ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2015

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2015"

Transcripción

1 ANÁLISIS (Slctividad 5) ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 5 Andalucía, junio 5 Sa f la función dfinida por f( ) para a) [ punto] Estudia y calcula las asíntotas d la gráfica d f b) [,5 puntos] Halla los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) d f a) La función no stá dfinida n En s punto tin asíntota vrtical, pus: lim, la rcta s asíntota vrtical d la curva Pud vrs qu: lim Por la izquirda, cuando, la curva tind a + lim Por la drcha, cuando, la curva tind a + Asíntota horizontal? lim ( LH ) lim No tin asíntota horizontal Asíntota oblicua? f( ) lim lim ( LH ) lim ( LH ) lim Tampoco tin asíntota oblicua b) Drivando: ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) s anula n Con sto: Si <, f ( ) < f( ) dcrc Si < <, f ( ) < f( ) dcrc Si >, f ( ) > f( ) crc Por tanto, n s da un mínimo rlativo, con Su gráfica s la adjunta La drivada f() Andalucía, junio 5 ln( ) Sa f la función dfinida por f( ) para > (ln dnota la función logaritmo npriano) y sa F la primitiva d f tal qu F() a) [,5 puntos] Calcula F () b) [ puntos] Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d F n l punto d abscisa

2 ANÁLISIS (Slctividad 5) a) Por l torma fundamntal dl cálculo: F ( ) f( ) ln F ( ) b) La rcta tangnt pdida tin por cuación y F () F () ( ) Para hallar F () hay qu dtrminar la cuación d F( ), la primitiva d f( ) ln( ) La primitiva, F( ) d, pud hacrs por parts Tomando: u ln y dv d du d y v d ln Por tanto: ln ln ln ln F( ) d ln ln d d + d ln ln ln ln d ln ln d ( ln ) + c Esto s: F( ) ( ln ) + c Como F () F() ( ln) + c c Lugo F( ) ( ln ) + ; y, por tanto, F ( ) ( ln ) + 9 Por consiguint, la rcta pdida s: y 9 ( ) Aragón, junio 5 Considra la función f( ) a) (,5 puntos) Dtrmina los máimos rlativos, los mínimos rlativos y los puntos d inflión, si istn, d la función cos ( ) b) (,5 puntos) Usando l cambio d variabl t cos, calcula d sin( ) c) ) ( punto) Calcula los valors d a y b para qu la función f ( ) a + b tnga un trmo rlativo n l punto (, ) ) ( punto) Calcula l ára ncrrada por la curva f( ) y la part positiva dl j OX a) Drivando dos vcs la función f( ) ( ) ( ) + + f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( )

3 ANÁLISIS (Slctividad 5) La drivada primra s anula cuando + + ; Como f ( ) > n s tin un mínimo rlativo Como f () < n s tin un máimo rlativo ± 5 La drivada sgunda s anula cuando + 5 Por tanto, n sos puntos la función tndrá sndos d inflión Obsrvación: La sguridad d qu son puntos d inflión s obtin hacindo la drivada + 6 trcra y comprobando qu no s anula para sos valors f ( ) b) Si t cos Por tanto: dt sin d d sin dt dt dt cos t cos ( ) t t d dt dt sin( ) t t t t + + dt dt t dt t t t La sgunda intgral pud hacrs por dscomposición n fraccions simpls: / / ln ( ) ln ( ) t dt dt t t + ln t t t+ t+ (Omito dtalls) Por tanto: cos ( ) t t d dt t + ln + c sin( ) t t+ Dshacindo l cambio, cos ( ) cos d cos + ln + c sin( ) cos + c) ) f ( ) a + b f ( ) a + b Tndrá un trmo rlativo n l punto (, ) si: a+ b f() ; f () a ; b 6 a+ b c) ) La función ( ) f( ) corta al j OX cuando ; / Por tanto, l ára pdida vin dada por / / ( ) d u 8

