REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

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1 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio nº.- Estudia y representa la siguiente unción: ( ) + 6 Ejercicio nº.- Dibuja la gráica de la unción: ( + ) ( ) Ejercicio nº.- Dada la unción: y sen sen, [0, ] a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Calcula los máimos y mínimos. c) Represéntala gráicamente. Ejercicio nº.- Representa: ( ) e Ejercicio nº 5.- Representa gráicamente: ( ) Ejercicio nº 6.- Representa gráicamente la siguiente unción: y + Ejercicio nº 7.- Haz la gráica de la siguiente unción: ( ) + Ejercicio nº 8.- Obtén los puntos de corte con los ejes y los máimos y mínimos de la unción: () sen sen, [0, ] Dibuja su gráica utilizando la inormación obtenida:

2 Ejercicio nº 9.- Estudia y representa la siguiente unción: y ( +)e Ejercicio nº 0.- Representa la unción: y ln Ejercicio nº.- Estudia la siguiente unción y dibuja su gráica: y + + Ejercicio nº.- Representa la siguiente unción: y Ejercicio nº.- a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máimos y mínimos de la unción: () cos cos, [0, ] b) Represéntala gráicamente. Ejercicio nº.- Representa gráicamente la unción: y e Ejercicio nº 5.- Estudia y representa la unción: ( ) Ejercicio nº 6.- Representa la unción: ( ) Ejercicio nº 7.- Representa gráicamente la unción: y +

3 Ejercicio nº 8.- Dada la unción: () cos sen, [0, ] Halla los puntos de corte con los ejes y los máimos y mínimos. Utilizando esta inormación, dibuja su gráica: Ejercicio nº 9.- Dibuja la gráica de la unción: () e + Ejercicio nº 0.- Estudia y representa: ( ) + Ejercicio nº.- Estudia y representa la unción: y + Ejercicio nº.- Estudia y representa la unción: + ( ) Ejercicio nº.- Halla los puntos de corte con los ejes y los máimos y mínimos de la siguiente unción: y sen, [0, ] Utilizando la inormación obtenida, representa la unción: Ejercicio nº.- Estudia y representa: () e Ejercicio nº 5.- Estudia y representa la siguiente unción: y ln( 9)

4 SOLUCIONES REPRESENTACIÓN FUNCIONES Ejercicio nº.- Estudia y representa la siguiente unción: ( ) + 6 Dominio Simetrías: ( ) + 6 ( ). Es par: simétrica respecto al eje Y. Ramas ininitas: Puntos singulares: ' () 8 ( ) +, ( ) + + ' ( ) 0 ( ) Puntos singulares: (0, 6); (, ); (, ) Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 6 Punto (0, 6) X y + Con el eje Cambio: z 8 ± z Puntos ± 6 8 ± z 6 z ( 6, 0), (, 0), ( 6, 0 ), (, 0) ± ± 6 Puntos de inleión: '' () 6 8 '' ( ) ± ±, 5 Puntos: (,5;,56); (,5;,56) 8 6

5 Gráica: Ejercicio nº.- Dibuja la gráica de la unción: ( + ) ( ) Dominio { } Simetrías: ( ) ( + ) No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. Asíntotas verticales: + ( ) ( ) Asíntota horizontal: es asíntota vertical + ( ) 0 ( ( ) < 0 curva por debajo) ( ) 0 ( ( ) > 0 curva por encima) Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: y 0 es asíntota horizontal ' ( + ) ( ) Signo de ' (): ( + ) ( + ) ( ) ' ( + ) 8 ( + ) + 8 ( + ) () es decreciente en (, ) (, + ); es creciente en (, ). Tiene un máimo en,. Corte con los ejes:

6 Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y 0 0 Punto (0, 0) Gráica: Ejercicio nº.- Dada la unción: y sen sen, [0, ] a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Calcula los máimos y mínimos. c) Represéntala gráicamente. a) Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y 0 sen sen 0 sencos sen 0 sen (cos ) 0 sen 0 0,, cos 0 cos 0, Puntos (0, 0), (, 0) y (, 0). b) y' cos cos y' 0 (cos sen ) cos 0 cos ( cos ) cos 0 cos + cos cos 0 cos cos 0 cos cos 0 ± cos + 8 ± cos cos cos, cos 0, Signo de y':

