REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003

Transcripción

1 REVITA IVETIGACIO OPERACIOAL Vol. 4, o., 3 TEORIA DE LA VALORACIO MEDIATE MODELO FIACIERO ETOCATICO, E TIEMPO DICRETO Y E TIEMPO COTIUO Josefia Maríez arbeio, Uiversidade de A Coruña, España Julio García Villaló, Uiversidad de Valladolid, España REUME E ese rabajo se aaliza los cocepos y resulados pricipales de la maemáica fiaciera esocásica y se desarrolla las aplicacioes de ales resulados a la eoría de la valoració e los modelos esocásicos fiacieros e iempo discreo y coiuo.cosideramos el problema de la coberura de opcioes y oros acivos e mercados libres de arbiraje. uesro objeivo se refiere a íulos Europeos que se egocia e mercados compleos e icompleos, más que a opcioes Americaas. e raa los problemas de la valoració de opcioes para lograr ua valoració racioal y esraegias de coberura. Palabras clave: mercados de fiazas, marigales, modelos de rowia. ATRACT I his paper he coceps ad mai resuls of sochasic mahemaical fiace are aalyzed ad hey are applied o he Value Theory i sochasic fiace models wih coious ad discree ime. We cosider he opio coverure problem ad oher acives i free arbirage mares. Our objecive is lied weih europeas asses egociaed i complee ad icomplee mares, more ha America opios. The opio valoraio problems are reaed for obaiig a raioal valoraio ad coverure sraegies. ey words: fiace mares, marigales, rowia models. MC: 98.. ITRODUCCIO E ese rabajo se raa de aalizar las esrucuras fiacieras que opera co recursos fiacieros e los Mercados Fiacieros. e icluye ere los isrumeos fiacieros derivados: - las opcioes - coraos de fuuros - cerificados (warras) - permuas fiacieras - combiacioes ere íulos y difereciales diversos, ere oros. La igeiería fiaciera se eiede, a meudo, como la maipulació de íulos derivados (co el fi de obeer beeficios y reducir los riesgos ocasioados por el carácer iciero de la siuació del mercado e el fuuro). Los pricipales igrediees de los mercados fiacieros so la moeda propia, las divisas de oros países, los meales preciosos, las cueas bacarias, las obligacioes y las accioes. Todos esos elemeos se coiza e Mercados Fiacieros, orgaizados o o, segú exisa uas ormas para la egociació, o que ésas se haga más libremee. Para los empresarios es fudameal coocer la siuació fiaciera de alguas empresas que emie íulos, las coizacioes de ésos e los mercados y la evolució de los precios. 5

2 La iformació sobre el esado global de la ecoomía y de los mercados, se expresa mediae varios ídices compuesos, geeralizados, cosa que es imporae para la buea marcha de la ecoomía. Exise diarios ieracioales que publica e su secció Ídice del Mercado de Tíulos las acividades de los Mercados Fiacieros más imporaes, ere ellos el Wall ree Joural y el Fiacial Times. osoros raamos de obeer la valoració de íulos e uos mercados fiacieros, dode o exisa arbiraje. E primer lugar, esablecemos modelos fiacieros y esocásicos co coberura, e mercados compleos e icompleos. Los íulos puede ser de ipo Europeo o de ipo Americao, depediedo de si el momeo de su liquidació es la fecha de expiració o e cualquier momeo aerior. os ceraremos e la valoració de íulos Europeos e iempo discreo y e iempo coiuo. El primer ieo hacia ua descripció maemáica de la evolució de los precios de la acció ( ), >, la hizo Louis achélier (e el mercado de París), sobre la base de cocepos probabilisas, e su esis Théorie de la péculaio (9), dode propuso cosiderar ( ), como u proceso aleaorio. Llegó a cosiderar: + µ + σw,, dode w (w ) es u proceso aleaorio adiivo, iroducido por achélier. La fórmula de achélier se adelaó a la de lac-choles y Mero (973), quiees propusiero u movimieo rowiao geomérico σw + ( µ σ e La fórmula iicial de lac-choles os proporcioa el precio racioal de ua opció sobre ua acció, e el caso de que ésa o repara dividedos. osoros hacemos referecia a esudios poseriores que icluye el reparo de dividedos. e esudia los coraos de fuuros y los coraos a plazo, para su valoració. / ) Co respeco a los Mercados Fiacieros abordamos cuesioes como: - Qué preedemos saber acerca de su Teoría y su prácica? - Cómo opera los mercados fiacieros e ambiee de iceridumbre? - Qué cocepos y eorías se ha de usar para el cálculo? - e puede predecir el desarrollo fuuro de los precios? - Cuáles so los riesgos de los disios isrumeos fiacieros? E uesras descripcioes de las evolucioes de los precios, y, valoració de los isrumeos fiacieros, operaremos e u mercado si oporuidades de arbiraje. Maemáicamee, esa hipóesis ecoómica sigifica que exise ua medida de probabilidad coocida por marigala (eural respeco al riesgo), al que los precios acualizados de los íulos so marigalas respeco a ella. Eso, a su vez, os da la oporuidad de aplicar la operaoria del cálculo esocásico para el esudio de la evolució de los precios. La década de los 9 se cosidera como el período de acimieo de la Teoría fiaciera. El desarrollo poserior procedió a lo largo de dos efoques: hipóesis de ceridumbre y de iceridumbre. Respeco al primer efoque eemos los resulados de I. Fisher (93), F. Modigliai y Mero Miller (963), que buscaba solucioes ópimas para problemas de opimizació de fucioes de varias variables. E el segudo caso se ha de sigularizar a H. Marowiz (959) y a M. edall (973). El rabajo de Marowiz esableció ua base para la eoría de la carera de iversió, y se ceró e la opimizació de decisioes de iversió bajo iceridumbre. Aporó u méodo probabilisa, que fue fudameal para la aporació poserior de W. harpe (964) y. Ross (976), co sus eorías: - CAPM Capial Asse Pricig Model, (Modelo de Equilibrio de los Acivos Fiacieros MEDAF) (Térmio iroducido por el Prof. García Villaló) - APT Arbirage Pricig Theory, (Teoría de la valoració mediae arbiraje) 5