4 ANÁLISIS (Slctividad 5) Obsrvación: El valor absoluto s ncsario por star l rcinto por dbajo dl j OX Es obvio qu l valor absoluto db ponrs cuando s obtin un rsultado ngativo para l ára Aragón, junio 5 a) ( puntos) Calcula las dimnsions d trs campos cuadrados qu no tinn ningún lado común y qu satisfacn qu l prímtro d uno d llos s tripl qu l d otro y, admás, s ncsitan 8 mtros d valla para vallar compltamnt los trs campos, d manra qu la suma d las áras s la mínima posibl b) (,5 puntos) Usando l cambio d variabl t, calcula d c) (,5 puntos) Calcula: lim ln a) San, y, z las longituds d los lados d cada uno d los trs campos Supongamos qu y, sto s, l campo d lado y tin prímtro tripl qu l campo d lado S cumpl qu: + y+ z 8 + y+ z + + z z S dsa qu la suma d las áras, S + y + z, sa mínima Eprsando todo n función d : S ( ) + ( ) + ( ) + ( ) El mínimo s da n la solución d S qu haga positiva a S S ( ) + ( ) ( ) S ( ) Como S ( ) 5 >, para s valor s da l mínimo buscado Con sto, las dimnsions d los campos son: 8 m; y m; z m dt b) Si t dt d d t Lugo: t dt t d dt t t t t t + dt + dt t + dt t t t La sgunda intgral s hac por dscomposición n fraccions simpls A B At ( + ) + Bt ( ) + t t t+ t A, B Lugo: dt dt t t t + ln ( t ) ln ( t + ) Dshacindo los cambios y oprando: d + ln ( ) ln ( + ) + c

5 ANÁLISIS (Slctividad 5) 5 c) lim ln Forma indtrminada: pud rsolvrs oprando y aplicando L Hôpital ln + lim lim ( ) lim LH lim ln ( ) ln ln + ln + ( LH ) lim ln Asturias, junio 5 Ejrcicio - El propitario d la mprsa Asturfabril ha stimado qu si compra máquinas y contrata y mplados, l númro d unidads d producto qu podía fabricar vndría dado por la función f(, y) 9 y Sabindo qu tin un prsupusto d 5, qu cada máquina supon una invrsión d 5 y cada contrato d un nuvo mplado 5, dtrmin l númro d obrros qu db contratar y l númro d máquinas qu db comprar para optimizar la producción (,5 puntos) Si compra máquinas y contrata a y mplados, invirt 5+ 5y: como su prsupusto s d 5 db cumplirs qu: 5+ 5y 5 5+ y 5 5 y Dspjando: 5 La función qu hay qu optimizar dpnd d dos variabls, pro sustituyndo valor d, s tin: 5 y 7 f(, y) 9 y f( y) 9 y f( y) 8 y y 5 5 El máimo d sta nuva función s obtin n las solucions d f ( y ) qu hacn ngativa a f ( y ) 8 8 f ( y) 6y y f ( y) 6 y y y o y f ( y) 6 y f () 6 > ; f () 6 < 5 Por tanto, la producción máima s obtin contratando a nuvos mplados y comparando máquinas; pus si y, 6 Asturias, junio 5 Obtén lim cotan El límit indicado s indtrminado, pus sustituyndo: lim cotan cotan Habrá qu hacr alguna transformación algbraica y aplicar L Hôpital

6 ANÁLISIS (Slctividad 5) 6 cos cos sin lim cotan lim lim sin sin Ahora pud aplicars la rgla d L Hôpital: cos sin cos sin cos sin lim ( LH ) lim lim sin sin + cos sin + cos Otra vz s aplica L Hôpital: sin sin cos lim ( LH ) lim sin + cos cos + cos sin 7 Asturias, sptimbr 5 ln ( + ) sin Calcula lim sin El límit indicado s indtrminado, pus sustituyndo: ln ( + ) sin lim sin Aplicando L Hôpital ln ( + cos ) sin lim ( ) lim LH + sin sin + cos + S aplica d nuvo L Hôpital: ( ) + sin cos lim + + ( LH ) lim sin + cos cos + cos sin 8 Asturias, sptimbr 5 S sab qu la drivada d una función f( ) s f ( ) ( + ) ( ) a) Dtrmina la función f sabindo qu f () ( punto) 7 b) Halla los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los máimos y mínimos d f( ) (,5 puntos) a) La función ( ) f ( ) + : f srá una primitiva d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) + d + d + + c Como s sab qu f () c Lugo f( ) b) Como f ( ) ( ) ( ) + s anula n los puntos, y, s tndrá: Si <, f ( ) < f( ) s dcrcint Si < <, f ( ) > f( ) s crcint n hay un mínimo Si < <, f ( ) < f( ) s dcrcint n hay un máimo

