Tema 10. La integral indefinida

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1 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida 9. oncpo d ingral indfinida Tma 0. La ingral indfinida La drivada d una función prmi conocr la asa d variación (l cambio insanáno) d un drminado fnómno a parir d su función. on la ingración, l procso s invrso: s raa d conocr la función inicial a parir d su drivada: parindo dl sudio d la variación d un fnómno, llgar a conocr la función qu lo plica... Primiiva d una función Si s conoc una función F (), s fácil hallar su drivada F () S aplican las fórmulas. El procso invrso, nconrar F () a parir d F (), s llama ingración. F () (drivación) F ( ) f ( ) (ingración) F () la función F() s l llama primiiva o anidrivada d la función f (). Para vr qu la primiiva d una función s corrca basa con drivar, pus: F () s una primiiva d f () F ( ) f ( ) Ejmplos: a) Si F( ), su drivada s F ( ) ; noncs: una primiiva d f ( ) srá F( ). Obsrvación: Ora primiiva d f ( ) s, por jmplo, F ( ), pus drivando: F ( ) ( ) f( ). Todas la funcions d la forma F ( ) c, dond c s un númro, son primiivas d f ( ) b) Si F ( ) ln( ), su drivada s f ( ) srá F ( ) ln( ). Todas las funcions d la forma c) Para hallar una primiiva d la raíz ; so s, qu si f( ) 7 srá y f( ) 7 y F F ( ) ; n conscuncia, una primiiva d F ( ) ln( ) c son primiivas d 7 y ( ) 7. f ( ). hay qu sabr la fórmula d la drivada d 7. En conscuncia, una primiiva d Obsrvación: lo largo d s ma s sudiarán los méodos básicos d ingración, pro si no s conocn con solura (y d mmoria) las fórmulas d drivación l rabajo rsulará inúil.

2 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida 0.. Ingral indfinida Dada una función f (), si F () s una d sus primiivas, la ingral indfinida d f () s la función F ( ) c, dond c s un númro qu s llama consan d ingración. S scrib así: f ( ) d F( ) c, (d indica la variabl d ingración; d drivación) En conscuncia, la drivada y la ingral son opracions invrsas; d manra análoga a como lo son la raíz cuadrada y l cuadrado o la ponncial y l logarimo. Eso s, al aplicar sucsivamn la ingral y la drivada a una función s obin la misma función: d f ( ) d d f ( ) y f ( ) d f ( ) d d En la sgunda igualdad dbría sumars una consan. No lo hago para qu qud más clara la ida fundamnal. Ejmplos: a) ( ) d c b) d ln( ) c c) c d c, pus ( ) d d d d. Pud comprobars qu ( c). Pud comprobars qu ( ln( ) c).. Propidads d la ingral indfinida ) La ingral d un númro por una función s igual al númro por la ingral d la función: kf ( ) d k f ( ) d Eso significa qu los númros qu muliplican a una función pudn nrar y salir dl ingrando, sgún convnga. sí, por jmplo: f ( ) f ( ) d kf ( ) d k k k d. Esa propidad facilia l cálculo d ingrals mdian l sncillo procdimino d ajusar consans. Ejmplos: a) Para hallar 8 d pud vrs l jmplo c) anrior y scribir: 8 d d d ( c) c (pud susiuirs c por c). b) Obsérvs con un caso paricular lo qu s ha dicho más arriba sobr qu la ingral y la drivada son opracions invrsas: Primro s driva, dspués s ingra: d ( ) ( ) d ( ) d d c d d Primro s ingra, dspués s driva: d ( ) d ( c) No hay c. d d (S scrib la consan c).

3 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida ) La ingral d una suma d funcions s igual a la suma d las ingrals d cada una d sas funcions: ( f ( ) ± g( )) d f ( ) d ± g( ) d Las propidads ) y ) indican qu la ingral s compora como un oprador linal. Ejmplos: a) Númro por función: 5( ) d 5 ( ) d 5( c ) 5 5 c (da igual ponr c qu c ). OJO: Esa propidad sólo s rfir a facors numéricos. sí: b) Para hallar d s scrib: d d d ( c) c ( ) d ( ) d (s dja la misma c). c) Suma d funcions: ( ) d d d ( c ) ( c ) c (las consans c y c no son ncsarias; basa con ponr una sola c). d) Sabindo qu cos d sin c y qu d c (rcurda las drivadas d la función sno y d la ponncial), s obinn: ( cos ) k cos d k sin c d sin c cos sin cos d c sin k k d c 5 5 p d p c d c d ; d d c ( ) cos d cos d d sin c Las propidads anriors s uilizan sgún convnga, d dnro a fura o d fura a dnro. sí, por jmplo: 8 d d d ( ln( ) c) ln( ) c Simpr s buscará un ingrando dl qu s spa hallar la primiiva. Igualmn: ( ) d d d d d c

