ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2015

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1 ANÁLISIS (Slctividad 5) ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 5 Andalucía, junio 5 Sa f la función dfinida por f( ) para a) [ punto] Estudia y calcula las asíntotas d la gráfica d f b) [,5 puntos] Halla los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) d f a) La función no stá dfinida n En s punto tin asíntota vrtical, pus: lim, la rcta s asíntota vrtical d la curva Pud vrs qu: lim Por la izquirda, cuando, la curva tind a + lim Por la drcha, cuando, la curva tind a + Asíntota horizontal? lim ( LH ) lim No tin asíntota horizontal Asíntota oblicua? f( ) lim lim ( LH ) lim ( LH ) lim Tampoco tin asíntota oblicua b) Drivando: ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) s anula n Con sto: Si <, f ( ) < f( ) dcrc Si < <, f ( ) < f( ) dcrc Si >, f ( ) > f( ) crc Por tanto, n s da un mínimo rlativo, con Su gráfica s la adjunta La drivada f() Andalucía, junio 5 ln( ) Sa f la función dfinida por f( ) para > (ln dnota la función logaritmo npriano) y sa F la primitiva d f tal qu F() a) [,5 puntos] Calcula F () b) [ puntos] Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d F n l punto d abscisa

2 ANÁLISIS (Slctividad 5) a) Por l torma fundamntal dl cálculo: F ( ) f( ) ln F ( ) b) La rcta tangnt pdida tin por cuación y F () F () ( ) Para hallar F () hay qu dtrminar la cuación d F( ), la primitiva d f( ) ln( ) La primitiva, F( ) d, pud hacrs por parts Tomando: u ln y dv d du d y v d ln Por tanto: ln ln ln ln F( ) d ln ln d d + d ln ln ln ln d ln ln d ( ln ) + c Esto s: F( ) ( ln ) + c Como F () F() ( ln) + c c Lugo F( ) ( ln ) + ; y, por tanto, F ( ) ( ln ) + 9 Por consiguint, la rcta pdida s: y 9 ( ) Aragón, junio 5 Considra la función f( ) a) (,5 puntos) Dtrmina los máimos rlativos, los mínimos rlativos y los puntos d inflión, si istn, d la función cos ( ) b) (,5 puntos) Usando l cambio d variabl t cos, calcula d sin( ) c) ) ( punto) Calcula los valors d a y b para qu la función f ( ) a + b tnga un trmo rlativo n l punto (, ) ) ( punto) Calcula l ára ncrrada por la curva f( ) y la part positiva dl j OX a) Drivando dos vcs la función f( ) ( ) ( ) + + f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( )

3 ANÁLISIS (Slctividad 5) La drivada primra s anula cuando + + ; Como f ( ) > n s tin un mínimo rlativo Como f () < n s tin un máimo rlativo ± 5 La drivada sgunda s anula cuando + 5 Por tanto, n sos puntos la función tndrá sndos d inflión Obsrvación: La sguridad d qu son puntos d inflión s obtin hacindo la drivada + 6 trcra y comprobando qu no s anula para sos valors f ( ) b) Si t cos Por tanto: dt sin d d sin dt dt dt cos t cos ( ) t t d dt dt sin( ) t t t t + + dt dt t dt t t t La sgunda intgral pud hacrs por dscomposición n fraccions simpls: / / ln ( ) ln ( ) t dt dt t t + ln t t t+ t+ (Omito dtalls) Por tanto: cos ( ) t t d dt t + ln + c sin( ) t t+ Dshacindo l cambio, cos ( ) cos d cos + ln + c sin( ) cos + c) ) f ( ) a + b f ( ) a + b Tndrá un trmo rlativo n l punto (, ) si: a+ b f() ; f () a ; b 6 a+ b c) ) La función ( ) f( ) corta al j OX cuando ; / Por tanto, l ára pdida vin dada por / / ( ) d u 8

4 ANÁLISIS (Slctividad 5) Obsrvación: El valor absoluto s ncsario por star l rcinto por dbajo dl j OX Es obvio qu l valor absoluto db ponrs cuando s obtin un rsultado ngativo para l ára Aragón, junio 5 a) ( puntos) Calcula las dimnsions d trs campos cuadrados qu no tinn ningún lado común y qu satisfacn qu l prímtro d uno d llos s tripl qu l d otro y, admás, s ncsitan 8 mtros d valla para vallar compltamnt los trs campos, d manra qu la suma d las áras s la mínima posibl b) (,5 puntos) Usando l cambio d variabl t, calcula d c) (,5 puntos) Calcula: lim ln a) San, y, z las longituds d los lados d cada uno d los trs campos Supongamos qu y, sto s, l campo d lado y tin prímtro tripl qu l campo d lado S cumpl qu: + y+ z 8 + y+ z + + z z S dsa qu la suma d las áras, S + y + z, sa mínima Eprsando todo n función d : S ( ) + ( ) + ( ) + ( ) El mínimo s da n la solución d S qu haga positiva a S S ( ) + ( ) ( ) S ( ) Como S ( ) 5 >, para s valor s da l mínimo buscado Con sto, las dimnsions d los campos son: 8 m; y m; z m dt b) Si t dt d d t Lugo: t dt t d dt t t t t t + dt + dt t + dt t t t La sgunda intgral s hac por dscomposición n fraccions simpls A B At ( + ) + Bt ( ) + t t t+ t A, B Lugo: dt dt t t t + ln ( t ) ln ( t + ) Dshacindo los cambios y oprando: d + ln ( ) ln ( + ) + c

