ESTADISTICA II Guía de Estudio Corte #1 Prof. Mariugenia Rincón ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

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1 ESTADISTICA II Guía de Etudio Corte # Prof. Mariugeia Ricó ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS Etadítica.- Ua etadítica e cualquier fució de la variable aleatoria que e obervaro e la muetra de maera que eta fució o cotiee catidade decoocida. Iferecia Etadítica.- So aquello método co lo cuale e puede realizar iferecia o geeralizacioe acerca de ua població. La iferecia etadítica puede dividire e do grade área: etimació de parámetro y prueba de hipótei. Etimacioe.- Lo dato obteido a partir de ua muetra, o permite iferir uo valore aproximado de ua població e etudio, eto valore e llama etimacioe. La etimacioe vedrá afectada de u error, que llamaremo error debido al muetreo. La etimació de u parámetro ivolucra el uo de lo dato muetrale e cojució co algua etadítica. Exite do forma de llevar acabo la etimació: la putual y por itervalo. Etimador.- E u etadítico que e utiliza para obteer ua etimació putual. U etimador e u valor que puede calculare a partir de lo dato muetrale y que proporcioa iformació obre el valor del parámetro. Por ejemplo la media muetral e u etimador de la media poblacioal, la proporció obervada e la muetra e u etimador de la proporció e la població. Etimador Putual.- Da orige a ua etimació uivaluada del valor del parámetro, co bae e lo dato muetrale. Ua etimació putual de algú parámetro θ de la població e u valor umérico ˆ de la etadítica Ô. Págia de 3

2 Notació de alguo Etimadore Putuale.- Para μ, el etimador e ˆ = x, la media muetral Para σ, el etimador e ˆ =, la variaza muetral. Para μ μ, el etimador e ˆ ˆ = x x, la diferecia etre la media muetrale de do muetra aleatoria idepediete. Etimació por Itervalo.- Ua etimació por itervalo de u parámetro poblacioal θ e u itervalo de la forma ˆ L < θ < ˆ U dode ˆ L y ˆ U depede del valor del etadítico ˆ para ua muetra particular y tambié de la ditribució muetral de ˆ. El itervalo de etimació idica, por u logitud, la preciió de la etimació putual. El itervalo ˆ L < θ < ˆ U e llama itervalo de cofiaza del (-α)00%, la fracció -α e llama grado de cofiaza y lo puto extremo e llama límite de cofiaza iferior y uperior (ˆ L y ˆ U). Etre mayor e el itervalo de cofiaza, e tiee má eguridad de que el itervalo dado cotiee el parámetro decoocido. Ua etimació e putual cuado e obtiee u ólo valor para el parámetro. Lo etimadore má probable e ete cao o lo etadítico obteido e la muetra, auque e eceario cuatificar el riego que e aume al coiderarlo. Recordemo que la ditribució muetral idica la ditribució de lo valore que tomará el etimador al eleccioar ditita muetra de la població. La do medida fudametale de eta ditribució o la media que idica el valor promedio del etimador y la deviació típica, tambié deomiada error típico de etimació, que idica la deviació promedio que podemo eperar etre el etimador y el valor del parámetro. Má útil e la etimació por itervalo e la que calculamo do valore etre lo que e ecotrará el parámetro, co u ivel de cofiaza fijado de atemao. Llamamo Itervalo de cofiaza al itervalo que co u cierto ivel de cofiaza, cotiee al parámetro que e etá etimado. Págia de 3