4 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida. Rlación d ingrals inmdiaas Las ingrals d las funcions usuals, qu convin sabr d mmoria, son las siguins. (Para agilizar la scriura, y por fala d spacio, cuando n la función compusa s scrib f dbría scribirs f( ); por lo mismo, n odos los casos s omi la consan d ingración, c). TL DE INTEGRLES INMEDITS Función simpl Función compusa Ejmplos kd k d ; ( ) d n n n n f d, n f f d, n n d ; d n f 0 d d f d 5 f 5 d d ln f d ln f ln( ) f d f a f a a d a f d ln a d ; d ln a ln ln f f d f d d ; ( ) d cos d sin f cos fd sin f 5cos(5 ) d sin (5 ) sin d cos f sin fd cos f sin ( ) d cos ( ) f d an d an f an cos cos f cos d ( an ) d an ( an ) an f f d f f d arcsin d arcsin f f f d arccos d arccos f f f d arcan d arcan f f ( ) an ( ) d an( ) / (ln ) d arcsin ( ln ) d arccos arcan ( ) d Ejmplos: a) 5 ( ) ( ) d c b) ( ) d c 5 5 ( ) c) ( ) d c d) d ln( ) c ) ( sin ) cosd ( sin ) c Obsrva: f f d f, con f sin

5 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida. Técnicas y méodos d ingración uando l cálculo d una ingral no sa inmdiao, cuando l ingrando no coincida con alguna d las fórmulas anriors, s rcurrirá a algún méodo d ingración. Esos méodos son procdiminos qu prmin scribir l ingrando inicial n oro quivaln cuya ingral sa más sncilla d calcular... Dscomposición lmnal onsis n ransformar l ingrando mdian opracions algbraicas básicas, como: muliplicar o dividir por una consan apropiada; sumar o rsar un númro u ora prsión; fcuar las opracions indicadas (Para qu sas opracions ngan snido hay qu nr prsns las fórmulas d las ingrals inmdiaas; y, obviamn, las propidads d la ingral). Ejmplos: a) ( 5 ) d S dscompon n suma d ingrals. 5 ( 5 ) d d d d 5 c b) ( ) d S hac l cuadrado d la prsión. 5 ( ) d ( 9) d d d 9d 9 c 5 5 c) d S hac la división dl ingrando. 5 d 5 d 5d d d 5 ln c d) 5 d S ajusan las consans buscando la ingral dl logarimo: 5 d. d d c ln(5 ) ) d S obsrva qu pud nr qu vr con un arcoangn y un logarimo, pus: d d d d 5 d d 5arcan ln( ) c Para aplicar s méodo s ncsario conocr muy bin las fórmulas d ingrals inmdiaas. (dmás hay qu nr sur y pacincia, pus no simpr qu s hac una ransformación da l rsulado apcibl. on frcuncia hay qu volvr a innarlo o rcurrir a oro méodo). También s imprscindibl oprar con solura, como s pon d manifiso n los rs jmplos siguins.

6 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida Ejmplos: a) Para hallar sin d hay qu conocr algunas quivalncias rigonoméricas. Hay qu sin sin sin sin sin cos. sabr qu: ( ) ( )( ) ; ( ) ( ) (Nauralmn ambién s pud mplar la noación sin sin sin sin ( cos ) Por ano: ). sin d sin ( sin ) d sin ( cos ) d sin d ( sin )cos d cos cos c (En la ª ingral s aplica la fórmula n n f f f d c n.) f b) Para calcular d s imprscindibl sabr qu d arcan f. f El lmno fundamnal s qu aparc l érmino, qu no s dscomponibl n facors, y qu obviamn s parc mucho a. El objivo s ransformar la prsión f ( ) n ora igual a lla, d la forma. ( f ( ) ) El procso pud sr l siguin: / / /. S ha consguido l propósio, sindo f( ). Por ano: / d d arcan c c) Para calcular d f ( ) db sabrs qu d arcsin f ( ) c. 9 ( ) ( f( )) El lmno fundamnal s qu aparc la raíz cuadrada y l érmino pud suponrs qu ( ) f sá rlacionada con l érmino ( ). ( ) ; d dond coninuación hay qu sabr ransformar la prsión buscando qu aparzca ( f ( )) n l inrior d la raíz y f () n l numrador. El procso pud sr l siguin: d d d d 9 ( ) ( ) 9 9 arcsin c ompruébs, drivando, qu l rsulado s corrco.

