Los números naturales son aquellos que sirven para designar la cantidad de elementos que posee un cierto conjunto 1. Se representan como N.

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1 MATEMÁTICAS BÁSICAS NÚMEOS EALES NÚMEOS NATUALES Los números nturles son quellos que sirven pr designr l cntidd de elementos que posee un cierto conjunto. Se representn como N. N { 0,,,,,, 6, 7, } Los números nturles son infinitos, pues pr cd uno de ellos hy otro distinto que le sucede y que no le precede. Se hl del orden en estos números trvés de su propiedd de tricotomí firmndo que ddos n y m dos números nturles, entonces se tiene exctmente un de ls tres posiiliddes: n < m n m n > m Gráficmente, este conjunto se puede representr medinte un rect numéric en donde los números son los puntos: N Un operción en N es un mner de socir cd pr de números nturles, otro número nturl ien determindo. Ls operciones que se definen en este conjunto son l sum y l multiplicción. Sen, y c tres números nturles culesquier. Ls propieddes ásics de ls operciones definids en N son:. Cerrdur: + N N. Asocitividd: + + c + + ( ) ( ) c ( c) ( ) c Existen utores que definen l conjunto de los números nturles como quellos que sirven pr contr, por lo que inicin en el uno. Si incluyen l cero lo definen como conjunto de números nturles mplidos o como números completos.

2 . Conmuttividd: + +. Elementos neutros Pr l sum es el cero y que: +0 Pr el producto es el uno y que:. Distriutividd L propiedd distriutiv del producto sore l sum es: ( + c) + c Ddos los números, y, compror ls propieddes de l sum y del producto. Cerrdur: + N 0 N Asocitividd: ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 Conmuttividd: Los elementos neutros: Pr l sum es el cero y que: + 0 Pr el producto es el uno y que: Distriutividd + + del producto sore l sum es: ( ) 6 Un número es múltiplo de otro si se otiene multiplicndo este último por un número nturl. Por ejemplo 0. el número 0 es múltiplo del y que ( )( ) Ls propieddes de los múltiplos son: El cero es múltiplo de culquier número Un número siempre es múltiplo de si mismo L sum de múltiplos de un número tmién es un múltiplo de este número El producto de múltiplos de un número tmién es múltiplo de este número Si un número es múltiplo de otro y este lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero. Ejemplos. El número 0 es múltiplo del 6 y que 0 ( 0)( 6) El número 7 es múltiplo del 7 y que 7 ( )( 7) El número 8 es múltiplo del y que ( )( 6) ( )( ), por lo tnto, el número es múltiplo del y que 0 ( )( 0) El número 6 es múltiplo del y que ( )( ) 8 ( )( ), por lo tnto, el número 8 ( 6)( 8) es múltiplo del y que 8 ( )( ) 8 y el número tmién es múltiplo del y que 6 y el número 8 tmién es múltiplo del y que

3 El número 0 es múltiplo del 0 y que ( 0)( ) que 0 ( )( ), por lo tnto, el número 0 es múltiplo del y que 0 ( )( ) 0, pero su vez el número 0 es múltiplo del y Un número nturl es divisor de otro si cundo se divide el primero entre el segundo el residuo es cero, 6 es decir, si l división es exct. Por ejemplo el número es divisor del 6 y que. Ls propieddes de los divisores son: El número uno es divisor de culquier número Un número siempre es divisor de si mismo Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es divisor del tercero. Ejemplos. El número es divisor del y que El número es divisor del y que 6 El número 6 es divisor del y que y el número es divisor del 6 y que, por lo 6 tnto, el número es divisor del y que Cundo los números son grndes hy regls que permiten reconocer directmente que un número es divisile por otro. Ests regls se conocen como criterios de divisiilidd y los más comunes son: Un número es divisile por si termin en cero o en cifr pr. Un número es divisile por si l sum de sus cifrs soluts es múltiplo de tres. Un número es divisile por si en ls dos últims cifrs, hy dos ceros o un número múltiplo de cutro. Un número es divisile por cundo c en cero o en cinco. Un número es divisile por 6 si es divisile por dos y por tres. Un número es divisile por 7 si su cifr más significtiv menos dos veces su siguiente cifr más cutro veces su siguiente cifr y sí sucesivmente es cero o múltiplo de siete. Un número es divisile por 8 cundo sus tres últims cifrs son ceros o son múltiplo de ocho. Un número es divisile por 9 cundo l sum de sus cifrs es múltiplo de nueve. Un número es divisile por 0 si termin en cero. Un número es divisile por cundo l diferenci entre l sum de ls cifrs pres y ls impres es múltiplo de once o cero. Un número es divisile por cundo divisile por tres y por cutro. Aplicndo los criterios nteriores, determinr l divisiilidd del número 70 Solución: ) Al terminr en cifr pr, 70 es divisile por ) que es múltiplo de, sí que es divisile por c) ls dos últims cifrs son 0 que es múltiplo de, sí que es divisile por d) l terminr en cero, 70 es divisile por e) l ser divisile por y por, es divisile por 6

