PROGRESIONES ARITMÉTICAS.-

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1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos, excepto el primero, se obtiee sumado al aterior ua costate d, que se deomia diferecia de la progresió. TÉRMINO N-ÉSIMO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA.- Si a, a, a 3, a 4, a 5,..., a -, a,...es ua progresió aritmética, cuya diferecia es d, se puede escribir las siguietes igualdades: a = a + d, a 3 = a + d = a + d, a 4 = a 3 + d = a + 3d, a 5 = a 4 + d = a + 4d, a = a - + d = a + ( -)d. El térmio -ésimo de ua progresió aritmética se obtiee sumado al primer térmio la diferecia multiplicada por ( -): a = a + (-)d. a) Hallar el octavo térmio de ua progresió aritmética cuyo primer térmio es 3 y cuya razó es 5. Como a = 3, d = 5 y = 8, se tiee: a 5 = a + (8 -)d = = 38. b) Hallar el primer térmio de ua progresió aritmética que costa de veite térmios, si se sabe que el último es 83 y que la diferecia es 4. Como a 0 = 83, d = 4 y = 0, resulta: 83 = a + (0 -).4 a = = 7. TÉRMINOS EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS.- Dos térmios a p y a q de ua sucesió limitada so equidistates de los extremos cuado el úmero de térmios que precede a ap es igual al úmero de térmios que sigue a aq. E las progresioes aritméticas limitadas los térmios equidistates de los extremos verifica la siguiete propiedad: La suma de dos térmios de ua progresió aritmética limitada, equidistates de los térmios extremos, es igual a la suma de dichos extremos. E efecto, e la progresió aritmética limitada, de diferecia d: a, a, a 3,..., a, los dos térmios a h+ y a -h so equidistates de los extremos, ya que: al térmio a h+ le precede h térmios; al térmio a -h le sigue h térmios; Aplicado a ambos la fórmula del térmio geeral, resulta: a h + = a + (h + -) d = a + hd; a -h = a + ( -h -)d = a + ( -)d -hd. Sumado miembro a miembro las dos últimas igualdades, se obtiee lo que se desea demostrar: a h+ + a -h = (a + hd) + [a + (-)d-hd] = a + a + (-)d = a + a.

2 a Ejemplo: E la progresió aritmética limitada 3, 7,, 5, 9, 3, se verifica: = = + 5. Nota: Cuado ua progresió aritmética limitada está formada por u úmero impar de térmios, el térmio medio es igual a la semisuma de los térmios extremos, ya que es equidistate de los dos extremos cosigo mismo. SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESION ARITMETICA LIMITADA.- Sea la progresió aritmética limitada, de térmios: a, a, a 3,..., a -, a -, a. Si S represeta la suma de todos los térmios, se tiee: S = a + a + a a - + a - + a Teiedo e cueta la propiedad comutativa de la adició: S = a + a - + a a 3 + a + a. Sumado miembro a miembro, y e columa, ambas igualdades, resulta: S = (a + a ) + (a + a - ) + (a 3 + a - ) (a - + a 3 ) + (a - + a ) + (a + a ). Los sumados etre parétesis correspode a térmios equidistates de los extremos, cuya suma, segú la propiedad aterior, es a + a. Por tato: a+ a (a + a ) La suma de los térmios de ua progresió aritmética limitada es igual a la semisuma de los térmios extremos multiplicada por el úmero de térmios. a) Hallar la suma de los primeros úmeros aturales. Como a =, d =, a = + ( -) = y =, se tiee: + = + b) Hallar la suma de los primeros úmeros pares. Como a =, d =, a = + ( -) = y =, resulta: + S = = + Co las dos fórmulas fudametales obteidas para las progresioes aritméticas, se puede establecer el siguiete sistema: a = a+ ( ) d a+ a E él hay cico variables, a, a, d, y S, relacioadas etre sí de tal maera que, si se cooce tres de ellas, se puede determiar las dos restates. Ejemplo: E ua progresió aritmética limitada, cuyo primer térmio es 67 y cuya diferecia es -6, la suma de los térmios es 408. Cuátos térmios forma la progresió y cuál es el último?