7 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida 5. Ingración d fraccions racionals: dscomposición n fraccions simpls P( ) Las fraccions racionals son d la forma, dond P ( ) y Q ( ) son polinomios. Q( ) Si l dnominador s d grado mnor o igual qu l numrador, la prsión anrior pud P( ) R( ) scribirs así: ( ), dond () y R() son, rspcivamn, l cocin y l Q( ) Q( ) rso d la división. (omo db sabrs, l grado d R() s mnor qu l d Q()) P( ) R( ) on so: d ( ) d d. Q( ) Q( ) La ingral qu pud prsnar dificulads s la úlima. quí s rsolvrá n dos supusos fácils, cuando Q ( ) sa un polinomio d grado o : m m n () d () d a b a b c La ingral () s inmdiaa (s rsulv por dscomposición simpl), pus: m m a f ( ) m d d d ln f ( ) ln( a b) c a b a a b f ( ) a Ejmplos: a) d d c 7 ln(7 ) b) Para hallar d hay qu dividir ans (l méodo d Ruffini s adcuado). S obin: 5 5 D dond d 5 5 d ( 5 5) d d Por ano: d 5 ln( ) c 5.. Dscomposición cuando Q() s un polinomio d sgundo grado Para rsolvr la ingral () hay qu drminar las raícs d a b c 0, y pudn dars rs casos, qu dpndn d qu sas raícs san: dos simpls, una dobl o compljas:. m n La dscomposición qu s hac s:. a b c a( ) ( ) m n on so, d d d ln( ) ( ) c a b c a ( ) ( ) a ln Los valors d y, qu son númros, s drminan por l llamado méodo d idnificación d coficins. S v con un jmplo. aso. Si hay dos raícs rals simpls:, a b c a( )( )

8 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida Ejmplo: Para hallar la ingral d s procd así: S hallan las raícs d 0. Son y. Por ano, la dscomposición n fraccions simpls srá: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) El méodo d idnificación d coficins consis n igualar los coficins d los érminos dl mismo grado d ambos mimbros d la igualdad. Eso s: / ( ) ( ) 0 ( ) 0 / on so: d d / / d ln( ) ln( ) c Obsrvación: Una alrnaiva para calcular y consis n dar valors a igualar los rsulados d los dos mimbros d la igualdad inicial: ( ) ( ) si : / si : / s l pudn dar dos valors cualsquira, pro los más cómodos son los d las ráics. a b c a. m n S hac la dscomposición:. a b c a( ) ( ) m n on so, d d d a b c a( ) ( ) a ln aso. Si hay una sola raíz ral dobl, ( ) ( ) Ejmplo: d La cuación 0 in una sola raíz dobl,, dobl. Por ano: ( ) ( ) ( ) ( ) S idnifican coficins: Lugo, d d d ln( ) c ( ) (álculo d y dando valors a : si ; si 0 ) ( ) c

9 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida 7 aso. El dnominador no in raícs rals a b c s irrducibl. m n k(a b) S hac la dscomposición:, a b c a b c ( p q) dond a b c ( p q). En odos los casos y o k, p y q, son númros rals. Obsrvación: Esa dscomposición s hac buscando qu la ingral rsul la suma d un logarimo y d un arcoangn. Por so, n la primra fracción s busca l numrador a b, qu s la drivada d a b c ; y n la sgunda l dnominador s scrib n la forma ( p q). m n k( a b) on so: d d d a b c a b c ( p q) k ln ( a b c) arcan ( p q) p Ejmplos: a) d La cuación 0 no in raícs rals. Por ano, s hac la dscomposición: ( ) ( ) l numrador: ( ) ; l dnominador: ( ). Para obnr sa dscomposición s scrib k( ), sindo l érmino la drivada dl dnominador; dspués s calculan las consans mdian la idnificación d los coficins d ambos mimbros. Paso a paso, sría como sigu: k( ) ) S scrib la drivada dl dnominador: ) D k( ) k k k k /;. ) Por ano, ( ) ( ) ( ) En dfiniiva: d d d ( ) b) ln( ) arcan( ) c ( 8 ) 8 d d d d ln(9 5) arcan( ) c ( )