7 Máimo: ;,6 Mínimo: ;,6 Puntos de inleión: (0, 0), (, 0) c) Ejercicio nº.- Representa: ( ) e Dominio {} Asíntotas: + ( ) ( ) + es asíntota vertical. e ( ) 0 + y 0 es asíntota horizontal si ( () < 0) + ( ) ( ) +, + + Rama parabólica Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' e ( ) e ( ) ( ) e ( ) ( ) ' () 0 e ( ) 0 Signo de ' ():

8 () es decreciente en (, ) (, ); es creciente en (, + ). Tiene un mínimo en (, e ). Corta al eje Y en (0, ). No corta al eje X. Gráica: Ejercicio nº 5.- Representa gráicamente: ( ) Dominio (, ) (, + ) Simetrías: ( ) (). Es par: simétrica respecto al eje Y. Asíntotas: + y 0 es asíntota horizontal ( () > 0 para toda ) Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' ' () 0 0 (no vale) () no tiene puntos singulares (en 0 no está deinida) Signo de ' (): ( ) + es asíntota vertical ( ) + es asíntota vertical ( ) ( ) 0 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

9 () es creciente en (, ); y es decreciente en (, + ). () no corta a los ejes. Gráica: Ejercicio nº 6.- Representa gráicamente la siguiente unción: y + Dominio Simetrías: ( ) +. No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. Ramas ininitas: Puntos singulares: ' () 6 ( ), ( ) + + ' ( ) 0 ( ) Puntos singulares: (0, ); (, ) Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto (0, ) Con el eje X + 0 ( )( ) 0 0 ± + 8 ±,7 0 0,7

10 Puntos (, 0); (,7; 0); ( 0,7; 0). Puntos de inleión: '' () Punto (, 0) Gráica: Ejercicio nº 7.- Haz la gráica de la siguiente unción: ( ) + Dominio {} Simetrías: + ( ) No es par ni impar: no es smétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. Asíntotas verticales: + ( ) ( ) + Asíntota oblicua: es asíntota vertical + y + + y + es asíntota oblicua Posición de la curva respecto a la asíntota: () ( +) < 0 si (curva por debajo). () ( +) > 0 si + (curva por encima). Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' ( + )( ) ( ( ) ( ) + ) + ( ) + ( )

11 ' ( ) 0 0 ( ) 0 0 Puntos (0, ) y (, 6). Signo de ' (): () es creciente en (, 0) (, + ); es decreciente en (0, ) ) (, ). Tiene un máimo en (0, ) y un mínimo en (, 6). Corte con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto (0, ) ± + 8,7 Con el eje X y ,7 Puntos: (,7; 0); (0,7; 0) Gráica: Ejercicio nº 8.- Obtén los puntos de corte con los ejes y los máimos y mínimos de la unción: () sen sen, [0, ] Dibuja su gráica utilizando la inormación obtenida: Dominio [0, ] Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y 0 y sen sen 0 sen ( sen ) 0 sen 0 sen 0,,

12 Puntos ( 0, 0),, 0, (, 0), (, 0) Máimos y mínimos: ' () sencos cos sen cos 0 ' () 0 cos (sen ) 0 cos 0 sen 0, sen, Estudiamos el signo de '' () cos + sen en esos puntos: '' < 0 en y en Máimos:, 0,, 5 '' > 0 en y en 6 6 Mínimos: Gráica:,, 6 5 6, Ejercicio nº 9.- Estudia y representa la siguiente unción: y ( +)e Dominio Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. + ( ) ( + ) e e

13 y 0 es asíntota horizontal cuando (y < 0) + ( ) ( ) +, + + Rama parabólica Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: y' e + (+)e (+)e y' Signo de y': () es decreciente en (, ); es creciente en (, + ). Tiene un mínimo en, e Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto (0, ) Con el eje X y 0 Punto (, 0) Gráica: Ejercicio nº 0.- Representa la unción: y ln Dominio (0, + ) Asíntotas: + 0 ( ) 0. No tiene asíntotas verticales. + ( ) ( ) +, + + Rama parabólica Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: y' ln + ln + + ( ln )

14 0 (no vale) y' 0 ( ln + ) 0 ln e Signo de y ': ( ) es decreciente en 0, e y es creciente en e, +. Tiene un mínimo en e,. e Puntos de corte con los ejes: No corta al eje Y, pues no está deinida en 0. Con el eje X y 0 ln 0 0 ln 0 0 (no vale) Punto (, 0) Gráica: Ejercicio nº.- Estudia la siguiente unción y dibuja su gráica: y + + Dominio Simetrías: ( ) + ( ) No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. Ramas ininitas: ( ), ( ) + +