3 Si idica el úmero de térmios y x el valor del último, se puede escribir el sistema: x= 67+ ( )( 6) ( 67+ x) 408= Resolviedo el sistema resulta: = y a = Ejercicios. Forma ua progresió aritmética de ocho térmios co los datos de cada apartado: a) a =, d -3, b) a = 6. d = -, c) a l = ½ d = 4; d) a l = 3/ d = -; e) a = 3 ;d=. Los datos de cada uo de los apartados correspode a ua progresió aritmética. Calcula la diferecia de la progresió e cada caso: a) a l = 3, a l7 = 3; b) a 5 = -0, a l3 = -8; c) a 3 = - 5/3 a 8 = -5; d) a 6 = 3, a 4 = -; 3. Calcula la suma de: a) los cicueta primeros úmeros aturales; b) los veite primeros úmeros pares; c) los cuareta primeros múltiplos de 3; d) los cieto veite primeros úmeros impares; e) los múltiplos de 5 meores que 80; f) los doce primeros múltiplos de 7; g) los veiticico primeros múltiplos de 9; h) los múltiplos de 6 compredidos etre 00 y 000; 4. Resuelve los problemas siguietes, cuyos datos e icógitas correspode a progresioes aritméticas: a) Dados a l = 4, d = y = 8, halla a y S; b) Dados a l = 3, a = y S = 0, calcula d y ; c) Dados a l = 3, d = - y S = 40, averigua a y ; d) Dados a = 0, d = 5 y S = 0, halla a l y ; e) Dados a l = 0, d = y S = 780, determia a y ; f) Dados a l =, d = y S = 7 744, halla a y ; g) Dados a = 56, d = 3 y S = 56, calcula a l y. 5. Dada la progresió aritmética 9,..., 6, de 5 térmios, calcula d y S. 6. Dada la progresió aritmética,4, 6, 8, l0,..., de 00 térmios, averigua a y S. 7. Dada la progresió aritmética 0,4; 0,6; 0,8;...; de 50 térmios, determia a y S. 8. La suma de los térmios segudo y oveo de ua progresió aritmética es -8 y la suma de los térmios quito y décimo es -8/3. Halla el primer térmio. 9. La suma de los térmios tercero y cuarto de ua progresió aritmética es y el sexto térmio es l. Forma la progresió, sabiedo que tiee seis térmios. 0. E ua progresió aritmética la suma de los térmios primero y oveo es 6. El térmio udécimo excede al octavo e uidades. Halla la diferecia de la progresió.. E ua progresió aritmética la suma de los térmios primero y segudo es -5 y la suma del tercero y del cuarto es 9. Forma la progresió, sabiedo que tiee cico térmios.. La suma de tres úmeros e progresió aritmética es y su producto es 63. Averigua esos úmeros. 3. La suma de tres úmeros e progresió aritmética es 8 y su producto es 6. Calcula esos úmeros. 4. Las edades de cuatro hermaos forma ua progresió aritmética, cuya suma es 3 años. El mayor tiee 6 años más que el meor. Averigua los años de los cuatro hermaos. 5. La suma de tres úmeros que forma progresió aritmética es 9 y la suma de sus cuadrados es 35. Halla los tres úmeros. 3

4 6. E ua progresió aritmética, cuyo primer térmio es 3, la razó etre el oveo térmio y el cuarto es igual a la razó etre el decimosexto y el séptimo. Forma la progresió. 7. Calcula los térmios quito y sexto de ua progresió aritmética e la que el octavo térmio es el cuádruple del primero, sabiedo que la suma de los ocho primeros térmios es PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.- Ua progresió geométrica es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos, excepto el primero, es igual al aterior multiplicado por ua costate r, que se deomia razó de la progresió. a) La sucesió,, 4, 8, 6,...es ua progresió geométrica ilimitada de razó r =. b) La sucesió, -,, -,, -,...es ua progresió geométrica ilimitada de razó r = -. c) Los úmeros 4, -,, -~, + forma ua progresió geométrica limitada de razó r = -/. Cuado la razó de ua progresió geométrica es positiva, todos los térmios tiee el mismo sigo; cuado es egativa, los térmios tiee alterativamete sigo positivo y egativo (o viceversa). TÉRMINO N-ÉSIMO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.- Si a, a, a 3, a 4, a 5,..., a -, a,...es ua progresió geométrica de razó r, se puede escribir las igualdades siguietes: a = a r, a 3 = a r = a r, a 4 = a 3 r = a r 3, a 5 = a 4 r = a r 4,.. a = a - r = a r -. El térmio -ésimo de ua progresió geométrica se obtiee multiplicado el primer térmio por la razó elevada al expoete ( -): a = a r TÉRMINOS EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS.- El producto de dos térmios de ua progresió geométrica limitada, equidistates de los térmios extremos, es igual al producto de dichos extremos. E efecto, e ua progresió geométrica limitada, de razó r: los dos térmios a h + y a -h so equidistates de los extremos, ya que al térmio a h+ le precede h térmios y al térmio a -h le sigue h térmios. Aplicado a ambos la fórmula del térmio geeral, resulta: ( h+ ) h a = a r = a r a h+ h = a r ( h) ( ) h h h ( ) = a.r Multiplicado miembro a miembro las dos últimas igualdades, se obtiee lo que se desea demostrar: a h+ a - h = (a r h ). (a r -h ) = a.a Ejemplo: E la progresió geométrica limitada,, 4, 8, 6, 3, se verifica: 3= 6=4.8. Nota: Cuado ua progresió geométrica limitada está formada por u úmero impar de térmios, el térmio medio es igual a la raíz cuadrada del producto de los térmios extremos, ya que es equidistate de los dos extremos cosigo mismo. = a r : r = a r 4