4 f) que es múltiplo de 9, sí que es divisile por 9 g) l terminr en cero, 70 es divisile por 0 Los criterios de divisiilidd permiten encontrr con rpidez divisores de un número. Algunos números como el siete, trece o el diecinueve solo tienen dos divisores: l unidd y el mismo. Estos números se llmn números primos y se denotn como P. P {,,, 7,,, 7, 9,, 9,, 7,,, } Los números que no son primos se llmn números compuestos. Descomponer un número en fctores primos es expresrlo como producto de números primos. En l práctic, pr descomponer un número en fctores primos se divide sucesivmente por los números primos comenzndo por el primer número primo hst que se encuentre un cociente que se igul uno. Descomponer el número 80 en fctores primos Por lo que 80 ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) Pr clculr todos los divisores de un número, se reliz l descomposición fctoril del número, después se determinn los divisores de cd uno de los fctores y finlmente se construye un esquem con todos los productos posiles. Clculr todos los divisores del número Por lo que 60 ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) Los divisores del son:, Los divisores del son:,, Los divisores del son:, Efectundo tods ls cominciones posiles de productos, se tiene: ( )( )( ) ( )( )( )

5 ( )( )( ) ( )( )( ) 0 ( )( )( ) ( )( )( ) 0 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 6 ( )( )( ) 0 ( )( )( ) ( )( )( ) 60 Por lo tnto, los divisores del 60, puestos en orden, son:,,,,, 6, 0,,, 0, 0, 60 El mínimo común múltiplo de dos o más números, es el número más pequeño posile, que es múltiplo de esos números. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de los números 00, 00, 00, es 600, puesto que es el número más pequeño que es múltiplo de 00, 00 y 00. Pr clculr el mínimo común múltiplo de dos o más números se descomponen los números en fctores primos: ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) y se tomn los fctores comunes y no comunes con su myor exponente, en este cso: ( )( )( ) 600 L sustrcción es un operción que no es cerrd en N, pues l diferenci de dos números nturles puede no ser un número nturl (no lo es cundo el sustrendo es myor que el minuendo). Por eso se necesit definir otro conjunto de números en el que se puede restr un número de otro, culesquier que sen éstos. NÚMEOS ENTEOS Los números enteros, representdos por Z son quellos que surgen de l rest de dos números nturles. Z { x x,, N } Este conjunto es un extensión de los números nturles y que incluye sus opuestos, es decir precen los números negtivos. Z {,,,,,, 0,,,,,, } Se utiliz est letr porque es l letr inicil de l plr de origen lemán Zhlen, que signific número.

6 Cundo en épocs muy frís l tempertur está por dejo de cero, implícitmente se hl de un número entero, tl es el cso de - C. L rzón principl pr introducir los números negtivos sore los números nturles es l posiilidd de resolver ecuciones del tipo: x +, pr l incógnit x. Se hl del orden en estos números trvés de su propiedd de tricotomí firmndo que ddos n y m dos números enteros, entonces se tiene exctmente un de ls tres posiiliddes: n < m n m n > m Esto signific que es un conjunto completmente ordendo sin cot superior o inferior y gráficmente, tmién se puede representr medinte un rect numéric en donde los números son los puntos: Z Un operción en Z es un mner de socir cd pr de números enteros, otro número entero ien determindo. Ls operciones que se definen en este conjunto son l sum y l multiplicción (l rest se consider como l sum de números de diferente signo). Sen, y c tres números enteros culesquier. Ls propieddes ásics pr l sum y el producto en Z son:. Cerrdur: + Z Z. Asocitividd: + + c + + ( ) ( ) c ( c) ( ) c. Conmuttividd: + +. Elementos neutros Pr l sum es el cero y que: +0 Pr el producto es el uno y que:. Inverso ditivo: Pr l sum existe + 6. Distriutividd tl que ( ) 0 L propiedd distriutiv del producto sore l sum es: ( + c) + c 6