3 Esas eorías se dirige hacia la reducció de riesgos. Para raar de cubrirse de los riesgos fiacieros se desarrolla sisemas de recogida de daos esadísicos, que sirve ambié para la predicció de los precios de mercado. Esa es la fialidad de la coberura, u cojuo de écicas que iee e cuea cambios aleaorios de los precios fuuros y iee por fialidad la reducció de los riesgos de posibles efecos desfavorables de esos cambios. Las aporacioes de M. edall raa de aclarar el comporamieo de los precios del mercado, cuesioádose cuáles so los procesos esocásicos asociados a su evolució. Co eso llegamos a la Teoría del Mercado de Capiales Eficiee. ECM (Efficie Capial Mare). E la década de los 3, varios esadísicos, ere ellos: A. Cowles (933, 944), H. Worig (934) y H. Joes (937) se cuesioaro si so predecibles los movimieos de los precios, y cuáles so sus valores. e llegó así al camio aleaorio (suma de variables aleaorias idepediees), que fializó co la creecia de que los precios eía sus regularidades. e llegó a la coclusió de que los logarimos de los precios sigue u camio aleaorio. Las aporacioes de H. Robers (959) y M. F. Osbore (959) señalaba que esaba a favor del crierio del camio aleaorio asociado a los precios. amuelso (965) irodujo e la eoría y prácica de la fiaciació el movimieo rowiao geomérico. Fue esa cojeura la que dio lugar al cocepo de mercado racioal (o eficiee). Eficiecia sigifica aquí que el mercado respode eficieemee a la ueva iformació. Es imporae el cocepo de iformació, pues la iceridumbre e el mercado esá asociada a la aleaoriedad, dero de u ciero espacio de probabilidad. Oro rabajo e el que icidimos es e el de la diversificació de ua carera, de H. Marowiz (959), que es u medio de dismiuir los riesgos o sisemáicos de ua carera e fució de la variaza o de la desviació ípica, ya que los riesgos sisemáicos so iherees al mercado. Traamos de obeer uos resulados geerales para la valoració de modelos fiacieros esocásicos.. RELACIOE DE ARITRAJE PARA LA VALORACIO DE TITULO DERIVADO e ha cosiderado que los íulos derivados so los que ha ifluido e el hudimieo de alguas corporacioes como Gibso, Procor y Gamble & arrigs, ere muchas oras. U íulo derivado es u corao fiaciero emiido sobre u acivo fiaciero cuyo valor se deduce del acivo subyacee, que puede ser ua acció, ua lera del Tesoro, divisas o icluso ídices de u mismo íulo derivado. Ere los íulos derivados icluimos las opcioes, los coraos de fuuros y los coraos a plazo. Los íulos derivados so criicados porque so isrumeos complejos y co u gra edeudamieo, lo que coduce a que cambios pequeños e el precio de los acivos subyacees pueda causar grades aleracioes e el precio del derivado. i o se es cosciee de esa caracerísica, se puede obeer grades pérdidas. Los íulos derivados so isrumeos excelees para la especulació y para crear seguros; esa úlima caracerísica se cooce como coberura (hedgig). Aes de pasar a la valoració y coberura de íulos derivados, describimos alguos de ellos (los más imporaes) y desarrollamos ambié dos cocepos cuyo coocimieo es imprescidible para raar co derivados fiacieros. o esos: el arbiraje y la coberura. Exise dos clases de mercados; mercados orgaizados y o orgaizados. E los primeros se compravede íulos, de acuerdo co uas ormas, ao para la egociació, como para la liquidació. E los mercados o orgaizados, a los que os referimos a veces como el ierbacario o mercado OTC (over he couer), la egociació es más libre, más a la cara, produco de u paco ere mediadores e iversores. E los mercados orgaizados se egocia dos ipos de íulos derivados -fuuros y opcioes-. Los coraos a plazo, por el corario, se egocia e mercados o orgaizados y so acuerdos que cosise e comprar o veder ua caidad especificada de u acivo a u precio prefijado co erega e u momeo y lugar esablecido, precio coocido por precio de erega. E el momeo e que se emie el 53

4 corao, el precio de erega es al que el valor del corao a plazo es cero. Eso se hace por coveio, de forma que o haya cambio de liquidez ere las pares que era e el corao. Para formalizar ese corao coamos co dos parámeros que especificamos: el momeo del corao, f,t., la fecha de vecimieo o erega, T y el precio a plazo que deoamos por ( ) Cuado se iicia el corao, el precio a plazo, por defiició, iguala al precio de erega (). El precio de erega se fija durae la vida del corao. Los coraos de fuuros so acuerdos que cosise e comprar o veder ua caidad especificada de u acivo a u precio deermiado y e u momeo y lugar fijados. Las diferecias co los coraos a plazo so 4: los coraos de fuuros permie a los paricipaes que realice gaacias o pérdidas e ua base diaria y el precio de erega se realiza mediae uas aporacioes durae la vida del corao; los coraos de fuuros so coraos esádar co respeco a la caidad y calidad del acivo que subyace e el corao, e la fecha de vecimieo y lugar (si exise erega física). Además, los coraos de fuuros se liquida a ravés de ua cámara de compesació (Clearig House), que acúa como mediadora, por lo que se miimiza el riesgo de crédio. La cuara diferecia es que los mercados de fuuros esá regulados mieras que los coraos a plazo o lo esá. Teemos ambié los coraos de opcioes, opcioes de compra y opcioes de vea, que so los derivados fiacieros más coocidos, dode las opcioes de compra ofrece el derecho a comprar y las de vea a veder. Los parámeros a cosiderar e ua opció so: la prima, el precio del subyacee ( () si es ua acció), el precio de ejercicio y la fecha de vecimieo, T. Hemos de cosiderar ambié las iversioes a ao fijo, y esudiamos: Obligacioes-cupó-cero - Ua obligació que o paga iereses i cupó durae su vida. e compra a u precio iicial y los iereses obeidos esá deermiados por el desembolso e la fecha de vecimieo. ea u boo cupó cero que paga ua uidad moearia e T(T ). La relació ere los precios de los (,T) el valor e de boos cupó cero y sus vecimieos (T) se deomia esrucura a plazo de los aos de ierés. uesro fi es usar argumeos de arbiraje para compreder la relació ere el precio a plazo y el precio al coado del corao subyacee. Hemos de defiir el cocepo de arbiraje, que es el cocepo clave para la mayoría de los resulados a obeer aquí. El arbiraje es ua esraegia de egociació que o exige diero efecivo, que iee la posibilidad de hacer beeficios, si riesgo alguo de pérdida, lo que se expresa por free luch wih vaishig ris. i exise oporuidades de arbiraje, las acividades de los arbirajisas (los que aprovecha las oporuidades de arbiraje) dará lugar, ocasioalmee, a que se ajuse los precios hasa que o sea posible el arbiraje. o se puede esperar que se logre oporuidades de arbiraje e mercados de capial que fucioa bie. Desde el puo de visa ecoómico, la exisecia de oporuidades de arbiraje implica que la ecoomía esá e u desequilibrio ecoómico, que es ua siuació e la que los egociadores esá isaisfechos co sus composicioes de carera acuales, y que egocia. u egociació obliga a que cambie los precios, moviédose hacia u uevo equilibrio ecoómico; e ese equilibrio los egociadores debe esar saisfechos co sus careras, por lo que ya o exise oporuidades de arbiraje. De oro modo, coiuaría egociado y los precios se ajusaría hasa que se desvaezca la moivació de egociació. E síesis, si los precios se geera mediae u equilibrio ecoómico, eoces o hay oporuidades de arbiraje e la ecoomía. i preedemos obeer ua eoría para la valoració de modelos fiacieros esocásicos, se ha de eer e cuea que la calidad de cualquier eoría es u resulado direco de la calidad de las hipóesis subyacees. Las hipóesis deermia el grado e que la eoría se ajusa a la realidad. Hemos de eer, pues, e cuea las siguiees hipóesis: 54