5 ANÁLISIS (Slctividad 5) 5 c) lim ln Forma indtrminada: pud rsolvrs oprando y aplicando L Hôpital ln + lim lim ( ) lim LH lim ln ( ) ln ln + ln + ( LH ) lim ln Asturias, junio 5 Ejrcicio - El propitario d la mprsa Asturfabril ha stimado qu si compra máquinas y contrata y mplados, l númro d unidads d producto qu podía fabricar vndría dado por la función f(, y) 9 y Sabindo qu tin un prsupusto d 5, qu cada máquina supon una invrsión d 5 y cada contrato d un nuvo mplado 5, dtrmin l númro d obrros qu db contratar y l númro d máquinas qu db comprar para optimizar la producción (,5 puntos) Si compra máquinas y contrata a y mplados, invirt 5+ 5y: como su prsupusto s d 5 db cumplirs qu: 5+ 5y 5 5+ y 5 5 y Dspjando: 5 La función qu hay qu optimizar dpnd d dos variabls, pro sustituyndo valor d, s tin: 5 y 7 f(, y) 9 y f( y) 9 y f( y) 8 y y 5 5 El máimo d sta nuva función s obtin n las solucions d f ( y ) qu hacn ngativa a f ( y ) 8 8 f ( y) 6y y f ( y) 6 y y y o y f ( y) 6 y f () 6 > ; f () 6 < 5 Por tanto, la producción máima s obtin contratando a nuvos mplados y comparando máquinas; pus si y, 6 Asturias, junio 5 Obtén lim cotan El límit indicado s indtrminado, pus sustituyndo: lim cotan cotan Habrá qu hacr alguna transformación algbraica y aplicar L Hôpital

6 ANÁLISIS (Slctividad 5) 6 cos cos sin lim cotan lim lim sin sin Ahora pud aplicars la rgla d L Hôpital: cos sin cos sin cos sin lim ( LH ) lim lim sin sin + cos sin + cos Otra vz s aplica L Hôpital: sin sin cos lim ( LH ) lim sin + cos cos + cos sin 7 Asturias, sptimbr 5 ln ( + ) sin Calcula lim sin El límit indicado s indtrminado, pus sustituyndo: ln ( + ) sin lim sin Aplicando L Hôpital ln ( + cos ) sin lim ( ) lim LH + sin sin + cos + S aplica d nuvo L Hôpital: ( ) + sin cos lim + + ( LH ) lim sin + cos cos + cos sin 8 Asturias, sptimbr 5 S sab qu la drivada d una función f( ) s f ( ) ( + ) ( ) a) Dtrmina la función f sabindo qu f () ( punto) 7 b) Halla los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los máimos y mínimos d f( ) (,5 puntos) a) La función ( ) f ( ) + : f srá una primitiva d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) + d + d + + c Como s sab qu f () c Lugo f( ) b) Como f ( ) ( ) ( ) + s anula n los puntos, y, s tndrá: Si <, f ( ) < f( ) s dcrcint Si < <, f ( ) > f( ) s crcint n hay un mínimo Si < <, f ( ) < f( ) s dcrcint n hay un máimo

7 ANÁLISIS (Slctividad 5) 7 Si >, f ( ) > f( ) s crcint n hay un mínimo Los máimos y mínimos pudn dtrminars también mdiant la drivada sgunda f( ) + + f ( ) + f ( ) + 7 Como f ( ) y f ( ) > n hay un mínimo Como f ( ) y f ( ) < n hay un máimo Como f () y f () > n hay un mínimo 9 Balars, junio Calcula la intgra indfinida siguint: d ( + ) Hay qu dscomponr n fraccions simpls la función racional dl intgrando + 5 A B C A+ B( + ) + C( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Idntificando coficints s tndrá: + 5 A+ B( + ) + C( + ) + 5 C + ( B+ 6C) + A+ B+ 9C C B+ 6C C ; B ; A 5 A + B + 9C Por tanto: + 5 ( ) d d d d ( ) d ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) + + c + c + c ( ) ( ) Balars, junio a) Dmustra qu s la única raíz (ral) d la cuación b) Dmustra qu s la única raíz d la cuación + a) Es vidnt qu s solución d la cuación dada; por tanto, s pud scribir: ( ) 8 ± 5 7 El sgundo factor nunca s anula, pus , qu no s 5 ral (Sin ncsidad d cálculos pud obsrvars qu los trs sumandos d la prsión son positivos simpr qu ) b) Si s considra la función g ( ), qu s continua y drivabl, s obsrva g () ; lugo s raíz d la cuación + Drivando:

