4. NÚMEROS REALES. José Gallegos Fernández 49. irreducible 2 = = hemos simplificado la fracción hasta llegar a 2,

Transcripción

1 4. NÚMEROS REALES Introducción. En l époc de Pitágors, se creí que los únicos números que existín ern los nturles (los que emplemos pr contr) y los rcionles (frcciones). Sin embrgo, los pitgóricos descubrieron que no podín medir l digonl de un cudrdo con ningún número. Así pues, el origen del concepto de número irrcionl se encuentr en l Geometrí. Pitágors fue el primero en señlrlo de form precid l siguiente: Si se tiene un triángulo rectángulo cuyos ctetos tienen longitud 1, l longitud de l hipotenus es igul ríz cudrd de 2 y éste no es un número rcionl. Si escribimos ríz cudrd de 2 = /b, donde y b son números enteros primos entre sí, fácilmente se lleg un contrdicción con resultdos conocidos de l divisibilidd de números enteros : 2 2 = irreducible 2 = = hemos simplificdo l frcción hst llegr 2, 2 b b b b b b lo que no es posible si es irreducible, y que y b no tienen divisores comunes. b Tn notble descubrimiento bien merecí, según se cuent, el scrificio de 100 bueyes con que fue celebrdo por Pitágors. Los mtemáticos griegos posteriores estudiron demás de estos irrcionles sencillos, otros más complicdos unque, en generl, se puede decir que los griegos se limitron esencilmente trbjr con los irrcionles que se obtienen por plicción repetid de l extrcción de ríces cudrds y que, por ello, se podín construir con l regl y el compás, pero nunc llegron tener l ide generl de número irrcionl. Ést hizo su prición l finl del s.xvi, como consecuenci de l introducción de los números decimles, cuyo uso se generlizó y ntes con motivo de l formción de l tbl de logritmos. Cundo se trnsform un frcción en número deciml, pueden obtenerse números decimles limitdos o ilimitdos, que son necesrimente periódicos. Ahor bien, nd hy que impid considerr un número deciml no periódico, esto es un número deciml cuys cifrs se suceden sin obedecer ley lgun y sin prr. Históricmente contece sí, que el cálculo obligó que se introdujern los nuevos conceptos y, sin que se pensse grn cos sobre su esenci y fundmento, se operb con ellos, firmndo su existenci, sobre todo l reconocer repetidmente su extrordinri utilidd. Sólo l llegr l ño 1860 se vio l necesidd de formulr ritméticmente, de mner precis, los fundmentos de los números irrcionles. Weierstrss fue el primero que brió cmino en ests investigciones trvés de ls lecciones que explicb en l Universidd de Berlín. En el ño 1872, G. Cntor, funddor de l teorí de conjuntos, dio en Universidd de Hll un teorí generl de dichos números. De form simultáne pero independiente, Dedekind hizo otro tnto en l Universidd de Brunswick. José Gllegos Fernández 49

2 4.2. Números irrcionles. (A) Los números irrcionles son quellos que tienen infinits cifrs decimles que no son periódics. (B) Ejemplos: * 1, ; 0, * Algunos números irrcionles surgen del estudio de cuestiones geométrics: -Al hcer el cociente de l longitud de un circunferenci por el diámetro de l mism, prece el número pi: π = 3, Al medir l digonl de un cudrdo de ldo uno prece el número 2 = 1, * Tmbién son irrcionles los números que provienen de ríces cudrds no excts: 2 = 1, = 1, = 2, = 2, * Otros números irrcionles importntes: -número e = 2, número de oro φ = = fmoso en l er 2 pitgóric y que está presente en muchs obrs de rte. (C) El conjunto de los números reles está formdo por los números rcionles (decimles periódicos) junto con los números irrcionles (decimles no periódicos), es decir, por todos los números decimles: ; 4 ;- 5 ; 0, 7 = ; π = 3 ' ; 3 ' 1 = ; 0 ; 112 ; 1 ; 1, 02 = NÚMEROS REALES formdos por NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS IRRACIONALES integr los incluye los ENTEROS NATURALES José Gllegos Fernández 50