5 . o exise friccioes de mercado, o sea, o exise coses de rasacció, i difereciales de precios de compra y vea, i exigecias de pago de márgees, i resriccioes a la vea e descubiero (que se pueda veder íulos que o se iee) y o exise impuesos.. Los paricipaes e el mercado o corre el riesgo del oro coraae; los coraaes o dejará impagados los coraos que asume. 3. Los mercados so compeiivos. Los paricipaes e el mercado acúa como precio-acepaes y o iee ifluecia sobre los precios. 4. Los paricipaes e el mercado prefiere más riqueza que meos. 5. Los precios se ha esablecido de forma que o exisa oporuidades de arbiraje. Pasamos ahora a usar argumeos simples de arbiraje para esablecer resulados geerales respeco a los precios de las opcioes, si hacer hipóesis explícias acerca de la disribució de probabilidad que describe el valor fuuro del acivo subyacee. e esablecerá coas superiores e iferiores para los precios de las opcioes de compra y vea. i el precio de ua opció esá fuera de esas coas, idica ua posible oporuidad de arbiraje. El objeivo pricipal de obeer esos resulados es mejorar uesra compresió de los coraos de opcioes. Ahora, supodremos que el acivo subyacee o emie flujos de caja, pero luego podemos geeralizar al caso de que exisa. 3. DIAMICA DEL PRECIO DEL ACTIVO e ha obeido coas superiores e iferiores para los precios de las opcioes usado argumeos simples de arbiraje. Auque esas coas limia el precio de la opció, esos iervalos o puede ser demasiado largos. Para valorar opcioes más exacamee, hemos de hacer hipóesis adicioales respeco a la disribució de probabilidad asociada a los cambios posibles del acivo subyacee. ecesiamos u modelo para la evolució del precio del acivo, u modelo que ha de ser secillo para el aálisis y complejo para ofrecer ua aproximació razoable a la evolució acual de los movimieos del precio del acivo. El modelo seleccioado es el de la disribució log-ormal, que será el caballo de baalla para la valoració de opcioes/fuuros. La subsiguiee disribució log-ormal se uiliza e los modelos coiuos de egociació y e su cálculo. Ahora bie, creemos que los modelos de egociació coiuos (y su cálculo) so meos iuiivos que los modelos de egociació discrea (y el uso del álgebra), por lo que se iroduce el modelo biomial, que opera e iempo discreo. i se cosruye cuidadosamee el modelo biomial, puede servir como aproximació a la disribució log-ormal. El modelo esádar que se usa e la ecoomía fiaciera es la disribució log-ormal para los redimieos del precio de la acció, pariedo de hipóesis razoables sobre el comporamieo aleaorio de los redimieos de ua acció. Esas hipóesis caraceriza la disribució log-ormal de u modo iuiivo. Esa iuició es imporae porque la disribució log-ormal es la base de la eoría siguiee. Parimos de que: El precio fuuro de ua acció es iciero y muy difícil de predecir. e subdivide el iempo e subiervalos igualmee espaciados de logiud h. i deoamos por z() el redimieo e el campo coiuo respeco al úlimo subiervalo, eemos: defiiedo z() por T h. () z(i) ( )e, Repiiedo ese aálisis: z(t) l[ (T) / () ] El redimieo coiuo sobre la acció e el periodo [,T] es la suma de redimieos coiuos e los -subiervalos. 55

6 e impoe ahora más hipóesis admisibles sobre las disribucioes de probabilidad asociadas a los redimieos coiuos de los subiervalos, co el fi de obeer u modelo simple y realisa de la evolució de los precios de la acció. Parimos de varias hipóesis: - Los redimieos { z (j)} esá disribuidos idepedieemee. - Los redimieos { z (j)} esá idéicamee disribuidos. - El redimieo coiuo esperado puede escribirse de la forma: E [ z() ] µ.h., dode µ es el redimieo esperado coiuo por uidad de iempo, que es idepediee de la logiud del subiervalo h. - La variaza del redimieo coiuo se puede escribir de la forma: var[ z() ] σ h dode variaza del redimieo coiuo por uidad de iempo, que es idepediee del subiervalo. Dadas las 4 hipóesis aeriores, el redimieo coiuo e [,T] es: La variaza del redimieo coiuo e [,T] es: [ z(t) ] T E µ var [ z(t) ] σ T σ es la Las hipóesis a 4 so hipóesis rigurosas e implica que para subiervalos de iempo iifiiesimales la disribució sea ormal co media µ h y variaza σ h. Ese resulado se basa e la eoría ceral del límie de la eoría de la probabilidad. Mecioada la disribució log-ormal para los movimieos del precio de la acció, cosideramos el modelo biomial. e puede represear el precio de ua acció al fial de u período, del siguiee modo: U si el movimieo del precio es ascedee D si el movimieo del precio es descedee La hipóesis de que el precio de la acció puede omar sólo uo de los dos valores posibles al fial de cada iervalo es la hipóesis biomial. Puede suceder que sea posible omar varios valores, lo que permiiría geeralizar eso a varios periodos. e raa de ver como puede aproximarse el modelo biomial a la disribució log-ormal. Eso se hace eligiedo las magiudes ascedee y descedee de precios U y D, de u modo adecuado. Como la represeació biomial asume que, al fial de cada iervalo, el redimieo de la acció oma sólo uo de dos valores, omemos la represeació biomial como sigue: El redimieo esperado es: y la variaza es: l [( µ h + σ + )/ ()] z() µ h σ h, p h; p [ ] ( µ h + σ h) + ( µ h σ h) µ h E z() 56