7 Nótese como no existe un inverso multiplictivo. Además, l división no es un operción cerrd en Z, pues el cociente de dos números nturles puede no ser un número entero (no lo es cundo el dividendo no es múltiplo del divisor). Por es rzón, es necesrio el estlecimiento de otro sistem numérico en el que se pued dividir dos números. NÚMEOS ACIONALES Número rcionl es el que se puede expresr como cociente de dos números enteros con divisor diferente de cero, es decir, en form de frcción. Se representn por Q. Q { x x,, Z, 0 } Los números rcionles no enteros se llmn frccionrios en donde es el numerdor y el denomindor. Nótese como en est definición, el denomindor nunc puede ser cero porque l división por cero no está definid. En el conjunto de los números enteros cd número tiene un siguiente (el siguiente l es el, el siguiente l 6 es el, etc.), no ps lo mismo con los rcionles, pues entre cd dos números rcionles existe l menos otro número rcionl (propiedd de densidd). Los números rcionles pueden ser uicdos tmién en l rect numéric medinte puntos, independientemente de que no presentn un secuenci determind, por ejemplo: Q 8 Al expresr un número rcionl, no entero, puede tener lgun de ls siguientes representciones: Frcciones Números rcionles Números decimles Exctos Periódicos Si l frcción es irreducile y en l descomposición fctoril del denomindor sólo se encuentrn los fctores y, entonces l frcción es igul un número deciml excto, pero si en el denomindor hy lgún fctor distinto de o l expresión deciml es periódic, por ejemplo: Los números enteros son rcionles, pues se pueden expresr como cociente de ellos mismos por l unidd y en otros cocientes equivlentes como: 6 8 7

8 9., se otiene un deciml excto., se otiene un deciml excto , se otiene un expresión deciml periódic. Dos frcciones son equivlentes cundo tienen el mismo vlor deciml. Ls frcciones equivlentes representn l mism prte de un cntidd. Pr convertir un frcción un número deciml periódico, st con efectur l división. Convertir el número deciml Pr convertir un número deciml periódico frcción, se emple el siguiente procedimiento: Se igul x el número deciml. Se identificn ls posiciones en donde inici y termin el primer ciclo de periodicidd n Se multiplic por 0 l expresión, donde n es el número de posiciones después del punto deciml en donde termin el ciclo. m Se multiplic por 0 l expresión, donde m es el número de posiciones después del punto deciml en donde inici el ciclo. Se rest l segund expresión l primer Se despej x y se simplific l frcción de ser posile. Ejemplos. ) Convertir el número. 7 frccionrio x. 7 L periodicidd termin después de dos cifrs después del punto deciml, sí que se multiplic por Por su prte l periodicidd inici después de un cifr l derech del punto, sí que se multiplic por 0 0. Esto es: 00 x 7. 8

9 0 x 7. se rest l segund expresión l primer pr eliminr l prte deciml: 00x 7. 0x 90x 7. despejndo x y simplificndo se tiene: x 90 8 ) Convertir el número. 666 frccionrio x. 666 L periodicidd termin después de tres cifrs l derech del punto deciml, sí que se multiplic por 0 000,. Por su prte l periodicidd inici inmeditmente después del punto, sí que se multiplic por 0 0. Esto es:, 000x 6,. 66 x. 666 se rest l segund expresión l primer pr eliminr l prte deciml: 000, x x 6, x,, despejndo x se tiene: x 999, Simplificr un frcción es sustituirl por l frcción equivlente cuyo denomindor es el menor posile. 8 Simplificr ( )( )( )( )( ) 9