7 ANÁLISIS (Slctividad 5) 7 Si >, f ( ) > f( ) s crcint n hay un mínimo Los máimos y mínimos pudn dtrminars también mdiant la drivada sgunda f( ) + + f ( ) + f ( ) + 7 Como f ( ) y f ( ) > n hay un mínimo Como f ( ) y f ( ) < n hay un máimo Como f () y f () > n hay un mínimo 9 Balars, junio Calcula la intgra indfinida siguint: d ( + ) Hay qu dscomponr n fraccions simpls la función racional dl intgrando + 5 A B C A+ B( + ) + C( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Idntificando coficints s tndrá: + 5 A+ B( + ) + C( + ) + 5 C + ( B+ 6C) + A+ B+ 9C C B+ 6C C ; B ; A 5 A + B + 9C Por tanto: + 5 ( ) d d d d ( ) d ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) + + c + c + c ( ) ( ) Balars, junio a) Dmustra qu s la única raíz (ral) d la cuación b) Dmustra qu s la única raíz d la cuación + a) Es vidnt qu s solución d la cuación dada; por tanto, s pud scribir: ( ) 8 ± 5 7 El sgundo factor nunca s anula, pus , qu no s 5 ral (Sin ncsidad d cálculos pud obsrvars qu los trs sumandos d la prsión son positivos simpr qu ) b) Si s considra la función g ( ), qu s continua y drivabl, s obsrva g () ; lugo s raíz d la cuación + Drivando:

8 ANÁLISIS (Slctividad 5) 8 g ( ) s candidato a máimo o mínimo Si <, g ( ) < g s dcrcint Si >, g ( ) > g s crcint Por tanto, n s tin un mínimo absoluto Como, admás, g (), la función g ( ) sólo s anula n s punto, lo qu significa d s la única raíz d la cuación + Canarias, junio 5 Considrmos la función f( ) ln ( ) cuación d la rcta tangnt a la curva y ln ( ) dfinida n l intrvalo [, + ] Dtrminar la qu sa paralla a la rcta qu pasa por los puntos P(, ) y Q( +, ) (,5 puntos) La rcta qu pasa por los puntos P(, ) y Q( +, ) tin por cuación: + ( ) λ r : y y ( ) y λ Si la tangnt pdida s paralla a lla, su pndint db sr la misma Por tanto, la drivada n l punto d tangncia valdrá f ( ) D f( ) ln ( ) f ( ) La cuación d dicha tangnt s: y f() f ()( ) yln ( ) ( ) Canarias, junio 5 Calcular las intgrals indfinidas siguints d a) b) ( + ) 7 d (,5 puntos) ( + ) + a) Si s hac + t d dt d dt Por tanto: d ( + ) + t + t + t t + + t arctan arctan + c + + c dt dt dt dt b) Es prácticamnt inmdiata Bastaría con ajustar constant También pud hacrs l cambio Lugo: + t d dt d dt

9 ANÁLISIS (Slctividad 5) 9 ( + ) 7 d ( ) t + d t dt + c + c + c t 8 Canarias, junio 5 La boca d un túnl tin la forma d un rctángulo coronado por un smicírculo como s mustra n la figura Encontrar las mdidas dl túnl qu dj pasar más luz si l prímtro d la figura mid 5 mtros Djará pasar más luz cuando la suprfici d la boca dl túnl sa máima La scción dl túnl stá formada por un rctángulo y por un smicírculo ( + ) Si la bas dl rctángulo s y la altura y, la suma d las áras dl smicírculo y dl rctángulo srá: S π + y El prímtro s la suma: ancho dl túnl + altura d las dos pards latrals + longitud dl arco Si val 5 m + y+π 5 5π Dspjando la incógnita y y sustituyndo n la función d ára s tin: y π π Lugo: S ( ) + ( 5π ) El máimo d S s obtin n la solución d S qu hac ngativa a S ( 8 + π) S ( ), 7 m 8+ π 8+ π Como S ( ) <, para s valor d s tin l máimo buscado El ancho dl túnl srá d, m; 5, 7 π, 7 la altura d las pards latrals y,7 m; y su altura máima srá también d, m Cantabria, junio 5 Considra la función ( ) ( / f( ) + ) a) Calcula lim f( ) + b) Calcula la drivada d f( ) a) lim f( ) ( ) ( / ) + lim + Rsulta una forma indtrminada + + Tomando logaritmos y aplicando la rgla d L Hôpital s tin: ( ) ( / ) ( ) ( / ) ln lim + lim ln + lim ln ( + ) [ ] + + +