10 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida 8.. mpliación: Q() s un polinomio d rcr grado La dscomposición d la fracción racional ) ( ) ( Q P n suma d fraccions simpls pud hacrs para cualquir grado dl dnominador Q(), aunqu su aplicación rsula más ngorrosa. quí s aplicará para polinomios d grado, qu supondrmos dscompusos n facors como sigu: aso. El dnominador in rs raícs rals simpls: ( )( )( ) ) ( Q. La dscomposición qu s hac s: ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) r n m, con,, R. Ejmplo: d omo ( )( ) s hac la dscomposición: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) omo los numradors d la primra y úlima fracción dbn sr iguals, s dduc qu ( ) ( ) Idnificando coficins s obin l sisma: 0 ; 7/, 5/ Por ano, d ( ) ( ) c d ln 5 ln 7 ln 5/ 7 / aso. El dnominador in raícs rals rpidas. Eso s: ( )( ) ) ( Q. La dscomposición qu s hac s: ( )( ) ( ) ( ) ( ) r n m, con,, R. Ejmplo: d 5 omo ( ) s hac la dscomposición: ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Igualando los numradors primro y úlimo, ( ) ( ) 5, s in: 5; 7, 5.

11 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida 9 Por ano, 5 d d ( ) 5ln 5ln ( ) c aso. El dnominador in raícs rals y compljas. Eso s: Q ) ( )( a b c) (, con l sgundo facor irrducibl. La dscomposición qu s hac s: m n r, con,, R. ( )( a b c) ( ) ( a b ) La ingral d la sgunda fracción s hac como s indicó anriormn (ambién caso )) Ejmplo: 5 d ( )( 0) omo 0 0 no in raícs rals s hac la dscomposición: 5 ( )( 0) ( ) ( 0) ( 0) ( )( ) ( )( 0) ( ) ( ) 0 ( )( 0) on so, 5 ( ) ( ) 0. Idnificando coficins: 5 ;,. 0 Por ano, 5 d d ln( ) d ( )( 0) 0 0 La úlima ingral s como la dl aso dl aparado anrior, pus nindo n cuna qu 0 9 ( ), pud scribirs: ( ) 5 ( ) ( ) D dond ( ) 5 5 d d d ln ( 0) arcan ( ) La sgunda ingral s ransforma como sigu: ( ) d 5 5 d d d 9 9 En conscuncia, la ingral inicial 5 5 d ln ( ) ln( 0) arcan c 0 ( )( )

12 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida 0 5. Méodo d ingración por pars Es méodo sul sr apropiado cuando n l ingrando figuran funcions rigonoméricas, ponncials y logarímicas muliplicadas nr llas o por prsions polinómicas. El méodo consis n dscomponr l ingrando n dos pars: una d llas s llama u; la ora, qu s dsigna por dv, sul sr l mayor rozo (la mayor par) dl ingrando qu puda ingrars fácilmn. Una vz ingrada dv surgirá ora ingral qu dbrá sr más sncilla qu la inicial. El squma s l siguin: udv uv vdu Esá fórmula s obin a parir d la propidad d la difrncial dl produco d dos funcions, u f () y v g(). sí: d( f ( ) g( ) ) d( f ( ) ) g( ) f ( ) d( g( ) ) f ( ) g( ) d f ( ) g ( ) d (Rcuérds qu df ( ) f ( ) d ). Dspjando: f ( ) g ( ) d d( f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) d. Ingrando mimbro a mimbro s obin la fórmula d ingración por pars: ( f ( ) g( ) ) f ( ) g ( ) d d f ( ) g( ) d f ( ) g ( ) d f ( ) g( ) f ( ) g( ) d. O d manra squmáica: d ( u v) d( u) v u d( v) vdu udv udv d( u v) vdu ) udv uv vdu Obsrvación: Para la lcción d las pars u y dv no hay un cririo concro; pro, como s ha indicado más arriba, pud sr rcomndabl omar dv como la par más grand dl ingrando qu s puda ingral d forma inmdiaa. El rso dl ingrando srá u. Ejmplo: a) Para ingral ( sin ) d pudn omars las siguins pars: () u y dv sin d du d; v sin d cos () u sin y dv d du cos d ; v d () u sin y d dv du ( sin cos ) d ; v d Si s hac (): sin d cos cos d cos sin c Si s hac (): sin d sin cos d (La sgunda ingral s más complicada qu la primra. Por ano, sa parición no s acrada). Si s hac (): sin d sin ( sin cos ) d (También la sgunda ingral s más complicada qu la inicial. Tampoco s acrada sa parición).

