Solución: Se observa que en su perímetro e interior, el primer cuadrilátero tiene cinco puntos y además 5 = 1+

Transcripción

1 Problema. E el diagrama se preseta los tres primeros cuadriláteros de ua secuecia que iicia e u puto e el cetro del tablero crece desde ese puto hacia fuera, cuál es el úmero de putos que está e el perímetro e iterior del cuadrilátero 00? Solució: Se observa que e su perímetro e iterior, el primer cuadrilátero tiee cico putos además 5 = + = +, el segudo cuadrilátero tiee e su perímetro e iterior trece putos además = + 9 = +, el tercer cuadrilátero tiee e su perímetro e iterior veiticico putos además 5 = 9 + = +. Si cotiuamos co este proceso cocluimos que el cuadrilátero 00 debe teer e su perímetro e iterior putos, es decir, 00. Problema. Supógase que a es u dígito o ulo, qué valor debe tomar el dígito a para que el úmero a0 sea divisible por? Solució: Aplicado el criterio de divisibilidad por de maera secuecial obteemos Primera etapa a0 + () = a Seguda etapa a + () = a5 Tercera etapa a + (5) = a Cuarta etapa a + () = a Quita etapa a + () = (a + )5 Dode (a + ) represeta u dígito, es claro que el valor de a es.

2 Problema. Cosidérese la siguiete figura Si el arco AC es de 00 el arco DB es de 0, cuál es la medida e grados del águlo BED? Solució: La medida del águlo ABC es 50 de maera similar la medida del águlo BAD es 5, así que el águlo AEB tiee medida de 95, luego etoces el águlo pedido tiee ua medida de 5. Problema. Completa la siguiete multiplicació Solució: Es obvio que el cuadro vacío del primer factor debe ser ocupado por u, luego etoces el cuadro vacío del segudo factor debe ser ocupado por u de esta maera todo se acomoda para que la multiplicació quede de la siguiete forma: 5

3 Problema 5. Cosidere la siguiete multiplicació a b a Qué valor adquiere la epresió a + b? 5 a Solució: Por simple observació se deduce que b toma el valor de además el valor de a tiee que ser a que es el úico caso que termia e, por lo tato a + b = 9 Problema. E la siguiete figura cada cuadro tiee área de ua uidad cuadrada qué área tiee la regió sombreada? Solució: Calcularemos primero el área de la figura o sombreada, se observa que está costituida por cuatro triágulos de base ua uidad, cosiderado como el primero al de la parte superior siguiedo el setido de las maecillas del reloj se tiee que: A( T ) = A( T ) = A( T ) = = A( T ) = = El área o sombreada es u por lo que el área sombreada es de u.

4 Problema. La suma de dos úmeros es 0 su míimo comú múltiplo es, cuáles so esos úmeros? Solució: Sea, tales úmeros, se debe cumplir que + = 0 además que mcm (, ) =. Como 0 es par se debe teer que ambos úmeros so pares o ambos úmeros so impares; pero como el míimo comú múltiplo es par los úmeros debe ser pares. Ahora descompodremos e factores primos: 55 9 Luego etoces = haciedo combiacioes obteemos que = =. Se coclue pues que los úmeros so. Problema. Cuátos úmeros de diez dígitos que sea divisibles por se puede formar usado solamete los dígitos,, 5? Solució: Nos iteresa las dos últimas posicioes particularmete los úmeros que termia e a) L formas b) c) L 5 L formas formas 9 E total teemos = = 9 úmeros diferetes. Problema 9. Carlos Pedro so hermaos, si el máimo comú divisor de sus edades es 9 el míimo comú múltiplo de las mismas es 5, cuáto suma sus edades si la suma es lo meor posible? Solució: Descompoiedo el míimo comú múltiplo e factores primos se obtiee que 5 9 Por lo que 5 =, como ambos úmeros (edades) tiee al 9 como factor comú podemos hacer combiacioes ecotramos que las catidades apropiadas so 9 =, 9 = de esta maera, la suma de las edades es 5.