5 PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA LIMITADA.- Sea la progresió geométrica limitada, de térmios: a, a, a 3,..., a -, a -, a Si P represeta el producto de todos los térmios, se tiee: P = a a a 3.. a - a - a O tambié, por la propiedad comutativa de la multiplicació: P = a a - a - a 3 a a Multiplicado miembro a miembro, y e columa, ambas igualdades, resulta: P = (a.a.)(a a - ).(a 3 a - )(a - a 3 ). (a - a )(a a ) Los factores etre parétesis correspode a térmios equidistates de los extremos, cuyo producto, segú la propiedad aterior, es a a. Por tato: P= a a P = (a a) ( ) El producto de los térmios de ua progresió geométrica limitada es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos elevado a u expoete igual al úmero de térmios.. Halla el producto de las primeras potecias (de expoete atural) de b. Como a = b, r = b, a = b b - = b y =, resulta: P = ( b b ) = b ( + ). Calcula el producto de los cico primeros térmios de cada ua de las siguietes progresioes geométricas: 4 8 a), 6, 8,...; b) 5, 0, 80,...; c),,,... d), 8, 6, SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA LIMITADA.- Sea la progresió geométrica limitada, de térmios y de razó r, escrita e fució del primer térmio y de la razó: a, a r, a r,., a r -3, a r -, a r - Si S es la suma de sus térmios, se tiee: S = a + a r + a r a r -3 + a r - + a r -. Multiplicado los dos miembros de la igualdad por r, resulta: Sr = a r + a r + a r a r - + a r - + a r. Restado de esta última igualdad la primera, se obtiee: Sr-a r -a S(r-)=a (r -) a(r ) 5

6 Fórmula que permite calcular la suma de los térmios de ua progresió geométrica limitada, coociedo el primer térmio, la razó y el úmero de térmios. Teiedo e cueta que a = a r -, se puede escribir: ar a = S Fórmula que permite hallar la suma de los térmios de ua progresió geométrica limitada, coociedo el primer térmio y el último yl a razó. a) Hallar la suma de los diez primeros térmios de la progresió geométrica: 8, 9 4, 3 9, 3,,... Respuesta: SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA ILIMITADA.- Sea la progresió geométrica ilimitada de razó r, escrita e fució del primer térmio y de la razó: a, a r, a r,., a r,.. La suma de sus primeros térmios se puede calcular por: ar a a ar a r S = S = S = a r r r Cuado crece idefiidamete, e el cálculo de la suma S puede darse tres casos distitos, segú el valor de la razó r:. Si la razó, e valor absoluto, es mayor que la uidad ( r > ), r crece idefiidamete e valor absoluto y el valor absoluto de la suma será mayor que cualquier úmero K, por grade que sea. Es decir, la suma tiede a más o meos ifiito.. Si la razó, e valor absoluto, es meor que la uidad ( I rl < ), el valor absoluto de r decrece idefiidamete y se hace meor que cualquier úmero ε > 0, por pequeño que sea. Es decir, r tiede a cero, co lo que el segudo sumado de la última fórmula se aula y la suma queda: a Por tato: La suma de los térmios de ua progresió geométrica ilimitada decreciete es igual al primer térmio dividido por ( -r). 3. Si la razó, e valor absoluto, es igual a la uidad (Irl = ), hay que cosiderar dos posibilidades: a) Que r =, co lo que la suma tiede a más o meo ifiito, segú sea positivo o egativo el sigo de a. b) Que r = - co lo que la suma es igual a a o a cero segú sea impar o par EJERCICIOS. Calcula los térmios que se idica e las siguietes progresioes geométricas: a),,4,8, 6,...,a ; b),3,9,7,8,...,a 5 : c),4, 6,64,56,..., a 0 ;. El sexto térmio de ua progresió geométrica es 97 y la razó es 3. Halla el primer térmio. 3. Cuál es el oveo térmio de ua progresió geométrica si el primero es 9 y la razó es/3? 6

7 4. Cuál es el séptimo térmio de ua progresió geométrica cuyo primer térmio es y cuya razo es 6? 5. Cuál es el sexto térmio de ua progresió geométrica cuyo primer térmio es 0,73 y cuya razó es 0,0? 6. Calcula la suma de los: a) seis primeros térmios de la progresió geométrica 6,, 4,...; b) siete primeros térmios de la progresió geométrica:,,,...; c) cico primeros térmios de la progresió geometca:, (+), (+),. d) las diez primeras potecias (de expoete atural) de /. 7. Los datos de cada uo de los apartados correspode a ua progresió geométrica. Calcula las icógitas que se idica e cada uo de ellos: a) a l = 3, r = 4 y = 5, halla a y S; b) = 6, r = 4 y S = 730, calcula a l y a ; 7 c) a l =, r =, y = 8, averigua a y S; d) a =, r = y = 8; halla a y S 5 5 e) r =, = 7 y S = 635, determia a l y a; f) r = 4, = 6 y S = 365, halla a l y a ; g) a l = 3, r = y S = 765, calcula y a 8. Halla la suma de los térmios de cada ua de las siguietes progresioes geométricas ilimitadas: a) 3,, /3, /9, ; b) 6,3, 3/, 3/4,.; c), /0, /00, /000,.; 7

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