15 Puntos singulares: ' () + + ' ( ) 0 ± 6 ± ± Puntos: (, 0) ;, Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y ( ) 0 ( + ) 0 0 Puntos ( 0, 0), (, 0) Puntos de inleión: '' () + '' Gráica: ( ) 0 Punto, Ejercicio nº.- Representa la siguiente unción: y Dominio Simetrías: ( ) +

16 No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen. Asíntotas verticales: + ( ) ( ) + Asíntota oblicua: es asíntota vertical y + + y + es asíntota oblicua Posición de la curva respecto a la asíntota: () ( + ) < 0 si (curva por debajo) () ( + ) > 0 si + (curva por encima) Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' ( ) ( )( ) ( ( ) ) ( ) ( ) + ' ( ) ± 6 ± ± Puntos (, ) y (, 5). Signo de ' (): () es creciente en (, ) (, + ); es decreciente en (, ) (, ). Tiene un máimo en (, ) y un mínimo en (, 5). Corte con los ejes: - Con el eje Y 0 y Punto 0, ± + 0,6 Con el eje X y 0 0, 6 Puntos: ( 0,6; 0); (,6; 0) Gráica:

17 Ejercicio nº.- a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máimos y mínimos de la unción: () cos cos, [0, ] b) Represéntala gráicamente. a) Dominio [0, ] Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y 0 y cos cos 0 cos(cos ) 0 Máimos y mínimos: ' () cossen + sen sen + sen ' () 0 sen( cos + ) 0 Estudiamos el signo de '' () cos + cos en esos puntos: '' < 0 en 0,, Máimos (0, 0), (, ), (, 0) 0,, 0 cos cos ( ) ( ) 0, y 0,, 0,, 0 0, Puntos + 5, 0, 0, 0 cos cos sen 5, en 0 '' >, 5,, Mínimos

18 b) Gráica: Ejercicio nº.- Representa gráicamente la unción: y e Dominio. Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. ( ) ( ) 0 ( ( ) > 0 para todo ) + y 0 es asíntota horizontal (la curva está por encima) Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: y' e y' Signo de ' (): () es creciente en (, 0); es decreciente en (0, + ). Tiene un máimo en (0, e). Gráica:

19 Ejercicio nº 5.- Estudia y representa la unción: ( ) Dominio (, 0] [, + ) Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. ( ) + ( ) ) ( [ ( ) ] ( ) y + es asíntota oblicua cuando. ( ) < + + ( ) + + ( ) + + ) ( [ ( ) ] + + ( + + ) y es asíntota ablícua cuando +. ( ) < Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' ( ) ' ( ) 0 0 (no vale)

20 No tiene puntos singulares Signo de ' (): en no está deinida ( ) () es decreciente en (, 0); es creciente en (, + ). Pasa por (0, 0) y (, 0). Gráica: Ejercicio nº 6.- Representa la unción: ( ) Dominio Simetrías: ( ) + No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni al origen. Ramas ininitas: ( ), ( ) + Puntos singulares: ' () + ' ( ) 0 ( ) 0 ± + 8 ± 9 ± Puntos singulares: 7 0, ;, Cortes con los ejes:

21 Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y ( ) ± ± 05,,8 Puntos: (0, 0); (,8; 0); (,; 0) Puntos de inleión: '' () '' Gráica: 6 ( ) 0 Punto, Ejercicio nº 7.- Representa gráicamente la unción: y + Dominio Simetrías: + ( ) ( ). Es impar: simétrica respecto al origen No tiene síntotas verticales. Asíntota oblicua: y y + + es asíntota oblicua Posición de la curva respecto a la asíntota:

22 () > 0 si (curva por encima). () < 0 si + (curva por debajo). Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' ' 6 ( + ) 6 ( ) ( + ) + ( ' () > 0 para todo 0 () es creciente. (Hay un punto de inleión en (0, 0)). Corte con los ejes: Con el eje Y 0 y 0 Punto (0, 0) Con el eje X y 0 0 Punto (0, 0) Gráica: + ) ( ) 0 + ( + 6) 0 0 ( + + ) Ejercicio nº 8.- Dada la unción: () cos sen, [0, ] Halla los puntos de corte con los ejes y los máimos y mínimos. Utilizando esta inormación, dibuja su gráica: Dominio [0, ] Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto (0, ) Con el eje X y 0 cos sen 0 tg tg, Puntos, 0,, 0 Máimos y mínimos: ' () sen cos ' () 0 sen cos 0 tg + 0 tg

23 7, Estudiamos el signo de '' () cos + sen en esos puntos: '' > 0 Mínimo en, 7 '' < 0 7 Máimo en, Gráica: Ejercicio nº 9.- Dibuja la gráica de la unción: () e + Dominio Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. + ( ) ( e ) y 0 es asíntota horizontal si ( () < 0) e + ( ) ( ) +, + + Rama parabólica Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' () e + + e + ( + )e + ' () Signo de ' (): () es decreciente en (, ); es creciente en (, + ). Tiene un mínimo en (, e).