10 ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) 8 ( )( ) En ls frcciones se cumple que:, unque por convención se utiliz El orden en Q estlece que un número es menor que otro, si está colocdo l izquierd de él en l rect numéric; y es myor, cundo está su derech. Pr comprr dos frcciones se consider que: > c d d > c Dds ls frcciones 8 y ( 8)( ) y ( )( 9) 9, determinr cuál es más grnde., como >, se cumple que 8 > Un operción en Q es un mner de socir cd pr de números rcionles, otro número rcionl ien determindo. Ls operciones que se definen en este conjunto son l sum y l multiplicción (l rest se consider como l sum de números de diferente signo y l división como l multiplicción de un número por el recíproco de otro, siempre cundo el segundo no se cero). c d ± c d c ± ±, donde d es el mínimo común múltiplo de y d d d d d c c ls frcciones ntes de multiplicrse deen simplificrse d d c d d c Ejemplos

11 ( 9) Sen, y c tres números rcionles culesquier. Ls propieddes ásics pr l sum y el producto en Q son:. Cerrdur: + Q Q. Asocitividd: + + c + + ( ) ( ) c ( c) ( ) c. Conmuttividd: + +. Elementos neutros Pr l sum es el cero y que: +0 Pr el producto es el uno y que:. Inversos: Pr l sum existe, llmdo opuesto o simétrico tl que + ( ) 0 Pr el producto existe, 0, llmdo inverso multiplictivo o recíproco tl que 6. Distriutividd L propiedd distriutiv del producto sore l sum es: ( + c) + c Ddos los números, y, compror ls propieddes de ls operciones de l sum y el 7 producto en Q. Cerrdur: Q Q Asocitividd:

12 Conmuttividd: Elementos neutros: Pr l sum es el cero y que: + 0 Pr el producto es el uno y que: Inversos: Pr el su opuesto o simétrico es y que + 0 Pr el su inverso multiplictivo o recíproco es y que ( ) Distriutividd del producto sore l sum es: En generl, ddo un número rcionl de l form, su recíproco viene ddo por. + 0 Ejemplos. El recíproco de es El recíproco de es El recíproco de 8 es 8 Un rzón es el resultdo de comprr dos cntiddes del mismo tipo, l primer de ells llmd. Ests cntiddes se presentn en form ntecedente ( ) y l segund llmd consecuente ( ) frccionri, de l siguiente mner: o o : con 0

13 Por ejemplo, un recipiente A tiene un cpcidd de 6 litros y otro B tiene un cpcidd de litros. Si se compr l cpcidd de A con l de B, l rzón es de 6, es decir, esto signific que A tiene el dole de cpcidd de B. Gráficmente esto se puede ver en l siguiente figur: ecipiente A ecipiente B 6 litros litros Cpcidd de A Veces l Cpcidd deb Un proporción es un proposición que estlece que dos rzones son igules. Esto es: y se lee: lo es como c lo es d. c d c con 0, d 0 d 6 Por ejemplo, ls rzones y son equivlentes y que se cumple que ( 9) ( 6) 8 9 formn un proporción. Gráficmente esto es:, por lo tnto, prtes de 6 prtes de 9 6 9

14 Ls mgnitudes proporcionles pueden ser de dos clses: ) Mgnitudes Directmente Proporcionles: Dds dos cntiddes el umento de un corresponde l umento de l otr o l disminución de un corresponde l disminución de l otr. Propiedd: si y son dos cntiddes entonces: Ejemplos. constnte y son directmente proporcionles ) Si se tiene l rzón y se quiere formr un proporción direct se puede multiplicr por un mismo número tnto l ntecedente como l consecuente, si ese número es se otiene. Nótese como ms cntiddes umentn. 0 ) Dd l rzón y se quiere formr un proporción direct se puede dividir por un mismo número tnto l ntecedente como l consecuente, si ese número es se otiene 6. Nótese como ms cntiddes disminuyen. ) Mgnitudes Inversmente Proporcionles: Dds dos cntiddes el umento de un corresponde l disminución de l otr o l disminución de un corresponde l umento de l otr. Propiedd: si y son dos cntiddes entonces: Ejemplos. constnte y son inversmente proporcionles ) Si se tiene l rzón y se quiere formr un proporción invers se puede multiplicr por un número l ntecedente y dividir por ese mismo número l consecuente, si ese número es se otiene Nótese como un cntidd ument y l otr disminuye. 0. ) Dd l rzón y se quiere formr un proporción invers se puede dividir por un número l ntecedente y multiplicr por ese mismo número l consecuente, si ese número es se otiene 6. Nótese como un cntidd disminuye y otr ument. Un regl de tres direct se form con l iguldd de dos rzones directmente proporcionles, en donde se conoce ls dos cntiddes de un rzón y sólo un cntidd de otr rzón. Si lo es, como c lo es un cntidd desconocid x, se represent como: c x