7 var [ z() ] ( σ h) + ( σ h) σ h e cooce el redimieo esperado por edecia. La raíz cuadrada del érmio La expresió del [ ( ) / () ] σ se llama volailidad (σ). l + saisface las hipóesis a 4. E primer lugar, las z() so idepediees y esá idéicamee disribuidas, pueso que las probabilidades /, la deriva µ y la volailidad σ o cambia co T. Tambié se emplea las hipóesis 3 y 4. El precio de la acció e + es: ( + ) () e e µ h+σ µ h σ h h co co prob prob Teemos eoces: U e µ h+σ h D e µ h σ h Como esamos sólo ieresados e aproximar ua disribució logormal cuado h iede a cero, mediae ua disribució biomial, la represeació de los movimieos del precio de la acció o esá deermiada de forma uívoca, sio que exise oros modos de represear los precios de la acció, que saisfaga las hipóesis a 4. Ecuacioes difereciales esocásicas como isrumeo de valoració La represeació de los precios de ua acció, log-ormalmee disribuidos, para la valoració de opcioes, implica el coocimieo de la ecuació diferecial esocásica. U modo elegae de represear las hipóesis a 4 para los redimieos compuesos es: z( + ) µ h + σ W() Dode W es ua variable aleaoria ormalmee disribuida co media cero y variaza h. La ecuació aerior se expresa usualmee e fució de los cambios del precio de la acció. Recordemos que, por defiició: co lo que podemos escribir: ( z ( + ) + l( ( ) / () ) + ) () + ( + ) () () + () dode () deoa el cambio del precio de la acció e el iervalo [, + ]. usiuyedo, eso da: z( + ) De aquí podemos escribir las hipóesis a 4 como: l[ + () / () ] () () µ h + σ W ~ () () 57

8 Para érmios ifiiesimales, la ecuació aerior se escribe de forma más geeral y absraca, como d() µ, () d + σ, () dw, dode d() represea el cambio e el precio de la acció desde a () sigue: [ ] [ ] + d, siedo d u cambio ifiiesimal e el iempo; µ [,() ] es el redimieo isaáeo por uidad de iempo; σ [,() ] es la desviació ípica isaáea del redimieo por uidad de iempo y dw es u movimieo rowiao. U movimieo rowiao, por defiició, es ua variable aleaoria que esá ormalmee disribuida, co media cero, variaza d que iee icremeos idepediees e idéicamee disribuidos. Obsérvese que, e esa forma geeral, ao la media como la volailidad, so fucioes de y del valor acual de la acció (). La expresió aerior es ua ecuació diferecial porque el precio de la acció () se defie sólo implíciamee, describiedo sus cambios a lo largo del iempo. Hipóesis diferees respeco a la forma de la volailidad da lugar a solucioes diferees de () para esa ecuació diferecial esocásica. La hipóesis esádar es supoer que µ y σ so cosaes. La solució de () es ua disribució logormal. ieizado, para valorar cualquier forma de derivado, ecesiamos u modo de represear la evolució de los precios fuuros de u acivo. Desarrollamos ahora el modelo de valoració biomial que ofrece ua aproximació para compreder la valoració y coberura de íulos derivados. El modelo biomial supoe que, al fial de cada iervalo, el precio de la acció puede omar dos valores posibles, por lo que la opció de compra omará dos valores posibles. e valorará la opció mediae ua reproducció siéica. Es decir, para valorar la opció de compra, cosruimos ua carera de ua acció y ua iversió si riesgo para reproducir el valor de la opció. Esa opció de compra siéica debido a la ausecia de arbiraje, ha de ser igual al precio de la opció de compra egociada. E oro caso, surgiría oporuidades de arbiraje. El procedimieo de la reproducció siéica o os da sólo u modo de valorar opcioes de compra, sio que ofrece u modo de esablecer ua coberura. La solució biomial para la valoració de opcioes de compra os apora percepcioes imporaes para la valoració y coberura de odos los íulos derivados. i se comprede la lógica básica de esa solució, se comprederá la lógica subyacee para la mayoría de los modelos de íulos derivados e uso acualmee. e puede usar el modelo de valoració biomial para caracerizar los precios de fuuros, para coraos de fuuros emiidos sobre ua acció. De algú modo, los coraos de fuuros so los íulos derivados fudameales hoy e día. Por ao, el aálisis de los coraos de fuuros es muy imporae. e ha viso cómo cosruir ua opció siéica, usado ua acció y la iversió si riesgo. Co el fi de eviar el arbiraje, el cose de cosruir la opció siéica ha de ser igual al de la opció egociada. Co eso llegamos al pricipio de valoració eural free al riesgo. Hacemos referecia aquí al dela de ua opció, uo de los cocepos más imporaes de la eoría. Cosideremos la reproducció de ua opció de compra Europea; el úmero de accioes del acivo subyacee a usar e la carera reproducora se cooce como el raio de coberura, mide la relació ere el precio de la prima de ua opció y el precio de los coraos de fuuros y es igual a la diferecia e el precio de la opció al fial del periodo, dividido por la diferecia e el precio de la acció. e puede usar los mismos argumeos de arbiraje para caracerizar los precios de fuuros. Cosruimos ua carera reproducora, usado ua acció y u acivo si riesgo para ajusar el valor y el flujo de caja (cash flow) de u corao de fuuros. Ese corao de fuuros siéico iee u precio cuyo valor ha de ser igual al precio de los fuuros del corao de fuuros egociados. E oro caso, exisirá oporuidad de arbiraje. Los coraos de fuuros so coraos para comprar o veder e ua fecha y a u precio coveidos, llamados fecha de ejercicio y precio de ejercicio respecivamee. Al comiezo de cada período de egociació, se esablece el precio del fuuro de modo que el valor del corao es cero. Al fial del periodo de egociació, el corao esá marcado segú el mercado (mared o mare). Ahora surge u cocepo fudameal para la valoració de acivos fiacieros e siuació de ausecia de arbiraje, e cuyo caso se presea probabilidades úicas, deomiadas probabilidades marigalas equivalees, que se puede uilizar para valorar opcioes y fuuros. 58