24 Corta a los ejes en (0, 0). Gráica: Ejercicio nº 0.- Estudia y representa: ( ) + Dominio: + 0 ( + ) 0 Dominio [, + ) Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. + ( ) ( ) + ; + + Rama parabólica Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' ' ( ) ( ) ( + ) 0 0 (no vale) En 0 y en no eiste ' (), pues se anula el denominador. Signo de ' (): () es creciente en (, ) (0, + ); es decreciente en (, 0). Tiene un máimo en (, ). Tiene un mínimo en (0, 0) (aunque no sea derivable en este punto). Puntos de corte con los ejes: Corta a los ejes en (, 0) y en (0, 0).

25 Gráica: Ejercicio nº.- Estudia y representa la unción: y + Dominio. Simetrías: ( ) + (). Es par: simétrica respecto al eje Y. Ramas ininitas: ( ) +, ( ) + + Puntos singulares: ' () ( ) ' ( ) 0 ( ) Puntos singulares: (0, ); (, 0); (, 0) Cortes con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto (0, ) Con el eje X y Cambio: z z z + 0 z ± Puntos (, 0) y (, 0). Puntos de inleión: '' ()

26 '' ( ) 0 0 ± ± 0, 58 Puntos ( 0,58; 0,) y (0,58; 0,) Gráica: Ejercicio nº.- Estudia y representa la unción: + ( ) Dominio {, } Simetrías: ( ) ( ). Es par: simétrica respecto al eje Y Asíntotas verticales: + + ( ) ( ) + es asíntota vertical + ( ) ( ) + Asíntota horizontal: es asíntota vertical ( ) ( ) y es asíntota horizontal + Si y si +, () < la curva está por debajo de la asíntota. Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' ( ) ( 8 ( ) ( + ) ( ) ( ) ' ) + ( ) + 0 ( )

27 Signo de ' (): () es decreciente en (, ) (, 0); es creciente en (0, ) (, + ). Tiene un mínimo en 0,. Corte con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto 0, Con el eje X y No corta al eje X Puntos ( 0,6; 0); (,6; 0). Gráica: Ejercicio nº.- Halla los puntos de corte con los ejes y los máimos y mínimos de la siguiente unción: y sen, [0, ] Utilizando la inormación obtenida, representa la unción: Dominio [0, ] Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 y Punto (0, ) Con el eje X y 0 sen 0 sen sen ± No tiene solución. No corta al eje X. Máimos y mínimos: y ' sencos sen y' 0 sencos 0 sen 0 cos 0 0,,, Estudiamos el signo de y '' cos en esos puntos:

28 y '' < 0 en 0, y. Máimos: (0, ); (, ); (, ) y'' > 0 en y. Mínimos:, ;, Gráica: Ejercicio nº.- Estudia y representa: () e Dominio Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. ( ) e y 0 es asíntota horizontal cuando ( () > 0) e + ( ) ( ) +, + + Rama parabólica Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ' () e + e ( + )e ' ( ) ( + ) Signo de ' (): 0 0 () es creciente en (, ) (0, + ); es decreciente en (, 0). Tiene un máimo en

29 , y un mínimo en ( 0, 0 ). e Corta a los ejes en (0, 0). Gráica: Ejercicio nº 5.- Estudia y representa la siguiente unción: y ln( 9) Dominio (, ) (, + ). Simetrías: ( ) (). Es par: simétrica respecto al eje Y. Asíntotas: + ( ) es asíntota vertical. ( ) es asíntota vertical. + ( ) ( ) +, +, + ( ) ( ) 0 0 Ramas parabólicas Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: y' 9 y' (no vale) No tiene puntos singulares (en 0 no está deinida ()). Signo de ' (): () es decreciente en (, ); y es creciente en (, + ). Puntos de corte con los ejes:

30 Con el eje X ln ( 9) 0 9 ± 0 Puntos: No corta al eje Y, pues () no está deinida en 0. Gráica: ( 0, 0) ; ( 0, 0)