MATEMÁTICAS I SUCESIONES Y SERIES

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1 MATEMÁTICAS I SUCESIONES Y SERIES. Sucesiones En casi cualquier situación de la vida real es muy frecuente encontrar magnitudes que varían cada cierto tiempo. Por ejemplo, el saldo de una cuenta bancaria varía de día en día, y bien podría tomar los valores 02, 988, 988, 988, 02, 02, 575, 570, 600, 600,... Aquí la cuenta comenzaría con 02 euros el primer día. Tras un gasto de 33 euros, durante los siguientes tres días tendría 988 euros; luego un ingreso elevaría esta cifra as 02 euros, etc. O también, supongamos que en un fondo de inversión se ponen 5000 euros. Nos abonan un interés del 2 % cada año. Así el dinero en ese fondo de inversión serían 5000, 500, 5202, , 542.7,... euros, donde cada cantidad representa un incremento del 2 % de la anterior. Esto motiva la siguiente denición. Denición. Una sucesión es una secuencia de números reales a, a 2, a 3,..., a n,... Los números a n se llaman términos de la sucesión. En el primer ejemplo que hemos puesto arriba, a = 02, a 2 = 988, a 3 = 988, a 4 = 988, a 5 = 02, y así sucesivamente. Observa que no hay una fórmula que permita calcular los términos de la sucesión en función de n, porque el valor de a n depende de los gastos del día. En el segundo ejemplo, por el contrario, sí hay una fórmula para a n, que es a n = 5000 (.02) n. Cuando así sucede, la expresión para a n en función de n se llama término general de la sucesión. Los siguientes ejemplos son muy importantes. Ejemplo. Una progresión aritmética es una sucesión cuyos términos se obtienen cada uno sumando una cantidad ja, llamada diferencia, al precedente. El primer término puede ser cualquier número. Por ejemplo,, 2, 3, 4,... es una progresión aritmética cuyo primer término es a = y cuya diferencia es d =. Asimismo, 5, 3,,, 3,... es una progresión aritmética cuyo primer término es a = 5 y cuya diferencia es d = 2. El término general de una progresión aritmética es a n = a + (n )d. Ejemplo 2. Una progresión geométrica es una sucesión cuyos términos se obtienen cada uno multiplicando el anterior por una cantidad ja, llamada razón. El primer término puede ser cualquier número. Por ejemplo, 2, 6, 8, 54,...

2 2 es una progresión geométrica cuyo primer término es a = 2 y cuya razón es r = 3. Del mismo modo,, 2 3, 4 9, 8 27 es una progresión geométrica cuyo primer término es a = y cuya razón es r = 2 3. El término general de una progresión geométrica es a n = a r n. Ejercicio. Se deposita un capital K a un interés anual del α %. ¾Cuánto capital habrá en el mes n? Solución. Por jar ideas, digamos que α (el interés) es del 5 %. Llamemos a n al capital en el mes nésimo, de modo que a = K. Ahora, el capital a n del mes nésimo genera unos intereses de a n 0.05, que sumado al propio capital a n da a n + a n 0.05 = a n ( ) = a n.05. Es decir, que el capital del mes (n + ) ésimo es a n+ = a n.05. Esto es exactamente una progresión geométrica, porque cada término a n+ se obtiene a partir del anterior multiplicándolo por.05, o más en general por +α. Así que de la fórmula para el término general de una progresión geométrica que vimos en el Ejemplo 2 deducimos que capital mes n = a n = K ( + α) n. Ejercicio 2. Una cantidad de dinero inicial K se deposita en una cuenta en la que no hay gastos. Cada mes se añaden d euros a la cuenta. ¾Cuánto dinero habrá en el mes n? Normalmente interesa calcular el comportamiento de una sucesión a n cuando n se hace muy grande; es decir, cuando n. Eso se expresa como lím a n y las técnicas para determinarlo son las mismas que hemos visto en clase para el cálculo de límites de funciones. Así, por ejemplo, los límites de las sucesiones a n = son, respectivamente, 0, 0 y e. n2 3n n 3 + 2n +, b n = n n + 2, c n = ( n 2. Sumas parciales de progresiones aritméticas y geométricas Comenzamos con un ejemplo para motivar. Ejercicio 3. Un trabajador ahorra todos los años una centésima parte de sus ingresos para un viaje. Comienza a trabajar con un sueldo mensual de 200 euros, y cada año tiene un incremento salarial del 2 %. Al cabo de 20 años, ¾a cuánto ascienden sus ahorros? Solución. El sueldo anual del trabajador a lo largo del tiempo va siendo 4400, 4688, , 528.4,... y por tanto lo que ahorra cada año, que es la centésima parte de estas cantidades, es 44, 46.88, 49.82, 52.8,... Observa que la cantidad de dinero que ahorra cada año es un 2 % mayor que la que ahorró el año anterior, precisamente correspondiendo a su subida salarial. Ahora tendríamos que completar los primeros veinte términos de esta sucesión y luego sumarlos; eso nos daría los ahorros totales del trabajador al cabo de 20 años. Esto involucra muchas cuentas y es bastante tedioso, así que vamos a buscar otro camino. ) n