13 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida Oros jmplos: a) d. Tomando: u du d; d dv v S in: d d c b) ln d Hacindo: u ln y dv d du d; v d Por ano: ln d ln d ln c 9 c) Para calcular cos d hay qu rirar l méodo. Obsrva: Hacindo u y cos d dv du d ; v sin d Lugo: cos d sin sin d. La sgunda ingral, sin d, ambién db hacrs por l méodo d pars. Tomando: u y sin d dv du d ; v cos Por ano, cos d sin sin d sn ( cos ) ( cos ) d cos d sin cos cos d (rasponindo la ingral) cos d sin cos Dspjando s in: cos d c (sin cos ) d) Para hallar ln( ) d hay qu aplicar l méodo d pars y l d dscomposición n fraccions. Primro pars. S hac: u ln( ) du d ; d dv v Lugo, ln( ) d ln( ) d (dscomponindo n fraccions) ln( ) d ln( ) ln( ) c

14 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida. Ingración por cambio d variabl onsis n hacr un cambio d variabl ( g () o h ( ), sgún convnga) d manra qu la ingral inicial rsul más fácil d calcular. El procso s l siguin. Si s dsa hallar la ingral f ( ) d, si s hac g () d g ( ) d. on so, pud scribirs: f ( ) d f ( g()) g () d Una vz rsula la ingral n la variabl hay qu dshacr l cambio inicial, pus la solución db dars n función d. Ejmplos: a) Para calcular ( ) d 5 pud hacrs l cambio: 5 ( ) 5 ; d d d d on so, susiuyndo, ( ) d d d c ( ) c Obsrvación: En s caso no s imprscindibl cambiar d variabl, pus ajusando consan n n f y aplicando la fórmula f f d, s in: n 5 5 ( ) ( ) d ( ) d c ( ) c b) Para calcular d, si s hac: u du d d du u u u Susiuyndo los cambios s in: d du du c c c) La ingral d, hcha anriormn mdian ajus d consans, s pud 5 rsolvr hacindo l cambio: 5 d d d d Lugo, d d d ln c ln ( 5 ) c 5 u d) Para hallar d pud hacrs: u u ; d udu Lugo, d ( u ) u ( udu ) ( u u ) du u c u 5 5 Dshacindo l cambio, u u, s ndrá 5 d ( ) ( ) c 5

15 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida.. ambios d variabl para ingrals rigonoméricas Los cambios más frcuns son: ) Si l ingrando s una función f () impar n cos, s hac l cambio sin. (Una función s impar n cos cuando al cambiar cos por cos la prsión cambia d signo. Por jmplo, f( ) cos.) sí s obinn las siguins quivalncias: sin sin cos sin ; an an cos d cos d d d Ejmplo: 5 ( ) ( ) ( ) ( ) cos d cos cos d d ( ) d 5 5 ( ) sin sin sin 5 5 d c c ) Si l ingrando s una función f () impar n sin, s hac l cambio cos. (Una función s impar n sin cuando al cambiar sin por sin la prsión cambia d signo. Por jmplo, f( ) sin.) sí s obin las siguins quivalncias: sin cos sin cos ; an an cos d sin d d d Ejmplo: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin cos d sin cos sin d d ( ) d 5 5 ( ) d c cos cos c 5 5 ) Si l ingrando no cambia al susiuir sin por sin y cos por cos, s hac l cambio an. sí s obin las siguins quivalncias: an an cos cos d d d d sin an sin an cos sin cos ( an )

