces x + x 0 = x + x = x + x = x + *) La sucesió es moótoa decreciete: Como x, se deduce que, para todo, x = + x = x + = x + x x = ( + ) x = x + x *) De lo aterior se deduce que la sucesió es covergete Además, si llamamos L al límite, teemos que L = L + L = L = L + = L = = L = ± Como todos los térmios so positivos, sólo es posible la solució L = PROBLEMA 39 Sea (x ) N la sucesió defiida de la siguiete forma: { x = /3, x + = + (/x ) Demostrar que es covergete y calcular su límite Solució - E primer lugar, probaremos por iducció que 0 < x < /, : La propiedad es cierta para = pues x = /3 < / 74

17 Si supoemos cierta la propiedad para x, veamos que tambié lo es para x + : 0 < x < / = /x > = /x > = /x > = + /x > = x + = + (/x ) < /, y además x + > 0 - Veamos a cotiuació que la sucesió es creciete, es decir x + x, Para ello, escribiremos iecuacioes equivaletes a la que queremos probar hasta obteer algua cuya solució sea más asequible: x + x + (/x ) x + (/x ) x x x x x x lo cual está ya probado al pricipio - E defiitiva, como la sucesió es moótoa creciete y acotada superiormete, será covergete Para calcular su límite, utilizamos la fórmula L = lím x = lím x + y teemos e cueta que L / (pues / es ua cota superior de {x }): L = + /L = L + L /L = = L (/L ) = ( L) = L L = L + L = L 3L + = 0 = L = 3 ± 9 8 = L = ó L = / = L = / 4 Observació Auque la sucesió esté defiida e forma recurrete, e este caso es posible ecotrar ua fórmula explícita del térmio geeral Así, se puede probar por iducció que x =, y es evidete que + / lím x = / PROBLEMA 30 Demostrar que la sucesió (x ) N defiida por: { x = /8, x + = x + /4,, es covergete y calcular su límite 75

18 Solució *) Veamos e primer lugar que {x } es creciete: x + x = x x + /4 = (x /) 0, = x + x, *) A cotiuació probaremos por iducció que la sucesió está acotada superiormete por / E efecto, x = /8 < / Además, si supoemos x < /, veamos que x + < /: x < / = x < /4 = x + /4 < / = x + < / *) De lo aterior se deduce que {x } es covergete Si llamamos L a su límite, se debe verificar: L = L + /4 = L L + /4 = 0 = (L /) = 0 = L = / PROBLEMA 3 Se defie la siguiete sucesió: { x (0, ), x + = x Probar que es covergete y calcular su límite Solució *) Veamos e primer lugar que la sucesió está acotada probado por iducció que x (0, ), Por hipótesis x (0, ) Si supoemos que x (0, ), resulta: 0 < x < = 0 > x > = > x > 0 = > x > 0 = < x < 0 = 0 < x <, que es precisamete la codició 0 < x + < *) La sucesió es decreciete pues, como x + = x = ( x ) + x = 76 x + x

19 y + x >, resulta que x + x = + x < = x + < x, *) Lo aterior prueba que la sucesió es covergete Si llamamos L al límite y utilizamos la propiedad L = lím x = lím x +, deducimos que L = L = L = L = (L ) = L = (L ) + (L ) = 0 = (L )(L + ) = 0 Esto coduce a las dos posibilidades L = ó L = 0 Al ser la sucesió decreciete y sus térmios meores que, debe ser L = 0 PROBLEMA 3 Sea (x ) N la sucesió defiida por la ley de recurrecia 7x + = x Estudiar la covergecia e los siguietes casos: i) x = / ii) x = 3/ iii) x = 5/ Solució Estudiaremos e primer lugar el crecimieto e el caso geeral Como x + x = x x = x3 7x el crecimieto depede del sigo de los factores = (x )(x )(x + 3), 7 Por otra parte, si la sucesió fuera covergete y llamamos L al límite, debe verificarse que 7L = L L 3 7L + 6 = 0 (L )(L )(L + 3) = 0, co lo que los úicos posibles límites so L =, L = ó L = 3 Veamos las distitas posibilidades segú los valores del primer térmio i) Si x = /, probaremos por iducció que 0 < x <, : Efectivamete, si supoemos que 0 < x k <, etoces 0 < x 3 k < = 6 < x3 k + 6 < 7 = 6/7 < x k+ <, 77

20 como queríamos probar De lo aterior se deduce que la sucesió es creciete pues x < 0, x < 0, x + 3 > 0, de dode x + x > 0 Como tambié está acotada superiormete, debe ser covergete y, recordado que 0 < x <, el límite debe ser L = ii) Si x = 3/, probaremos por iducció que < x <, : Efectivamete, si supoemos que < x k <, etoces < x 3 k < 8 = 7 < x3 k + 6 < 4 = < x k+ <, como queríamos probar E este caso, como ahora x > 0, x < 0, x + 3 > 0, se deduce que x + x < 0, co lo que la sucesió es decreciete Como está acotada iferiormete, tambié es covergete y su límite sólo puede ser L = iii) Si x = 5/, se comprueba tambié por iducció que x >, : Supoemos para ello que x k > ; etoces como queríamos probar x 3 k > 8 = x3 k + 6 > 4 = x k+ >, De lo aterior se deduce que la sucesió es creciete pues, como x > 0, x > 0 y x +3 > 0, resulta que x + x > 0 Su límite, e caso de existir, debería ser mayor que lo cual es imposible segú hemos comprobado ateriormete Esto idica que la sucesió es divergete PROBLEMA 33 Sea (a ) N la sucesió defiida por recurrecia de la siguiete forma: a = 3/, 3a + = + a 3 a) Comprobar que es covergete y calcular su límite b) Modificar el primer térmio a para que el límite sea Solució a) - Probaremos e primer lugar que a (0, ), > E efecto, como 3a = + ( 3/) 3 = a = /4, de dode a 3 = + ( /4)3 3 = 0,63 78

21 Si supoemos ahora que 0 < a <, se deduce que: 0 < a 3 < = < a 3 + < 3 = 0 < /3 < a + < - Probamos a cotiuació que la sucesió es creciete Para ello efectuamos la resta etre dos térmios cosecutivos y obteemos: a + a = + a3 3 a = + a3 3a 3 co lo que, efectivamete, a + > a, = (a ) (a + ) 3 > 0, - Lo aterior implica que la sucesió es covergete y L = lím a = lím a + Etoces: 3L = + L 3 = L 3 3L + = 0 = (L ) (L + ) = 0 Como a > 0, >, debe ser L = b) Veamos las distitas posibilidades para a : - Si a >, etoces se prueba por iducció que a >, Debido a que a + a = (a ) (a + ) 3 > 0, la sucesió es creciete y el límite o puede ser, que es ua cota iferior - Si a <, etoces se prueba aálogamete que a <, y que la sucesió es decreciete; el límite o puede ser que es ahora ua cota superior La úica posibilidad es pues que a = Esto da lugar a ua sucesió costate pues, si a =, etoces a + = ( 8)/3 = E este caso el límite es evidetemete PROBLEMA 34 Sea (x ) N la sucesió defiida de la siguiete forma: { x =, x + = x Demostrar que es covergete y calcular su límite Qué pasaría si x = 4? 79

22 Solució Para que sea covergete basta comprobar que está acotada iferiormete y es moótoa decreciete Para ello veamos e primer lugar que x, : Está claro que x Si además supoemos que x para algú, etoces = = x x x o bie x + Además, como x + x = x x = x x x = (x ) x < 0, se deduce que x + < x y la sucesió es efectivamete decreciete Ahora bie, si llamamos L al límite de la sucesió, como L = lím x = lím x +, etoces L = /L = L = L = L = El mismo procedimieto se aplica al caso e que x = 4 pues so válidas las mismas operacioes hechas ateriormete Observemos que e ambos casos podemos escribir ua expresió explícita para el térmio geeral de la sucesió Cocretamete, e el caso e que x =, es x = + y, si x = 4, etoces x = 3 +, lo que se puede 3 probar por iducció PROBLEMA 35 Sea a, a > 0, a + = a + a, para > Probar que lím a = 3 (a + a ) Solució E primer lugar veremos que la sucesió es de Cauchy: a + a = a + a a = a a Procediedo por recurrecia se obtiee que a + a = a a 80

23 E geeral, si m >, por la desigualdad triagular, a m a a m a m + a m a m + + a + a [ = a a m + m ] a a / / = a a De lo aterior se deduce que, si m,, a m a 0 y la sucesió es de Cauchy Por el criterio geeral de covergecia de Cauchy, la sucesió es covergete Además, a + = a + a a = a + a a = a + a 3 a 3 = a + a Sumado miembro a miembro, a + + a = a + a + a y llamado L = lím a = lím a +, resulta que 3L = a + a, de dode L = a + a 3 PROBLEMA 36 Sea (a ) N la sucesió defiida de la siguiete forma: a =, a + = + a, =,, Probar que la sucesió es covergete Solució *) Probaremos e primer lugar por iducció que a (, ), Para = es cierto por hipótesis Supoemos por tato que tambié es cierto para y lo probaremos para + Teemos pues: < a < = < a < = 3 < + a < + < 4 = 3 < + a < = < a + < 8

24 *) Veamos a cotiuació que la sucesió es de Cauchy Para ello, calculamos ua cota superior de a + a : a + a = + a + a ( + a ) ( + a ) = + a + + a = a a ( + a + + ) ( a a + ) < a a a (Esta última desigualdad se deduce de que a > y + a > ) Procediedo por recurrecia se obtiee que a + a < a a 4 De lo aterior resulta que, si, p > 0: < < a a 4 a +p a a +p a +p + a +p a +p + + a + a [ < a a 4 +p + 4 +p ] 4 < a a 4 k = a a /4 /4 = 4 a a 3 4 k= Como el último térmio tiede a cero cuado, etoces a +p a < ε, ε > 0 Esto idica que la sucesió es de Cauchy y, por tato, covergete PROBLEMA 37 Sea a y b dos úmeros reales que verifica 0 < a < b Demostrar que las dos sucesioes (x ) N, (y ) N defiidas de la siguiete forma { { x = a x + = y, = b, x y y + = x+y so covergetes y que tiee el mismo límite, llamado media aritmético-geométrica de a y b Solució Es evidete que x > 0, y > 0 para todo N (*) Probaremos e primer lugar que x y, : 8

25 Como 0 (x y ) = x + y x y = x + y + x y 4x y = (x + y ) 4x y, teemos que (x + y ) 4x y, es decir Ahora bie, como x + y + dode x + y +, = 4x y, (x + y ) x y (x + y ) /4, resulta que x + y +, de (*) Veamos a cotiuació que {x } es creciete y que {y } es decreciete: Como x + y =, etoces x + x y {x } es creciete x x 0, es decir {y } es decre- Además y + y = x + y ciete y = x y E defiitiva, la sucesió {x } es moótoa creciete y acotada superiormete por b y la sucesió {y } es moótoa decreciete y acotada iferiormete por a Esto implica que ambas so covergetes (*) Por último, si llamamos L = lím x, M = lím y, teemos que L = LM, de dode L = LM y, por ser L > 0, L = M PROBLEMA 38 Dados los úmeros reales u 0 y v 0 co u 0 < v 0, se costruye las sucesioes u = u 0 + v 0 u = u + v a) Probar que lím (u v ) = 0, v = u 0 + v 0 3, v = u + v 3 b) Probar que las sucesioes {u } y {v } so covergetes 83

26 Solució a) Si calculamos la diferecia u v, obteemos: u v = = u + v u + v 3 3u + 3v u 4v 6 = u v 6 Procediedo por recurrecia, se obtiee que 0 u v = u v 6 = u v 6 = = u 0 v 0 6 u 0 v 0 Como lím 6 = 0, se deduce que lím u v = 0 b) Para probar que ambas sucesioes so covergetes, basta ver que verifica el criterio geeral de Cauchy Por el apartado aterior, u + u = u + v u = v u = u 0 v 0 6 Si ahora p es u etero positivo cualquiera, u +p u u +p u +p + u +p u +p + + u + u = u [ 0 v 0 6 +p + + ] 6 u [ ] 0 v p + = u 0 v 0 /6 /6 = u 0 v 0 0, cuado Para demostrar que {v } es de Cauchy se procede de forma completamete aáloga Se podría razoar tambié diciedo que si {u v } y {u } so ambas covergetes, tambié debe serlo {v } que es su resta 84

27 PROBLEMA 39 Dadas las costates k > 0 y a > 0, se defie las sucesioes: a) a + = k + a co a = a; b) b + = k + b co b = a Probar que {a } coverge a la raíz positiva de la ecuació x x k = 0 y que {b } coverge a la raíz positiva de la ecuació x + x k = 0 Solució a) Sea L la raíz positiva de la ecuació x x k = 0; así L verifica L = L + k Dividiremos el estudio de la sucesió e tres casos: ) Caso a = a = L E este caso la sucesió es costate pues, debido a que L = L + k, si supoemos a = L, etoces a + = k + a = k + L = L = L De aquí se deduce evidetemete que la sucesió coverge a L ) Caso a = a < L Probaremos que la sucesió está acotada superiormete por L y que es moótoa creciete E efecto, procediedo por iducció, como a < L, si supoemos que a < L, etoces a + k < L + k = L = a + k < L = a + < L Por otra parte, como a está compredido etre las dos raíces de la ecuació x x k = 0, deducimos que a a k < 0 = k + a > a = k + a > a = a + > a Estas dos propiedades coduce a la covergecia de la sucesió dada 3) Caso a = a > L Este caso es similar al aterior, pues se prueba aálogamete que la sucesió está acotada iferiormete y es moótoa decreciete b) Llamamos e este caso M a la raíz positiva de la ecuació x + x k = 0 Esta sucesió o es moótoa como se deduce de la siguiete implicació (debemos teer e cueta que M + M = k, o bie M = k/( + M)): a > M = a + = 85 k < k + a + M = M

28 (Aálogamete se prueba que si a < M, a + > M) Veamos que la sucesió es de Cauchy Supodremos para ello que a > M > a, pero la situació sería aáloga e el caso de que a < M < a Teemos así: a + a = k + a a = k a a + a () = a a a + a = a < (a a ) () + a L + L (a a ) (3) Los pasos (*) y (**) se deduce de que, por ua parte, y, por otra, a = k + a = a + a a = k a < L = a + a L < L + a L = a ( + L) < L( + a ) = a < L + a + L Además, de () se deduce que a a = a k = a + a k (4) + a + a = a (a a ) + a < a a (5) De () y (), procediedo por recurrecia, llegamos a: ( ) L L a + a < + L (a a ) < (a 3 a 4) + L ( ) L ( ) L < < (a 3 a ) < (a a ), + L + L y a + a + < a + a < ( ) L (a a ) + L De estas acotacioes se deduce como e los problemas ateriores que la sucesió es de Cauchy y, por tato, tambié es covergete 86

29 PROBLEMA 330 Para los atiguos griegos, el rectágulo más estético era aquel cuyos lados a y b verifica la llamada relació áurea, es decir a b = b a + b a) Comprobar que la relació aterior es cierta si y sólo si el cociete L = b a vale L = + 5 b) Probar que dicho úmero L es el límite de la sucesió { a =, a + = + /a c) Probar que si, a = x x dode (x ) es la sucesió de Fiboacci siguiete:,, 3, 5, 8, 3,, es decir, aquella cuyos térmios se obtiee sumado los dos térmios ateriores a él Solució a) Escribiedo idetidades equivaletes, teemos a b = b a + b ) a + ab = b + b ( b a = a ( ) b b a a = 0 b a = ± + 4 Como a, b > 0, etoces b/a > 0 y sólo es válida la solució positiva b a = + 5 b) Debido a que /a 0,, se deduce que a + = + (/a ) Por lo aterior, /a, de modo que a + = + (/a ) Lo aterior prueba que la sucesió está acotada, a, 87

30 Veremos a cotiuació que es ua sucesió de Cauchy: a + a = + a a = + a a = a a a a = a a (a a )(a a ) a a = = (a a )(a a ) (a a ) Como a a = y a + a = a + >, es decir resulta que a + a E geeral, a + a <,, a +p a a +p a +p + a +p a +p + + a + a +p + +p / + = +p / =, y el último térmio tiede a cero cuado Como la sucesió es de Cauchy, es covergete Si llamamos L a su límite, teemos que L = + /L, de dode, sucesivamete, obteemos: L = L + = L L = 0 = L = ± + 4 debido a que L debe ser positivo c) Probaremos por iducció que a = x x : = L = + 5, Para =, a = + = y x x = = Supogamos ahora que a = a + = + a = + x x debido a que x + x = x + x x y veamos que a + = x + x : = x + x x = x + x, 88

31 C EJERCICIOS PROPUESTOS Sea (x ) N ua sucesió de úmeros reales Respoder razoadamete si cada uo de los siguietes apartados es verdadero o falso a) Si (x ) N coverge, etoces es creciete o decreciete Resp: Falso (ver por ejemplo la sucesió x = ( ) /) b) Si (x ) N es creciete o decreciete, etoces coverge Resp: Falso (ejemplo x = ) c) Si (x ) N coverge, etoces está acotada Resp: Verdadero (se deduce de la defiició de covergecia) d) Si (x ) N está acotada, etoces coverge Resp: Falso (ejemplo x = ( ) ) e) Si (x ) N es creciete, etoces está acotada superiormete Resp: Falso (ejemplo x = ) f) Si (x ) N es creciete, etoces está acotada iferiormete Resp: Verdadero pues x a, g) Si lím x = x, etoces lím x = x Resp: Verdadero pues x x x x 0 h) Si (x ) N está acotada y coverge, etoces es moótoa Resp: Falso (ejemplo x = ( ) /) Sea (a ) N y (b ) N dos sucesioes cualesquiera Respoder razoadamete si cada uo de los apartados siguietes es verdadero o falso a) Si para todo N, a 0, etoces lím a b 0 Resp: Falso (ejemplo b = 0, ) 89

32 b) Si para todo N, a 0 y b 0, etoces lím a b 0 Resp: Falso (ejemplo a = b = /) c) Si lím a b = 0, etoces lím a = 0 ó lím b = 0 Resp: Verdadero pues si fuera a = lím a 0 y b = lím b 0, etoces a b = lím a b 0 ( ) + a 3 Hallar a tal que lím = 4 a Resp: a = l 4 Hallar la relació etre a y b para que lím l ( + b Resp: b = e a / ) + = lím ( + a ) + 5 Hallar la relació que debe existir etre a y b para que ( ) 3 + a ( lím = lím b ) Resp: e (a+4)/3 = b/4 6 Hallar la relació que debe existir etre a y b para que ( ) + a 3 ( lím = lím + b ) Resp: b/ = e 3(a+)/ 7 Sea a,, a k úmeros reales positivos Calcular el límite de la sucesió de térmio geeral a + + a k Resp: L = máx{a,, a k } 8 Sea {a } ua sucesió creciete, co a 0, Probar que la sucesió de térmio geeral x = a a a tambié es creciete Sugerecia: Comprobar que la sucesió {l x } es creciete y deducir que tambié lo es la sucesió pedida 90

33 9 Probar que la sucesió de térmio geeral a = 3 3 es covergete Sugerecia: Calcular el logaritmo de a y estudiar la serie resultate 0 Demostrar que la sucesió de térmio geeral a = + k es k= covergete Resp: Como a <,, la sucesió está acotada superiormete; + además a + a = > 0 y la sucesió es creciete ( + )( + ) Sea (x ) N la sucesió defiida de la siguiete forma: { x = ( k < 0, ) x + = x + x i)probar que x, (Aplicar el método de iducció) ii) Probar que {x } es covergete y hallar su límite (La sucesió es creciete pues x + x 0, ) Resp: L = Se defie la sucesió (u ) 0 por: u 0 =, u = /3,, u = u ( + u ) + u i) Comprobar que es decreciete ii) Demostrar que es covergete y calcular su límite Resp: Es evidete que u /u porque u, Además u 0, 3 Sea {x } la sucesió defiida por x =, x + = + x para > Demostrar que es moótoa creciete y acotada superiormete por Calcular su límite Resp: L = 9

34 4 Comprobar que la sucesió defiida por a + = a a + 3, a = 3, es covergete y calcular su límite Resp: a > 0, y a + a <, Además L = 0 5 Se defie la sucesió a (, ), a + = 3 a Estudiar su covergecia Resp: La sucesió es creciete y acotada Su límite es L = 6 Sea {a } ua sucesió que verifica a > 0, y a + < 5 Calcular lím a Resp: Como 0 < a < a 5, lím a = 0 a 7 Dados a, b > 0, se defie la sucesió u = a + b, u = a + b ab u, > i) Probar que u = a+ b + a b si a b Resp: Aplicar el método de iducció ii) Calcular lím u si a b Resp: lím u = máx{a, b} iii) Calcular u y lím u si a = b Resp: u = ( + )a, lím u = a 9