3 Nivel de cofiaza e la "probabilidad" de que el itervalo calculado cotega al verdadero valor del parámetro. Se idica por -α y habitualmete e da e porcetaje (- α)00%. Hablamo de ivel de cofiaza y o de probabilidad ya que ua vez extraída la muetra, el itervalo de cofiaza cotedrá al verdadero valor del parámetro o o, lo que abemo e que i repitiéemo el proceo co mucha muetra podríamo afirmar que el (- α)% de lo itervalo aí cotruido cotedría al verdadero valor del parámetro. U itervalo de cofiaza e calcula iempre eleccioado primero u ivel de cofiaza, que e ua medida del grado de fiabilidad e el itervalo. U itervalo de cofiaza co u ivel de cofiaza de 95% de la reitecia real promedio a la ruptura podría teer u límite iferior de 96.5 y uo uperior de Etoce, e u ivel de cofiaza de 95%, e poible teer cualquier valor de μ o cualquier otro parámetro que e eté etimado, y ólo 5% de la muetra producirá u itervalo erróeo. Cuato mayor ea el ivel de cofiaza podremo creer que el valor del parámetro que e etima etá detro del itervalo. Ua iterpretació correcta de la "cofiaza de 95%" radica e la iterpretació frecuete de probabilidad a largo plazo: decir que u eveto A tiee ua probabilidad de 0.95, e decir que i el experimeto dode A etá defiido re realiza ua y otra vez, a largo plazo A ocurrirá 95% de la vece. Para ete cao del 95% de lo itervalo de cofiaza calculado cotedrá a μ. Itervalo de cofiaza para la media poblacioal (μ ) co σ coocida.- Coociedo σ, i x e la media de ua muetra aleatoria de tamaño de ua població co variaza coocida σ, el itervalo de cofiaza de (-α)00% para μ e: < μ < Dode Z α/ e el valor de Z a la derecha del cual e tiee u área de α/. Etimació para la media: E coocido de ootro durate ete curo, que e bae a la ditribució muetral de media que e geeró e el tema aterior, la formula para el etadítico e: Págia 3 de 3

4 El cálculo de probabilidad tambié puede expreare de la forma iguiete: Como e ete cao e decooce el parámetro y lo queremo etimar por medio de la media de la muetra, ólo e depejará de la formula aterior, quedado lo iguiete: So lo límite de cofiaza. Para muetra de tamaño 30, i importar la forma de la poblacioe, la teoría muetral garatiza bueo reultado. -α α/ α/ Z Z α/ 0 Z α/ Determiació de Tamaño de Muetra para Etimacioe Co frecuecia e deea aber que ta grade debe er ua muetra para aegurar que el error e la etimació de μ erá meor que ua catidad epecífica e. Etoce e debe eleccioar ua tal que Z / e. Si e ua x como ua etimació de μ e puede teer ua cofiaza del (-α)00% de que el error o excederá ua catidad epecífica e cuado el tamaño de la muetra e: Si reulta fraccioal, e debe redodear al úmero etero uperior má cercao. Z /. e Ejemplo : Se ecuetra que la cocetració promedio de zic que e aca del agua a partir de ua muetra de medicioe de zic e 36 itio diferete e de.6 gramo por mililitro. Ecuetre lo itervalo de cofiaza de 95% y 99% para la cocetració media de zic e el río. Supoga que la deviació etádar de la població e 0.3. Págia 4 de 3

5 Cao : La etimació putual de e =.6. El valor de z para u ivel de cofiaza del 95% e.96, por lo tato: Cao : Para u ivel de cofiaza de 99% el valor de z e de.575 por lo que el itervalo erá má amplio: El itervalo de cofiaza proporcioa ua etimació de la preició de uetra etimació putual. Si e realmete el valor cetral de itervalo, etoce etima i error. La mayor parte de la vece, i embargo, o erá exactamete igual a y la etimació putual e erróea. La magitud de ete error erá el valor aboluto de la diferecia etre y, y podemo teer el ivel de cofiaza de que eta diferecia o excederá. Como e puede obervar e lo reultado del ejercicio e tiee u error de etimació mayor cuado el ivel de cofiaza e del 99% y má pequeño cuado e reduce a u ivel de cofiaza del 95%. EJERCICIOS PROPUESTOS:.- Se calcula que la media de lo promedio de lo puto de calidad de ua muetra aleatoria de 36 alumo de último año e de,6. Ecuetre lo itervalo de cofiaza del 95% y del 99% para la media del total de alumo. Auma que la deviació etádar de la població e de 0,3..- Qué ta grade e requiere que ea la muetra del ejemplo aterior i e deea ua cofiaza del 95% de que la etimació de μ difiera de éta por meo de 0, Para ua muetra de 8 habitate de cierta població e obtuvo ua etatura media de 67 cm. Por etudio ateriore e abe que la deviació típica de la altura de la població e de 8 cm. Cotruye u itervalo de cofiaza para la etatura media de la població al 95% Págia 5 de 3

