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1 Página. Representa: e e a) y = b) y = c) y = cos + cos e a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales: f () = 8 0 f () = Asíntota vertical: = 0 f () = 0. Además, f () > 0 para todo del dominio. y = 0 es una asíntota horizontal cuando. f () = f () = Rama parabólica. e f'() = e e = ( ) = 4 4 f'() = 0 8 = 8 Punto ( ), e 4 e ( ) Gráfica: b) y = e Dominio: D = Á {0} No es simétrica. 6 Unidad. Representación de funciones

2 UNIDAD Asíntotas verticales: f () = 8 0 f () = Asíntota vertical: = 0 f() f () = Rama parabólica. f () = 0. f() < 0 para todo positivo. y = 0 es una asíntota horizontal cuando. e ( ) e ( ) e ( +) f'() = = ( ) f'() = 0 8 = 8 Punto: (, e) Gráfica: c) y = cos + cos El período de cos es π y el de sen es π. Por tanto, la función es periódica de período π. La estudiamos solo en este intervalo. Es derivable en todo Á (es suma de funciones derivables). f'() = sen sen = sen cos sen = sen (cos + ) f'() = 0 8 sen (cos + ) = 0 sen = 0 cos = Unidad. Representación de funciones 7

3 sen = 0 cos = = 0 8 Punto: ( ) 0, = π 8 Punto: ( ) π, = π 8 Punto: π (, 4 ) = 4π 8 Punto: 4π (, 4 ) Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 8 = 0 8 y = 8 Punto: ( ) 0, Con el eje X 8 y = 0 8 cos + cos = 0 cos sen + cos = 0 cos ( cos ) + cos = 0 cos + cos + cos = 0 cos + cos = 0 cos = ± cos = 0,66 cos =,66 (no vale) cos = 0,66 =, = 5,09 Puntos: (,; 0); (5,09; 0) Puntos de infleión: f''() = cos cos f''() = 0 8 cos cos = 0 (cos sen ) cos = 0 cos + sen cos = 0 cos + ( cos ) cos = 0 cos + cos cos = 0 4cos cos + = 0 cos = ± + 8 cos = 0,84 cos = 0,59 8 Unidad. Representación de funciones

4 UNIDAD cos = 0,84 cos = 0,59 =,57 Puntos: (,57; 0,6) =,7 (,7; 0,6) = 0,94 (0,94; 0,44) = 5,5 (5,5; 0,45) Gráfica: π π π π Página. Qué tipo de ramas en el infinito tienen? 4 a) y = b) y = c) y = d) y = a) y = + f () = f () = 0 8 Asíntota horizontal: y = 0 b) y = + f () = f () = 8 Asíntota horizontal: y = c) y = = + 8 Asíntota oblicua: y = + + d) y = 4 + f () = f () f () f () = = Ramas parabólicas Unidad. Representación de funciones 9

5 . Qué tipo de ramas en el infinito tienen? a) y = b) y = + c) y = + d) y = tg e) y = sen f) y = cos a) y = e e f () = f () f () = 0. Asíntota horizontal: y = 0 Rama parabólica. b) y = + f () f () = = 0 f () f () = = 0 c) y = + Ramas parabólicas f () no eiste, pues solo está definida en [0, f () f () = = ( + ) = = m [f () ] = = d) y = tg No eisten f () ni f (). e) y = sen No eisten f () ni f (). f) y = cos f () cos + sen f () = = no eiste f () cos f () = = no eiste 0 Unidad. Representación de funciones

6 UNIDAD Página 5. Representa: a) y = b) y = + c) y = 5 a) Intervienen dos valores absolutos, + y, que cambian de signo en las abscisas = y =, respectivamente. Por tanto: <, + = y = + 8 y = + = 4 Ì <, + = + y = + 8 y = = Ó, + = + y = 8 y = = +4 Representamos, pues, esta función: 4 si < y = + + = si Ì < + 4 si Ó Y y = + 4 y = 4 X y = Unidad. Representación de funciones

7 b) El único valor absoluto que interviene es. La abscisa en donde cambia de signo es 0. Por tanto: < 0, = 8 y = Y y = + X Ó 0, = 8 y = + + Y + y = + X Representamos, pues, esta función: + si < y = = + + si Ó 0 + Y + y = + X Unidad. Representación de funciones

8 UNIDAD c) El único valor absoluto que interviene es 5. La abscisa donde cambia de signo 5 es 5. Por tanto, analizamos cómo queda la función a la izquierda y a la derecha de 5: < = +5 8 y = ( + 5) = + 5 Ó = 5 8 y = ( 5) = 5 y = + 5 si < 5 5 = 5 si Ó 5 Y X y = 5 y = + 5 Unidad. Representación de funciones

9 Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Descripción de una gráfica Representa una función continua y derivable en Á tal que: f () = f () f'() = 0 f () =, f'() Ó 0 para cualquier. De una función y = f () tenemos esta información: D = Á {, 4}; f () = f () f () f () = f () = (si, f () > 0; si f () < 0) f'() = 0, f () = ; f'( ) = 0, f ( ) = Represéntala. 4 4 Unidad. Representación de funciones

10 UNIDAD s Dibuja la gráfica de una función de la que se conocen las siguientes propiedades: f () f () = f'() = 0 si =, = 0, =, = 4 f ( ) = ; f (0) = 0; f () = 5; f (4) = 4 5 s4 Describe las siguientes funciones indicando sus asíntotas y ramas infinitas, sus puntos singulares y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. a) b) c) d) y = a) Asíntotal horizontal: y =. Asíntota vertical: = 0 f () = ; f () = (si, f() < ; si, f () < ) f () 8 0 f () f () no tiene puntos singulares. Decrece en 0) y crece en (0, Unidad. Representación de funciones 5

11 b) Asíntotal horizontal: y =. Asíntota vertical: = f () = ; f () = (si, f() > ; si, f () > ) f () = f () f'(0) = 0; f (0) =. Máimo en (0, ) Creciente en ) «(, 0) y decreciente en (0, c) Asíntota horizontal si : y = 0 f () = f () = 0 (si, f() > 0) f'(0) = 0; f (0) = 0. Mínimo en (0, 0) f'() = 0; f () =. Máimo en (, ) Decreciente en 0) «(, y creciente en (0, ). d) Asíntota vertical: = f () = f () Asíntota oblicua: y = (si, f () > ; si, f () < ) No tiene puntos singulares. Creciente en ) «(, Funciones polinómicas 5 Estudia y representa las siguientes funciones: a) y = + b) y = c)y = d) y = 64 e) y = 5 5 f) y = ( ) a) y = + Ramas infinitas: f() = f() f'() = + 6; + 6 = 0 8 ( + 6) = 0 = 0, f(0) = 0 8 (0, 0) es un mínimo. =, f( ) = = 4 8 (, 4) es un máimo. 6 Unidad. Representación de funciones

12 UNIDAD Representación: 4 b) y = + 5 Ramas infinitas: f() = f() f () = 6; 6 = 0 8 ( 6) = 0 Representación: 5 = 0, f(0) = 5 8 (0, 5) es un máimo. =, f() = 8 (, ) es un mínimo. 4 9 c) y = Ramas infinitas: f() = f() = 4 9 f'() = = 9; 9 = 0 8 ( 9) = 0 4 = 0, f(0) = 0 8 Máimo en (0, 0). =, f() = 4/4 8 Mínimo en (, 4/4). =, f( ) = 4/4 8 Mínimo en (, 4/4). Unidad. Representación de funciones 7

13 Representación: d) y = 64 Ramas infinitas: f() f() = f'() = (0 5 4 ); (0 5 4 ) = (0 5) = 0 Representación: = 0, f(0) = 0 8 Mínimo en (0, 0). = 4, f(4) = 4 8 Máimo en (4, 4). 4 4 e) y = 5 5 Ramas infinitas: f() = f() f'() = ; = ( ) = 0 = 0 8 f(0) = 0 = 8 f( ) = 5 5 = 9 5 = 6 = 8 f( ) = = = 6 8 Unidad. Representación de funciones

14 UNIDAD Tiene un máimo en (, 6 ), un mínimo en (, 6 ) y un punto de infleión en (0, 0). Representación: 0 f) y = ( ) Ramas infinitas: f() = f() f'() = ( ) ; ( ) = ( ) = Representación: = 0, f(0) = 8 Máimo en (0, ) =, f() = 5 8 Mínimo en (, 5) 5 6 Estudia las ramas infinitas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máimos, mínimos y puntos de infleión de las siguientes funciones. Represéntalas gráficamente: a) y = + ( ) b) y = ( ) 4 c) y = ( +) 6 5 d) y = ( ) a) y = + ( ) Ramas infinitas f() f() = Unidad. Representación de funciones 9

15 f'() = ( ) ; ( ) = 0 8 = ; f() = Signo de f': f' < 0 f' < 0 f es decreciente en Á. No tiene máimos ni mínimos. Puntos de infleión: f''() = 6( ); 6( ) = 0 8 = ; f() = Signo de f'': f'' > 0 f'' < 0 El punto (, ) es un punto de infleión con tangente horizontal (f''() = 0 y f'() = 0). Gráfica: Y X b) y = ( ) 4 Ramas infinitas f() f() f'() = 4( ) ; 4( ) = 0 8 = ; f() = Signo de f': f' > 0 f' < 0 f es creciente en ) y decreciente en (, Tiene un máimo en (, ). 40 Unidad. Representación de funciones

16 UNIDAD Puntos de infleión: f''() = ( ) ; ( ) = 0 8 = ; f() = Signo de f'': f'' < 0 f'' < 0 No tiene puntos de infleión. Gráfica: Y X c) y = ( +) 6 5 Ramas infinitas f() = f() = f'() = 6( +) 5 ; 6( +) 5 = 0 8 = ; f( ) = 5 Signo de f': f' < 0 f' > 0 Decreciente en ). Creciente en (, Mínimo en (, 5). Puntos de infleión: f''() = 0( + ) 4 ; 0( +) 4 = 0 8 = ; f( ) = 5 Signo de f'': f'' > 0 f'' > 0 No tiene puntos de infleión. Unidad. Representación de funciones 4

17 Gráfica: Y X 5 d) y = ( ) Ramas infinitas f() = f() f'() = ( ) ; ( ) = 0 8 = ; f() = Signo de f': f' > 0 f' > 0 f es creciente en Á. No tiene máimos ni mínimos. Puntos de infleión: f''() = 6( ); 6( ) = 0 8 = ; f() = Signo de f'': f'' < 0 f'' > 0 (, ) es un punto de infleión con tangente horizontal, puesto que f'() = 0. Gráfica: Y X 4 Unidad. Representación de funciones

18 UNIDAD Funciones racionales 7 En las siguientes funciones, estudia su dominio, asíntotas y posición de la curva respecto de estas, y represéntalas a partir de los resultados obtenidos: a) y = b) y = c) y = + + d) y = e) y = f ) y = a) y = Dominio: Á {, } Asíntotas: f () = 0; f () = 0 y = 0 es asíntota horizontal. (si, f () > 0; si, f () > 0) f () = 8 = es asíntota vertical. f () 8 + f () 8 f () = 8 + Gráfica: = es asíntota vertical. b) y = + Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f () = 0; f () = 0 (si, f () < 0; si, f () < 0) Unidad. Representación de funciones 4

19 Gráfica: c) y = Dominio: Á {, } Asíntotas: f () = 0; f () = 0 (si, f () < 0; si, f () > 0) y = 0 es asíntota horizontal. f () 8 f () = = es asíntota vertical. 8 + f () 8 f () = 8 + Gráfica: = es asíntota vertical. d) y = = Dominio: Á {0} Asíntotas: f () = 8 0 f () = 0 es asíntota vertical. 44 Unidad. Representación de funciones

20 UNIDAD y = es asíntota oblicua. (si, f () > ; si, f () < ) Gráfica: e) y = + Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f () = 0; f () = 0 (si, f () < 0; si, f () > 0) Gráfica: f) y = Dominio: + + = 0 8 ± 4 = 8 No tiene solución. D = Á Asíntotas: f () = ; f () = (si, f () > ; si, f () < ) y = es asíntota horizontal. Unidad. Representación de funciones 45

21 Gráfica: 8 Representa estas funciones estudiando previamente su dominio, asíntotas, posición y etremos relativos: 8 a) y = + b) y = c) y = d) y = ( + ) 4 8 a) y = + Dominio: Á {0} Asíntotas: f () 8 0 f () = y = es asíntota oblicua. = 0 es asíntota vertical. (si, f () < ; si, f () > ) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() = 8 f'() = = 0 8 = 4 Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 = = + 0 f () es creciente en ) «(, es decreciente en (, 0) «(0, ). tiene un máimo en (, 8). tiene un mínimo en (, 8). 46 Unidad. Representación de funciones

22 UNIDAD Gráfica: 8 b) y = ( + ) Dominio: Á { } Asíntotas: f () = 0; f () = 0 (si, f () < 0; si, f () > 0) y = 0 es asíntota horizontal. f () 8 f () 8 + = es asíntota vertical. Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() = ( + ) ( + ) = ( + )( + 4) = ( + ) 4 ( + ) 4 + ( + ) f'() = = 0 8 = Signo de f'(): f' < 0 f' > 0 f' < 0 f () es decreciente en ) «(, es creciente en (, ). tiene un máimo en ( ),. Unidad. Representación de funciones 47

23 Gráfica: c) y = = Dominio: Á {, } Asíntotas: f () 8 f () = 8 + f () 8 f () = 8 + y = es asíntota oblicua. = es asíntota vertical. = es asíntota vertical. (si, f () < ; si, f () > ) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() = ( 4) = 4 4 = 4 = ( 4) ( 4) ( 4) ( ) ( 4) f'() = 0 8 ( ) = 0 Signo de f'(): = 0 = = f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f () es creciente en ) «(, es decreciente en (, ) «(, ) «(, ). tiene un máimo en (, ). tiene un mínimo en (, ). 48 Unidad. Representación de funciones

24 UNIDAD Gráfica: 4 d) y = + = + Dominio: Á {} Asíntotas: f () 8 f () = 8 + = es asíntota vertical. y = es asíntota oblicua. (si, f () < ; si, f () > ) Crecimiento, decrecimiento, etremos relativos: f'() = = ( ) = + = ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) ( ) f'() = 0 8 ( ) = 0 Signo de f'(): = 0 = f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f () es creciente en 0) «(, es decreciente en (0, ) «(, ). tiene un máimo en (0, ). tiene un mínimo en (, ). Unidad. Representación de funciones 49

25 Gráfica: Funciones a trozos 9 Representa esta función: + si < 0 f() = + si Ó 0 Indica sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento y sus etremos relativos. Tiene algún punto de infleión? + si < 0 f() = + si Ó 0 Si < 0, es una parábola abierta hacia abajo: Vértice: f'() = ; = 0 8 =, f( ) = Cortes con el eje X: + = = 0 8 = 0,7 (no vale por ser 0,7 > 0),7 Si Ó 0, es una parábola abierta hacia arriba: ± Vértice: f'() = ; = 0 8 =, f() = Cortes con el eje X: + = 0 8 = No corta al eje X. Corte con el eje Y: = 8 (0, ) ± No tiene solución. Crecimiento y decrecimiento: si < 0 f'() = si > 0 f'(0 ) = = f'(0 + ) Es derivable en = Unidad. Representación de funciones

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