8 ANÁLISIS (Slctividad 5) 8 g ( ) s candidato a máimo o mínimo Si <, g ( ) < g s dcrcint Si >, g ( ) > g s crcint Por tanto, n s tin un mínimo absoluto Como, admás, g (), la función g ( ) sólo s anula n s punto, lo qu significa d s la única raíz d la cuación + Canarias, junio 5 Considrmos la función f( ) ln ( ) cuación d la rcta tangnt a la curva y ln ( ) dfinida n l intrvalo [, + ] Dtrminar la qu sa paralla a la rcta qu pasa por los puntos P(, ) y Q( +, ) (,5 puntos) La rcta qu pasa por los puntos P(, ) y Q( +, ) tin por cuación: + ( ) λ r : y y ( ) y λ Si la tangnt pdida s paralla a lla, su pndint db sr la misma Por tanto, la drivada n l punto d tangncia valdrá f ( ) D f( ) ln ( ) f ( ) La cuación d dicha tangnt s: y f() f ()( ) yln ( ) ( ) Canarias, junio 5 Calcular las intgrals indfinidas siguints d a) b) ( + ) 7 d (,5 puntos) ( + ) + a) Si s hac + t d dt d dt Por tanto: d ( + ) + t + t + t t + + t arctan arctan + c + + c dt dt dt dt b) Es prácticamnt inmdiata Bastaría con ajustar constant También pud hacrs l cambio Lugo: + t d dt d dt

9 ANÁLISIS (Slctividad 5) 9 ( + ) 7 d ( ) t + d t dt + c + c + c t 8 Canarias, junio 5 La boca d un túnl tin la forma d un rctángulo coronado por un smicírculo como s mustra n la figura Encontrar las mdidas dl túnl qu dj pasar más luz si l prímtro d la figura mid 5 mtros Djará pasar más luz cuando la suprfici d la boca dl túnl sa máima La scción dl túnl stá formada por un rctángulo y por un smicírculo ( + ) Si la bas dl rctángulo s y la altura y, la suma d las áras dl smicírculo y dl rctángulo srá: S π + y El prímtro s la suma: ancho dl túnl + altura d las dos pards latrals + longitud dl arco Si val 5 m + y+π 5 5π Dspjando la incógnita y y sustituyndo n la función d ára s tin: y π π Lugo: S ( ) + ( 5π ) El máimo d S s obtin n la solución d S qu hac ngativa a S ( 8 + π) S ( ), 7 m 8+ π 8+ π Como S ( ) <, para s valor d s tin l máimo buscado El ancho dl túnl srá d, m; 5, 7 π, 7 la altura d las pards latrals y,7 m; y su altura máima srá también d, m Cantabria, junio 5 Considra la función ( ) ( / f( ) + ) a) Calcula lim f( ) + b) Calcula la drivada d f( ) a) lim f( ) ( ) ( / ) + lim + Rsulta una forma indtrminada + + Tomando logaritmos y aplicando la rgla d L Hôpital s tin: ( ) ( / ) ( ) ( / ) ln lim + lim ln + lim ln ( + ) [ ] + + +

10 ANÁLISIS (Slctividad 5) ln ( + ) lim ( LH ) lim lim LH lim ( ) (oprando) ( ) ( / ) lim + + b) Para calcular la drivada d f( ) hay qu aplicar logaritmos ( ) ( / ) ln f( ) ln + ln f( ) ln ( + ) Drivando: f ( ) ln ( ) ln ( ) f( ) ( / ) ( f ( ) + ln + ) Cantabria, junio 5 Considrmos l rctángulo d vértics (, ), (, ), ( ), f( ), (, f( ) ), tal y como indica la figura, dond y f( ) 8 8 a) Calcula l valor d para qu l ára dl rctángulo sa máima Calcula l ára d dicho rctángulo b) Calcula l ára dl rcinto ncrrado bajo la gráfica d f( ) ntr a) El ára dl rctángulo indicado s: S f( ) Djando variabl: S( ) f( ) ( 8 8 ) 8 8 Esa suprfici srá máima n la solución d S ( ) qu haga ngativa a S ( ) 6 ± 76 S ( ) 8 6 S ( ),75 8 / Como S ( ) 6 8 y S (, 75) <, para s valor s tin l máimo buscado El valor d sa ára srá: S (, 75) 8, 75, 75 8, 75 8, 75 u b) El ára d s rcinto vin dada por la intgral: ( 8 8 ) d 8 8 u 6