15 donde x viene ddo por: c x Si tres discos cuestn 0 pesos, cuánto costrán siete discos? El prolem expresdo en form de regl de tres direct es: costrín ( ) 70 x 0 pesos. 7 0 x, entonces, los siete discos Un regl de tres invers se form con l iguldd de dos rzones inversmente proporcionles, en donde se conoce ls dos cntiddes de un rzón y sólo un cntidd de otr rzón. Si lo es, como c lo es un cntidd desconocid x, se represent como: donde x viene ddo por: x c c x Si cutro lñiles hcen un cs en novent dís, cuánto tiempo trdrín seis lñiles? El prolem expresdo en form de regl de tres invers es: trjdores trdrín ( 90) x 60 dís x, entonces, los seis Como se h dicho, en el conjunto de los números rcionles se pueden efectur ls cutro operciones ásics, no ostnte, no se puede resolver de form generl un prolem donde interveng l rdicción de un número entero, por lo tnto, es necesrio definir un nuevo sistem numérico. NÚMEOS IACIONALES Con los números rcionles se pueden representr csi tods ls cntiddes que se encuentrn en l vid cotidin. Sin emrgo, hy otr clse de números, que se escrien con un infinidd de decimles pero que no tienen un período, es decir, no tienen cifrs que se repitn en el mismo orden. Los números de est clse recien el nomre de irrcionles y, diferenci de los rcionles, no pueden expresrse en form de frcción, sino sólo en form deciml. Se denotn por Q. En generl, culquier ríz inexct de un número rcionl o lgun cominción lgeric que l involucre (y que exist) es un número irrcionl. Esto signific que este conjunto tmién es infinito. Ejemplos de números irrcionles.

16 (este número es llmdo áureo ) Nótese como estos números tienen un infinidd de cifrs y no tienen periodicidd. Pr todo fin práctico, cundo se trj con números irrcionles se efectún proximciones, o ien, se utilizn lgunos símolos especiles. El número π es un irrcionl que represent ls veces que ce el diámetro de un circunferenci en su perímetro P. Es decir, si se tuviern ls medids excts del perímetro P de un circunferenci y de su diámetro, D, π viene ddo por D P. Si se quisier efectur l división nunc se terminrí y que se podrín otener tnts cifrs decimles como se quisier, pero nunc se llegrí un residuo igul cero, ni se encontrrín cifrs que formen un período. Por lo tnto, no se puede escriir exctmente π en cifrs decimles: π Los puntos suspensivos indicn que ls cifrs son infinits. En l práctic, sin emrgo, cundo se requiere clculr perímetros o áres de circunferencis, volúmenes de esfers o pr hcer culquier otro cálculo, en el que prezc π, se us l proximción π. 6. es otro número irrcionl, y que es l medid de l hipotenus de un triángulo rectángulo cuyos ctetos miden un unidd de longitud. Normlmente se proxim., unque su vlor es de:. 6 Un número irrcionl tiene un número ilimitdo de cifrs, por tnto, es imposile escriir su vlor excto. Pr mnejr estos números se utilizn proximciones de los mismos. Aumentndo el número de cifrs, el error v disminuyendo, de modo que puede ser tn pequeño como se quier. Algunos números irrcionles se pueden representr en l rect numéric medinte procedimientos geométricos utilizndo regl y compás (por ejemplo ls ríces cudrds no excts, como el cso de y expuesto). Pr muchos números irrcionles no se puede plicr este método, l representción de estos números se hce por proximción. Por ejemplo, lgunos números irrcionles en l rect serín: Q π L sección áure es l división rmónic de un segmento en medi y extrem rzón. Es decir, que el segmento menor es l segmento myor, como este es l totlidd. De est mner se estlece un relción de tmños con l mism proporcionlidd entre el todo dividido en myor y menor. Mtemáticmente es el resultdo de l expresión: x x. x 6