16 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida Ejmplo: ( d an ) d Para ingrar ( an ) d, hacindo an s in: d Esa sgunda ingral s hac por dscomposición, pus dividindo: on so, d d ln( ) c Dshacindo l cambio inicial, s in: an ( an ) an d ln an c ln cos c ( ) ( ) ) En odos los casos pud hacrs l cambio an /. sí s obin las siguins quivalncias: an an d d d d sin( / ) D an sin an cos ; cos( / ) an cos. cos ( / ) Lugo, sin sin cos an cos sin an( / ) sin omo an an ; cos cos an ( / ) an Ejmplo: Para ingrar sin d, hacindo an s in: sin d d d c ( ) d c sin an.. Oros cambios y ransformacions Las écnicas d ingración son numrosísimas; si l lcor sá inrsado pud buscar n cualquir libro d grado suprior: los clásicos álculus. quí, a modo d apun, s hacn dos jmplos más para mosrar la gran divrsidad d rucos d ingración. Ejmplos: cos a) Para ingrar ( sin ) d pud rcurrirs a la quivalncia sin, obniéndos: cos ( sin ) d cos cos d d d d

17 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida 5 sin c sin cos c (La úlima prsión s obin scribindo sin sin cos ). Obsrvación: Las ransformacions d las prsions rigonoméricas, mdian oras quivalns, s un rcurso qu db nrs n cuna. b) Para ingrar d pud hacrs l cambio cos, obniéndos: cos d sin d ; cos sin Por ano: d ( sin ) ( ) (por l jmplo a) ( sin ) d sin cos c arccos c Téngas n cuna qu cos arccos. Por úlimo convin obsrvar qu los méodos d ingración no son rígidos, pus pud llgars al mismo rsulado por disinos procdiminos. sí, algunas vcs s uilizan cambios d variabl qu rsulan inncsarios; oras vcs, un cambio d variabl facilia mucho la ingración. Véans un par d jmplos. Ejmplos: a) La ingrar ( sin ) d (hcha ans) pud rsolvrs ambién por l méodo d pars. y s oma: Si s scrib ( sin ) d ( sin ) ( sin d ) u sin y sin d dv du cos d ; v cos S obin: ( sin ) d sin ( cos ) ( cos ) cos d sin ( cos ) ( cos ) d ( sin ) d sin ( cos ) ( sin ) sin cos ( sin ) d d d La úlima ingral s la misma qu la inicial, lugo, si s raslada d mimbro, s obin: ( sin ) d sin cos d sin cos c sin cos ( sin ) d sin cos c c ( ) b) La ingral d pud hacrs: Mdian l cambio d d. Por ano: d d ln ( ) c ln ( ) c Dircamn, si s obsrva qu l numrador s la drivada dl dnominador y, por ano, la ingral s un logarimo.

18 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida Ingrals inmdiaas Problmas Propusos. alcula las siguins ingrals: a) ( ) d b) ( ) d c) d 5 5 d) d ) cos ( ) d f) sin cos5 d sn g) cos d h) cos ( ) d i) 5 ( cos( ) ) d j) cos (sin) d k) 5 ( ) d l) ( ) d m) d n) d o) d 5 5 p) d q) d r) d s) ( ) d ) ( ) d u) ( ). alcula las siguins ingrals: a) 5 ( ) d b) ( ) d c) d. alcula: a) d b) ( 7 ) d 5 c) d. Rsulv las ingrals: a) ( sin cos5) d b) ( sin cos ) d c) ( sin cos ) 5. Halla: a) d / b) d c) d) d ) d f). alcula: d d d 0 d a) ( ) d b) ( ) d c) ( sin ) 7. Rsulv, ajusando consans, las siguins ingrals: d a) d b) c) d 9 d

19 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida 7 Ingración por dscomposición n fraccions racionals 8. alcula, dscomponindo l ingrando, las siguins ingrals: a) d b) 5 d c) d d) d ) d f) d 9. a) ompruba qu. b) alcula la ingral indfinida: d. 0. alcula las siguins ingrals: 5 ( ) 5 a) d b) d c) d 5 5 d) d ) 5 d f) d 5. alcula la ingrals: 8 d a) d b) c) d d) d. alcula las ingrals: a) d b) d c) d d) d. Halla: a) d b) d c) 5 d d) d. Propusas n UNED. Rsulv las siguins ingrals: a) d b) d c) d. Méodo d ingración por pars 5. alcula las siguins ingrals: a) cos d b) d c) d d) ) ( ln ) d f) arcsin d g) sin( ) d h). Uilizando l méodo d ingración por pars, calcula d 7. parir dl rsulado d ln d, calcula las siguins ingrals. a) ln d b) ln( ) d c) d cos d ln d d) ( ln ) d

20 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida 8 Ingración por cambio d variabl 8. alcula las siguins ingrals hacindo l cambio qu s indica: a) d ( ) b) (sin ) d (cos ) d c) ( ln ) d) d ( ln ) ( ) 9. Halla la ingral indfinida d mdian l cambio d variabl. 0. Propusos n UNED. alcula: a) d ( ) b) d an ( ). alcula d 7 (Sugrncia: cambio. Hacindo l cambio d variabl a) d b) ( ), halla: ) d. (Propuso n Slcividad, ragón, junio ) Usando l cambio d variabl ln( ), drmina l valor d la ingral: Oras ingrals ( ) ( ) ln( ) ln( ) ( ln( ) ). alcula las siguins ingrals. a) d b) d c) d d) d d ) ( ) ( ) 5. Propusos n UNED. Rsulv: 5 ln a) d b) d c) d d) ln d. Rsulv: 7 a) cos ( ) d b) cos d c) d 0 7. Ingra: a) sin d b) d c) d d) an d ) cos 8. (Propuso n Slcividad, ragón, junio y spimbr ) 5 a) Drmina la función f () cuya drivada s f ( ) y qu vrifica qu f ( 0). b) La drivada d una función f() s: ( ) ( ) qu f (0).. Drmina la función f( ) sabindo d d

21 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida 9 Solucions. a) / 5 c. b) c. c) c. d) ln ( ) c / 0 ) sin( ) c. f) cos sin 5 c. g) sin cos c. h) sin ( ) c 5 0 i) sin( ) c. j) ( ) 5 sin c. k) ( ) c. l) c. m) 8 ln ( ) c. n) arcan c. o) c. p) 5 c. q) 5arcsin c. 5 r) c. s) c. ) c. 5 u) ln c a) 5 c. b) c. c) ln ( ) c. 5. 7/ / c. b) c. c) 5 ln c. a) cos sin 5 c. b) sin c. c) cos c 5 5. a) c. b) / c. c) c. d) c. ) ln 0 c. f) c ln ln. a) c. b) c. c) cos c 7. a) arcan c. b) arcsin c. c) ln ( 9 ) arcan c. 8. a) ln c. b) 5 / ln c. c) c 8 7 / 7/ d) c. ) ln( ) c. f) 9 8ln( ) c 7 9. a) iro. b) ln ln( ) c 5 0. a) ln c. b) 9 ln c. c) 5 c 8 d) 5ln c. ) 8 ln( ) c. f) ln ( ) arcan c. a) ln( ) ln( ) c. b) ln ( ) ln ( ) c. c) ln( ) ln( ) c. d) ln( ) ln( ) c 0 0. a) ln( ) ln( ) c. b) ln ( ) c. c) ln( ) ln( ) c.

22 Mamáicas II (achillrao d incias). nálisis: Ingral Indfinida 50 d) ln ( ) c. a) ln( ) c. b) ln( ) c ln arcan c d) ( ) ( ). a) ln ln ( ) ln ( ) c. c) arcan ( ) c.. b) ( ln ln ) c. c) ln ( ) ln ( ) c. 5. a) sin cos c.b) c. c) c. 9 7 d) c. ) ln c. f) arcsin c g) cos sin cos c. h) sin cos sin cos c.. c ln c ln ln c ln c. 7. a) ( ). b) ( ) d) ( ln ) ( ln ) c 8. a) ( ) c. b) d) ( ) c 8 0. a) arcan c ln. ( ). c) ( ) cos cos c. c) ln ( ) c ln( ln ) c. 9. ln( ) c.b) ( ) c an c. a) (ln ) 5 ln ln ln ln c.. ( ) ( ). a) arcan c c 5 arcan 8 ln c. ) ln ( ) ln c. b) ( ) c. b) ln. c) ln ( ) ln ( ) 5. a) ( ) c. b) ln ( ) ln ( ) d) ( ) c. d) c. c) c c. ln c.. a) sin c. b) 7 cos sin k. c) ln( 0) arcan( ) c 7. a) c. b) ln ( ) c. c) c. d) an c cos. ) arcsin c a) f ( ). b) f( )