11 ANÁLISIS (Slctividad 5) 6 Castilla La Mancha, junio 5 sin Dada la función f ( ) + + a + b, a, b R: a) Dtrmina los parámtros a, b R sabindo qu la gráfica d f( ) pasa por l punto (, ) y qu n dicho punto tin un trmo rlativo (,5 puntos) b) Para los valors d los parámtros ncontrados, studia si dicho trmo rlativo s un máimo o un mínimo ( punto) a) Si la gráfica d f( ) pasa por l punto (,) y qu n dicho punto tin un trmo rlativo, ntoncs: f () y f () sin sin f ( ) + + a + b f ( ) cos + + a f () + b b f () + a a sin La función srá: f( ) + + sin sin sin b) f ( ) cos + f ( ) sin + cos + Como f () + >, n s tin un mínimo 7 Castilla La Mancha, junio 5 Calcula l domino y las asíntotas d las siguints funcions: f( ), g ( ) + f( ) : stá dfinida simpr qu y Dom(f) [, ) (, + ) Vamos si tin una asíntota vrtical n ( )( ) + lim lim lim + + lim ( ) ( )( + ) ( + ) ( )( ) ( )( ) lim Como ist l límit, la función no tin asíntotas vrticals Asíntota horizontal? lim lim la rcta y s asíntota horizontal Asíntota oblicua? f( ) lim lim lim ( LH ) No tin asíntota oblicua lim

12 ANÁLISIS (Slctividad 5) g ( ) : no stá dfinida cuando + ( ) + Por tanto, Dom(g) R {} Tin una asíntota vrtical n, pus: 8 lim + También tin una asíntota oblicua pus s un fracción racional con grado dl numrador uno más qu l dl dnominador f( ) lim lim m + lim + n lim ( f ( ) m) lim lim + + La asíntota s la rcta y + 8 Castilla La Mancha, junio 5 Dada la función ( ) ( ) f +, s pid: a) Calcula los intrvalos d concavidad y convidad y los puntos d inflión d f( ) (,5 puntos) b) Encuntra una primitiva d la función f( ) qu pas por l orign d coordnadas (,5 puntos) a) Drivando dos vcs: f( ) f ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( + 8) f La drivada sgunda s anula n, qu pud sr un punto d inflión Si <, f ( ) < f( ) s cóncava ( ) Si >, f ( ) > f( ) s conva ( ) Por tanto, n s da un punto d inflión d b) ( ) + d d + d La primra intgral, Tomando: u y dv d du d y v Lugo, d d Como d + c, s tndrá qu:, db hacrs por parts; la sgunda s inmdiata

13 ANÁLISIS (Slctividad 5) ( ) F( ) + d d + d + + c + + c Si s quir qu F () (qu pas por l orign d coordnadas, punto (, )) + + c c Lugo F( ) + 9 Castilla y Lón, junio 5 Dtrminar los vértics dl rctángulo d ára máima qu tin lados parallos a los js d coordnadas y vértics n l bord dl rcinto dlimitado por las gráficas d las funcions f( ) y g ( ) La situación s la qu s indica n la figura d la drcha El rctángulo tndrá d bas, y d altura Su ára, qu dpnd dl valor d lgido, vndrá dada por la función: A ( ) ( ) El máimo d A s obtin n la solución d A qu hac ngativa a A Drivando: A ( ) Como A ( ) A / <, para s valor d s obtin l ára máima, y ( ) Los vértics son:, ; 5, ;, ; 5, Castilla y Lón, junio 5 a) Sa g ( ) una función continua y drivabl n toda la rcta ral tal qu g () y g () Probar qu ist algún punto c dl intrvalo (, ) tal qu g ( c ) ( punto) b) Hallar la función f( ) qu cumpl f ( ) ln ( + ) y f () (,5 puntos) a) Es una conscuncia dl torma dl valor mdio, qu dic: Si f () s continua n [a, b] y f ( b) f ( a) drivabl n (a, b), ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu f ( c) b a En st caso, la función g ( ) cumpl las hipótsis dl torma n l intrvalo [, ], lugo g() g() ist algún punto c (, ) tal qu g ( c) g() g() Como g ( c ), qu ra lo s pdía