17 Un operción en Q es un mner de socir cd pr de números irrcionles, otro número irrcionl ien determindo. Ls operciones que se definen en este conjunto son l sum, l rest, l multiplicción, el cociente y l extrcción de ríces (exceptundo l rdicción de números negtivos de índice pr). Sen, y c tres números irrcionles culesquier. Ls propieddes ásics pr l sum en Q son:. Asocitividd: + + c + + ( ) ( ) c. Conmuttividd: + +. Inverso: Pr l sum existe, llmdo opuesto o simétrico tl que + ( ) 0 Ls operciones de sum y producto no son cerrds en Q y no tiene elemento neutro. NÚMEOS EALES El conjunto de los números reles surge de l unión de los números rcionles y de los irrcionles. Se denotn como. Este conjunto comprende todos los sistems numéricos nteriores. Q Q Se hl del orden en los números reles trvés de l propiedd de tricotomí firmndo que ddos n y m dos números reles, entonces se tiene exctmente un de ls tres posiiliddes: n < m n m n > m Al igul que en los conjuntos N, Z, Q y Q, los números reles se pueden representr en un rect, sólo que en este cso no hy puntos discretos, sino se trt de un rect continu: L rect sore l cul se represent los números rcionles e irrcionles se llm rect rel. A cd punto de est rect se le soci un único número rel llmdo coordend o scis del punto y, recíprocmente, cd punto de es rect se le soci un único número pr que se su coordend. Si est dole signción se hce de mner que puntos distintos tengn coordends distints y cd número se coordend de lgún punto, se h otenido un correspondenci iunívoc entre l rect y el conjunto de los números reles. Est signción se denomin sistem de coordends unidimensionl. En generl, ddo un punto P culquier en l rect, l número rel se le llm coordend o scis P, que se lee: punto P de coordend. de P y se denot por ( ) 7

18 Uicr de form proximd los siguientes números en l rect rel:,, 0, π,,. 7 En form de coordends, los números tomn l form: P ( ), P, P ( 0), P ( π), P ( ), P 6 ( 7. ) que en l rect rel están loclizdos sí : P ( ) P P ( 0) ( π) P ( 7) 6. ( ) P P Un operción en es un mner de socir cd pr de números reles, otro número rel ien determindo. Ls operciones que se definen en este conjunto son l sum, l multiplicción (l rest se consider como l sum de números de diferente signo y l división como l multiplicción de un número por el recíproco de otro, siempre cundo el segundo no se cero), l rdicción de números positivos y l rdicción de índice impr de números negtivos. Es decir, ls operciones que se definen en este conjunto son tods excepto dos: L división por cero L extrcción de ríces de índice pr de números negtivos. Sen, y c tres números reles culesquier. Ls propieddes ásics pr l sum y el producto en son:. Cerrdur: +. Asocitividd: + + c + + ( ) ( ) c ( c) ( ) c. Conmuttividd: + +. Elementos neutros Pr l sum es el cero y que: +0 Pr el producto es el uno y que:. Inversos: Pr l sum existe, llmdo opuesto o simétrico tl que + ( ) 0 Pr el producto existe, 0, llmdo inverso multiplictivo o recíproco tl que El punto ( ) P se uicó de form proximd su vlor de.. Sin emrgo, tmién se puede otener plicndo el Teorem de Pitágors trzndo un triángulo cuy se o cteto dycente es y cuy ltur o cteto opuesto es y desde el origen se trzó con un compás un rco de circunferenci en sentido inverso ls mnecills del reloj (por ser negtivo). El punto en que cruz l rect es su representción en l rect numéric. 8

