REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003"

Transcripción

1 REVITA IVETIGACIO OPERACIOAL Vol. 4, o., 3 TEORIA DE LA VALORACIO MEDIATE MODELO FIACIERO ETOCATICO, E TIEMPO DICRETO Y E TIEMPO COTIUO Josefia Maríez arbeio, Uiversidade de A Coruña, España Julio García Villaló, Uiversidad de Valladolid, España REUME E ese rabajo se aaliza los cocepos y resulados pricipales de la maemáica fiaciera esocásica y se desarrolla las aplicacioes de ales resulados a la eoría de la valoració e los modelos esocásicos fiacieros e iempo discreo y coiuo.cosideramos el problema de la coberura de opcioes y oros acivos e mercados libres de arbiraje. uesro objeivo se refiere a íulos Europeos que se egocia e mercados compleos e icompleos, más que a opcioes Americaas. e raa los problemas de la valoració de opcioes para lograr ua valoració racioal y esraegias de coberura. Palabras clave: mercados de fiazas, marigales, modelos de rowia. ATRACT I his paper he coceps ad mai resuls of sochasic mahemaical fiace are aalyzed ad hey are applied o he Value Theory i sochasic fiace models wih coious ad discree ime. We cosider he opio coverure problem ad oher acives i free arbirage mares. Our objecive is lied weih europeas asses egociaed i complee ad icomplee mares, more ha America opios. The opio valoraio problems are reaed for obaiig a raioal valoraio ad coverure sraegies. ey words: fiace mares, marigales, rowia models. MC: 98.. ITRODUCCIO E ese rabajo se raa de aalizar las esrucuras fiacieras que opera co recursos fiacieros e los Mercados Fiacieros. e icluye ere los isrumeos fiacieros derivados: - las opcioes - coraos de fuuros - cerificados (warras) - permuas fiacieras - combiacioes ere íulos y difereciales diversos, ere oros. La igeiería fiaciera se eiede, a meudo, como la maipulació de íulos derivados (co el fi de obeer beeficios y reducir los riesgos ocasioados por el carácer iciero de la siuació del mercado e el fuuro). Los pricipales igrediees de los mercados fiacieros so la moeda propia, las divisas de oros países, los meales preciosos, las cueas bacarias, las obligacioes y las accioes. Todos esos elemeos se coiza e Mercados Fiacieros, orgaizados o o, segú exisa uas ormas para la egociació, o que ésas se haga más libremee. Para los empresarios es fudameal coocer la siuació fiaciera de alguas empresas que emie íulos, las coizacioes de ésos e los mercados y la evolució de los precios. 5

2 La iformació sobre el esado global de la ecoomía y de los mercados, se expresa mediae varios ídices compuesos, geeralizados, cosa que es imporae para la buea marcha de la ecoomía. Exise diarios ieracioales que publica e su secció Ídice del Mercado de Tíulos las acividades de los Mercados Fiacieros más imporaes, ere ellos el Wall ree Joural y el Fiacial Times. osoros raamos de obeer la valoració de íulos e uos mercados fiacieros, dode o exisa arbiraje. E primer lugar, esablecemos modelos fiacieros y esocásicos co coberura, e mercados compleos e icompleos. Los íulos puede ser de ipo Europeo o de ipo Americao, depediedo de si el momeo de su liquidació es la fecha de expiració o e cualquier momeo aerior. os ceraremos e la valoració de íulos Europeos e iempo discreo y e iempo coiuo. El primer ieo hacia ua descripció maemáica de la evolució de los precios de la acció ( ), >, la hizo Louis achélier (e el mercado de París), sobre la base de cocepos probabilisas, e su esis Théorie de la péculaio (9), dode propuso cosiderar ( ), como u proceso aleaorio. Llegó a cosiderar: + µ + σw,, dode w (w ) es u proceso aleaorio adiivo, iroducido por achélier. La fórmula de achélier se adelaó a la de lac-choles y Mero (973), quiees propusiero u movimieo rowiao geomérico σw + ( µ σ e La fórmula iicial de lac-choles os proporcioa el precio racioal de ua opció sobre ua acció, e el caso de que ésa o repara dividedos. osoros hacemos referecia a esudios poseriores que icluye el reparo de dividedos. e esudia los coraos de fuuros y los coraos a plazo, para su valoració. / ) Co respeco a los Mercados Fiacieros abordamos cuesioes como: - Qué preedemos saber acerca de su Teoría y su prácica? - Cómo opera los mercados fiacieros e ambiee de iceridumbre? - Qué cocepos y eorías se ha de usar para el cálculo? - e puede predecir el desarrollo fuuro de los precios? - Cuáles so los riesgos de los disios isrumeos fiacieros? E uesras descripcioes de las evolucioes de los precios, y, valoració de los isrumeos fiacieros, operaremos e u mercado si oporuidades de arbiraje. Maemáicamee, esa hipóesis ecoómica sigifica que exise ua medida de probabilidad coocida por marigala (eural respeco al riesgo), al que los precios acualizados de los íulos so marigalas respeco a ella. Eso, a su vez, os da la oporuidad de aplicar la operaoria del cálculo esocásico para el esudio de la evolució de los precios. La década de los 9 se cosidera como el período de acimieo de la Teoría fiaciera. El desarrollo poserior procedió a lo largo de dos efoques: hipóesis de ceridumbre y de iceridumbre. Respeco al primer efoque eemos los resulados de I. Fisher (93), F. Modigliai y Mero Miller (963), que buscaba solucioes ópimas para problemas de opimizació de fucioes de varias variables. E el segudo caso se ha de sigularizar a H. Marowiz (959) y a M. edall (973). El rabajo de Marowiz esableció ua base para la eoría de la carera de iversió, y se ceró e la opimizació de decisioes de iversió bajo iceridumbre. Aporó u méodo probabilisa, que fue fudameal para la aporació poserior de W. harpe (964) y. Ross (976), co sus eorías: - CAPM Capial Asse Pricig Model, (Modelo de Equilibrio de los Acivos Fiacieros MEDAF) (Térmio iroducido por el Prof. García Villaló) - APT Arbirage Pricig Theory, (Teoría de la valoració mediae arbiraje) 5

3 Esas eorías se dirige hacia la reducció de riesgos. Para raar de cubrirse de los riesgos fiacieros se desarrolla sisemas de recogida de daos esadísicos, que sirve ambié para la predicció de los precios de mercado. Esa es la fialidad de la coberura, u cojuo de écicas que iee e cuea cambios aleaorios de los precios fuuros y iee por fialidad la reducció de los riesgos de posibles efecos desfavorables de esos cambios. Las aporacioes de M. edall raa de aclarar el comporamieo de los precios del mercado, cuesioádose cuáles so los procesos esocásicos asociados a su evolució. Co eso llegamos a la Teoría del Mercado de Capiales Eficiee. ECM (Efficie Capial Mare). E la década de los 3, varios esadísicos, ere ellos: A. Cowles (933, 944), H. Worig (934) y H. Joes (937) se cuesioaro si so predecibles los movimieos de los precios, y cuáles so sus valores. e llegó así al camio aleaorio (suma de variables aleaorias idepediees), que fializó co la creecia de que los precios eía sus regularidades. e llegó a la coclusió de que los logarimos de los precios sigue u camio aleaorio. Las aporacioes de H. Robers (959) y M. F. Osbore (959) señalaba que esaba a favor del crierio del camio aleaorio asociado a los precios. amuelso (965) irodujo e la eoría y prácica de la fiaciació el movimieo rowiao geomérico. Fue esa cojeura la que dio lugar al cocepo de mercado racioal (o eficiee). Eficiecia sigifica aquí que el mercado respode eficieemee a la ueva iformació. Es imporae el cocepo de iformació, pues la iceridumbre e el mercado esá asociada a la aleaoriedad, dero de u ciero espacio de probabilidad. Oro rabajo e el que icidimos es e el de la diversificació de ua carera, de H. Marowiz (959), que es u medio de dismiuir los riesgos o sisemáicos de ua carera e fució de la variaza o de la desviació ípica, ya que los riesgos sisemáicos so iherees al mercado. Traamos de obeer uos resulados geerales para la valoració de modelos fiacieros esocásicos.. RELACIOE DE ARITRAJE PARA LA VALORACIO DE TITULO DERIVADO e ha cosiderado que los íulos derivados so los que ha ifluido e el hudimieo de alguas corporacioes como Gibso, Procor y Gamble & arrigs, ere muchas oras. U íulo derivado es u corao fiaciero emiido sobre u acivo fiaciero cuyo valor se deduce del acivo subyacee, que puede ser ua acció, ua lera del Tesoro, divisas o icluso ídices de u mismo íulo derivado. Ere los íulos derivados icluimos las opcioes, los coraos de fuuros y los coraos a plazo. Los íulos derivados so criicados porque so isrumeos complejos y co u gra edeudamieo, lo que coduce a que cambios pequeños e el precio de los acivos subyacees pueda causar grades aleracioes e el precio del derivado. i o se es cosciee de esa caracerísica, se puede obeer grades pérdidas. Los íulos derivados so isrumeos excelees para la especulació y para crear seguros; esa úlima caracerísica se cooce como coberura (hedgig). Aes de pasar a la valoració y coberura de íulos derivados, describimos alguos de ellos (los más imporaes) y desarrollamos ambié dos cocepos cuyo coocimieo es imprescidible para raar co derivados fiacieros. o esos: el arbiraje y la coberura. Exise dos clases de mercados; mercados orgaizados y o orgaizados. E los primeros se compravede íulos, de acuerdo co uas ormas, ao para la egociació, como para la liquidació. E los mercados o orgaizados, a los que os referimos a veces como el ierbacario o mercado OTC (over he couer), la egociació es más libre, más a la cara, produco de u paco ere mediadores e iversores. E los mercados orgaizados se egocia dos ipos de íulos derivados -fuuros y opcioes-. Los coraos a plazo, por el corario, se egocia e mercados o orgaizados y so acuerdos que cosise e comprar o veder ua caidad especificada de u acivo a u precio prefijado co erega e u momeo y lugar esablecido, precio coocido por precio de erega. E el momeo e que se emie el 53