5 Problema 0. Cosiderado la siguiete sucesió,,,,5,5,5,5,5,,,,,,,,9,9,9,9,9,9,9,9,9,,l Qué úmero se localiza e la posició 00 e tal sucesió? Solució: Se observa que el aparece ua sola vez, el aparece tres veces, el 5 aparece cico veces, así sucesivamete. Si sumamos estas catidades, os damos cueta que estamos cosiderado la suma de los eteros positivos impares, esto es, L + = ( ) Ahora = 9 5 = 05, e cosecuecia el dígito que se localiza e la posició 00 es el impar úmero 5, esto es, (5) = 9, así el 9 se localiza e la posició 00. Problema : Sea R R respectivamete los residuos de las divisioes m m 5. Si m so eteros positivos, qué codició adicioal debe cumplir estos eteros para que el residuo de la divisió R R sea u etero? Solució: Cosideremos primero la epresió m 5 observemos lo que ocurre co los residuos: Si m = etoces el residuo es Si m = etoces el residuo es Si m = etoces el residuo es Si m = etoces el residuo es Luego etoces para m impar el residuo es para m par el residuo es. Ahora cosideremos la epresió de igual maera observemos lo que ocurre co los residuos: Si = etoces el residuo es Si = etoces el residuo es Si = etoces el residuo es Si = etoces el residuo es Luego etoces para impar el residuo es para m par el residuo es. Como respuesta a la preguta teemos que basta que m N sea etero positivo par. m

6 Problema. A ua losa rectagular de dm por dm, se le hace cortes horizotales trasversales como se ilustra e la figura de ella se obtiee 0 ladrillos e forma de paralelogramo de base dm altura dm. Cuátos ladrillos se obtedrá de ua losa que mide 00 dm por 00 dm? Solució: Cuado se hace cortes e la losa de se desperdicia cuatro triágulos de base altura. Por lo que se obtiee = 0 ladrillos. Si la losa de se corta e 50 tiras de 00, e cada tira se desperdicia triágulos de área, esto es, de cada tira se obtiee 00 = 9 ladrillos. Etoces e total se puede obteer 50 9 = 9900 ladrillos. Problema. Se costrue u blaco co 00 círculos cocétricos de perímetros iguales a,,, L,00 dm respectivamete. El círculo cetral se colorea de egro. La regió etre el círculo cetral el siguiete círculo se colorea de amarillo. El área etre el segudo tercer círculos, de uevo se colorea de egro, así sucesivamete se completa el blaco co aillos egros amarillos, alterados. Ua persoa laza u dardo sobre el blaco cosidera que tiee igual probabilidad de impactar cualquier puto del mismo. Cuál es la probabilidad de que el dardo impacte e regió egra ( e el cetro o e u aillo egro )? Solució: El área total del blaco es a ( C ) = π R = π π 500 = dm π Dode R 00 es el radio P 00 es el perímetro del círculo maor. Cosideremos los aillos: Negros: A, A, L, A99 Amarillos: A, A, L, A00 00 P00 = π π

7 El área del aillo A está dada por a ( A ) = π π π π = ( ) π Por lo que la probabilidad de impactar e aillo egro es: P( Negro) = 50 k= π = 500 = P 0000 = 0.95 ( A ) 50 k = k 50 k = π = 50 ( Ak ) ( C ) [ (k ) ] (k ) a a k= 00 Problema. Supoga que uestro plaeta e realidad tiee cuatro satélites aturales. El más cercao a la tierra completa u ciclo e días, el que sigue, tiee u ciclo de 9 días, el que sigue, tiee su ciclo de 5 días el más lejao tiee u ciclo de días. Si el día de ho, de marzo de 00 todos los satélites estuviero e cojució (alieados), cuál es la fecha más próima e la que estará e cojució al meos tres de ellos? Solució: mcm (, 5,9) = 09 mcm (,5,) = 5 mcm (5,9,) = 9 mcm (,9,) = Se observa que el míimo comú múltiplo más pequeño es 09, esto es, detro de 09 días volverá a estar e cojució tres de los satélites aturales. Como el año 00 es bisiesto, detro de años días ocurrirá este feómeo. Será el 0 de marzo de 00 ( días ates del de marzo de ese año). Problema 5. Se tiee u segmeto AB de 0 cm de logitud. Sobre este segmeto se costrue u triágulo equilátero como se muestra e la figura. Del vértice D del triágulo se traza u segmeto hasta el puto B de tal forma que la medida del B es 0 Qué valor tiee el perímetro del triágulo BCD? D A C B