6 4.- E ua muetra de 0 etudiate que hiciero u exame e obtuvo ua ota media de 5,6 y ua deviació típica de,5. Calcula u itervalo de cofiaza para la ota media del exame al 94%. 5.- Ua emprea eléctrica fabrica foco que tiee ua duració aproximadamete ditribuida de forma ormal co ua deviació etádar de 40 hora. Si ua muetra de 30 foco tiee ua duració promedio de 780 hora, ecuetre u itervalo de cofiaza de 96% para la media de la població de todo lo foco que produce eta emprea. 6.- El artículo "Tetig the Bod Betwee Repair Material ad Cocrete Subtrate" iforma que, e cierta ivetigació obre u material de reparació y u utrato de cocreto, e obtuvo ua reitecia promedio muetral de 7.7 N/mm, co ua muetra de 48 obervacioe de reitecia al corte, y la deviació etádar muetral fue 3.8 N/mm. Utilice u ivel de cofiaza iferior del 95% para etimar la media real de la reitecia al corte. Itervalo de cofiaza para la media poblacioal (μ ) co σ decoocida.- E ocaioe e decooce por lo que e eo cao lo correcto e utilizar otra ditribució llamada "t" de tudet i la població de dode proviee lo dato e ormal. Si x y o la media y la deviació etádar de ua muetra aleatoria de ua població ormal co variaza decoocida σ, u itervalo de cofiaza del (-α)00% para μ e: Dode t α/ e el valor t co v = - grado de libertad, que deja u área de / a la derecha. Ejercicio : El coteido de iete coteedore imilare de ácido ulfúrico o 9.8, 0., 0.4, 9.8, 0.0, 0., y 9.6 litro. Ecuetre u itervalo de cofiaza del 95% para la media de todo lo coteedore i e upoe ua ditribució aproximadamete ormal. Págia 6 de 3

7 Ejercicio : U artículo publicado e el Joural of Tetig ad Evaluatio preeta la iguiete 0 medicioe del tiempo de combutió reidual e egudo de epecímee tratado de ropa de dormir para iño: Se deea ecotrar u ivel de cofiaza del 95% para el tiempo de combutió reidual promedio. Supógae que el tiempo de combutió reidual igue ua ditribució ormal. Ejercicio 3: U fabricate de fibra itética deea etimar la teió de ruptura media de ua fibra. Dieña u experimeto u experimeto e el que e oberva la teioe de ruptura, e libra, de 6 hilo del proceo eleccioado aleatoriamete. La teioe o 0,8 0,6,0 0,9 9,9 0, 9,8 9,6 0,9, 0,4 0,6 9,7 9,6 0,3 0,7. Supógae que la teió de ruptura de ua fibra e ecuetra ditribuida ormalmete co variaza de 0,05. Cotruir u itervalo de cofiaza del 98% para el valor real de la teió de ruptura promedio de la fibra. Ejercicio 4: La Cámara de Comercio de ua ciudad e ecuetra itereada e etimar la catidad promedio de diero que gata la gete que aite a covecioe, calculado comida, alojamieto y etreteimieto por día. De la ditita covecioe que e lleva a cabo e la ciudad, e eleccioaro 60 peroa y e le pregutó la catidad que gataba por día. Se obtuvo la iguiete iformació e dólare: 50, 75, 63, 48, 4, 89, 35, 74, 68, 5, 58, 84, 34, 46, 55, 63. Si e upoe que la catidad de diero gatada e u día e la variable aleatoria ditribuida ormal, obteer lo itervalo de cofiaza etimado del 90%, 95% y 98% para la catidad promedio real. Itervalo de cofiaza para la diferecia de do media coociedo σ y σ U itervalo de cofiaza de (-α)00% para μ μ e: ( x x) Z / Dode Z α/ e el valor de Z que tiee u área de α/ a la derecha. Págia 7 de 3

8 E el cao e que e decoozca la variaza de la població y lo tamaño de muetra ea mayore a 30 e podrá utilizar la variaza de la muetra como ua etimació putual. Ejercicio : Se lleva a cabo u experimeto e que e compara do tipo de motore, A y B. Se mide el redimieto e milla por galó de gaolia. Se realiza 50 experimeto co el motor tipo A y 75 co el motor tipo B. La gaolia que e utiliza y la demá codicioe e matiee cotate. El redimieto promedio de gaolia para el motor A e de 36 milla por galó y el promedio para el motor B e 4 milla por galó. Ecuetre u itervalo de cofiaza de 96% obre la diferecia promedio real para lo motore A y B. Supoga que la deviacioe etádar poblacioale o 6 y 8 para lo motore A y B repectivamete. Ejercicio : Ua compañía de taxi trata de decidir i comprar eumático de la marca A o de la B para u flotilla de taxi. Para etimar la diferecia de la do marca, e lleva a cabo u experimeto utilizado de cada marca. Lo eumático e utiliza hata que e degata, dado como reultado promedio para la marca A kilómetro y para la marca B kilómetro. Calcule u itervalo de cofiaza de 95% para la diferecia promedio de la do marca, i e abe que la poblacioe e ditribuye de forma aproximadamete ormal co deviació etádar de 5000 kilómetro para la marca A y 600 kilómetro para la marca B. Solució: < B - A<66.67 Gráficamete: Como el itervalo cotiee el valor "cero", o hay razó para creer que el promedio de duració del eumático de la marca B e mayor al de la marca A, pue el cero o etá idicado que puede teer la mima duració promedio. Págia 8 de 3

9 Ejercicio 3: Se aplica ua prueba etadarizada de química a 50 iña y 75 iño. La iña obtiee ua calificació promedio de 76, y lo iño de 8. Ecuetre u itervalo de cofiaza del 96% para la diferecia de media, dode μ e la calificació promedio de todo lo iño y μ e la de la iña que pudiero realizar ete exame. Supoga que la deviacioe etádar de la poblacioe para la iña y iño o 6 y 8 repectivamete. Ejercicio 4: Do uiveridade fiaciada por el gobiero tiee método ditito para icribir a u alumo a pricipio de cada emetre. La do deea comparar el tiempo promedio que le toma a lo etudiate completar el trámite de icripció. E cada uiveridad e aotaro lo tiempo de icripció para 00 alumo eleccioado al azar. La media y la deviacioe etádare muetrale o la iguiete: x 50, x 5, 9 = 4,8 = 5,4 Obteer lo itervalo de cofiaza etimado del 90, 95 y 99% para la diferecia etre la media del tiempo de icripció para la do uiveridade. Co bae a eta evidecia, e etaría icliado a cocluir que exite ua diferecia real etre lo tiempo medio para cada uiveridad?. Itervalo de cofiaza para la diferecia de do media pero co σ y σ decoocida e iguale U itervalo de U itervalo de cofiaza de (-α)00% para μ μ e: ( x x ) t / Sp Dode Sp e la etimació de la deviació etádar poblacioal: Sp ( ) ( Y t α/ e el valor t co v = + - grado de libertad, co u área de α/ a la derecha. ) Ejercicio : Se deea etimar el ídice de diveridad de epecie e u río. Para eto e eleccioaro do etacioe de muetreo, ua río abajo y otra río arriba. Para muetra tomada meualmete río abajo, el ídice de diveridad de epecie tuvo u valor promedio de x =3, y ua deviació etádar =0,7 mietra que e 0 muetra tomada río arriba el Págia 9 de 3

10 ídice de diveridad promedio fue x =,04 y ua =0,448. Ecuetre u itervalo de cofiaza del 90% para la diferecia de media poblacioale de la do etacioe. Ejercicio : Cierto metal e produce, mediate u proceo etádar. Se dearrolla u uevo proceo e el que e añade ua aleació a la producció del metal. Lo fabricate e ecuetra itereado e etimar la verdadera diferecia etre la teioe de ruptura de lo metale producido por (lo do proceo. Para cada metal e eleccioa epecímee e kilogramo por cetímetro cuadrado: Proceo Etádar Proceo Nuevo Si e upoe que el muetreo e llevó a cabo obre do ditribucioe ormale co variaza iguale, obteer lo itervalo de cofiaza etimado del 90 y 95% para la diferecia de media. Co bae a lo reultado, e podría cocluir que exite ua diferecia real etre lo do proceo?. Razoe u repueta. Itervalo de cofiaza para la diferecia de do media pero co σ y σ decoocida y diferete Dode t α/ e el valor t co: ( x x) t / v ( / ( / ) /( ) ( / ) /( ) / ) grado de libertad, co u área α/ a la derecha. Si v o reulta etero e redodea al etero má cercao. Ejercicio : Se deea etimar la diferecia e la catidad de cloruro de odio e u lago, medido e do etacioe diferete (NaCl e mide e mg/l). Se tomaro 5 muetra de la etació A y de la etació B. La de la etació A tuviero u coteido promedio de 3,84 mg/l y Págia 0 de 3