14 ANÁLISIS (Slctividad 5) b) La función ( ) f d Pud hacrs mdiant un cambio d variabl y aplicando l método d parts Si s hac l cambio + t d dt, ntoncs: ln ( + ) d ln ( + ) d ( ln t) dt La intgral ln t dt pud hacrs por parts Tomando: u ln t du dt t dv dt v t f s obtin intgrado: ( ) ln ( + ) ( ) ln t dt t lnt dt t lnt t + c t lnt + c Dshacindo l cambio: ln ( + ) d ln ( + ) d ( ln t) dt ( + ) ( ln ( + ) ) + c Como s dsa qu f () ( + ) ( ln( + ) ) + c ( ) + c c Por tanto, la función s: f( ) ( + ) ( ln ( + ) ) + Castilla y Lón, junio 5 Dada la función f( ), dtrminar su dominio, asíntotas, intrvalos d crciminto y ln dcrciminto y trmos rlativos Esbozar su gráfica (,5 puntos) La función stá dfinida cuando lo stá ln : por tanto, cuando > Dom(f) (, + ) Asíntota vrtical? Pud dars cuando s anula l dnominador, n En fcto, como lim ln, la rcta s asíntota vrtical d la curva Pud vrs qu: lim ln Por la izquirda, cuando, la curva tind a + lim + ln + + Por la drcha, cuando, la curva tind a + Asíntota horizontal? lim ( LH ) lim ln / No tin asíntota horizontal Asíntota oblicua?

15 ANÁLISIS (Slctividad 5) 5 f( ) ln lim lim lim Tampoco tin asíntota oblicua ln Crciminto y dcrciminto ln f( ) f ( ) ln ( ln ) La drivada s anula cuando ln Con sto: Si < <, f ( ) < f( ) dcrc Si < <, f ( ) < f( ) dcrc Si >, f ( ) > f( ) crc Por tanto, n s da un mínimo rlativo Para hacr un sbozo d su gráfica convin dar algunos valors:,5 f (,5), 7 ; f (),89 ; ln,5 ln 5 f( ),7 (mínimo); f (5), ln ln 5 También pud obsrvars qu lim + ln Su gráfica s la adjunta Castilla y Lón, junio 5 a) Calcular lim ln( + ) b) Calcular l ára dl rcinto dlimitado por las gráficas d las funcions f( ), g ( ) y la rcta a) lim ln ( + ) Forma indtrminada: pud rsolvrs oprando y aplicando L Hôpital ln ( + ) lim lim ( LH ) lim + ln ( ) ln ( ) + + ln ( + ) + + lim ( LH ) lim + ln + + ln ( ) ( ) ( )

16 ANÁLISIS (Slctividad 5) 6 b) Las gráficas d las funcions f( ) y g ( ) s cortan n la solución d Por tanto, l ára pdida vin dada por S d ln + + ( + ) u Castilla y Lón, sptimbr 5 a + b + c, si Considrmos la función dfinida a trozos f( ) ln( ), si > Hallar los valors d a, b y c para qu f( ) sa continua n toda la rcta ral y tnga un trmo rlativo n l punto (, ) (,5 puntos) Por sparado, para cada intrvalo d dfinición, las funcions dadas son continuas y drivabls El único punto conflictivo s, n dond las funcions difirn a izquirda y drcha En s punto la función stá dfinida, sindo f() a+ b+ c; para qu sa continua, admás, db tnr límit n (dbn sr iguals los límits latrals) y coincidir con su valor d dfinición Vamos: Si ( ), lim f ( ) lim a + b + c a + b + c Si + f ( ), lim ( ) lim ln ln + + Ambos límits coincidn si a+ b+ c Como pasa por l punto (, ) f () a+ b+ c Y por tnr n máimo n s punto: () f ( ) a + b a+ b f ( ) a+ b+ c Por tanto s tin l sistma: a + b + c a + b a+ b+ c a+ ( a) + c c Con solución: a+ b+ c a+ ( a) + c a a b b a + b Cataluña, junio 5

17 ANÁLISIS (Slctividad 5) 7 a) La cuación d la rcta tangnt a f () n l punto d abscisa a, n l punto (a, f(a)) s: y f ( a) f ( a)( a) En st caso: f( ) f ( ) ; f () 8 ; f () La tangnt pdida s: y 8 y 6 ( ) b) La curva y la rcta s cortan n las solucions d ( )( ) ( ) ( ) (La solución s v a ojo; l factor ( + ) s halla dividindo; la dscomposición final s dtrmina hacindo la cuación d sgundo grado asociada) Convin hacr un sbozo gráfico, qu n st caso rsulta muy sncillo pus la funcions son conocidas Con sto, l ára pdida vin dada por l valor d la intgral: ( + ) d u ( 6 ) 5 Cataluña, junio 5 a) El ára d la purta s la suma d las áras dl smicírculo y dl rctángulo Esto s: S π + y π f (, y) + y 8 b) El prímtro s la suma: ancho d la purta + altura d las dos columnas + longitud dl arco Si val m + y+π Dspjando la incógnita y y sustituyndo n la función d ára s tin:

18 ANÁLISIS (Slctividad 5) 8 π + y+π + y+π y π π π 8 π f (, y) + y S ( ) + S ( ) El máimo d S s obtin n la solución d S qu hac ngativa a S 8 8π 8 S ( ) 5, 6 m 8 8+ π π Como S ( ) <, para s valor d s tin l máimo buscado 5, 6 π 5, 6 La altura d la columna db sr y,8 m 6 Comunidad Valnciana, junio 5 Un publo stá situado n l punto A(, ) d un sistma d rfrncia cartsiano El tramo d un río situado n l término municipal dl publo dscrib la curva y, sindo 6 6 Obtnr razonadamnt, scribindo todos los pasos dl razonaminto utilizado: a) La distancia ntr un punto P(, y) dl río y l publo n función d la abscisa d P ( puntos) b) El punto o puntos dl tramo dl río situados a distancia mínima dl publo ( puntos) c) El punto o puntos dl tramo dl río situados a distancia máima dl publo ( puntos) a) La situación s como la rprsntada n la figura adjunta El punto P tin coordnadas P, La distancia d A a P s d( AP, ) b) Los valors máimos y mínimos s obtin n las solucions d d qu hacn, rspctivamnt, ngativa o positiva a d (Como n st caso la drivada sgunda rsultará ngorrosa, una altrnativa al studio d la distancia d s l studio d D d + 6, 6 pus como d > su valor srá máimo, o mínimo, cuando lo sa D) Drivando: D + 6 D D D ( 8) ; ± 8 6 Como D () <, n l caso d s tin un máimo rlativo 8 Como D ( ± 8 ) >, para los valors d ± 8 s obtin sndos mínimos 6 P 8, Esos puntos son ( 8,) P y ( )

19 ANÁLISIS (Slctividad 5) 9 c) La solución asociada a, punto O(, ), corrspond a un máimo rlativo, pus las distancias d A a los puntos (6, 9) y ( 6, 9) son las mayors d( AO, ) ; d( A ) d( A ),(6,9),( 6,9) Comunidad Valnciana, julio 5 S va a construir un dpósito d 5 m d capacidad, con forma d caja abirta por la part suprior Su bas s pus un cuadrado y las pards latrals son cuatro rctángulos iguals prpndiculars a la bas El prcio d cada m d la bas s d 5 y l prcio d cada m d pard latral s d 5 Obtnr razonadamnt, scribindo todos los pasos dl razonaminto utilizado: a) El cost total dl dpósito n función d la longitud d un lado d su bas ( puntos) b) Las longituds dl lado d la bas y d la altura dl dpósito para qu dicho cost total sa mínimo (5 puntos) c) El valor dl mínimo cost total dl dpósito ( puntos) a) Si l lado d la bas s y su altura y, s cumpl: V y 5 El cost dl dpósito srá: bas: 5 ; pards latrals: 5 y Total: C(, y) 5 + y 5 Como d V y 5 y, sustituyndo n la función d cost s tin: 5 C ( ) 5 + C ( ) 5 + b) Drivando: C ( ) (para mínimo, C ( ) ) 6 Como C ( ) + s positiva para s confirma qu la solución s buna Si m y 5 m c) El cost mínimo srá C (,) Etrmadura, junio 5 a) Enuncia l torma d Bolzano b) Utilizando l torma d Bolzano, ncuntra un intrvalo d la rcta ral n l qu la función polinómica p ( ) + tnga alguna raíz c) Utilizando l torma d Bolzano, dmustra qu las gráficas d las funcions f( ) + ln ( + ) y g ( ) + s cortan n algún punto

20 ANÁLISIS (Slctividad 5) a) El torma d Bolzano asgura qu si una función continua n un intrvalo crrado toma signos distintos n sus trmos, ntoncs corta al j n algún punto d s intrvalo Dic lo siguint: Si f () s una función continua n l intrvalo crrado [a, b] y toma valors d distinto signo n sus trmos ( f ( a) < < f ( b) o f ( a) > > f ( b) ), ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu f ( c) Esto s, si la función s ngativa n a ( f ( a) < ) y positiva n b ( f ( b) > ), ntoncs s anula n algún punto c ntr a y b ( f ( c) ) Gométricamnt, sto significa qu si f ( a) < y f ( b) >, ntoncs la gráfica d f () corta al j OX n un punto, al mnos (Análogamnt si f ( a) > y f(b) <) Dsd l punto d vista algbraico, st torma asgura qu si f ( a) < y f ( b) >, ntoncs la cuación f ( ) tin una solución ntr a y b Esa solución srá l punto c cuya istncia afirma l torma b) La función polinómica p ( ) + s continua n toda la rcta ral; admás, vrifica qu p( ) y p () Por tanto tin una raíz n l intrvalo (, ) c) Las gráficas d las funcions f( ) ln ( ) + + y g ( ) + s cortan n algún punto si s cumpl qu f( ) g ( ) f( ) g ( ) h ( ) f( ) g ( ) + ln + ln + s una función continua Como ( ) ( ) ( ) n todo R y cumpl qu h () y h () ln 5 >, ntoncs ist algún punto c (, ) tal qu hc () 9 Galicia, junio 5 a) Dfinición intrprtación gométrica d la drivada d una función n un punto b) Calcula los valors d b y c para qu la función ln ( + ) si < f( ) + b + c si sa drivabl n (Nota: ln logaritmo npriano) a) Pud vrs n cualquir libro También n Tma 8 d matmaticasjmmmcom b) Primro hay qu vr la continuidad n : lim f ( ) lim ln ln lim f ( ) lim + b + c c ( + ) ; ( ) Como los límits dbn sr iguals c Drivando: + +