3 3 Llamemos K al sueldo inicial anual del trabajador (4400 euros) para escribir menos. Entonces el sueldo anual del trabajador a lo largo de veinte años es K, K.02, K.02 2,..., K.02 9 por el mismo argumento del Ejercicio, más arriba. Tenemos que sumar todos estos términos, y no parece que expresarlos así nos ayude. Sin embargo, sí lo hace, con ayuda del siguiente truco. Llamemos S a la suma que tenemos que calcular: S = K + K.02 + K K Si multiplicamos esta suma por.02 a los dos lados de la igualdad nos queda S.02 = K.02 + K K K Como ves, esta suma se parece mucho a S, con la diferencia de que en S aparece un sumando K que aquí no está y aquí aparece un sumando K que en S no está. En denitiva, S.02 = S K + K y de aquí podemos despejar de modo que S = K + K S 0.02 = K + K = K = K24.3 = euros. Lo que ahorra es la centésima parte de este dinero, euros (½½menudo viaje!!) Lo que hemos en el ejercicio anterior ha sido calcular la suma de unos cuantos términos (en este caso los 20 primeros) de una progresión geométrica. Este tipo de sumas recibe un nombre especial. Denición 2. Dada una sucesión a n, su nésima suma parcial es la suma S n de los n primeros términos de la sucesión. Es decir, S = a, S 2 = a + a 2, S 3 = a + a 2 + a 3, etc. La noción de suma parcial no se reere a una progresión geométrica necesariamente, pero en ese caso (y también en el de las progresiones geométricas) hay fórmulas explícitas para las sumas parciales, como viene a continuación. Proposición 3. Si a n es una progresión geométrica de término inicial a y razón r, su nésima suma parcial es S n = a r n r. Ejercicio 4. Rehaz el Ejercicio 3 utilizando la fórmula de la proposición anterior y observa que llegas al mismo resultado. Proposición 4. Si a n es una progresión aritmética de término inicial a y diferencia d, su nésima suma parcial es S n = a + n(n ) d. 2

4 4 3. Series Cuando se quiere calcular la suma parcial S n de una cantidad grande de términos de una sucesión (por ejemplo los 00 primeros, digamos), muchas veces es más práctico calcular directamente la suma de todos los términos de la sucesión. Al menos en el caso de sucesiones de términos positivos esto suele dar una buena aproximación a la suma parcial en cuestión. Se trata entonces de una suma con innitos sumandos, que se llama serie y se denota a n. Matemáticamente a n se obtiene al hacer tender n a innito en las sumas parciales de la sucesión que se esté considerando, y lo que resulta sorprendente es que frecuentemente esto es más fácil de calcular que no el valor exacto de S n. Nosotros sólo necesitaremos conocer la suma de las progresiones geométricas. Proposición 5. Sea a n una progresión geométrica con término inicial a y razón r. La suma de todos sus términos vale { a an = r si r < no converge si r El no converge del caso r tiene una interpretación un poco distinta según que todos los términos de la serie sean positivos o los haya positivos y negativos (como en el Ejercicio 5, debajo). En el primer caso signica que las sumas parciales de la serie van creciendo cada vez más, hacia +. En el segundo, que las sumas parciales de la serie también se hacen cada vez más grandes, pero su signo va oscilando (alternando entre + y ), y por eso no tiende a innito. Ejercicio 5. Calcular la suma de los 00 primeros términos de la progresión geométrica, 0.5, 0.25, 0.25,... Solución. La sucesión que nos dan es efectivamente una progresión geométrica. Su primer término es a = y luego cada uno se obtiene del anterior multiplicándolo por r = 0.5. Si vamos a la fórmula para la suma parcial de los 00 primeros términos de la progresión vemos que esta vale , y tenemos que elevar 0.5 a 00. Hacer esto sin calculadora resulta complicado, así que utilizamos la aproximación que consiste en sumar todos los términos de la serie. La fórmula es ahora 0.5 = 2. Es decir, la suma de los 00 primeros términos de la progresión geométrica de arriba es aproximadamente 2. El valor real es, , así que como se ve la aproximación es muy buena. Ejercicio 6. Calcular la suma de los 00 primeros términos de la progresión geométrica,.,.2,.33,... Solución. Vemos que cada término se obtiene del anterior multiplicándolo por., así que la razón de la progresión es r =.. Como este número es mayor que, sabemos que la suma de todos los términos de la progresión vale + (por la Proposición 5 y el párrafo explicativo que viene a continuación). No nos piden la

5 suma de todos, sino sólo la de los 00 primeros, pero sabemos que + será una buena aproximación a esa suma. Es decir, podemos asegurar que la suma parcial que se pide es un número positivo muy grande (el valor real es ). 5