4 corao, el precio de erega es al que el valor del corao a plazo es cero. Eso se hace por coveio, de forma que o haya cambio de liquidez ere las pares que era e el corao. Para formalizar ese corao coamos co dos parámeros que especificamos: el momeo del corao, f,t., la fecha de vecimieo o erega, T y el precio a plazo que deoamos por ( ) Cuado se iicia el corao, el precio a plazo, por defiició, iguala al precio de erega (). El precio de erega se fija durae la vida del corao. Los coraos de fuuros so acuerdos que cosise e comprar o veder ua caidad especificada de u acivo a u precio deermiado y e u momeo y lugar fijados. Las diferecias co los coraos a plazo so 4: los coraos de fuuros permie a los paricipaes que realice gaacias o pérdidas e ua base diaria y el precio de erega se realiza mediae uas aporacioes durae la vida del corao; los coraos de fuuros so coraos esádar co respeco a la caidad y calidad del acivo que subyace e el corao, e la fecha de vecimieo y lugar (si exise erega física). Además, los coraos de fuuros se liquida a ravés de ua cámara de compesació (Clearig House), que acúa como mediadora, por lo que se miimiza el riesgo de crédio. La cuara diferecia es que los mercados de fuuros esá regulados mieras que los coraos a plazo o lo esá. Teemos ambié los coraos de opcioes, opcioes de compra y opcioes de vea, que so los derivados fiacieros más coocidos, dode las opcioes de compra ofrece el derecho a comprar y las de vea a veder. Los parámeros a cosiderar e ua opció so: la prima, el precio del subyacee ( () si es ua acció), el precio de ejercicio y la fecha de vecimieo, T. Hemos de cosiderar ambié las iversioes a ao fijo, y esudiamos: Obligacioes-cupó-cero - Ua obligació que o paga iereses i cupó durae su vida. e compra a u precio iicial y los iereses obeidos esá deermiados por el desembolso e la fecha de vecimieo. ea u boo cupó cero que paga ua uidad moearia e T(T ). La relació ere los precios de los (,T) el valor e de boos cupó cero y sus vecimieos (T) se deomia esrucura a plazo de los aos de ierés. uesro fi es usar argumeos de arbiraje para compreder la relació ere el precio a plazo y el precio al coado del corao subyacee. Hemos de defiir el cocepo de arbiraje, que es el cocepo clave para la mayoría de los resulados a obeer aquí. El arbiraje es ua esraegia de egociació que o exige diero efecivo, que iee la posibilidad de hacer beeficios, si riesgo alguo de pérdida, lo que se expresa por free luch wih vaishig ris. i exise oporuidades de arbiraje, las acividades de los arbirajisas (los que aprovecha las oporuidades de arbiraje) dará lugar, ocasioalmee, a que se ajuse los precios hasa que o sea posible el arbiraje. o se puede esperar que se logre oporuidades de arbiraje e mercados de capial que fucioa bie. Desde el puo de visa ecoómico, la exisecia de oporuidades de arbiraje implica que la ecoomía esá e u desequilibrio ecoómico, que es ua siuació e la que los egociadores esá isaisfechos co sus composicioes de carera acuales, y que egocia. u egociació obliga a que cambie los precios, moviédose hacia u uevo equilibrio ecoómico; e ese equilibrio los egociadores debe esar saisfechos co sus careras, por lo que ya o exise oporuidades de arbiraje. De oro modo, coiuaría egociado y los precios se ajusaría hasa que se desvaezca la moivació de egociació. E síesis, si los precios se geera mediae u equilibrio ecoómico, eoces o hay oporuidades de arbiraje e la ecoomía. i preedemos obeer ua eoría para la valoració de modelos fiacieros esocásicos, se ha de eer e cuea que la calidad de cualquier eoría es u resulado direco de la calidad de las hipóesis subyacees. Las hipóesis deermia el grado e que la eoría se ajusa a la realidad. Hemos de eer, pues, e cuea las siguiees hipóesis: 54

5 . o exise friccioes de mercado, o sea, o exise coses de rasacció, i difereciales de precios de compra y vea, i exigecias de pago de márgees, i resriccioes a la vea e descubiero (que se pueda veder íulos que o se iee) y o exise impuesos.. Los paricipaes e el mercado o corre el riesgo del oro coraae; los coraaes o dejará impagados los coraos que asume. 3. Los mercados so compeiivos. Los paricipaes e el mercado acúa como precio-acepaes y o iee ifluecia sobre los precios. 4. Los paricipaes e el mercado prefiere más riqueza que meos. 5. Los precios se ha esablecido de forma que o exisa oporuidades de arbiraje. Pasamos ahora a usar argumeos simples de arbiraje para esablecer resulados geerales respeco a los precios de las opcioes, si hacer hipóesis explícias acerca de la disribució de probabilidad que describe el valor fuuro del acivo subyacee. e esablecerá coas superiores e iferiores para los precios de las opcioes de compra y vea. i el precio de ua opció esá fuera de esas coas, idica ua posible oporuidad de arbiraje. El objeivo pricipal de obeer esos resulados es mejorar uesra compresió de los coraos de opcioes. Ahora, supodremos que el acivo subyacee o emie flujos de caja, pero luego podemos geeralizar al caso de que exisa. 3. DIAMICA DEL PRECIO DEL ACTIVO e ha obeido coas superiores e iferiores para los precios de las opcioes usado argumeos simples de arbiraje. Auque esas coas limia el precio de la opció, esos iervalos o puede ser demasiado largos. Para valorar opcioes más exacamee, hemos de hacer hipóesis adicioales respeco a la disribució de probabilidad asociada a los cambios posibles del acivo subyacee. ecesiamos u modelo para la evolució del precio del acivo, u modelo que ha de ser secillo para el aálisis y complejo para ofrecer ua aproximació razoable a la evolució acual de los movimieos del precio del acivo. El modelo seleccioado es el de la disribució log-ormal, que será el caballo de baalla para la valoració de opcioes/fuuros. La subsiguiee disribució log-ormal se uiliza e los modelos coiuos de egociació y e su cálculo. Ahora bie, creemos que los modelos de egociació coiuos (y su cálculo) so meos iuiivos que los modelos de egociació discrea (y el uso del álgebra), por lo que se iroduce el modelo biomial, que opera e iempo discreo. i se cosruye cuidadosamee el modelo biomial, puede servir como aproximació a la disribució log-ormal. El modelo esádar que se usa e la ecoomía fiaciera es la disribució log-ormal para los redimieos del precio de la acció, pariedo de hipóesis razoables sobre el comporamieo aleaorio de los redimieos de ua acció. Esas hipóesis caraceriza la disribució log-ormal de u modo iuiivo. Esa iuició es imporae porque la disribució log-ormal es la base de la eoría siguiee. Parimos de que: El precio fuuro de ua acció es iciero y muy difícil de predecir. e subdivide el iempo e subiervalos igualmee espaciados de logiud h. i deoamos por z() el redimieo e el campo coiuo respeco al úlimo subiervalo, eemos: defiiedo z() por T h. () z(i) ( )e, Repiiedo ese aálisis: z(t) l[ (T) / () ] El redimieo coiuo sobre la acció e el periodo [,T] es la suma de redimieos coiuos e los -subiervalos. 55

6 e impoe ahora más hipóesis admisibles sobre las disribucioes de probabilidad asociadas a los redimieos coiuos de los subiervalos, co el fi de obeer u modelo simple y realisa de la evolució de los precios de la acció. Parimos de varias hipóesis: - Los redimieos { z (j)} esá disribuidos idepedieemee. - Los redimieos { z (j)} esá idéicamee disribuidos. - El redimieo coiuo esperado puede escribirse de la forma: E [ z() ] µ.h., dode µ es el redimieo esperado coiuo por uidad de iempo, que es idepediee de la logiud del subiervalo h. - La variaza del redimieo coiuo se puede escribir de la forma: var[ z() ] σ h dode variaza del redimieo coiuo por uidad de iempo, que es idepediee del subiervalo. Dadas las 4 hipóesis aeriores, el redimieo coiuo e [,T] es: La variaza del redimieo coiuo e [,T] es: [ z(t) ] T E µ var [ z(t) ] σ T σ es la Las hipóesis a 4 so hipóesis rigurosas e implica que para subiervalos de iempo iifiiesimales la disribució sea ormal co media µ h y variaza σ h. Ese resulado se basa e la eoría ceral del límie de la eoría de la probabilidad. Mecioada la disribució log-ormal para los movimieos del precio de la acció, cosideramos el modelo biomial. e puede represear el precio de ua acció al fial de u período, del siguiee modo: U si el movimieo del precio es ascedee D si el movimieo del precio es descedee La hipóesis de que el precio de la acció puede omar sólo uo de los dos valores posibles al fial de cada iervalo es la hipóesis biomial. Puede suceder que sea posible omar varios valores, lo que permiiría geeralizar eso a varios periodos. e raa de ver como puede aproximarse el modelo biomial a la disribució log-ormal. Eso se hace eligiedo las magiudes ascedee y descedee de precios U y D, de u modo adecuado. Como la represeació biomial asume que, al fial de cada iervalo, el redimieo de la acció oma sólo uo de dos valores, omemos la represeació biomial como sigue: El redimieo esperado es: y la variaza es: l [( µ h + σ + )/ ()] z() µ h σ h, p h; p [ ] ( µ h + σ h) + ( µ h σ h) µ h E z() 56

7 var [ z() ] ( σ h) + ( σ h) σ h e cooce el redimieo esperado por edecia. La raíz cuadrada del érmio La expresió del [ ( ) / () ] σ se llama volailidad (σ). l + saisface las hipóesis a 4. E primer lugar, las z() so idepediees y esá idéicamee disribuidas, pueso que las probabilidades /, la deriva µ y la volailidad σ o cambia co T. Tambié se emplea las hipóesis 3 y 4. El precio de la acció e + es: ( + ) () e e µ h+σ µ h σ h h co co prob prob Teemos eoces: U e µ h+σ h D e µ h σ h Como esamos sólo ieresados e aproximar ua disribució logormal cuado h iede a cero, mediae ua disribució biomial, la represeació de los movimieos del precio de la acció o esá deermiada de forma uívoca, sio que exise oros modos de represear los precios de la acció, que saisfaga las hipóesis a 4. Ecuacioes difereciales esocásicas como isrumeo de valoració La represeació de los precios de ua acció, log-ormalmee disribuidos, para la valoració de opcioes, implica el coocimieo de la ecuació diferecial esocásica. U modo elegae de represear las hipóesis a 4 para los redimieos compuesos es: z( + ) µ h + σ W() Dode W es ua variable aleaoria ormalmee disribuida co media cero y variaza h. La ecuació aerior se expresa usualmee e fució de los cambios del precio de la acció. Recordemos que, por defiició: co lo que podemos escribir: ( z ( + ) + l( ( ) / () ) + ) () + ( + ) () () + () dode () deoa el cambio del precio de la acció e el iervalo [, + ]. usiuyedo, eso da: z( + ) De aquí podemos escribir las hipóesis a 4 como: l[ + () / () ] () () µ h + σ W ~ () () 57

8 Para érmios ifiiesimales, la ecuació aerior se escribe de forma más geeral y absraca, como d() µ, () d + σ, () dw, dode d() represea el cambio e el precio de la acció desde a () sigue: [ ] [ ] + d, siedo d u cambio ifiiesimal e el iempo; µ [,() ] es el redimieo isaáeo por uidad de iempo; σ [,() ] es la desviació ípica isaáea del redimieo por uidad de iempo y dw es u movimieo rowiao. U movimieo rowiao, por defiició, es ua variable aleaoria que esá ormalmee disribuida, co media cero, variaza d que iee icremeos idepediees e idéicamee disribuidos. Obsérvese que, e esa forma geeral, ao la media como la volailidad, so fucioes de y del valor acual de la acció (). La expresió aerior es ua ecuació diferecial porque el precio de la acció () se defie sólo implíciamee, describiedo sus cambios a lo largo del iempo. Hipóesis diferees respeco a la forma de la volailidad da lugar a solucioes diferees de () para esa ecuació diferecial esocásica. La hipóesis esádar es supoer que µ y σ so cosaes. La solució de () es ua disribució logormal. ieizado, para valorar cualquier forma de derivado, ecesiamos u modo de represear la evolució de los precios fuuros de u acivo. Desarrollamos ahora el modelo de valoració biomial que ofrece ua aproximació para compreder la valoració y coberura de íulos derivados. El modelo biomial supoe que, al fial de cada iervalo, el precio de la acció puede omar dos valores posibles, por lo que la opció de compra omará dos valores posibles. e valorará la opció mediae ua reproducció siéica. Es decir, para valorar la opció de compra, cosruimos ua carera de ua acció y ua iversió si riesgo para reproducir el valor de la opció. Esa opció de compra siéica debido a la ausecia de arbiraje, ha de ser igual al precio de la opció de compra egociada. E oro caso, surgiría oporuidades de arbiraje. El procedimieo de la reproducció siéica o os da sólo u modo de valorar opcioes de compra, sio que ofrece u modo de esablecer ua coberura. La solució biomial para la valoració de opcioes de compra os apora percepcioes imporaes para la valoració y coberura de odos los íulos derivados. i se comprede la lógica básica de esa solució, se comprederá la lógica subyacee para la mayoría de los modelos de íulos derivados e uso acualmee. e puede usar el modelo de valoració biomial para caracerizar los precios de fuuros, para coraos de fuuros emiidos sobre ua acció. De algú modo, los coraos de fuuros so los íulos derivados fudameales hoy e día. Por ao, el aálisis de los coraos de fuuros es muy imporae. e ha viso cómo cosruir ua opció siéica, usado ua acció y la iversió si riesgo. Co el fi de eviar el arbiraje, el cose de cosruir la opció siéica ha de ser igual al de la opció egociada. Co eso llegamos al pricipio de valoració eural free al riesgo. Hacemos referecia aquí al dela de ua opció, uo de los cocepos más imporaes de la eoría. Cosideremos la reproducció de ua opció de compra Europea; el úmero de accioes del acivo subyacee a usar e la carera reproducora se cooce como el raio de coberura, mide la relació ere el precio de la prima de ua opció y el precio de los coraos de fuuros y es igual a la diferecia e el precio de la opció al fial del periodo, dividido por la diferecia e el precio de la acció. e puede usar los mismos argumeos de arbiraje para caracerizar los precios de fuuros. Cosruimos ua carera reproducora, usado ua acció y u acivo si riesgo para ajusar el valor y el flujo de caja (cash flow) de u corao de fuuros. Ese corao de fuuros siéico iee u precio cuyo valor ha de ser igual al precio de los fuuros del corao de fuuros egociados. E oro caso, exisirá oporuidad de arbiraje. Los coraos de fuuros so coraos para comprar o veder e ua fecha y a u precio coveidos, llamados fecha de ejercicio y precio de ejercicio respecivamee. Al comiezo de cada período de egociació, se esablece el precio del fuuro de modo que el valor del corao es cero. Al fial del periodo de egociació, el corao esá marcado segú el mercado (mared o mare). Ahora surge u cocepo fudameal para la valoració de acivos fiacieros e siuació de ausecia de arbiraje, e cuyo caso se presea probabilidades úicas, deomiadas probabilidades marigalas equivalees, que se puede uilizar para valorar opcioes y fuuros. 58

9 E el modelo biomial se plaeó la exisecia de las medidas marigalas equivalees, su uicidad y su imporacia para valorar íulos derivados, ahora se preede explicar que esos resulados so aplicables a ecoomías más complejas que las del modelo biomial. E el modelo biomial usamos el procedimieo de valoració eural free al riesgo, lo cual muesra que se puede deermiar el valor de ua opció calculado el valor fuuro esperado de la opció usado las probabilidades marigalas equivalees, y luego acualizado mediae el ao de ierés si riesgo. Teemos: + [ Mc( + ) + ( M)c( + ] c() ) R(h ) dode c() es el valor de la opció e ; c( + ) + es el valor de la opció e ( + ) e el esado ascedee; c( + ) - es el valor de la opció e ( + ) e el esado de precio descedee; M es la probabilidad marigala equivalee e el esado ascedee y R(h ) es el valor e (+) de la iversió e de ua uidad moearia e el acivo si riesgo, co vecimieo h. 4. LA TEORIA ECM (EFICIECIA DE LO MERCADO DE CAPITAL) La eficiecia sigifica que el mercado respode racioalmee a la iformació ueva. Eso implica que, e ese mercado: ) Las correccioes de los precios so isaáeas y el mercado esá siempre e equilibrio, los precios so equiaivos y o da a los paricipaes ocasió de arbiraje; es decir, de obeer beeficios de los difereciales de precios. ) Los iermediarios so uiformes e su ierpreació de la iformació obeida y corrige sus decisioes isaáeamee cuado pasa a dispoer de ueva iformació. 3) Los paricipaes so homogéeos e sus objeivos; sus accioes (acividades) so colecivamee racioales. Icidealmee, e el aspeco formal del ema, el cocepo de eficiecia debe cosiderarse depediee de la auraleza de la iformació que llega al mercado y a sus paricipaes. e disigue usualmee 3 clases de iformacioes accesibles: º Los valores pasados de los precios. º La iformació de carácer más amplio de los precios, coeida geeralmee e fuees accesibles (periódicos, boleies, ec). 3º Toda la iformació cocebible, icluso iformació privilegiada. Para ua formalizació coveiee de uesro cocepo de iformació, parimos de la hipóesis de que la iceridumbre e el mercado se puede describir como aleaoriedad, expresada e el coexo de ciero Ω,F,p. Como siempre, aquí: espacio de probabilidad ( ) { W} Ω es el espacio de resulados de probabilidad. F es u álgebra de subcojuos de W. p es ua medida de probabilidad e ( Ω,F). Es coveiee doar al espacio de probabilidad de ua filració ( F, ), familia de σ -álgebras sobre Ω al que F F, para odo m. Es decir, de ua corriee creciee de iformació. m Ierpreamos los sucesos e F como la iformació accesible a u observador hasa el isae. 59

10 E el cálculo esocásico se deomia espacios ( F,p) ((F ),p ) Ω co flujos disios F (F ), a u flujo, de iformació. Usado ese cocepo podemos disiguir varias formas de mercados eficiees como sigue. upogamos que hay 3 corriees de σ -álgebras: e ( Ω,F,p), dode 3 F (F ) ; F (F ) ; F 3 3 (F ) F F F e ierpreamos cada ua de las σ -álgebras i-ésima que se presea e el isae. i F como los daos de la clase Por qué creemos que es aural la cojeura de la propiedad marigala que es iheree al cocepo de mercado eficiee?. Hay varias respuesas. La mejor explicació puede darse e el marco de la eoría de los mercados si arbiraje, que asocia direcamee la eficiecia de u mercado a la ausecia de oporuidades de arbiraje. E lo que sigue, la úlima propiedad da lugar a la aparició de las marigalas. Para dar idea del modo e que aparece las marigalas, preseamos los siguiees argumeos elemeales. ea ( ), dode es el precio de ua acció e. ea,. (dode es el cambio relaivo de los precios). El cambio relaivo de los precios (el ao de ierés). upogamos que el mercado esá orgaizado de al modo que, co respeco al flujo F (F ) de daos accesibles, las variables so F -medibles y co probabilidad próxima a, ( ρ F ) r, para ciera cosae r. Por las dos úlimas fórmulas: E (+ ρ ) + ρ p E( F ) y supoiedo + r por hipóesis: ρ,. + r Veamos ambié que, juamee co ua acció, cosideramos ua cuea bacaria: al que: ( ), r dode r es el ao de ierés de la cuea y >. ) Pueso que ( + r, de las relacioes aeriores eemos: Eso sigifica que la sucesió E F para es ua marigala co respeco a la filració: F (F ) para. 6

11 uesra hipóesis aerior permie que E ( ρ F ) r co probabilidad próxima a o E ( ρ F ) ( F ) r E > < r, ó ρ, por lo que los iversores ecorará que es más beeficioso resrigir su iversió a la cuea bacaria o a la acció. Dicho de oro modo, si u íulo domia a oro, eoces el de meos valor desaparecerá rápidamee, como debe ser e u mercado bie orgaizado, e u mercado eficiee. Cosideremos ahora ua versió más complicada de uesro modelo ( + ρ ), de la evolució de los precios de la acció. upoiedo que e se compra ua acció al precio, y que se vede e a u precio ; el beeficio bruo (que puede ser posiivo o egaivo) es. Es más sesao medir el beeficio e valores relaivos, que e érmios absoluos,. E aras a la brevedad, eemos beeficios relaivos e los redimieos o e los coeficiees de crecimieo. De acuerdo co uesra ierpreació de los redimieos, como beeficios de comprar e y veder e. upogamos ahora que eemos ua fuee adicioal de igresos, que supoemos que so F -medibles, e iguales a δ e el momeo. Eoces, uesros beeficios bruos oales so: mieras que su valor relaivo es: + δ p + δ ería ieresae eer ua oció del posible modelo global de los precios ( ), co al de que el comporamieo local se describa por la expresió aerior. Para coesar a esa cuesió se ha de hacer δ ). hipóesis acerca de ( p ) y ( upoemos, por ejemplo, que: E i, además, E( ) <, y E( δ ) <, eoces: dode ( F ) es ua esperaza codicioal. E De u modo similar: ( ρ F ) r, E( F ) + E( δ F ) + r + r E( + F ) + E( δ F ), lo que os coduce a la igualdad: + r + r + eguidamee, veremos que: E( F ) E( F ) E( F ) + + δ + + δ ( + r) ( + r) + r 6

12 ( + F ) + E( δ+ i F ) E,, y. (+ r) (+ r)i i La clase de marigalas es amplia. Por ejemplo, coiee el camio aleaorio y, además, la propiedad marigala E ( F ) muesra que, co respeco a las prediccioes de los valores de los icremeos, lo mejor que podemos sacar de los daos F, es que el icremeo se aula e promedio (co respeco a F ). Eso cocuerda co uesra percepció iaa de que las gaacias codicioales E( F ) e u mercado equiaivo, bie orgaizado, que se puede ierprear como la imposibilidad de obeer beeficios si riesgo. Fue e ese coexo e el que achélier escribió La esperaza maemáica del especulador es cero. Fialmee señalamos, como se muesra e el aálisis empírico de la evolució del precio, que la auocorrelació de las variables h h, iede a cero, lo que puede cosiderarse u argumeo (auque idireco) a favor de la cojeura marigala. 5. DIVERIFICACIO DE MAROWITZ El rabajo de Marowiz fue decisivo para el desarrollo y prácica de la gesió y de la igeiería fiaciera. El puo más aracivo para los iversores e su eoría fue la idea de la diversificació de ua carera de iversió, porque o demuesra simplemee ua posibilidad eórica de reducir los riesgos de iversió (o sisemáicos), sio que da recomedacioes de cómo lograr eso e la prácica. El ema de la diversificació es u medio de reducció de los riesgos o sisemáicos a u ivel arbirario bajo, medido e fució de la variaza o de la desviació ípica. El feómeo de la correlació egaiva, coocido como feómeo de Marowiz, es ua de las ideas básicas de la diversificació de iversió: al cosruir ua carera de iversió se debe iverir e el mayor úmero posible de íulos o correlacioados. El feómeo de la ausecia de correlació idica que, e caso de iversió e íulos o correlacioados, su úmero debe ser, lo más grade posible para reducir el riesgo (es decir, la variaza). i la covariaza ere los íulos es cero, eoces usado la diversificació, co suficieemee grade, podemos reducir el riesgo de iversió a u ivel arbirariamee bajo. Desgraciadamee, los íulos e u mercado iee correlació posiiva (cambia de u modo coordiado, e la misma direcció) y, por ello, la covariaza o iede a cero cuado iede a ifiio. El valor límie de la covariaza es juso, el riesgo sisemáico (o de mercado), iheree al mercado e cuesió, que o puede reducirse por diversificació, mieras que los riesgos o sisemáicos se reduce por diversificació. El cocepo de mercado eficiee, como se ha viso, es la hipóesis de que los precios asimila isaáeamee la iformació ueva y se esablece de u modo que o se proporcioa la oporuidad de comprar barao y veder imediaamee a u precio superior, o sea, que o hay oporuidades de arbiraje. e ha mosrado ya que la idea de u mercado equiaivo, racioalmee orgaizado, apora los precios ormalizados de mercado, expresado mediae marigalas (co respeco a ciera medida equivalee a la medida de probabilidad iicial). Los fudamealisas oma sus decisioes cosiderado el esado de la ecoomía a largo plazo, o de alguos de sus secores; las perspecivas de desarrollo so de ierés paricular para ellos; cosruye su aálisis bajo la hipóesis de que las accioes de los agees del mercado so racioales. 6

13 6. ICERTIDUMRE E IRREGULARIDAD E EL COMPORTAMIETO DE LO PRECIO. U DECRIPCIÓ Y REPREETACIÓ E TÉRMIO PROAILITA upogamos que medimos el iempo e días,,... y sea ( ), el precio de mercado de ua acció, el ao de cambio de dos divisas, u oro ídice fiaciero (iempo de vida ilimiado, e corase a, por ejemplo, los precios de boos). U esudio empírico de,, muesra que los precios varía de u modo alamee irregular. achélier, como se ha dicho, fue el primero e describir los precios ( ),, usado los cocepos y los méodos de la eoría de la probabilidad, que ofreció ua esrucura para el esudio de los feómeos empíricos, caracerizados, ao por la iceridumbre esadísica, como por la esabilidad de las frecuecias esadísicas. Tomamos el efoque esadísico y usamos la axiomáica de A.. olmogorov (94) sobre la eoría de la probabilidad, que es geeralmee acepada ahora, supoiedo que uesras cosideracioes se lleva a cabo co respeco al espacio de probabilidad (Ω,F,p ), dode: - Ω es el espacio de sucesos elemeales ω (siuacioes del mercado). - F es ua σ -álgebra de subcojuos de Ω. - p es ua probabilidad e F. e ha dicho ya que el iempo y las evolucioes e el mismo, so pares iegraes de la eoría fiaciera. Por esa razó, parece válido defiir uesro espacio de probabilidad (Ω,F,p ) más específicamee, supoiedo que eemos ua familia F (F ) de σ -álgebras, de modo que: F F... F... F La razó de iroducir esa familia de σ -subálgebras o decreciees de F, que se cooce por filració, es evidee mediae la ierpreació siguiee: F es el cojuo de sucesos observables a lo largo del iempo. e puede eeder que F es la iformació sobre la siuació del mercado de que dispoe u observador, hasa el momeo iclusive (e la esrucura de u mercado eficiee, eso puede ser, por 3 ejemplo, ua de las res σ -álgebras F,F, F. upoemos que uesro modelo probabilisa subyacee es u espacio de probabilidad filrado que se llama ambié base esocásica. ( Ω, F,(F ),p) E muchos casos parece razoable geeralizar el cocepo de base esocásica supoiedo que, e lugar de ua medida úica de probabilidad, eemos ua familia eera P {ρ} de medidas de probabilidad (la razó es que a meudo es ecesario sigularizar ua medida ρ ). Usado la ermiología de la Teoría de la decisió esadísica, llamamos a la familia (, F,(F ),P) Ω experimeo filrado esocásico. Cosiderado F como la iformació accesible a la observació (iclusive hasa ), es aural supoer que es F -medible o que los precios se forma sobre la base de desarrollos observables e los mercados hasa (iclusive). Cosiderado que. es el precio (por ejemplo de ua acció) e el iempo, supogamos que, Los dos méodos corriees para la preseació de los precios ( ) so: 63

14 Primero, ua fórmula similar a la fórmula del ierés compueso: e dode H h + h h, co h y las variables aleaorias h h (W), De aquí: H, so F -medibles. H l y los redimieos logarímicos se puede valorar mediae la fórmula: dode. h l l + Eoces podemos decir que el primer méodo para la descripció de los precios es la expresió expoecial e mieras que el segudo implica la expoecial esocásica: (Ĥ ) H H E, dode ( e ) Ĥ. Co el objeo de pasar a la valoració de modelos fiacieros, iroducimos uas defiicioes y uas oacioes siguiedo a Alber. hiryaev, e su libro Esseials of Esochasic Fiace. Defiició Decimos que ua sucesió de variables aleaorias ( ), defiida e la base esocásica, es ua sucesió esocásica, si es F -medible. Para efaizar la propiedad de ser medible se escribe las sucesioes esocásicas como: (,F ), icorporado e la oació las σ -álgebras F, co respeco a las que so medibles las Defiició Decimos que ua sucesió esocásica (,F ) es: ua marigala ua supermarigala ua submarigala. i E < y si co probabilidad próxima a respecivamee, ( F ) ( F ) ( ) E E E F e puede esablecer claramee que E ( ) cosae para ua marigala, que las esperazas so o creciees para ua supermarigala E E ) y que so o decreciees para ua submarigala ( E E ). ( 64

15 Doados co los isrumeos y el bagaje del cálculo esocásico, raamos de cosruir modelos esadísicos, cuya elecció es ua area complicada. La eoría geeral de eries Temporales iee varios modelos lieales esádar, que supoemos esacioarios. Ciamos alguos como el MA (q) (el modelo de media móvil de orde q, el AR(p) (el modelo auoregresivo de orde p), y ARMA(p,q) (el modelo auoregresivo mixo de media móvil de orde (p,q)). Exise modelos esocásicos o lieales, gaussiaos, cuyo orige esá e la búsqueda de explicacioes de feómeos diversos (que aparece ao e la esadísica fiaciera como e la ecoomía), ales como los salos iesperados, ere oras cosas. o exise uaimidad co respeco a los modelos o lieales, pues los idicadores ecoómicos iee edecia a flucuar ere sí. Coamos co muchos idicadores macroecoómicos (volúmees de producció, cosumo o iversió, el ivel geeral de precios, los aos de ierés, las reservas del gobiero, ec). La cosideració de muchos ídices ecoómicos puede marcar edecias, pero el movimieo se puede acelerar o o; el crecimieo puede ocurrir e ciclos de clases. Así pues, u aalisa de daos esadísicos relaivos a la ecoomía fiaciera, se ecuera free a u problema o lieal relaivo a la elecció del modelo correco. 7. VALORACIO DE MODELO FIACIERO E TIEMPO DICRETO Y E TIEMPO COTIUO La Teoría de H. Marowiz (99), al como se expresa e su aálisis de la media variaza, logra ua aproximació de los riesgos de la valoració de iversioes y la reducció de su compoee o-sisemáica, que se basa e la diversificació de la selecció de ua carera de iversió ópima. Oros problemas de opimizació que surge e la Teoría fiaciera puede, e fució de las iceridumbres del eoro, clasificarse ere los problemas de opimizació esocásica. E primer lugar, se ha de mecioar que la fiaciació implica ua serie de problemas de opimizació que o so ípicos i radicioales y que se refiere a la coberura, a cómo cubrir los riesgos. o so ípicos e el seido de que la coberura ópima, como u corol que es, ha de verificar cieras propiedades co probabilidad, e lugar de verificarlas e érmios medios de probabilidad, como es usual e la opimizació esocásica. osoros cosideramos la coberura como u méodo de corol diámico de ua carera de iversió. Ese méodo es crucial para valorar isrumeos fiacieros ales como opcioes. E relació co la valoració de coraos de opcioes, la imporacia de la coberura como isrumeo de proecció ha ifluido e el desarrollo de sus méodos básicos. Los problemas de esa clase iee ua relació direca co la valoració de opcioes europeas. egú la idea de lac-choles y Mero, que dice: e los mercados compleos co ausecia de arbiraje, la evolució de los precios de la opció ha de ser reproducida por la evolució del valor de la esraegia de coberura ópima e el correspodiee problema de iversió. os siuamos e la posició de u iversor e el mercado fiaciero (e el mercado -), que puede: ) Deposiar diero e ua cuea bacaria u obeer diero de ella. ) Comprar y veder accioes. upodremos que ua rasferecia de diero de ua cuea a ora se puede hacer si coses de rasacció y que los acivos so ifiiamee divisibles, es decir, que el iversor puede comprar o veder cualquier fracció del acivo y reirar o deposiar cualquier caidad de la cuea bacaria. Damos ahora alguas defiicioes relaivas a la posició fiaciera de u iversor e el mercado - y sus accioes. U mercado lac-choles cuea co careras formadas por ua cuea bacaria y ua acció. 65