3 (D) Ejercicios: 1. Complet ls igulddes siguientes ( = "unión" ; ="intersección" ): ) ( ) = f) ( ) b) ( ) = g) ( ) c) ( ) = h) ( ) d) ( ) = i) = + = I = I = e) ( ) = j) = 2. Encuentr el mínimo conjunto numérico (,,, ) l que pertenezcn los números: 1 7 e ; 3 ; 4, 5 ; 1, 4 ; 8 ; π ; 9 ; ; 1 ; ; 2 ; 0 ; Coloc los signos ó según los números de l izquierd sen o no de los conjuntos: ø ø π 5 e Di si son cierts o flss ls siguientes expresiones: ) 5 ; b) π I ; c) 3, 16 I ; d) e ; e) 2, 7 5. De los siguientes números di cuáles son rcionles y cules irrcionles: ) 4253, ; b) 5 ; c) 2+ 1 ; d) 49 ; e) 9 6. Verddero o flso? Por qué?: ) Todo número rel es rcionl f) Todo número entero es rcionl b) Todo número nturl es rcionl g) Todo número irrcionl es entero c) Todo número irrcionl es rel h) Todo número nturl es rel d) Todo número rcionl es irrcionl i) Todo número rcionl es rel e) Todo número rel es irrcionl j) Todo número entero es nturl 12 3 José Gllegos Fernández 51

4 4.3. Aproximción: truncmiento y redondeo. (A) Pr trbjr con números decimles infinitos o números decimles lrgos, se les proximn otros números medinte el truncmiento o el redondeo (mbs coss ls relizn ls clculdors). TRUNCAR un número consiste en considerr sólo ls cifrs decimles que nos interesn y "eliminr" ls demás. Primero debemos sber con cuánts cifrs decimles queremos trbjr o cuánts nos están pidiendo. REDONDEAR un número en un determind cifr deciml, consiste en "eliminr" cifrs, pero veces hy modificciones en ls cifrs originles y veces no: Se cuentn ls cifrs que interes dejr y se observ l primer cifr que se v eliminr. Si l primer cifr que se v eliminr es menor que 5 no hy modificciones en ls cifrs que se dejn. Si l primer cifr que se v eliminr es igul o myor que 5, l últim cifr no elimind ument en 1. (B) Ejemplos: Número Nº de cifrs decimles Truncmiento Redondeo 2, (milésims) 2,333 2,334 5, (centésims) 5,67 2,67 0, (diezmilésims) 0,0119 0, , (décims) -54,9-54,9 El redondeo siempre es mejor puesto que se comete un error menor o igul que con el truncmiento. Así pues, siempre que no se dig nd, debemos redonder. Además, pr que el error cometido no se excesivo, se consider como bueno, mientrs que no se dig otr cos, el redondeo en diezmilésims. (C) Ejercicios: 1. Aproxim los siguientes números en milésims (tres cifrs decimles): Número Truncmiento Redondeo Número Truncmiento Redondeo 0, , , ,654 7, , ,9001 3, , , José Gllegos Fernández 52

5 2. Aproxim, por truncmiento y redondeo hst el orden que se indic: Número Orden de proximción Truncmiento Redondeo 0,9876 milésims 12,5483 centésims 2 9 diezmilésims 2 décims - 0,999 centésims 2 π milésims 2 11 diezmilésims 4.4. Errores: bsoluto y reltivo. (A) En el truncmiento y redondeo de los números y en ls proximciones de ls medids de mgnitudes se producen errores. Existen dos tipos: El ERROR ABSOLUTO es el vlor bsoluto de l diferenci entre el vlor excto y l proximción: ε = x - x donde x es el vlor excto del número y x el vlor proximdo El ERROR RELATIVO es el cociente entre el error bsoluto y el vlor bsoluto del número excto: ε ε r = x (B) Cot del error bsoluto: Al medir, por ejemplo, el ncho x del cuderno con un regl grdud en cm y en mm, se observ que es myor que 21,3 cm y menor que 21,4 cm. Se tiene que 21,3<x<21,4. Muchs veces, como en el cso de l longitud del ncho del cuderno no sbemos l medid uténtic, por lo que no podrímos clculr el vlor bsoluto. Ahor bien, siempre podremos decir que l medid de x está comprendid entre 21,3 y 21,4 por lo que, como máximo, se hbrá cometido un error de ± 01, y, por lo tnto, g < 0,1. A este vlor se le denomin cot del error bsoluto. Si pr el número de oro M = 1,61803 tommos como proximción 1,61, no se puede clculr el error bsoluto y que no conocemos el vlor excto, pero si lo podemos cotr por un vlor que, con tod seguridd, es más grnde que el error: ε = 1, , 61 = 0, < 0, 01 ε = 1, , 62 = 0, < 0, 005 si utilizmos como proximción 1,62; por tnto, es mejor utilizr 1,62 como proximción de M puesto que l cot del error es menor. José Gllegos Fernández 53

6 (C) Ejercicios: 1. Complet: Número Aproximción Redondeo Error bsoluto Error reltivo E. reltivo en % 52, , , , Al medir un longitud de 30 km se h producido un error bsoluto de 30 m, y l medir un longitud de 10 m se h producido un error bsoluto de 1mm. En cuál de ls dos medids se h producido más error reltivo? 3. Encuentr l proximción de 2 con un cot de error bsoluto de 0, Ídem pr 3 con un cot de error bsoluto de Redonde l expresión deciml de 10 pr que l cot de error bsoluto se de 0,0001. Ídem 19 con un cot de 0,0001. Cuál es l cot de error de clculdo con ls proximciones nteriores? 5. Si quisiérmos l expresión deciml de con un cot de error de 0,00001, qué cot de error tendrín que tener 10 y 19? 6. Si quisiérmos l expresión deciml de 7 11 con un cot de error de 0,001, qué cot de error tendrín que tener 7 y Un proximción por truncmiento del número 4,56789 es 4,56. Clcul el error bsoluto y el error reltivo. 8. Un proximción del número 4,56789 es 4,56. Clcul l cot del error bsoluto. 9. Escribe l proximción por truncmiento y por redondeo hst ls milésims de π e indic l cot del error bsoluto que hs cometido. 10. Indic en cules de ls siguientes proximciones del número de oro φ se h redondedo y encuentr un cot del error bsoluto: 1 ; 1,61 ; 1,62 ; 1,618 ; 1, Notción científic. (A) Trbjr con números muy pequeños o demsido grndes es bstnte incómodo ddo que tenemos que escribir un grn número de cifrs. Por ejemplo: ; 0' ; ' ; 0' Pr solucionr este problem se utiliz l notción científic que consiste en trnsformr el número en otro número deciml cuy prte enter const de un únic cifr distint de cero y que está multiplicd por un potenci de 10 que "compens" l operción que hemos tenido que hcer pr conseguir l trnsformción. José Gllegos Fernández 54

7 (B) Ejemplos: = = 3, , , = = = = 1, , , = 9, , = 2, , ' = (C) Conviene hor plnterse cuál es el procedimiento contrrio, es decir, escribir con tods sus cifrs un número ddo en notción científic. Pues bien, consiste en poner el vlor de l potenci de 10 y relizr l cuent indicd. Veámoslo: 4 1 7, , = 7, = = 0, , = 9, = , 079 2, = 2, 079 = = 0, , = 5, = (D) Por último, es importnte observr que otr ventj de tener escritos los números en notción científic es l comodidd l hor de relizr determindos cálculos. Por ejemplo, pr multiplicr números escritos en notción científic, bst plicr l propiedd socitiv del producto pr multiplicr los números decimles entre sí y ls potencis de 10 tmbién (plicndo l propiedd del producto de potencis de l mism bse), horrndo cálculos porque hy menos cifrs y quedndo simismo el resultdo escrito en notción científic. (E) Ejercicios: 1. Expres en notción científic, redondendo el resultdo en centésims si fuer necesrio: Número Notción científic Número Notción científic 9 El nº de Avogdro (prtículs/mol) L ms de l Tierr (kg) L crg del electrón y protón (C) 0, L velocidd de l luz (m/s) centésims , José Gllegos Fernández 55

8 2. Hz con l clculdor ls siguientes operciones en notción científic: OPERACIÓN RESULTADO OPERACIÓN RESULTADO ) 1, , c) (8, ) ( ) b) 2, , d) (6, ) : (1, ) 4.6. Representción linel de los números reles. Orden. (A) Pr representr gráficmente los números reles debemos tener en cuent que existe un identificción totl entre los puntos de l rect y dichos números, es decir, cd punto de l rect represent un número rel y cd número rel le corresponde un punto de l rect que lo represent. Como y sbemos representr números rcionles con denomindor pequeño de form exct en l rect, únicmente qued por prender como representr números irrcionles o frcciones con denomindor grnde. En mbos csos, como no podí ser de otr form, hbrá que hcerlo de form proximd: (B) Pr ordenr números reles (decimles) ctumos de l siguiente form: 1º loclizmos l primer cifr distint, y se en l prte enter o en l prte deciml 2º si los dos son positivos, será myor el que myor teng dich cifr (2' <2'46) si los dos son negtivos, será myor el que menor teng dich cifr (-3'99888 >-3'97) si uno es positivo y el otro es negtivo, será myor el positivo ( π < e ) (C) Ejercicios: 1. Dibuj en l rect rel los siguientes números reles: 17 ; 13 ; 29 ; 8 ; ; Orden de menor myor: ;, ; 11 ; ; 3, 4 17 José Gllegos Fernández 56