9 E el modelo biomial se plaeó la exisecia de las medidas marigalas equivalees, su uicidad y su imporacia para valorar íulos derivados, ahora se preede explicar que esos resulados so aplicables a ecoomías más complejas que las del modelo biomial. E el modelo biomial usamos el procedimieo de valoració eural free al riesgo, lo cual muesra que se puede deermiar el valor de ua opció calculado el valor fuuro esperado de la opció usado las probabilidades marigalas equivalees, y luego acualizado mediae el ao de ierés si riesgo. Teemos: + [ Mc( + ) + ( M)c( + ] c() ) R(h ) dode c() es el valor de la opció e ; c( + ) + es el valor de la opció e ( + ) e el esado ascedee; c( + ) - es el valor de la opció e ( + ) e el esado de precio descedee; M es la probabilidad marigala equivalee e el esado ascedee y R(h ) es el valor e (+) de la iversió e de ua uidad moearia e el acivo si riesgo, co vecimieo h. 4. LA TEORIA ECM (EFICIECIA DE LO MERCADO DE CAPITAL) La eficiecia sigifica que el mercado respode racioalmee a la iformació ueva. Eso implica que, e ese mercado: ) Las correccioes de los precios so isaáeas y el mercado esá siempre e equilibrio, los precios so equiaivos y o da a los paricipaes ocasió de arbiraje; es decir, de obeer beeficios de los difereciales de precios. ) Los iermediarios so uiformes e su ierpreació de la iformació obeida y corrige sus decisioes isaáeamee cuado pasa a dispoer de ueva iformació. 3) Los paricipaes so homogéeos e sus objeivos; sus accioes (acividades) so colecivamee racioales. Icidealmee, e el aspeco formal del ema, el cocepo de eficiecia debe cosiderarse depediee de la auraleza de la iformació que llega al mercado y a sus paricipaes. e disigue usualmee 3 clases de iformacioes accesibles: º Los valores pasados de los precios. º La iformació de carácer más amplio de los precios, coeida geeralmee e fuees accesibles (periódicos, boleies, ec). 3º Toda la iformació cocebible, icluso iformació privilegiada. Para ua formalizació coveiee de uesro cocepo de iformació, parimos de la hipóesis de que la iceridumbre e el mercado se puede describir como aleaoriedad, expresada e el coexo de ciero Ω,F,p. Como siempre, aquí: espacio de probabilidad ( ) { W} Ω es el espacio de resulados de probabilidad. F es u álgebra de subcojuos de W. p es ua medida de probabilidad e ( Ω,F). Es coveiee doar al espacio de probabilidad de ua filració ( F, ), familia de σ -álgebras sobre Ω al que F F, para odo m. Es decir, de ua corriee creciee de iformació. m Ierpreamos los sucesos e F como la iformació accesible a u observador hasa el isae. 59

10 E el cálculo esocásico se deomia espacios ( F,p) ((F ),p ) Ω co flujos disios F (F ), a u flujo, de iformació. Usado ese cocepo podemos disiguir varias formas de mercados eficiees como sigue. upogamos que hay 3 corriees de σ -álgebras: e ( Ω,F,p), dode 3 F (F ) ; F (F ) ; F 3 3 (F ) F F F e ierpreamos cada ua de las σ -álgebras i-ésima que se presea e el isae. i F como los daos de la clase Por qué creemos que es aural la cojeura de la propiedad marigala que es iheree al cocepo de mercado eficiee?. Hay varias respuesas. La mejor explicació puede darse e el marco de la eoría de los mercados si arbiraje, que asocia direcamee la eficiecia de u mercado a la ausecia de oporuidades de arbiraje. E lo que sigue, la úlima propiedad da lugar a la aparició de las marigalas. Para dar idea del modo e que aparece las marigalas, preseamos los siguiees argumeos elemeales. ea ( ), dode es el precio de ua acció e. ea,. (dode es el cambio relaivo de los precios). El cambio relaivo de los precios (el ao de ierés). upogamos que el mercado esá orgaizado de al modo que, co respeco al flujo F (F ) de daos accesibles, las variables so F -medibles y co probabilidad próxima a, ( ρ F ) r, para ciera cosae r. Por las dos úlimas fórmulas: E (+ ρ ) + ρ p E( F ) y supoiedo + r por hipóesis: ρ,. + r Veamos ambié que, juamee co ua acció, cosideramos ua cuea bacaria: al que: ( ), r dode r es el ao de ierés de la cuea y >. ) Pueso que ( + r, de las relacioes aeriores eemos: Eso sigifica que la sucesió E F para es ua marigala co respeco a la filració: F (F ) para. 6

11 uesra hipóesis aerior permie que E ( ρ F ) r co probabilidad próxima a o E ( ρ F ) ( F ) r E > < r, ó ρ, por lo que los iversores ecorará que es más beeficioso resrigir su iversió a la cuea bacaria o a la acció. Dicho de oro modo, si u íulo domia a oro, eoces el de meos valor desaparecerá rápidamee, como debe ser e u mercado bie orgaizado, e u mercado eficiee. Cosideremos ahora ua versió más complicada de uesro modelo ( + ρ ), de la evolució de los precios de la acció. upoiedo que e se compra ua acció al precio, y que se vede e a u precio ; el beeficio bruo (que puede ser posiivo o egaivo) es. Es más sesao medir el beeficio e valores relaivos, que e érmios absoluos,. E aras a la brevedad, eemos beeficios relaivos e los redimieos o e los coeficiees de crecimieo. De acuerdo co uesra ierpreació de los redimieos, como beeficios de comprar e y veder e. upogamos ahora que eemos ua fuee adicioal de igresos, que supoemos que so F -medibles, e iguales a δ e el momeo. Eoces, uesros beeficios bruos oales so: mieras que su valor relaivo es: + δ p + δ ería ieresae eer ua oció del posible modelo global de los precios ( ), co al de que el comporamieo local se describa por la expresió aerior. Para coesar a esa cuesió se ha de hacer δ ). hipóesis acerca de ( p ) y ( upoemos, por ejemplo, que: E i, además, E( ) <, y E( δ ) <, eoces: dode ( F ) es ua esperaza codicioal. E De u modo similar: ( ρ F ) r, E( F ) + E( δ F ) + r + r E( + F ) + E( δ F ), lo que os coduce a la igualdad: + r + r + eguidamee, veremos que: E( F ) E( F ) E( F ) + + δ + + δ ( + r) ( + r) + r 6