19 6. Distriutividd L propiedd distriutiv del producto sore l sum es: ( + c) + c + Se l sum de dos números reles: +, l dividir por, se otiene + + Se el producto de dos números reles:, l dividir por, se otiene Nótese l diferenci de los resultdos, esto oedece que l dividir implícitmente se plicó el inverso multiplictivo de. En el segundo cso, l frcción se convierte en un número entero y en el primer cso + l frcción persiste. Esto signific que. Ddos los números y, compror que Los números reles son el conjunto con el que se trjrá en este liro, sin emrgo no son los más completos, porque si se necesit extrer l ríz de un número negtivo con índice pr, los números reles no son suficientes, por lo que es necesrio definir otro sistem numérico que permit tl operción. Este nuevo sistem se definirá en el sutem VI.. VALO ABSOLUTO El vlor soluto de un número rel represent l mgnitud de dicho número. Est mgnitud es l distnci que existe, sore l rect numéric, del número ddo l cero. El vlor soluto se indic escriiendo el número entre rrs verticles. L definición forml del vlor soluto es: x x x si si x 0 x < 0 Por ejemplo, l mgnitud de es y l mgnitud de es preci en l siguiente figur:. Esto se uniddes de mgnitud uniddes de mgnitud y 9

20 Ejemplos. L mgnitud de es, L mgnitud de 7 es, L mgnitud de 0 es 0, 0 0 L mgnitud de es,. Lo nterior signific que si x es positivo o cero, x es su propio vlor soluto. Si x es negtivo, entonces su opuesto x es el vlor soluto. INTEVALOS A un segmento de l rect numéric que represent l suconjunto de los números reles se le denomin intervlo. Si y son dos números reles tles que formlmente se definen como: <, entonces los intervlos son suconjuntos de que Cerrdos. Cundo sus extremos sí pertenecen l suconjunto. Se representn como [,] y comprende todos los números reles x que cumplen con: [,] { x x, x }. x Aiertos. Cundo sus extremos no pertenecen l suconjunto. Se representn como (,) y comprende todos los números reles x que cumplen con: (,) { x < x <, x }. < x < Semiiertos por l izquierd. Cundo el primer extremo no pertenece l suconjunto y el segundo, y comprende todos los números reles x que cumplen con: extremo si. Se represent como ( ] (,] { x < x, x }. 0

21 < x Semiiertos por l derech. Cundo el primer extremo pertenece l suconjunto y el segundo, y comprende todos los números reles x que cumplen con: extremo no. Se represent como [ ) [,) { x x <, x }. x < Infinitos. El infinito, y se positivo o negtivo, no es un extremo determindo, sí que siempre será ierto. Existen cinco csos: Cerrdos l izquierd: [, ) { x x, x }. x Cerrdos l derech: ( ] { x x, x, }. x Aiertos l izquierd: (, ) { x x >, x }. x >

22 Aiertos l derech: ( ) { x x <, x, }. x < Aierto completmente: es quel que contiene todos los números reles:, x < x, x }. ( ) { < x < Ejemplos. Grficr los siguientes intervlos: ) [, ] x ) (, ) < x < ) [ 0, ) x ) (, ) x <

23 NOTACIÓN CIENTÍFICA En ls ciencis es frecuente encontrr cntiddes muy grndes o muy pequeñs que contienen un grn cntidd de ceros. Ejemplos. ) L distnci medi de l Tierr l Sol es de metros. ) Un mililitro es l milésim prte de un millonésim de metro cúico, es decir: ml m. A fin de evitr escriir tnt cifr, estos números se pueden compctr medinte l notción científic. L notción científic es un número escrito jo l form Pr trnsformr un número notción científic, existen dos csos: n A 0, donde A < 0 y n es un entero. Cundo el número es myor o igul diez, el punto deciml se recorre n posiciones l izquierd y el exponente es positivo Cundo el número es menor de uno, el punto deciml se recorre n posiciones l derech y el exponente es negtivo En los ejemplos plntedos, l distnci que sepr l Tierr del Sol se puede expresr como metros, por su prte, un mililitro equivle 0 metros cúicos. Ejemplos. Expresr los siguientes números en notción científic: ) Se recorre el punto deciml nueve posiciones l izquierd: ) Moviendo el punto deciml once posiciones l derech: Pr trnsformr un número expresdo en notción científic notción norml, existen dos csos: Cundo n >, se le gregn ceros hst que el punto deciml recorr n posiciones l derech. Cundo n <, se le gregn ceros hst que el punto deciml recorr n posiciones l izquierd. Ejemplos. Convertir los siguientes números expresdos en notción científic notción norml: 6 ). 7 0 Se recorre el punto deciml seis posiciones l derech y se gregn ceros: ). 8 0

24 Moviendo el punto deciml nueve posiciones l izquierd y gregndo ceros: