ERRORES EN LAS MEDIDAS (Conceptos elementales)

Transcripción

1 ERRORES EN LAS MEDIDAS (Coceptos elemetales). Medida y tipos de errores Ua tarea esecial e este Laboratorio de Física de Primero es familiarizarse co la medida de magitudes físicas. Medir cosiste e comparar ua magitud de u sistema dado co la misma de otro sistema que se toma como referecia o patró (uidad). Por eemplo, la logitud de u muelle, L 0, se compara co la uidad "milímetro" que sumiistra ua regla graduada. Sea el resultado de ua primera medida L = 54 mm. Normalmete, al repetir la medida co la misma regla, se obtiee u valor diferete, por eemplo L = 53 mm. Esta diferecia se debe a causas accidetales (diferete apreciació de la persoa, ua vibració o movimieto iadvertido de la regla, etc.). Etoces se habla de error accidetal o aleatorio, que por su propia aturaleza será diferete cada vez; e este caso el resultado de medir ua magitud se debe dar como u valor promedio de todas las medidas. Si se utiliza ua regla mal calibrada se obtiee u valor diferete, por eemplo L 3 = 55 mm. E este caso se deomia error sistemático porque aparecerá superpuesto al aleatorio e todas la medidas e igual proporció. E este laboratorio supodremos la simplificació de que los errores sistemáticos se puede despreciar frete a los aleatorios; salvo casos excepcioales, esta suposició es correcta. E cualquier caso, el itervalo L e el que se puede ecotrar la medida de L 0 se deomia error absoluto (e las mismas uidades de L 0 ), y el cociete etre el error absoluto y el valor medido, es decir L/L, se deomia error relativo (adimesioal, frecuetemete e porcetae).. Precisió de los istrumetos El eemplo de la Fig. (ua regla milimetrada) ilustra el cocepto de precisió de u istrumeto de medida aalógico. Si se desea medir co la regla la distacia etre los dos trazos largos, y supoiedo que se puede apreciar de modo fiable ua divisió pequeña ( mm), la medida estará compredida etre 53 mm y 54 mm. Por tato, se toma como precisió del istrumeto la mitad de la divisió más pequeña apreciable, es decir ±0.5 mm e modo de error absoluto y ±0.5/53.5 = ± ( %) e modo de error relativo. Estos cometarios sobre el istrumeto regla se aplica de modo similar a los istrumetos aalógicos e geeral (casos de la agua de u croómetro sobre la escala graduada circular o los cuadraditos del propio papel milimetrado e el que se hace las gráficas) Fig.. Medida de ua logitud co ua regla E el caso de istrumetos digitales, el papel de las pequeñas divisioes aalógicas lo desempeña el último dígito sigificativo (a meos que se especifique ua precisió meor). Así, e el caso de u voltímetro que proporcioa 4 dígitos, ua lectura de voltae de 0.53 V se debe iterpretar 6 TECNICAS EXPERIMENTALES I, Errores e las medidas, /6

2 como (0.53±0.0) V; la precisió absoluta será ±0.0 V (último dígito) y la relativa ±0.0/0.53 = ± ( 0.%). 3. Errores accidetales Ua evaluació adecuada de los errores accidetales requiere el uso de métodos estadísticos. Para que el alumo se familiarice co los errores, e este primer cotacto co la medida se le exige ua evaluació doble e cada práctica, segú se describe a cotiuació. Ambos métodos se ilustra co el eemplo de la Fig., e el que se determia la aceleració de la gravedad g usado u pédulo. El periodo T de u pédulo simple viee dado e fució de su logitud L por la expresió T = 4π L/g, por tato escribiedo g L = T () 4π 3 y represetado L e fució de T, como se ha hecho e la Fig., se obtiee ua recta de pediete g/(4π ) de cuyo valor se determia g. Las barritas verticales y horizotales que aparece e cada puto idica el error obteido e varias medidas de ese puto y se deomia barras de error. E la figura se ha represetado todas iguales, y exageradas para mayor claridad. L, m α δ T δ L T, s Fig.. Datos experimetales y auste visual de la ecuació (). 3.. Evaluació visual El método que aquí llamamos visual cosiste e trazar la recta por etre la ube de putos medios mediate u "auste visual uicioso", es decir que el peso de los putos que queda por arriba de la recta sea similar al de los que queda por debao. La recta debe represetar la tedecia de la ube de putos, si que tega que pasar por uo o varios de los putos ecesariamete. El valor de g se obtiee de la pediete medida sobre la recta y o de los putos mediate δl g Ta α = = () δt 4π E el caso de esta figura se tiee g = 9,7385 m/s. A cotiuació se traza dos rectas adicioales (de trazos fios e la Fig. ) que represeta las pedietes "máxima" y "míima" posibles de la ube de putos, de las que se obtiee de modo aálogo g max = 0,453 m/s y g mi = 8,8775 m/s, cuya diferecia es g =.5757 m/s. Tomado la mitad de este valor por arriba y la mitad por abao, el error absoluto será g = ± m/s. Como se ha tomado valores extremos de la pediete el valor máximo del error será g = ±0.8 m/s, prescidiedo de las cifras o sigificativas. Por tato, TECNICAS EXPERIMENTALES I, Errores e las medidas, /6

3 cosideraremos o represetativas todas las cifras a partir de las décimas y el resultado debe escribirse así: evaluació empírica g = (9.7 ± 0.8) m/s (3) siedo el error relativo máximo de 8%. Coviee isistir e que los decimales superfluos o debe escribirse, porque, además de iecesarios, cofude sobre la precisió real de la medida. 3.. Evaluació aalítica Ua vez realizada la evaluació visual aterior, y expresada la medida segú se ha hecho e (3), se realiza la evaluació aalítica por medio del método de míimos cuadrados, u resume del cual se da e el Apédice. Este método permite obteer aalíticamete el meor auste posible de la recta haciedo míimo el cuadrado de la diferecia etre el valor medido y el que da la recta. El resultado e este caso da (9.7944±0.303) m/s, de modo que, tomado por prudecia el valor de 0.3 como error, escribiremos: evaluació aalítica g = (9.8 ± 0.3) m/s (4) siedo el error relativo de 3%. La razó de que ahora el error estimado sea meor, o es sólamete debido a la imprecisió de la apreciació visual. Se debe pricipalmete a que la defiició de error usada e el auste por míimos cuadrados o es la de error máximo, sio u error cuadrático medio (tambié llamado error típico o estádar) que o icluye los valores más aleados del cetro del itervalo porque se cosidera demasiado poco probables. 4. Propagació de errores e las fórmulas Frecuetemete la magitud que se desea coocer viee dada por ua expresió matemática e la que aparece varias magitudes que hay que medir. Utlizado de uevo el eemplo del pédulo, el valor de la gravedad e la fórmula () viee dado e fució de las dos magitudes L y T por: L g = 4π (5) T El error e la medida de g se obtiee del siguiete modo. Cosideremos e primer lugar que el error de L es despreciable (L es costate) y que el error T es pequeño. Etoces, lo que varía g (su error) al variar T e T se puede calcular co buea aproximació co la diferecial de (5), es decir, dg( t) g T g = ± T = ± 4π L T ; = m (6) dt 3 T g T E el caso e que L tambié presete error ± L (tambié pequeño), el error ± g se puede obteer difereciado la expresió (5) para g(l,t) cosiderada como fució de las dos variables L y T, es decir utilizado derivadas parciales, g g 4π g L T g L T = ± L 4π L T + ; = ± + L T = ± + (7) 3 T T g L T TECNICAS EXPERIMENTALES I, Errores e las medidas, 3/6

4 Como la probabilidad de que el sigo del error sea + ó es aleatoria, e este caso e que aparece ua suma es prudete tomar todos los sigos positivos al cosiderar el error fial. Las reglas geerales que se deduce de este método so las siguietes (compruébese que el eemplo aterior las cumple): a) El error absoluto de la suma o diferecia es la suma de los errores absolutos de los sumados, el error relativo de u producto o cociete es la suma de los errores relativos de los factores, y c) el de ua potecia es igual al expoete por el error relativo de la base. Pero e caso de duda, es recomedable difereciar la expresió correspodiete. 5. Procedimieto práctico A la hora de realizar ua Práctica, se recomieda seguir el siguiete procedimieto práctico: A. Se lee deteidamete el guió, para idetificar los obetivos y coceptos físicos que aparece y para tomar ota de las precaucioes de carácter persoal y sobre los istrumetos. B. Se determia la precisió de todos los istrumetos de acuerdo co la secció. C. Se realiza alguas medidas de prueba para familiarizarse co la técica de medida, y para detectar los aspectos delicados del experimeto y el orde de magitud de los errores aleatorios. Frecuetemete éstos so mayores que la precisió de los istrumetos por lo que se desprecia el error istrumetal; si fuera meores, será la precisió istrumetal la que determie el error fial de la medida. D. Se hace las medidas que se pide e el guió, atediedo especialmete a los aspectos delicados, y se aota e las Tablas que aparece al fial del guió. E. Si so varias medidas repetidas, se hace la media y se calcula su error cuadrático medio. Si es ua magitud e fució de otra que se va variado, se hace la represetació gráfica correspodiete co los valores medios y las barras de error si procede, y se determia su valor y su error, primero visualmete y después por míimos cuadrados. F. Se cometa las icidecias de las medidas y se hace u aálisis físico de los resultados. Coviee isistir e que la estimació adecuada del error (pequeño o grade), la maera correcta de expresarlo y el uicio crítico de las medidas so obetivos más importates e este Laboratorio que presetar medidas muy precisas. Por ello, la evaluació de los errores y el uicio crítico de las medidas costituye ua fracció importate de calificació a fial del curso. TECNICAS EXPERIMENTALES I, Errores e las medidas, 4/6

5 Apédice : Evaluació aalítica de los errores. Couto de medidas de la misma catidad E la gra mayoría de experimetos e Física, al medir la catidad descoocida L 0, la probabilidad p(l) de obteer u cierto valor L viee dada por la fució de Gauss (distribució ormal o campaa, véase su forma e la Fig. A), que se escribe: ( L L ) (σ ) p( L) = e (A) σ π Es fácil ver que el máximo de dicha fució ocurre para L = L ; este valor tambié es el más probable y resulta ser el valor medio del couto L defiido por: L = = L (A) L σ L L + σ Fig. A. Distribució ormal de Gauss dode, que debe ser grade, es el úmero de veces que se ha medido L 0. La magitud σ se deomia desviació típica o error cuadrático medio, e idica lo que tiee que variar L respecto a L para que p(l) sea e / e (A). Viee dada por la expresió: σ =± ( L ) L = ( ) (A3) E la Fig. A se ha idicado por medio de la regió rayada, compredida etre L σ y L + σ. El 68.3% de las medidas cae detro de esta regió, y el 99.7% etre L σ y L + σ. El valor L = L L = σ se toma como ua represetació razoable del error absoluto de L 0 y es el que usaremos e el Laboratorio cuado sea ecesario.. El método de míimos cuadrados Sea dos magitudes físicas x e y relacioadas por ua fució lieal del tipo y = ax + b (A4) La represetació gráfica de esta fució es ua líea recta de pediete a y ordeada e el orige b. Si, tomadas ua serie de medidas de x y de y, se tiee la sucesió de valores (x,y ), (x,y ), (x 3,y 3 ),..., (x,y ), las desviacioes δ de los valores experimetales respecto a los dados por la fució (A4) será δ = y (ax + δ = y (ax +. (A5) δ = y (ax + Sea ε (a, la suma de los cuadrados de todas las desviacioes, es decir TECNICAS EXPERIMENTALES I, Errores e las medidas, 5/6

6 ε ( a, = δ ( a, (A6) = El método de auste de la recta a la distribució de putos experimetales cosiste e hacer míima la fució ε (a,. Los valores de a y de b que miimiza esta fució so aquéllos que hace cero las correspodietes derivadas parciales, es decir: ε( a, = 0 a y ε( a, = 0 b (A7) Estas dos codicioes forma u sistema de dos ecuacioes co las dos icógitas a y b cuya solució es: xy x y y ax = = = = = a = ; b = = y ax (A8) x x = = La estimació de los errores absolutos de a y b requiere u poco más de cálculo que se puede cosultar e la bibliografía, y los valores depede de los criterios usados para defiirlos. E este Laboratorio usaremos las siguietes expresioes: ( ) y ax b x = a = ; b = x x = = a = (A9) Los errores a y b reflea asimismo el grado de correlació etre las variables x e y para austarse a la recta (A4). Auque para cuatificar el grado de correlació es frecuete utilizar el llamado coeficiete de correlació, r, aquí sólo usaremos los a y b ateriores que tiee u sigificado físico directo. E el caso de que para cada puto (x,y ) se haya tomado varias medidas y se tega barras de error como las represetadas e la figura, e (A8) y (A9) utilizaremos para (x,y ) el valor medio de dichas medidas. Este es u procedimieto aproximado que, al o cosiderar el error de cada puto e las dos variables, simplifica el tratamieto. E muchos casos las variables del experimeto so tales que para x = 0 se tiee ecesariamete y = 0; e ese caso la recta debe pasar por el orige de coordeadas, y su pediete viee dada por a = = = xy x ; (A8) Bibliografía. W. H. Westphal, Prácticas de Física, Ed. Labor, Madrid (965).. J. Mathews ad R. L. Walker, Matemáticas para Físicos, Ed. Reverté, Barceloa (979). TECNICAS EXPERIMENTALES I, Errores e las medidas, 6/6