12 ( + F ) + E( δ+ i F ) E,, y. (+ r) (+ r)i i La clase de marigalas es amplia. Por ejemplo, coiee el camio aleaorio y, además, la propiedad marigala E ( F ) muesra que, co respeco a las prediccioes de los valores de los icremeos, lo mejor que podemos sacar de los daos F, es que el icremeo se aula e promedio (co respeco a F ). Eso cocuerda co uesra percepció iaa de que las gaacias codicioales E( F ) e u mercado equiaivo, bie orgaizado, que se puede ierprear como la imposibilidad de obeer beeficios si riesgo. Fue e ese coexo e el que achélier escribió La esperaza maemáica del especulador es cero. Fialmee señalamos, como se muesra e el aálisis empírico de la evolució del precio, que la auocorrelació de las variables h h, iede a cero, lo que puede cosiderarse u argumeo (auque idireco) a favor de la cojeura marigala. 5. DIVERIFICACIO DE MAROWITZ El rabajo de Marowiz fue decisivo para el desarrollo y prácica de la gesió y de la igeiería fiaciera. El puo más aracivo para los iversores e su eoría fue la idea de la diversificació de ua carera de iversió, porque o demuesra simplemee ua posibilidad eórica de reducir los riesgos de iversió (o sisemáicos), sio que da recomedacioes de cómo lograr eso e la prácica. El ema de la diversificació es u medio de reducció de los riesgos o sisemáicos a u ivel arbirario bajo, medido e fució de la variaza o de la desviació ípica. El feómeo de la correlació egaiva, coocido como feómeo de Marowiz, es ua de las ideas básicas de la diversificació de iversió: al cosruir ua carera de iversió se debe iverir e el mayor úmero posible de íulos o correlacioados. El feómeo de la ausecia de correlació idica que, e caso de iversió e íulos o correlacioados, su úmero debe ser, lo más grade posible para reducir el riesgo (es decir, la variaza). i la covariaza ere los íulos es cero, eoces usado la diversificació, co suficieemee grade, podemos reducir el riesgo de iversió a u ivel arbirariamee bajo. Desgraciadamee, los íulos e u mercado iee correlació posiiva (cambia de u modo coordiado, e la misma direcció) y, por ello, la covariaza o iede a cero cuado iede a ifiio. El valor límie de la covariaza es juso, el riesgo sisemáico (o de mercado), iheree al mercado e cuesió, que o puede reducirse por diversificació, mieras que los riesgos o sisemáicos se reduce por diversificació. El cocepo de mercado eficiee, como se ha viso, es la hipóesis de que los precios asimila isaáeamee la iformació ueva y se esablece de u modo que o se proporcioa la oporuidad de comprar barao y veder imediaamee a u precio superior, o sea, que o hay oporuidades de arbiraje. e ha mosrado ya que la idea de u mercado equiaivo, racioalmee orgaizado, apora los precios ormalizados de mercado, expresado mediae marigalas (co respeco a ciera medida equivalee a la medida de probabilidad iicial). Los fudamealisas oma sus decisioes cosiderado el esado de la ecoomía a largo plazo, o de alguos de sus secores; las perspecivas de desarrollo so de ierés paricular para ellos; cosruye su aálisis bajo la hipóesis de que las accioes de los agees del mercado so racioales. 6

13 6. ICERTIDUMRE E IRREGULARIDAD E EL COMPORTAMIETO DE LO PRECIO. U DECRIPCIÓ Y REPREETACIÓ E TÉRMIO PROAILITA upogamos que medimos el iempo e días,,... y sea ( ), el precio de mercado de ua acció, el ao de cambio de dos divisas, u oro ídice fiaciero (iempo de vida ilimiado, e corase a, por ejemplo, los precios de boos). U esudio empírico de,, muesra que los precios varía de u modo alamee irregular. achélier, como se ha dicho, fue el primero e describir los precios ( ),, usado los cocepos y los méodos de la eoría de la probabilidad, que ofreció ua esrucura para el esudio de los feómeos empíricos, caracerizados, ao por la iceridumbre esadísica, como por la esabilidad de las frecuecias esadísicas. Tomamos el efoque esadísico y usamos la axiomáica de A.. olmogorov (94) sobre la eoría de la probabilidad, que es geeralmee acepada ahora, supoiedo que uesras cosideracioes se lleva a cabo co respeco al espacio de probabilidad (Ω,F,p ), dode: - Ω es el espacio de sucesos elemeales ω (siuacioes del mercado). - F es ua σ -álgebra de subcojuos de Ω. - p es ua probabilidad e F. e ha dicho ya que el iempo y las evolucioes e el mismo, so pares iegraes de la eoría fiaciera. Por esa razó, parece válido defiir uesro espacio de probabilidad (Ω,F,p ) más específicamee, supoiedo que eemos ua familia F (F ) de σ -álgebras, de modo que: F F... F... F La razó de iroducir esa familia de σ -subálgebras o decreciees de F, que se cooce por filració, es evidee mediae la ierpreació siguiee: F es el cojuo de sucesos observables a lo largo del iempo. e puede eeder que F es la iformació sobre la siuació del mercado de que dispoe u observador, hasa el momeo iclusive (e la esrucura de u mercado eficiee, eso puede ser, por 3 ejemplo, ua de las res σ -álgebras F,F, F. upoemos que uesro modelo probabilisa subyacee es u espacio de probabilidad filrado que se llama ambié base esocásica. ( Ω, F,(F ),p) E muchos casos parece razoable geeralizar el cocepo de base esocásica supoiedo que, e lugar de ua medida úica de probabilidad, eemos ua familia eera P {ρ} de medidas de probabilidad (la razó es que a meudo es ecesario sigularizar ua medida ρ ). Usado la ermiología de la Teoría de la decisió esadísica, llamamos a la familia (, F,(F ),P) Ω experimeo filrado esocásico. Cosiderado F como la iformació accesible a la observació (iclusive hasa ), es aural supoer que es F -medible o que los precios se forma sobre la base de desarrollos observables e los mercados hasa (iclusive). Cosiderado que. es el precio (por ejemplo de ua acció) e el iempo, supogamos que, Los dos méodos corriees para la preseació de los precios ( ) so: 63

14 Primero, ua fórmula similar a la fórmula del ierés compueso: e dode H h + h h, co h y las variables aleaorias h h (W), De aquí: H, so F -medibles. H l y los redimieos logarímicos se puede valorar mediae la fórmula: dode. h l l + Eoces podemos decir que el primer méodo para la descripció de los precios es la expresió expoecial e mieras que el segudo implica la expoecial esocásica: (Ĥ ) H H E, dode ( e ) Ĥ. Co el objeo de pasar a la valoració de modelos fiacieros, iroducimos uas defiicioes y uas oacioes siguiedo a Alber. hiryaev, e su libro Esseials of Esochasic Fiace. Defiició Decimos que ua sucesió de variables aleaorias ( ), defiida e la base esocásica, es ua sucesió esocásica, si es F -medible. Para efaizar la propiedad de ser medible se escribe las sucesioes esocásicas como: (,F ), icorporado e la oació las σ -álgebras F, co respeco a las que so medibles las Defiició Decimos que ua sucesió esocásica (,F ) es: ua marigala ua supermarigala ua submarigala. i E < y si co probabilidad próxima a respecivamee, ( F ) ( F ) ( ) E E E F e puede esablecer claramee que E ( ) cosae para ua marigala, que las esperazas so o creciees para ua supermarigala E E ) y que so o decreciees para ua submarigala ( E E ). ( 64

15 Doados co los isrumeos y el bagaje del cálculo esocásico, raamos de cosruir modelos esadísicos, cuya elecció es ua area complicada. La eoría geeral de eries Temporales iee varios modelos lieales esádar, que supoemos esacioarios. Ciamos alguos como el MA (q) (el modelo de media móvil de orde q, el AR(p) (el modelo auoregresivo de orde p), y ARMA(p,q) (el modelo auoregresivo mixo de media móvil de orde (p,q)). Exise modelos esocásicos o lieales, gaussiaos, cuyo orige esá e la búsqueda de explicacioes de feómeos diversos (que aparece ao e la esadísica fiaciera como e la ecoomía), ales como los salos iesperados, ere oras cosas. o exise uaimidad co respeco a los modelos o lieales, pues los idicadores ecoómicos iee edecia a flucuar ere sí. Coamos co muchos idicadores macroecoómicos (volúmees de producció, cosumo o iversió, el ivel geeral de precios, los aos de ierés, las reservas del gobiero, ec). La cosideració de muchos ídices ecoómicos puede marcar edecias, pero el movimieo se puede acelerar o o; el crecimieo puede ocurrir e ciclos de clases. Así pues, u aalisa de daos esadísicos relaivos a la ecoomía fiaciera, se ecuera free a u problema o lieal relaivo a la elecció del modelo correco. 7. VALORACIO DE MODELO FIACIERO E TIEMPO DICRETO Y E TIEMPO COTIUO La Teoría de H. Marowiz (99), al como se expresa e su aálisis de la media variaza, logra ua aproximació de los riesgos de la valoració de iversioes y la reducció de su compoee o-sisemáica, que se basa e la diversificació de la selecció de ua carera de iversió ópima. Oros problemas de opimizació que surge e la Teoría fiaciera puede, e fució de las iceridumbres del eoro, clasificarse ere los problemas de opimizació esocásica. E primer lugar, se ha de mecioar que la fiaciació implica ua serie de problemas de opimizació que o so ípicos i radicioales y que se refiere a la coberura, a cómo cubrir los riesgos. o so ípicos e el seido de que la coberura ópima, como u corol que es, ha de verificar cieras propiedades co probabilidad, e lugar de verificarlas e érmios medios de probabilidad, como es usual e la opimizació esocásica. osoros cosideramos la coberura como u méodo de corol diámico de ua carera de iversió. Ese méodo es crucial para valorar isrumeos fiacieros ales como opcioes. E relació co la valoració de coraos de opcioes, la imporacia de la coberura como isrumeo de proecció ha ifluido e el desarrollo de sus méodos básicos. Los problemas de esa clase iee ua relació direca co la valoració de opcioes europeas. egú la idea de lac-choles y Mero, que dice: e los mercados compleos co ausecia de arbiraje, la evolució de los precios de la opció ha de ser reproducida por la evolució del valor de la esraegia de coberura ópima e el correspodiee problema de iversió. os siuamos e la posició de u iversor e el mercado fiaciero (e el mercado -), que puede: ) Deposiar diero e ua cuea bacaria u obeer diero de ella. ) Comprar y veder accioes. upodremos que ua rasferecia de diero de ua cuea a ora se puede hacer si coses de rasacció y que los acivos so ifiiamee divisibles, es decir, que el iversor puede comprar o veder cualquier fracció del acivo y reirar o deposiar cualquier caidad de la cuea bacaria. Damos ahora alguas defiicioes relaivas a la posició fiaciera de u iversor e el mercado - y sus accioes. U mercado lac-choles cuea co careras formadas por ua cuea bacaria y ua acció. 65

16 Defiició Ua sucesió esocásica predecible ( β, γ) dode ( β (w)) i β ( w) y ( w) F -medibles, F γ, iversioes e el mercado -. i d, escribimos γ y Las variables β (w) y β, e i,,...,d (hacemos F, e lugar de i γ y i. i γ (w) puede ser posiivas, egaivas o cero. El valor de ua carera de iversioes es la sucesió esocásica e: d y ( ) γ γ,...γ co ) se deomia carera de dode se describe ( ), β + d i γ i i y las gaacias de capial e la carera de iversió por la sucesió. Deducimos que el valor de la carera e es. G β + γ + G Decimos que ua carera de iversió es auofiaciadora si su valor: ( ), se puede represear como sigue: ( β β + γ ) +, El hecho de ser ua carera auofiaciada es equivalee a la codició que describe las careras admisibles: β + γ, lo que implica que el cambio del impore de la cuea bacaria puede deberse solamee al cambio del paquee de íulos y viceversa. Defiició El precio de coberura perfeca Europea de u íulo coigee F -medible, f, es la caidad ( f;p) if { x : co o x, co f C (probabilidad próxima a ) Pueso que el mercado e cuesió esá libre de arbiraje y es compleo, por hipóesis: ) Exise ua medida marigala P ~, equivalee a P, al que la sucesió (Primer Teorema fudameal), y es ua marigala ) Esa medida es úica y se puede reproducir cada íulo coigee; es decir, exise ua coberura (perfeca), al que f (segudo eorema fudameal). w 66

17 67 De aquí que si es ua coberura perfeca ) x,f (, es decir, si x y f (co probabilidad casi ) eoces γ + f y, por ello, f E ~ x x f E ~ Obsérvese que el segudo miembro de la expresió aerior es idepediee de la esrucura ( ),,f x e cuesió. Dicho de oro modo, si es ora coberura, eoces los precios iiciales x y x so el mismo. De aquí obeemos el resulado siguiee: Teorema Fórmula Pricipal del precio de coberura perfeco (Europeo) e mercados compleos. El precio ) ; (f c ρ de coberura perfeca e u mercado compleo libre de arbiraje se describe por la fórmula: ( ) ρ f E ~ ; f C Al esablecer la coberura se debe coocer o sólo el precio ) ; (f C ρ sio ambié la composició de la carera que proporcioa ua coberura perfeca. U méodo esádar es: - e cosruye la marigala ( ) ρ ~, F, co F f E ~ M Pueso que uesro mercado es compleo, se deduce del egudo Teorema Fudameal, que iee ua represeació γ + co F, γ -medible. Hacemos ), ( γ β, dode γ es igual a ( ) γ γ y γ β. Es fácil de comprobar que esa es ua carera auofiaciadora. Luego, por cosrucció: e M γ De aquí,, eemos: F f E ~ M. 8. FORMULA DE VALORACIO PRICIPAL DE COERTURA. MERCADO ICOMPLETO El precio ) ; (f C ρ de coberura perfeca e u mercado compleo si arbiraje, iee la siguiee expresió: ρ f E ~ ) ; (f C dode E ~ es ua media co respeco a la (úica) medida marigala P ~, al que es ua P ~ -marigala. Puede plaearse ua cuesió similar de los precios de coberura e u mercado icompleo. i embargo, o ecesariamee exise ua coberura perfeca auofiaciadora e al mercado, por lo que

18 debemos modificar uesra defiició del precio de coberura hacia ua clase e ciero modo más amplia que las esraegias auofiaciadoras a las que os adherimos e caso de u mercado compleo. Recordemos que el valor de ua esraegia auofiaciadora ( β, γ) e u mercado compleo puede defiirse de dos modos: o escribimos co β + γ β + γ, ó + ( β + γ ) La represeació aerior es más coveiee e ciero seido para visualizar las diámicas del crecimieo del capial: es la acció del capial iicial e, mieras que β + γ es el icremeo. E el caso de coberura e u mercado icompleo, parece razoable cosiderar, juo co la carera ( β, γ) el proceso de cosumo C (C ), que es u proceso o egaivo, o decreciee co C F medible y C, y, e paricular, f ( ~ ρ) (prob. próxima a ). Así pues, la carera cosruida sobre la base de la represeació, es ua coberura perfeca. Podemos sieizar los resulados aeriores como sigue: Teorema (Fórmulas Pricipales para ua coberura perfeca y su valor).- E u mercado compleo arbirario, si arbiraje, exise ua coberura perfeca auofiaciadora ( β, γ ) co capial iicial que replica fielmee f : * C f f E ~ ( ) ;p * f (probab. próxima a ) Las evolucioes (diámicas) del capial * se describe por las fórmulas: * * iedo los compoees ( γ ) f * E ~ F ; γ las mismas que e la represeació f E ~ f F E ~ + * γ * y los compoees β β ) puede defiirse por la codició ( * 68

19 * β * + γ * Ya se ha mecioado que, e geeral, o exise la coberura perfeca e los mercados icompleos, es decir, o exise coberura ( β, γ) al que f (co probabilidad próxima a ). Eso o afeca a la posibilidad de que modificado uesra defiició de esraegia admisible podamos alcazar el ivel del capial de desembolso fial, f. Teorema (Fórmula pricipal del precio de coberura Europea e mercados icompleos). ea f ua fució acoada o egaiva, F -medible. Eoces, e u mercado icompleo si arbiraje, el precio C * ( f ;ρ) puede calcularse por la fórmula: dode ρ ~ E es u promedio co respeco a ρ ~. COCLUIOE * f C ~ ρ P( ρ ) ( ) f;p sup E ~ ρ e ha aalizado alguas maerias que hemos cosiderado ecesarias para los ieresados e el cálculo esocásico y la valoració e modelos de mercados fiacieros e ambiee de iceridumbre. Para lograrlo, se ha mecioado los pricipales cocepos y resulados de la maemáica fiaciera esocásica. Asimismo, se ha desarrollado aplicacioes de esos resulados a diversas clases de cálculos ecesarios e el campo fiaciero. Todo ello, puede ser de ierés para iroducir e los programas de eseñaza uiversiarios relaivos a la maemáica fiaciera co u efoque esadísico maemáico modero. Dada la limiació de espacio exisee, los coraos a plazo y coraos de fuuros se presea e u aexo. AEO Icorporamos e ese aexo diversos méodos de valoració, verdaderamee imporaes, pero que se ecuera e la mayoría de los libros de Esocásica. osoros seguimos las líeas de A.. hiryaev e su libro Esseials of ochasic Fiace. Coraos a plazo y coraos de Fuuros Traaremos de ver cómo valorar los coraos a plazo y coraos de fuuros, isrumeos de iversió imporaes usados e los mercados fiacieros juo co las opcioes. Los coraos a plazo y de fuuros so coraos de vea para algú acivo que ha de eregarse e u isae específico e el fuuro, a u precio especificado. Exise, como hemos viso, ua disició esecial ere fuuros y coraos al coado, auque ambos so coraos de vea. upogamos que el precio de mercado del acivo e cuesió se puede defiir por ua sucesió esocásica ( ), dode es la fecha de madurez del corao, que podemos ideificar co el isae de erega. Realmee, si el rao se realiza e, cuado el precio de mercado del acivo es, eoces para cualquier defiició razoable del corao a plazo, el precio del fuuro debe ser igual a. Ora cosa es si el corao se vede e < ; la cuesió crucial aquí es cómo debemos eeder el precio juso del corao (e u mercado si arbiraje). 69

20 Para formalizar el ema, cosideremos el esquema de u mercado de - (lac-choles), dode ( ) es ua cuea bacaria y ( ) es el acivo egociado. Cosideraremos el caso co dividedos, cuado el valor ( β, γ) se describe por la fórmula: ( ) de la esraegia del comprador β + γ D () y sus cambios se describe como sigue: β + γ D () dode γ es el úmero de uidades del acivo comprado y D (D,F ), D, es el proceso (o ecesariamee posiivo) de odos los dividedos coecados al acivo. Describimos ahora la esrucura de los dividedos e los casos de u corao al coado o de fuuros y hallamos los precios jusos de esos coraos. upogamos que se vede u corao al coado e y que ambas pares esá de acuerdo e base a la iformació F que el precio de erega del acivo F (). Eoces, por la misma mecáica de los coraos a plazo, los dividedos oales (posiivos o egaivos) puede presearse como sigue: y D D F () De () y (), obeemos: y, por ello: γ D + γ + D, < Para u corao a plazo emiido e, podemos hacer γ para, y, γ γ +, para +, dode γ + es el úmero de uidades del acivo, del corao. De la expresió aerior, eemos: + γ + F () y llegamos imediaamee a la siguiee coclusió. upogamos que el mercado (,) e cosideració es compleo y libre de arbiraje. ea P ~ la úica medida marigala al que e ua marigala respeco a ella. upogamos ambié que los precios F (), F -medibles saisface la relació: 7