21 ANÁLISIS (Slctividad 5) si < f ( ) + + b si > lim f( ) lim + Galicia, junio 5 La gráfica d una función ( ) ( ) f convidad d f( ) La función ( ) ; lim ( ) lim ( ) f + b b b + + Dtrmina la función ( ) ( ) f d Pud hacrs por parts tomando: u y Por tanto: f( ) pasa por l orign d coordnadas y su drivada s f y calcula los intrvalos d concavidad y dv d du d y v d ( ) ( ) f ( ) d + d + + c 9 Como pasa por l orign d coordnadas f () c + c c Lugo, f( ) Concavidad y convidad: ( ) ( ) f f ( ) + ( ) ( 5 ) La drivada sgunda s anula n 5/ Con sto: Si < 5/, f ( ) > f( ) s conva ( ) Si > 5/, f ( ) < f( ) s cóncava ( ) Por tanto, n 5/ s tin un punto d inflión La Rioja, junio 5 Sa f( ) + i) Dtrmina l dominio d f ii) Halla sus asíntotas iii) Dtrmina los trmos rlativos y studia la monotonía d f iv) Dibuja la gráfica d f dstacando los lmntos hallados antriormnt i) Dom(f) R, pus l radicando nunca s ngativo la cuación + no tin raícs rals ii) Es vidnt qu la función no tin asíntotas vrticals ni horizontals Vamos si tin oblicuas

22 ANÁLISIS (Slctividad 5) La rcta y m + n s asíntota oblicua d la curva f () cuando s cumpl qu: f( ) lim m, m y ; n lim ( f ( ) m), n ± ± En st caso: m lim lim lim ± ± ± ± Para m, ( ) [ ] n lim + lim + ( + + ) + ( + )( + + ) ( + + ) + n lim (obvio los dtalls d cálculo: s divid por ) + Para m, ( ) [ ] n lim + + lim + n lim ( + + ) Por tanto, la función tin dos asíntotas oblicuas: iii) Drivando: f ( ) + f ( ) Si <, f ( ) < la función dcrc Si >, f ( ) > la función crc En s da un mínimo iv) La gráfica s la adjunta ( + + )( + ) ( + ) y hacia + ; y + hacia Madrid, junio 5 ln ( + ) Dada la función: f( ) +, dond ln dnota l logaritmo npriano, s pid: + a) (,5 puntos) Dtrmina l dominio d f y sus asíntotas b) (,75 puntos) Calcula la rcta tangnt a la curva y f( ) n c) (,75 puntos) Calcula f ( ) d

23 ANÁLISIS (Slctividad 5) a) Dominio: hay qu igir qu >, para qu ista ln ( + ) tomar l valor : ; + ±; Por tanto: Dom( f ) (, + ) { } (, ) (, + ) ; admás los dnominadors no pudn La función pud tnr asíntotas vrticals n, por la drcha, y n Vamos: ln ( + ) En : lim s una AV por la drcha ln ( + ) ln En : lim s otra AV También s posibl qu tnga una asíntota horizontal Hay qu calcular: ln ( + ) ln ( + ) lim + lim + lim El sgundo límit pud hacrs por L Hôpital: ln ( + ) lim ( LH ) lim + + Por tanto, la rcta y s asíntota horizontal b) Drivando: ( ) ( + ) ln ( + ) + ln ( + ) + ( + ) f ( ) + + ( ) ( ) ln Como f () +, la rcta tangnt n s: y f() f () y f () ( ) ( ) ln + ln + c) f ( ) d + d d d La primra intgral s inmdiata: d d ln ( ) + c La sgunda intgral pud hacrs con ayuda dl cambio ln( + ) t, pus ln ( + ) t d ln ( + ) d tdt + c + + Por tanto: ln ( ) ln ( ) d ( ( + )) ln + + c ( ln ( + ) ) + c d dt + y:

24 ANÁLISIS (Slctividad 5) Madrid, sptimbr 5 a) (,5 puntos) Estudiar l crciminto d la función f( ) b) (,5 puntos) Dmostrar qu la cuación tin una única solución ral y localizar un intrvalo d longitud qu la contnga a) Drivando igualando a : 6 ± 6 96 f ( ) : no tin solución La función drivada simpr s positiva (como nunca toma l valor y, por jmplo, f () >, al sr una función continua, simpr srá positiva) Por tanto, la función simpr s crcint b) Hay qu aplicar Bolzano: Si f () s una función continua n l intrvalo crrado [a, b] y toma valors d distinto signo n sus trmos ( f ( a) < < f ( b) o f ( a) > > f ( b) ), ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu f ( c) Como: f () > y f ( ) + < la función corta n algún punto dl intrvalo (, ) al sr simpr crcint no pud volvr a cortar Madrid, sptimbr 5 a) ( punto) Calcular la intgral dfinida ( ) d b) ( punto) Calcular lim ( ) y lim ( ) + a) Cálculo d una primitiva d ( ) ( ) d d d ( ) La primra intgral s inmdiata; la sgunda db hacrs por parts d : Tomando: u du d ; dv d v Lugo: d d + Por tanto: ( ) d lim lim lim lim lim + + b) ( ) ( LH) ( )

25 ANÁLISIS (Slctividad 5) 5 5 Murcia, junio 5 / + a) Calcula lim / + / + b) Calcula lim + / + / + c) Es continua la función f( ) n? Justifica la rspusta / + En los dos casos db tnrs n cunta qu: / / lim ; lim + a) Sustituyndo: / lim / / + / + + b) Sra ncsario aplicar la rgla d L Hôpital y oprar / lim ( ) lim lim LH / / lim lim / + / + + / / / / ( ) / + c) La función f( ) no s continua n, pus no tin límit n s punto: no / + coincidn los límits latrals, como s ha visto más arriba 6 Murcia, junio 5 a) Calcula arctan d b) D todas las primitivas d la función f( ) arctan, ncuntra la qu pasa por l punto d coordnadas (, ) a) Esta intgral db hacrs por l método d parts Si s toma: u arctan du d + arctan d arctan d dv d + v La sgunda intgral s hac como sigu: + d d d arctan Por tanto:

26 ANÁLISIS (Slctividad 5) 6 arctan d arctan d + arctan + arctan + c b) Las primitivas d f( ) arctan son F( ) arctan + arctan + c Si s dsa qu una primitiva pas por l punto (, ) F () Como F() arctan + arctan + c c La primitiva buscada srá F( ) arctan + arctan 7 Murcia, junio 5 Considra l rcinto limitado por la gráfica d las funcions f( ) sin y g ( ) tan n l primr cuadrant dl plano XY, qu stá rprsntado n la figura adjunta a) Dtrmina los puntos d cort d dichas gráficas b) Calcula l ára d dicho rcinto Pud obsrvars qu las scalas d los js no son las mismas a) Los puntos d cort s obtinn rsolvindo la cuación sin tan : sin sin tan sin sin cos sin sin ( cos ) cos sin Los puntos d cort son O (,) y P cos π ( π /, ) / b) El ára pdida vin dada por l valor d la intgral ( sin tan ) π/ d sin, s tin qu: cos Como sin d tan d cos + d cos + ln ( cos ) π/ ( sin tan ) d ( cos π ln(cos ) ) / π π cos + ln cos ( cos + ln(cos ) ) + 8 Navarra, junio 5 Dmustra qu istn α (, ) y β (, ), α β, tals qu ( ) ( ) + π + ln ( + ln) ln u f ( α ) f ( β ), sindo f( ) + sin ( puntos) La función dada s continua y drivabl n l intrvalo [, ] Admás f( ) f() ; y también f () Por tanto s cumpln las hipótsis dl torma d Roll n los intrvalos (, ) y (, ) En conscuncia: n l intrvalo (, ) ist un α (, ) tal qu f ( α ) n l intrvalo (, ) ist un β (, ) tal qu f ( β ) Naturalmnt α β, pus prtncn a distintos intrvalos disjuntos

27 ANÁLISIS (Slctividad 5) 7 9 País Vasco, junio 5 Dado l polinomio P( ) + a + b + c a) Dtrminar los coficints a, b y c sabindo qu tin trmos rlativos n y n y qu admás pasa por l orign d coordnadas b) Estudiar la naturalza d ambos trmos rlativos (si son máimos o mínimos) y ralizar un dibujo aproimado dl polinomio P( ) + a + b + c P ( ) + a + b P ( ) 6+ a Por tnr trmos rlativos n y n : P ( ) y P () P ( ) a+ b b ; a P () + a+ b Por pasar por l orign d coordnadas: P () c Por tanto, l polinomio s P ( ) b) Como P ( ) 6, s tin qu: P ( ) 6 < n hay un máimo P () 6 > n hay un mínimo En hay una inflión Estudio dl crciminto y dcrciminto Si <, P ( ) > la función crc Si < <, P ( ) < la función dcrc Si >, P ( ) > la función crc Algunos valors: (, ); (, ); (, ); (, ); (, ) Y corta al j OX n los puntos: ;; Con todos sos datos pud trazars la gráfica adjunta