9 4.7. Intervlos de l rect rel. (A) Existen distintos subconjuntos dentro de l rect rel que son especilmente importntes puesto que tienen diverss plicciones (inecuciones, dominios de funciones, ). Todos ellos coinciden con trozos de rect, y se clsificn de l siguiente form: * Rect rel: = ], [ * Semirrects:, + =, + = x / x -A l derech cerrd de origen : [ [ [ ) { } -A l derech biert de origen : ], + [ = (, + ) = { x / x> } -A l izquierd cerrd de extremo b: ], b] = (, b] = { x / x b} -A l izquierd biert de extremo b: ], b[ = (, b) = { x / x< b} * Segmentos: b b, = x / x b -Cerrdo: [ ] { } -Semibierto por l izquierd: ] b, ] = ( b, ] = { x / < x b} - Semibierto por l derech: [ b, [ = [ b, ) = { x / x< b} -Abierto: ] b, [ = ( b, ) = { x / < x< b} b b b b b (B) * Un entorno (bierto) de un punto, x, es un intervlo bierto que contiene x. * Un entorno reducido de un punto, x, es un entorno sin considerr el punto x. * Un entorno (simétrico) centrdo en x y de rdio r>0, es un intervlo bierto de l form E ( x) = ] x r, x+ r[ = { / x r < < x+ r} r. Así el entorno rel de centro 3 y rdio 4 es: E ( ) = ], + [ = ], [ * Un entorno (simétrico) reducido centrdo en x y de rdio r>0, es un intervlo bierto de l form ] x rx, [ ] xx, + r[ (C) Ejercicios: 1. Represent en l rect los intervlos siguientes y expréslos como conjunto: [ 4, [ ; ], 2[ ; [ 1, 3] ; ] 2, 5[ ; [ 0, 3] ; ] 5, [ ; [ 2, 2[ ; ] 4, 3] ; ], 0] 2. Escribe como intervlos y represent los siguientes conjuntos: I x x I x x I 1 = > = = x < x I = x x { / 7} ; { / 5} ; / 4 ; { / 0 5} José Gllegos Fernández 57

10 3. Siendo A= { x / x< 5} y B = { x / x 0}, clcul: A B ; A B ; A (contrrio de A) ; B (contrrio de B) ; A B = A B. 4. Siendo A= { x / 4 < x< 3} y B = { x / x< 0}, clcul: A B; A B; A; B; A B= A B. 5. Siendo A= ], [ y B= ], ] 6. Siendo A= ], [ y B= [, [ 5 2 8, clcul: A B; A B , clcul: A B; A B. 7. El intervlo A = ] 24, [ es un entorno. Clcul su centro y su rdio. 8. Escribe en form de intervlo ls siguientes expresiones: ) E ( 4) ; b ) E ( 2) E ( 4) ; c ) E ( 2) E ( 3 ) 05, Complet con los signos ó los puntos suspensivos en ls expresiones: ) - 2 E (- 5) ; b ) - 6 E (- 5) ; c ) - 8 E (- 5) ; d ) 0 E (- 5 ) Operciones con números reles. (A) Ls operciones en ls que precen números irrcionles se hcen de form proximd, relizndo primero un redondeo y posteriormente l operción, que qued reducid un cuent con números decimles exctos. (B) Ejemplos: π = 3, ,1416 ; e = 2, , π 4 + 3,1416 = 7, π 3 3,1416 = 9, π 3,1416 = 9, ,8697 π 3,1416 = 1, π + e 5,8599 e π 3,1416 2,7183 = 8, ,5398 No merece l pen insistir más en este prtdo, puesto que ls cuents (proximds) que hy que relizr son operciones con números decimles exctos y se relizn como si fuern números nturles, teniendo en cuent ls cifrs decimles. José Gllegos Fernández 58