16 Defiició Ua sucesió esocásica predecible ( β, γ) dode ( β (w)) i β ( w) y ( w) F -medibles, F γ, iversioes e el mercado -. i d, escribimos γ y Las variables β (w) y β, e i,,...,d (hacemos F, e lugar de i γ y i. i γ (w) puede ser posiivas, egaivas o cero. El valor de ua carera de iversioes es la sucesió esocásica e: d y ( ) γ γ,...γ co ) se deomia carera de dode se describe ( ), β + d i γ i i y las gaacias de capial e la carera de iversió por la sucesió. Deducimos que el valor de la carera e es. G β + γ + G Decimos que ua carera de iversió es auofiaciadora si su valor: ( ), se puede represear como sigue: ( β β + γ ) +, El hecho de ser ua carera auofiaciada es equivalee a la codició que describe las careras admisibles: β + γ, lo que implica que el cambio del impore de la cuea bacaria puede deberse solamee al cambio del paquee de íulos y viceversa. Defiició El precio de coberura perfeca Europea de u íulo coigee F -medible, f, es la caidad ( f;p) if { x : co o x, co f C (probabilidad próxima a ) Pueso que el mercado e cuesió esá libre de arbiraje y es compleo, por hipóesis: ) Exise ua medida marigala P ~, equivalee a P, al que la sucesió (Primer Teorema fudameal), y es ua marigala ) Esa medida es úica y se puede reproducir cada íulo coigee; es decir, exise ua coberura (perfeca), al que f (segudo eorema fudameal). w 66

17 67 De aquí que si es ua coberura perfeca ) x,f (, es decir, si x y f (co probabilidad casi ) eoces γ + f y, por ello, f E ~ x x f E ~ Obsérvese que el segudo miembro de la expresió aerior es idepediee de la esrucura ( ),,f x e cuesió. Dicho de oro modo, si es ora coberura, eoces los precios iiciales x y x so el mismo. De aquí obeemos el resulado siguiee: Teorema Fórmula Pricipal del precio de coberura perfeco (Europeo) e mercados compleos. El precio ) ; (f c ρ de coberura perfeca e u mercado compleo libre de arbiraje se describe por la fórmula: ( ) ρ f E ~ ; f C Al esablecer la coberura se debe coocer o sólo el precio ) ; (f C ρ sio ambié la composició de la carera que proporcioa ua coberura perfeca. U méodo esádar es: - e cosruye la marigala ( ) ρ ~, F, co F f E ~ M Pueso que uesro mercado es compleo, se deduce del egudo Teorema Fudameal, que iee ua represeació γ + co F, γ -medible. Hacemos ), ( γ β, dode γ es igual a ( ) γ γ y γ β. Es fácil de comprobar que esa es ua carera auofiaciadora. Luego, por cosrucció: e M γ De aquí,, eemos: F f E ~ M. 8. FORMULA DE VALORACIO PRICIPAL DE COERTURA. MERCADO ICOMPLETO El precio ) ; (f C ρ de coberura perfeca e u mercado compleo si arbiraje, iee la siguiee expresió: ρ f E ~ ) ; (f C dode E ~ es ua media co respeco a la (úica) medida marigala P ~, al que es ua P ~ -marigala. Puede plaearse ua cuesió similar de los precios de coberura e u mercado icompleo. i embargo, o ecesariamee exise ua coberura perfeca auofiaciadora e al mercado, por lo que

18 debemos modificar uesra defiició del precio de coberura hacia ua clase e ciero modo más amplia que las esraegias auofiaciadoras a las que os adherimos e caso de u mercado compleo. Recordemos que el valor de ua esraegia auofiaciadora ( β, γ) e u mercado compleo puede defiirse de dos modos: o escribimos co β + γ β + γ, ó + ( β + γ ) La represeació aerior es más coveiee e ciero seido para visualizar las diámicas del crecimieo del capial: es la acció del capial iicial e, mieras que β + γ es el icremeo. E el caso de coberura e u mercado icompleo, parece razoable cosiderar, juo co la carera ( β, γ) el proceso de cosumo C (C ), que es u proceso o egaivo, o decreciee co C F medible y C, y, e paricular, f ( ~ ρ) (prob. próxima a ). Así pues, la carera cosruida sobre la base de la represeació, es ua coberura perfeca. Podemos sieizar los resulados aeriores como sigue: Teorema (Fórmulas Pricipales para ua coberura perfeca y su valor).- E u mercado compleo arbirario, si arbiraje, exise ua coberura perfeca auofiaciadora ( β, γ ) co capial iicial que replica fielmee f : * C f f E ~ ( ) ;p * f (probab. próxima a ) Las evolucioes (diámicas) del capial * se describe por las fórmulas: * * iedo los compoees ( γ ) f * E ~ F ; γ las mismas que e la represeació f E ~ f F E ~ + * γ * y los compoees β β ) puede defiirse por la codició ( * 68

19 * β * + γ * Ya se ha mecioado que, e geeral, o exise la coberura perfeca e los mercados icompleos, es decir, o exise coberura ( β, γ) al que f (co probabilidad próxima a ). Eso o afeca a la posibilidad de que modificado uesra defiició de esraegia admisible podamos alcazar el ivel del capial de desembolso fial, f. Teorema (Fórmula pricipal del precio de coberura Europea e mercados icompleos). ea f ua fució acoada o egaiva, F -medible. Eoces, e u mercado icompleo si arbiraje, el precio C * ( f ;ρ) puede calcularse por la fórmula: dode ρ ~ E es u promedio co respeco a ρ ~. COCLUIOE * f C ~ ρ P( ρ ) ( ) f;p sup E ~ ρ e ha aalizado alguas maerias que hemos cosiderado ecesarias para los ieresados e el cálculo esocásico y la valoració e modelos de mercados fiacieros e ambiee de iceridumbre. Para lograrlo, se ha mecioado los pricipales cocepos y resulados de la maemáica fiaciera esocásica. Asimismo, se ha desarrollado aplicacioes de esos resulados a diversas clases de cálculos ecesarios e el campo fiaciero. Todo ello, puede ser de ierés para iroducir e los programas de eseñaza uiversiarios relaivos a la maemáica fiaciera co u efoque esadísico maemáico modero. Dada la limiació de espacio exisee, los coraos a plazo y coraos de fuuros se presea e u aexo. AEO Icorporamos e ese aexo diversos méodos de valoració, verdaderamee imporaes, pero que se ecuera e la mayoría de los libros de Esocásica. osoros seguimos las líeas de A.. hiryaev e su libro Esseials of ochasic Fiace. Coraos a plazo y coraos de Fuuros Traaremos de ver cómo valorar los coraos a plazo y coraos de fuuros, isrumeos de iversió imporaes usados e los mercados fiacieros juo co las opcioes. Los coraos a plazo y de fuuros so coraos de vea para algú acivo que ha de eregarse e u isae específico e el fuuro, a u precio especificado. Exise, como hemos viso, ua disició esecial ere fuuros y coraos al coado, auque ambos so coraos de vea. upogamos que el precio de mercado del acivo e cuesió se puede defiir por ua sucesió esocásica ( ), dode es la fecha de madurez del corao, que podemos ideificar co el isae de erega. Realmee, si el rao se realiza e, cuado el precio de mercado del acivo es, eoces para cualquier defiició razoable del corao a plazo, el precio del fuuro debe ser igual a. Ora cosa es si el corao se vede e < ; la cuesió crucial aquí es cómo debemos eeder el precio juso del corao (e u mercado si arbiraje). 69

20 Para formalizar el ema, cosideremos el esquema de u mercado de - (lac-choles), dode ( ) es ua cuea bacaria y ( ) es el acivo egociado. Cosideraremos el caso co dividedos, cuado el valor ( β, γ) se describe por la fórmula: ( ) de la esraegia del comprador β + γ D () y sus cambios se describe como sigue: β + γ D () dode γ es el úmero de uidades del acivo comprado y D (D,F ), D, es el proceso (o ecesariamee posiivo) de odos los dividedos coecados al acivo. Describimos ahora la esrucura de los dividedos e los casos de u corao al coado o de fuuros y hallamos los precios jusos de esos coraos. upogamos que se vede u corao al coado e y que ambas pares esá de acuerdo e base a la iformació F que el precio de erega del acivo F (). Eoces, por la misma mecáica de los coraos a plazo, los dividedos oales (posiivos o egaivos) puede presearse como sigue: y D D F () De () y (), obeemos: y, por ello: γ D + γ + D, < Para u corao a plazo emiido e, podemos hacer γ para, y, γ γ +, para +, dode γ + es el úmero de uidades del acivo, del corao. De la expresió aerior, eemos: + γ + F () y llegamos imediaamee a la siguiee coclusió. upogamos que el mercado (,) e cosideració es compleo y libre de arbiraje. ea P ~ la úica medida marigala al que e ua marigala respeco a ella. upogamos ambié que los precios F (), F -medibles saisface la relació: 7

Tema 8B El análisis fundamental y la valoración de títulos

Tema 8B El análisis fundamental y la valoración de títulos PARTE III: Decisioes fiacieras y mercado de capiales Tema 8B El aálisis fudameal y la valoració de íulos 8B.1 Iroducció. 8B.2 El aálisis fudameal y la valoració de íulos. 8B.3 Modelos para la valoració

Más detalles

CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO. A lo largo de este capítulo se explican los conceptos básicos que se debieron tener y

CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO. A lo largo de este capítulo se explican los conceptos básicos que se debieron tener y Capíulo 3 Marco eórico CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO A lo largo de ese capíulo se explica los cocepos básicos que se debiero eer y cosiderar para la elaboració de la clasificació de maerias primas, los modelos

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIALES

FUNCIONES EXPONENCIALES 1 FUNCIONES EXPONENCIALES Las fucioes epoeciales iee muchas aplicacioes, e especial ellas describe el crecimieo de muchas caidades de la vida real. Defiició.-La fució co domiio odos los reales y defiida

Más detalles

TEMA 10. La autofinanciación o financiación interna de la empresa

TEMA 10. La autofinanciación o financiación interna de la empresa Iroducció a las Fiazas TEM La auofiaciació o fiaciació iera de la empresa La fiaciació iera y sus compoees La auofiaciació esá formada por los recursos fiacieros que afluye a la empresa desde ella misma

Más detalles

TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1.- INTRODUCCIÓN

TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1.- INTRODUCCIÓN TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1- INTRODUCCIÓN Llamamos capializació compuesa a la ley fiaciera segú la cual los iereses producidos por u capial e cada periodo se agrega al capial para calcular los iereses

Más detalles

Mercado de Capitales. Tema 6. Valoración n de bonos. Gestión n de carteras de renta fija

Mercado de Capitales. Tema 6. Valoración n de bonos. Gestión n de carteras de renta fija Mercado de Capiales Tema 6. Valoració de boos. Gesió de careras de rea fija Liceciaura e Admiisració y Direcció de Empresas Cuaro Curso Liceciaura e Derecho y Admiisració y Direcció de Empresas Sexo Curso

Más detalles

CAPÍTULO 1: ESTIMACIÓN DE LOS INTERESES FUTUROS MEDIANTE NÚMEROS BORROSOS

CAPÍTULO 1: ESTIMACIÓN DE LOS INTERESES FUTUROS MEDIANTE NÚMEROS BORROSOS Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros APÍTULO : ESTIMAIÓN DE LOS INTERESES FUTUROS MEDIANTE NÚMEROS BORROSOS

Más detalles

NORMA DE CARACTER GENERAL N

NORMA DE CARACTER GENERAL N NORMA DE CARACTER GENERAL N REF.: MODIFICA EL TÍTULO III DEL LIBRO IV, SOBRE VALORIZACIÓN DE LAS INVERSIONES DEL FONDO DE PENSIONES Y DEL ENCAJE, DEL COMPENDIO DE NORMAS DEL SISTEMA DE PENSIONES. Saiago,

Más detalles

PRONÓSTICOS. Tema Nº 2 FACILITADOR LIC. ESP. MIGUEL OLIVEROS

PRONÓSTICOS. Tema Nº 2 FACILITADOR LIC. ESP. MIGUEL OLIVEROS UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN Y CONTADURÍA PUBLICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS ADMINISTRACIÓN DE LA PRODUCCIÓN Y LAS OPERACIONES

Más detalles

FUNCIONES ACTUARIALES COMO VARIABLES ALEATORIAS SOBRE UNA SOLA VIDA Por Oscar Aranda Martínez Nadia Araceli Castillo García Abril 2010

FUNCIONES ACTUARIALES COMO VARIABLES ALEATORIAS SOBRE UNA SOLA VIDA Por Oscar Aranda Martínez Nadia Araceli Castillo García Abril 2010 FUNCIONES ACUARIALES COMO VARIABLES ALEAORIAS SOBRE UNA SOLA VIDA Por Oscar Arada Maríez Nadia Araceli Casillo García Abril E ese primer documeo se presea el ueo efoque del cálculo acuarial, e dode las

Más detalles

SEÑALES Y SISTEMAS CAPÍTULO UNO. 1.1 Introducción

SEÑALES Y SISTEMAS CAPÍTULO UNO. 1.1 Introducción CAPÍTULO UNO SEÑALES Y SISTEMAS. Iroducció Los cocepos de señales y sisemas surge e ua gra variedad de campos y las ideas y écicas asociadas co esos cocepos juega u papel imporae e áreas a diversas de

Más detalles

SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO

SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO CAPÍTULO DOS SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO. Iroducció E ese capíulo se iroduce y discue varias propiedades básicas de los sisemas. Dos de ellas, la liealidad y la ivariabilidad e el iempo,

Más detalles

TRANSFORMADA z Y DE FOURIER

TRANSFORMADA z Y DE FOURIER Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales OBJEIVOS: RANSFORMADA Y DE FOURIER - Expoer los cocepos de fucioes discreas e cuao a la visió del proceso de raamieo de señales que pare

Más detalles

PLANEACIÓN Y CONTROL DE LA PRODUCCIÓN

PLANEACIÓN Y CONTROL DE LA PRODUCCIÓN PLANEACIÓN Y CONTROL E LA PROUCCIÓN GRUPO: 0 M. I. Silvia Herádez García M. I. Susaa Casy Téllez Balleseros TEMARIO: I. Iroducció. II. Programació y corol de la producció. III. Balaceo de líea. IV. Sisemas

Más detalles

Series de Fourier. 1. Tratamiento Digital de Señal. Series de Fourier

Series de Fourier. 1. Tratamiento Digital de Señal. Series de Fourier Series de Fourier. Traamieo Digial de Señal. Series de Fourier Series de Fourier. Preámbulo El aálisis de Fourier fue iroducido e 8 e la Théorie aalyiique de la chaleur para raar la solució de problemas

Más detalles

ANÁLISIS DE FOURIER. m(el asterisco indica el conjugado complejo), se desea expandir una función arbitraria f (t) en una serie infinita de la forma

ANÁLISIS DE FOURIER. m(el asterisco indica el conjugado complejo), se desea expandir una función arbitraria f (t) en una serie infinita de la forma CAPÍULO RES ANÁLISIS DE FOURIER IEMPO CONINUO Iroducció La represeació de la señal de erada a u sisema (eediedo como sisema u cojuo de elemeos o bloques fucioales coecados para alcazar u objeivo deseado)

Más detalles

Un modelo para el cálculo de la pérdida esperada en una cartera de préstamos hipotecarios

Un modelo para el cálculo de la pérdida esperada en una cartera de préstamos hipotecarios U modelo para el cálculo de la pérdida esperada e ua carera de présamos hipoecarios Jua Bazerque a Jorge ader b BCU F Depo. Esudios BCU F Depo. Esudios Resume E ese rabao se aaliza u aspeco deado de lado

Más detalles

José Morón SEÑALES Y SISTEMAS

José Morón SEÑALES Y SISTEMAS SEÑALES Y SISTEMAS José Moró SEÑALES Y SISTEMAS Uiversidad Rafael Urdaea Auoridades Recorales Dr. Jesús Esparza Bracho, Recor Ig. Maulio Rodríguez, Vicerrecor Académico Ig. Salvador Code, Secreario Lic.

Más detalles

Página 1 de 34. FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filtro Kalman INTRODUCCION

Página 1 de 34. FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filtro Kalman INTRODUCCION Págia de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma INTRODUCCION El cocepo de filro adapaivo, sugiere el de u disposiivo que iea modelizar la relació ere señales e iempo real

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO PREPARATORIA AGRÍCOLA ÁREA DE MATEMÁTICAS CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES f : R R ( ) h p AUTOR Vícor Rafael Valdovios Chávez Ooño de AUTOR Vícor Rafael Valdovios

Más detalles

2. MATRICES Y DETERMINANTES

2. MATRICES Y DETERMINANTES Marices y Deermiaes 2. MTRICES Y DETERMINNTES SUMRIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRIC 1.- Marices. 2.- Operacioes co Marices. 3.- Equivalecia de Marices. Trasformacioes Elemeales de Marices.

Más detalles

Resolución numérica de problemas de valor inicial (versión preliminar)

Resolución numérica de problemas de valor inicial (versión preliminar) (versió prelimiar) Cocepos iiciales.- Sea la ecuació diferecial de primer orde co las codició iicial x = f(,x) x( 0 ) = x 0 Para resolverla uméricamee será ecesario previamee comprobar si hay solució y

Más detalles

Tema 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

Tema 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES José Maía Maíe Mediao Tema DGONLZCÓN DE MTRCES oducció Poecia de ua mai Sea Supogamos que se desea calcula : 7 7 8 8 Deemia ua egla paa o esula imediao Compobemos, aes de segui adelae, que MDM, siedo M

Más detalles

Tema 9 Teoría de la formación de carteras

Tema 9 Teoría de la formación de carteras Parte III Decisioes fiacieras y mercado de capitales Tema 9 Teoría de la formació de carteras 9.1 El problema de la selecció de carteras. 9. Redimieto y riesgo de ua cartera. 9.3 El modelo de la media-variaza.

Más detalles

ANÁLISIS DE LA RENTABILIDAD

ANÁLISIS DE LA RENTABILIDAD ANÁLISIS DE LA RENTABILIDAD DE LOS FONDOS DE PENSIÓN COMISIÓN TÉCNICA DE INVERSIONES DE LA AIOS. INTRODUCCION El documeo cosa del aálisis de cico aspecos écicos referidos al ema de reabilidad: El cálculo

Más detalles

Valor de Rescate. Elementos Actuariales para su Determinación Por: Pedro Aguilar Beltrán. Octubre de 2008

Valor de Rescate. Elementos Actuariales para su Determinación Por: Pedro Aguilar Beltrán. Octubre de 2008 alor de escae Elemeos Acuariales ara su Deermiació Por: Pedro Aguilar Belrá Ocubre de 28 El alor de rescae es u coceo que se refiere al moo que le oorgará la aseguradora al asegurado o beeficiario, e caso

Más detalles

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Circuio y Siema Diámico (3º IIND) Tema 2 A TRANSFORMADA DE APACE Curo 23/24 Tema 2: a Traformada de aplace 2. Iroducció: de dóde veimo y a dóde vamo 2.2 Defiició de la raformada de aplace 2.3 Traformada

Más detalles

Una recomendación para cuantificar el riesgo operativo en entidades financieras en Colombia

Una recomendación para cuantificar el riesgo operativo en entidades financieras en Colombia Ua recomedació para cuaificar el riesgo operaivo e eidades fiacieras e Colombia Adrés Mora* RESUMEN Ese arículo presea dos efoques para cuaificar riesgo operaivo e eidades fiacieras. U efoque es el propueso

Más detalles

Modelo De Simulación de Ingresos para el Agro

Modelo De Simulación de Ingresos para el Agro Modelo De Simulación de Ingresos para el Agro Basado en el programa AgRisk desarrollado en Ohio Sae Universiy hp://www-agecon.ag.ohio-sae.edu/programs/agrisk/defaul.hm CP. Menichini Amilcar 1 Lic. Lazzai

Más detalles

Diseño y desarrollo de un Software para el análisis y procesamiento de señales de voz

Diseño y desarrollo de un Software para el análisis y procesamiento de señales de voz Diseño y desarrollo de u Sofware para el aálisis y procesamieo de señales de voz. Laforcada *, D. Miloe, C. Maríez,. Rufier Laboraorio de Ciberéica, Deparameo de Bioigeiería, Faculad de Igeiería, Uiversidad

Más detalles

Para las comparaciones hay que tener en cuenta dos aspectos importantes:

Para las comparaciones hay que tener en cuenta dos aspectos importantes: Esadísica Descriiva: Números Ídices Faculad Ciecias Ecoómicas y Emresariales Dearameo de Ecoomía Alicada Profesor: Saiago de la Fuee Ferádez NÚMEROS ÍNDCES Los úmeros ídices so ua medida esadísica que

Más detalles

PERÍODO INFORMADO: Enero a Junio 2009 $ 395.182.780 $ 200.000.000

PERÍODO INFORMADO: Enero a Junio 2009 $ 395.182.780 $ 200.000.000 FORMATO No 4 PLANES DE ACCIÓN U OPERATIVOS Promover el uso de la Irae Guberameal. PERÍODO INFORMADO: Eero a Juio 009 NUMERO ÁREAS INVOLUCRADAS ACTIVIDADES RECURSOS RESPONSABLES TIEMPO PROGRAMADO INDICADORES

Más detalles

Apuntes Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214

Apuntes Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214 Uiversidad de Cocepció Faculad de Igeiería Depo. de Igeiería Elécrica Apues Sisemas Lieales Diámicos - 543 4. f () = si(5) f (kt) = f (kt) f () = si() kt -..5..5. 4 ava edició Prof. José R. Espioza C.

Más detalles

Tema III: La Elección de Inversiones. Economía de la Empresa: Financiación. Prof. Francisco Pérez Hernández

Tema III: La Elección de Inversiones. Economía de la Empresa: Financiación. Prof. Francisco Pérez Hernández Tema III: La Elecció de Iversioes Ecoomía de la Empresa: Fiaciació Prof. Fracisco Pérez Herádez La Elecció de Iversioes Para ayudar a la elecció de distitas operativas de iversió, se puede seguir distitos

Más detalles

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS APUNTES DOCENTES ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS PROFESORES: MARIN JAIMES CARLOS JAVIER SARMIENTO LUIS JAIME UNIDAD 3: EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS DE INVERSIÓN EL VALOR PRESENTE NETO VPN Es ua

Más detalles

CAPÍTULO 1 CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.

CAPÍTULO 1 CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA. APÍTULO UTOS EN EL DOMNO DE LA FEUENA... SSTEMAS LNEALES NAANTES. roducció. U iema lieal ivariae e repreea uualmee mediae u bloque e el que e muera ao la exciació como la repuea Exciació x ( Siema lieal

Más detalles

Manual del índice de precios de inmuebles residenciales (IPIR)

Manual del índice de precios de inmuebles residenciales (IPIR) Para la mayor pare de los ciudadaos, la compra de u imueble residecial ua vivieda es la operació más imporae de oda la vida. Los imuebles resideciales hogares y, al mismo iempo, el acivo más valioso. Los

Más detalles

CAPÍTULO I CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

CAPÍTULO I CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA APÍTULO UTOS EN EL DOMNO DE LA FEUENA.. SSTEMAS LNEALES NAANTES roducció U iema lieal ivariae e repreea uualmee mediae u bloque e el que e muera ao la exciació como la repuea Exciació x () Siema lieal

Más detalles

CONVERSORES D/A Y A/D

CONVERSORES D/A Y A/D Uiversidad Nacioal de osario Faculad de iecias Exacas, Igeiería y Agrimesura Escuela de Igeiería Elecróica eparameo de Elecróica ELETÓNIA III ONVESOES /A Y A/ Federico Miyara A / 11010110 00001011 11000110

Más detalles

Análisis de flujos en lámina libre y su interacción con sólidos y estructuras por el método de partículas y elementos finitos (PFEM)

Análisis de flujos en lámina libre y su interacción con sólidos y estructuras por el método de partículas y elementos finitos (PFEM) Aálisis de flujos e lámia libre y su ieracció co sólidos y esrucuras por el méodo de parículas y elemeos fiios (PFEM) E. Oñae B. Suárez F. Salazar R. Morá M.A. Celiguea S. Laorre Publicació CIMNE Nº-365,

Más detalles

DATOS GENERALES DE LA REPÚBLICA DE PANAMÁ

DATOS GENERALES DE LA REPÚBLICA DE PANAMÁ DATOS GENERALES DE LA REPÚBLICA DE PANAMÁ Superficie: Toal de la República: 75,57 km 2 Població Toal: Segú proyeccioes de la Coraloría Geeral de la República la població oal al º de Julio de 2005 es de

Más detalles

4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES

4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES 4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES Dr. hp://mah.uprm.edu/~edgar UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ 4. Variables Aleaorias Ua variable aleaoria es ua fucio que asume sus

Más detalles

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS APLICANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS APLICANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE A.4. TEORÍA DE CIRCUITOS I CAPÍTUO RESOUCIÓN DE CIRCUITOS APICANDO TRANSFORMADA DE APACE Cáedra de Teoría de Circuio I Edició 03 RESOUCION DE CIRCUITOS APICANDO TRANSFORMADA DE APACE.. Iroducció El cálculo

Más detalles

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES Las medidas de PML a ser implemetadas, se recomieda e base a las opcioes de PML calificadas como ecoómicamete factibles.

Más detalles

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS Curso Preparació y Evaluació Social de Proyectos Sistema Nacioal de Iversioes Divisió de Evaluació Social de Iversioes MINISTERIO DE DESARROLLO SOCIAL

Más detalles

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida CADENAS DE MARKOV Itroducció U proceso o sucesió de evetos que se desarrolla e el tiempo e el cual el resultado e cualquier etapa cotiee algú elemeto que depede del azar se deomia proceso aleatorio o proceso

Más detalles

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació

Más detalles

Programación Entera (PE)

Programación Entera (PE) Programació Etera (PE) E geeral, so problemas de programació lieal (PPL), e dode sus variables de decisió debe tomar valores eteros. Tipos de PE Cuado se requiere que todas las variables de decisió tome

Más detalles

Análisis en el Dominio de la Frecuencia. Análisis en el Dominio de la Frecuencia. Sistemas de Control. Análisis en el Dominio de la Frecuencia

Análisis en el Dominio de la Frecuencia. Análisis en el Dominio de la Frecuencia. Sistemas de Control. Análisis en el Dominio de la Frecuencia Aálisis e el Domiio de la Frecuecia Sistemas de Cotrol El desempeño se mide por características e el domiio del tiempo Respuesta e el tiempo es díficil de determiar aalíticamete, sobretodo e sistemas de

Más detalles

Matemáticas Financieras Material recopilado por El Prof. Enrique Mateus Nieves. Financial math.

Matemáticas Financieras Material recopilado por El Prof. Enrique Mateus Nieves. Financial math. Matemáticas Fiacieras Material recopilado por El Prof. Erique Mateus Nieves Fiacial math. 2.10 DESCUENO El descueto es ua operació de crédito que se realiza ormalmete e el sector bacario, y cosiste e que

Más detalles

Consideraciones metodológicas para la evaluación de la sostenibilidad y vulnerabilidad fiscal

Consideraciones metodológicas para la evaluación de la sostenibilidad y vulnerabilidad fiscal Colecció Baca Ceral y Sociedad BANCO CENTRAL DE VENEZUELA Coideracioe meodológica para la evaluació de la oeibilidad y vulerabilidad fical Elizabeh Ochoa Lizbeh Seija Harold Zavarce Serie Documeo de Trabajo

Más detalles

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento.

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento. UNIDAD Nº 2 Leyes fiacieras: Iterés simple. Iterés compuesto. Descueto. 2.1 La Capitalizació simple o Iterés simple 2.1.1.- Cocepto de Capitalizació simple Es la Ley fiaciera segú la cual los itereses

Más detalles

2. LEYES FINANCIERAS.

2. LEYES FINANCIERAS. TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Cuado estamos iteresados e estudiar algua característica de ua població (peso, logitud de las hojas,

Más detalles

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No. 3, 2002

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No. 3, 2002 REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No. 3, 22 MATRICES ESCALONADAS Y METODOS PRIMAL DUAL DE PUNTO INTERIOR Alibei Kakes Cruz, Deparameo de Maemáica Aplicada, Faculad de Maemáica y Compuació, Uiversidad

Más detalles

TEMA III: MATEMÁTICA FINANCIERA.

TEMA III: MATEMÁTICA FINANCIERA. TEMA III: MATEMÁTICA FINANCIERA. Sucesioes: Ua sucesió de úmeos eales es u cojuo odeado de úmeos eales: a, a2, a3, a4,....a cada uo de los úmeos que foma la sucesió se le llama émio de la sucesió. El émio

Más detalles

UD 9. LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA

UD 9. LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA UD 9. LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA 1. LA FUNCIÓN FINANCIERA DE LA EMPRESA La empresa, tato para iiciar su actividad como para realizarla co eficiecia, ecesita recursos fiacieros. Para su fucioamieto, la

Más detalles

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro)

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) (PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS Defiició: U feómeo o experiecia se dice aleatorio cuado al repetirlo e codicioes aálogas o se puede predecir el

Más detalles

Ingeniería Económica Tema 4.1. Modelos de depreciación

Ingeniería Económica Tema 4.1. Modelos de depreciación Igeiería Ecoómica Tema 4.. Moelos e epreciació UNIDAD IV. DEPRECIACIÓN Y ANÁLISIS DE IMPUESTOS Objeivo e apreizaje: usar los méoos clásicos y aprobaos por el gobiero para reucir el valor e la iversió e

Más detalles

16 Distribución Muestral de la Proporción

16 Distribución Muestral de la Proporción 16 Distribució Muestral de la Proporció 16.1 INTRODUCCIÓN E el capítulo aterior hemos estudiado cómo se distribuye la variable aleatoria media aritmética de valores idepedietes. A esta distribució la hemos

Más detalles

VALORACIÓN DE EMPRESAS

VALORACIÓN DE EMPRESAS VALORACIÓN DE EMPRESAS Alfoso A. Rojo Ramírez Catedrático de Ecoomía Fiaciera y Cotabilidad (Uiversidad de Almería) Presidete de Auditor Valoració de empresas Justificació Alguos coceptos básicos de valoració.