11 =3,07 mg/l, mietra que e la de la eguda etació el coteido promedio fue,49 mg/l y =0,8 mg/l. Ecuetre u itervalo de cofiaza del 95% para la diferecia e lo coteido promedio del NaCl. Auma que la obervacioe urge de poblacioe co variaza ditita. Ejercicio : Lo iguiete dato repreeta lo tiempo de duració de la película que produce do compañía ciematográfica: Compañía Tiempo (miuto) A B Calcule u itervalo de cofiaza del 90% para la diferecia etre lo tiempo promedio de duració de la película que produce la do compañía. Supoga que e tiee ua ditribució ormal. ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN U etimador putual de la proporció p e u experimeto biomial etá dado por el etadítico P ˆ X / N dode X repreeta el úmero de éxito e N iteto. Itervalo de cofiaza para p de ua muetra grade Si pˆ e la proporció de éxito e ua muetra grade de tamaño y qˆ =- pˆ, u itervalo de cofiaza aproximado de (-α)00% para el parámetro biomial pˆ e: pˆ * qˆ pˆ * qˆ pˆ Z / < p < pˆ Z / Dode Z α/ e el valor Z co u área α/ a la derecha. Ejercicio : E ua muetra aleatoria de =500 familia que poee televiore, e ecotró que 340 e había ucrito a la HBO. Ecuetre u itervalo de cofiaza del 95% para la proporció actual de familia que e ucribe a HBO. Págia de 3

12 Itervalo de cofiaza para p -p de ua muetra grade p p ( pˆ pˆ ) Z / pˆ * qˆ pˆ * qˆ Dode Z α/ e el valor Z co u área α/ a la derecha. Ejercicio : Se etá coiderado cambiar el procedimieto de maufactura de pieza mecáica. Se toma muetra tato del procedimieto actual como del uevo para determiar i ete último reulta er mejor. Si 75 de lo 500 artículo del procedimieto actual preetaro defecto, y lo mimo ucedió co 80 de 000 parte del procedimieto uevo, determie u itervalo de cofiaza del 90% para la diferecia real de la fraccioe de parte defectuoa etre lo do proceo. ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA Puede obteere ua etimació de itervalo de σ utilizado el etadítico: X ( ), tiee ditribució ji-cuadrada Si e la variaza de ua muetra aleatoria de tamaño de ua població ormal, u itervalo de cofiaza del (-α)00% para σ e: ( ) X / < σ < ( ) X / Dode X α/ y X -α/ o valore X co v = - grado de libertad, co área de α/ y -α/, repectivamete a la derecha. Ejercicio : Lo iguiete o lo peo e gramo de 0 paquete de emilla de pato, ditribuido por determiada compañía: 46,4 46, 45,8 47,0 46, 45,9 45,8 46,9 45, y 46,0. Ecuetre u itervalo de cofiaza de 95% para la variaza de todo lo paquete de emilla de pato que ditribuyó eta compañía. Págia de 3

13 Itervalo de cofiaza para la razó de do variaza y Se σ σ o la variaza de poblacioe ormale, e puede etablecer ua etimació del itervalo de σ / σ utilizado el etadítico: El itervalo de cofiaza para la razó de variaza e calcula como igue: * F / ( v, v) < < * F / ( v, v ) F * * Dode F α/ (v, v ) e u valor F co v = - y v = - grado de libertad co u área de α/ a la derecha. Y F α/ (v, v ) e u valor imilar F co v = - y v = - grado de libertad. Ejercicio : Se deea etimar la diferecia e la catidad de cloruro de odio e u lago, medido e do etacioe diferete (NaCl e mide e mg/l). Se tomaro 5 muetra de la etació A y de la etació B. La de la etació A tuviero u coteido promedio de 3,84 mg/l y =3,07 mg/l, mietra que e la de la eguda etació el coteido promedio fue,49 mg/l y =0,8 mg/l. Ecuetre u itervalo de cofiaza de 98% para la razo de la do variaza. Diga i la upoició de que la do variaza o ditita e correcta. Ejercicio : U fabricate de batería para automóvil aegura que u batería dura e promedio 3 año co ua variaza de u año. Si 5 de éta batería tiee duracioe de,9,4 3,0 3,5 4, año, determie u itervalo de cofiaza de 95% para σ e idique i e válida la afirmació del fabricate de que σ =. Págia 3 de 3