8 Solució: Basádoos e la figura que se muestra a cotiuació se coclue que la medida de ADB es 90, etoces a = b + c 00 = b + c. D b c A C a B b Por otra parte se 0 = = b = 5 c = 00 5 = 5 c = 5 = 5, así el 0 perímetro pedido es: Perímetro = BC + CD + DB = = Secillamete por que los águlos iteriores del triágulo equilátero so todos de 0. Problema. Cuátos úmeros de la forma abc, dode a, b c represeta dígitos satisface la desigualdad 9 < abc cba < 9? Solució: abc aba = 00a + 0b + c (00c + 0b + a) = 99( a c). Como 99 = = 95, etoces a c = b puede ser 0,,,..., 9 Por lo que a = 9, c = 5; a =, c = ; a =, c = ; a =, c = ; a = 5, c =, etoces el úmero de formas pedidas es 5 0 = 50. Problema. Cosidera a como u dígito que puede tomar valores de 0 a 9 a como u etero positivo tal que 00, cuátos úmeros de la forma so divisibles por? Solució: Cosideremos el úmero A = L L veces L L para =,, L, 00. Se debe cumplir que A es par la suma de sus dígitos múltiplo de, por lo que sólo puede tomar los valores 0,,,,. veces

9 Sea S la suma de los dígitos de A defiamos a S = suma de las S = suma de los ( + ) S = S + S = + = ( + + ) Ahora procederemos por casos: ) Si = 0 etoces S = ( +) que resulta múltiplo de si o + lo so, esto es, 5 5 M Por lo que se obtiee 9 = múltiplos de ) Si = etoces S = ( + ), procediedo de maera similar al caso aterior ecotramos que M Se observa e este caso solamete 9 múltiplos de ) Si = etoces S = ( + 5) procediedo de maera similar a los casos ateriores ecotramos múltiplos de. ) Si = etoces S = ( + ) resulta tambié múltiplos de 5) Si = etoces S = ( + 9) resulta solamete 9 múltiplos de E total teemos 55 úmeros divisibles por.

10 Problema. Se puede costruir espirales usado semicircuferecias. E la siguiete figura se muestra ua espiral que iicia e 0 termia e -5, costruida de esa maera, cuál es la logitud de ua espiral similar que iicia e 0 termia e 000? π Solució: La semicircuferecia que iicia e 0 termia e tiee logitud. La semicircuferecia que iicia e termia e - tiee logitud π. La que iicia e - π termia e tiee logitud. Etoces la logitud de la espiral que iicia e 0 termia e 000 es: π L = ( L+ 999) = π = π Problema 9. Sea e eteros positivos tales que 0, 000 5,000. Cuáto suma todos los úmeros distitos que se costrue co los dos últimos dígitos de Solució: + 5? Como 0, 000, etoces solo puede tomar los valores,. 5, Como 000, etoces. El úmero dígitos a 5, para todo. Etoces, Si =, Si =, + 5 termia e. + 5 termia e. 5 tiee como dos últimos

11 Si =, + 5 termia e 0. Por lo que todos los úmeros de dos dígitos distitos que se puede obteer de esa epresió so, 0, por tato suma = 5. Problema 0: Ua moeda balaceada se laza 9 veces sus resultados se coloca, de izquierda a derecha de arriba hacia abajo, e u arreglo cuadrado de 9 celdas como el que se especifica e la figura. Por ejemplo, si ocurre la secuecia s, a, s, s, a, a, s, a, a, se coloca e el arreglo e la siguiete forma ( s = sello, a = águila): s a s s a a s a a Cuál es la probabilidad de que, al repetir el eperimeto, se tega gato e el arreglo, esto es, al meos ua fila o ua columa o ua diagoal, tega los mismos resultados? Solució: El úmero total de arreglos está dado por 9 9 = k= 0 = 5 k Si se tiee símbolos o meos de ua clase ( a o s ), siempre ocurrirá al meos u gato e el arreglo. El total de casos e este esquema es = E el caso e que se tega símbolos de ua clase 5 de la otra, puede ocurrir gatos o o gatos. Los casos de s 5 a es perfectamete equivalete al caso a 5 s, por lo que sólo se aalizará el primer caso. * Coteos e el caso s 5 a : Gatos co s : E filas + + = E Columas + + = E diagoal + = Total Aalizaremos ahora el coteo de gatos sólo co a, pero co s : Co ua sola columa: + + = Co ua sola fila: + + = Co ua sola diagoal + =

12 Co ua fila ua columa: + + = 9 Co diagoal columa: + = Co diagoal fila: + = Co dos diagoales: Solo u caso = Por lo que el úmero total de casos e los que se tiee gato co s 5 a es: = 0 Coteos totales: De lo aterior, el úmero total de arreglos co gato está dado por: 5 + (0) = 0 la probabilidad de obteer u gato es 0 5 P = = =