Más detalles

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA . DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN. TEMA 3.- OPEACIÓN FINANCIEA Se deomia operació fiaciera a todo itercambio o simultáeo de capitales fiacieros pactado etre dos agetes, siempre que se verifique la equivalecia,

Más detalles

Ley de los números grandes

Ley de los números grandes Capítulo 2 Ley de los úmeros grades 2.. La ley débil de los úmeros grades Los juegos de azar, basa su sistema de gaacias, fudametalmete e la estabilidad a largo plazo garatizada por las leyes de la probabilidad.

Más detalles

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1 RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA Tema 3- Parte I Etapas del Modelo de Markowitz I. DETERMINACIÓN DEL CONJUNTO DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN - Se

Más detalles

Valoración de permutas financieras de intereses (IRS) *

Valoración de permutas financieras de intereses (IRS) * Valoració de permutas fiacieras de itereses (IRS) * JOSÉ E. ROMERO FERNÁNDEZ Agecia Estatal de Admiistració Tributaria SUMARIO 1. INTRODUCCIÓN. 2. INSTRUMENTOS FINANCIEROS DERIVADOS. 3. LOS MERCADOS. 4.

Más detalles

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo Modelos lieales e Biología, 5ª Curso de Ciecias Biológicas Clase 8/10/04 Estimació y estimadores: Distribucioes asociadas al muestreo Referecias: Cualquiera de los textos icluidos e la bibliografía recomedada

Más detalles

La volatilidad implícita

La volatilidad implícita La volatilidad implícita Los mercados de opcioes ha evolucioado bastate desde los años setetas, época e la que ue publicada la órmula de Black Scholes (BS). Dicha órmula quedó ta arraigada e la mete de

Más detalles

El comportamiento del precio de las acciones

El comportamiento del precio de las acciones El comporamieno del precio de las acciones Esrella Peroi Invesigador enior Bolsa de Comercio de Rosario eperoi@bcr.com.ar Para comprender el funcionamieno de los modelos de valuación de opciones sobre

Más detalles

Cobertura de una cartera de bonos con forwards en tiempo continuo

Cobertura de una cartera de bonos con forwards en tiempo continuo Coberura de una carera de bonos con forwards en iempo coninuo Bàrbara Llacay Gilber Peffer Documeno de Trabajo IAFI No. 7/4 Marzo 23 Índice general Inroducción 2 Objeivos......................................

Más detalles

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2) Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales. QUÉ ES UN RNSFORMCIÓN? E térmios geerales, ua trasformació es ua fució que permite trasformar u vector que perteece a u espacio vectorial (domiio)

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES TEM VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES VECTORES Y MTRICES MTRICES: OPERCIONES ELEMENTLES Cocepo de riz Eleeos Tipos de rices Su y difereci de rices Produco de u úero por u riz Trsposició

Más detalles

Investigación y Técnicas de Mercado. Previsión de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE.

Investigación y Técnicas de Mercado. Previsión de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE. Invesigación y écnicas de Mercado Previsión de Venas ÉCNICAS CUANIAIVAS ELEMENALES DE PREVISIÓN UNIVARIANE. (II) écnicas elemenales: Modelos Naive y Medias Móviles. Medición del error de previsión. Profesor:

Más detalles

DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO

DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO DETERMINACIÓN DE PORTAFOLIOS DE ACTIVOS FINANCIEROS, LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DE MERCADO Coteido: Resume ejecutivo I. Los estadígraos e la ormació de portaolios de activos iacieros II. Portaolios

Más detalles

METODOLOGÍA PARA EL AJUSTE DE LAS TASAS DE ESCOLARIZACIÓN A PARTIR DE LA INFORMACIÓN DEL CENSO NACIONAL DE POBLACIÓN, HOGARES Y VIVIENDA DE 2001

METODOLOGÍA PARA EL AJUSTE DE LAS TASAS DE ESCOLARIZACIÓN A PARTIR DE LA INFORMACIÓN DEL CENSO NACIONAL DE POBLACIÓN, HOGARES Y VIVIENDA DE 2001 METODOLOGÍA PARA EL AJUSTE DE LAS TASAS DE ESCOLARIZACIÓN A PARTIR DE LA INFORMACIÓN DEL CENSO NACIONAL DE POBLACIÓN, HOGARES Y VIVIENDA DE 2001 Insiuo Nacional de Esadísica y Censos (INDEC) Dirección

Más detalles

SOLUCIÓN ACTIVIDADES UNIDAD 7

SOLUCIÓN ACTIVIDADES UNIDAD 7 SOLUCIÓN ACTIVIDADES UNIDAD 7 1.- Qué es ua fuete fiaciera?.- Cuál es la diferecia etre los fodos propios y los fodos ajeos? La forma de obteer recursos fiacieros la empresa para llevar a cabo sus iversioes.

Más detalles

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS) Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico

Más detalles

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal.

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal. Departameto de Estadística Uiversidad Carlos III de Madrid BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalecia (trasversales) CONCEPTOS CLAVE 1) Características del diseño e u estudio de prevalecia, o trasversal

Más detalles

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 375 REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 376 Revisió de alguos idicadores para medir desigualdad Medidas de Desigualdad Para medir el grado de desigualdad e la

Más detalles

Macroeconomía y pobreza: Lecciones desde Latinoamérica *

Macroeconomía y pobreza: Lecciones desde Latinoamérica * Macroecoomía y obreza: Leccioes desde Laioamérica * Versió 1.2 Luis F. Lóez-Calva Uiversidad de las Américas, Puebla Dearameo de Ecoomía y Mabel A. Adaló Lóez Cero de Aálisis Esraégico y Tecologías de

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sea la regió defiida por las siguietes iecuacioes: x/2 + y/3 1 ; - x + 2y 0; y 2. (2 putos) Represete

Más detalles

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno: Uidad 5 Aualidades vecidas Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: Calculará el valor de la reta de ua perpetuidad simple vecida. Calculará el valor actual de ua perpetuidad simple vecida. Calculará

Más detalles

Modulo IV. Inversiones y Criterios de Decisión. Inversión en la empresa. Análisis de Inversiones

Modulo IV. Inversiones y Criterios de Decisión. Inversión en la empresa. Análisis de Inversiones Modulo IV Iversioes y Criterios de Decisió Aálisis de Iversioes 1. Iversió e la empresa 2. Métodos aproximados de valoració y selecció de iversioes 3. Criterio del valor actualizado eto (VAN) 4. Criterio

Más detalles

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es, VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,

Más detalles

Clasificación de señales. Clasificación de señales. Clasificación de señales. Vectores

Clasificación de señales. Clasificación de señales. Clasificación de señales. Vectores Clasificació de señales Señales de Eergía y Señales de Pecia Señal de Eergía: Señal e fra de puls que ralee exise sól durae u ierval fii de iep, al es la ayr pare de su eergía se ecuera ccerada e u ierval

Más detalles

donde n e i, están en la misma unidad de tiempo. Por tanto, la expresión de los intereses ordinarios ó simples y pospagables :

donde n e i, están en la misma unidad de tiempo. Por tanto, la expresión de los intereses ordinarios ó simples y pospagables : 1 1. LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE. 1.- Calcular los itereses producidos por u capital de 1800 colocado 10 días al 7% de iterés aual simple. a) Cosiderado el año civil. b) Cosiderado el año comercial.

Más detalles

Capítulo 2. Operadores

Capítulo 2. Operadores Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática

Más detalles

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...}

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...} ESTADÍSTICA BÁSICA 1.) Coceptos básicos: Estadística: Es ua ciecia que aaliza series de datos (por ejemplo, edad de ua població, altura de u equipo de balocesto, temperatura de los meses de verao, etc.)

Más detalles

PROCESOS ESTOCÁSTICOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS INTEGRAL ESTOCÁSTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS: LEMA DE ITO

PROCESOS ESTOCÁSTICOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS INTEGRAL ESTOCÁSTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS: LEMA DE ITO PROCESOS ESOCÁSICOS PROCESOS ESOCÁSICOS INEGRAL ESOCÁSICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESOCASICAS: LEMA DE IO Procesos esocásicos Un proceso esocásico describe la evolución emporal de una variable aleaoria.

Más detalles

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con: TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a

Más detalles

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida.

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida. UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN características de asigació. método húgaro o de matriz reducida. Ivestigació de operacioes Itroducció U caso particular del modelo de trasporte es el modelo de asigació,

Más detalles

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos OpeStax-CNX module: m12830 1 Aálisis e el Domiio del Tiempo para Sistemas Discretos Do Johso Traslated By: Erika Jackso Fara Meza Based o Discrete-Time Systems i the Time-Domai by Do Johso This work is

Más detalles

Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva Igacio Cascos Ferádez Dpto. Estadística e I.O. Uiversidad Pública de Navarra Estadística Descriptiva Estadística ITT Soido e Image curso 2004-2005 1. Defiicioes fudametales La Estadística Descriptiva se

Más detalles

TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I)

TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I) TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I) Tema 6- Parte 1 1 EL MÉTODO de la TASA de DESCUENTO AJUSTADA al RIESGO : a = k + p E presecia de iflació a = k + p ( 1 + a ) = ( 1 + a )(

Más detalles

Estimación puntual y por intervalos de confianza

Estimación puntual y por intervalos de confianza Ídice 6 Estimació putual y por itervalos de cofiaza 6.1 6.1 Itroducció.......................................... 6.1 6. Estimador........................................... 6. 6.3 Método de costrucció

Más detalles

Análisis de inversiones y proyectos de inversión

Análisis de inversiones y proyectos de inversión Análisis de inversiones y proyecos de inversión Auora: Dra. Maie Seco Benedico Índice 5. Análisis de Inversiones 1. Inroducción. 2. Crierios para la valoración de un proyeco. 3. Técnicas de valoración

Más detalles