10 ANÁLISIS (Slctividad 5) ln ( + ) lim ( LH ) lim lim LH lim ( ) (oprando) ( ) ( / ) lim + + b) Para calcular la drivada d f( ) hay qu aplicar logaritmos ( ) ( / ) ln f( ) ln + ln f( ) ln ( + ) Drivando: f ( ) ln ( ) ln ( ) f( ) ( / ) ( f ( ) + ln + ) Cantabria, junio 5 Considrmos l rctángulo d vértics (, ), (, ), ( ), f( ), (, f( ) ), tal y como indica la figura, dond y f( ) 8 8 a) Calcula l valor d para qu l ára dl rctángulo sa máima Calcula l ára d dicho rctángulo b) Calcula l ára dl rcinto ncrrado bajo la gráfica d f( ) ntr a) El ára dl rctángulo indicado s: S f( ) Djando variabl: S( ) f( ) ( 8 8 ) 8 8 Esa suprfici srá máima n la solución d S ( ) qu haga ngativa a S ( ) 6 ± 76 S ( ) 8 6 S ( ),75 8 / Como S ( ) 6 8 y S (, 75) <, para s valor s tin l máimo buscado El valor d sa ára srá: S (, 75) 8, 75, 75 8, 75 8, 75 u b) El ára d s rcinto vin dada por la intgral: ( 8 8 ) d 8 8 u 6

11 ANÁLISIS (Slctividad 5) 6 Castilla La Mancha, junio 5 sin Dada la función f ( ) + + a + b, a, b R: a) Dtrmina los parámtros a, b R sabindo qu la gráfica d f( ) pasa por l punto (, ) y qu n dicho punto tin un trmo rlativo (,5 puntos) b) Para los valors d los parámtros ncontrados, studia si dicho trmo rlativo s un máimo o un mínimo ( punto) a) Si la gráfica d f( ) pasa por l punto (,) y qu n dicho punto tin un trmo rlativo, ntoncs: f () y f () sin sin f ( ) + + a + b f ( ) cos + + a f () + b b f () + a a sin La función srá: f( ) + + sin sin sin b) f ( ) cos + f ( ) sin + cos + Como f () + >, n s tin un mínimo 7 Castilla La Mancha, junio 5 Calcula l domino y las asíntotas d las siguints funcions: f( ), g ( ) + f( ) : stá dfinida simpr qu y Dom(f) [, ) (, + ) Vamos si tin una asíntota vrtical n ( )( ) + lim lim lim + + lim ( ) ( )( + ) ( + ) ( )( ) ( )( ) lim Como ist l límit, la función no tin asíntotas vrticals Asíntota horizontal? lim lim la rcta y s asíntota horizontal Asíntota oblicua? f( ) lim lim lim ( LH ) No tin asíntota oblicua lim

12 ANÁLISIS (Slctividad 5) g ( ) : no stá dfinida cuando + ( ) + Por tanto, Dom(g) R {} Tin una asíntota vrtical n, pus: 8 lim + También tin una asíntota oblicua pus s un fracción racional con grado dl numrador uno más qu l dl dnominador f( ) lim lim m + lim + n lim ( f ( ) m) lim lim + + La asíntota s la rcta y + 8 Castilla La Mancha, junio 5 Dada la función ( ) ( ) f +, s pid: a) Calcula los intrvalos d concavidad y convidad y los puntos d inflión d f( ) (,5 puntos) b) Encuntra una primitiva d la función f( ) qu pas por l orign d coordnadas (,5 puntos) a) Drivando dos vcs: f( ) f ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( + 8) f La drivada sgunda s anula n, qu pud sr un punto d inflión Si <, f ( ) < f( ) s cóncava ( ) Si >, f ( ) > f( ) s conva ( ) Por tanto, n s da un punto d inflión d b) ( ) + d d + d La primra intgral, Tomando: u y dv d du d y v Lugo, d d Como d + c, s tndrá qu:, db hacrs por parts; la sgunda s inmdiata

13 ANÁLISIS (Slctividad 5) ( ) F( ) + d d + d + + c + + c Si s quir qu F () (qu pas por l orign d coordnadas, punto (, )) + + c c Lugo F( ) + 9 Castilla y Lón, junio 5 Dtrminar los vértics dl rctángulo d ára máima qu tin lados parallos a los js d coordnadas y vértics n l bord dl rcinto dlimitado por las gráficas d las funcions f( ) y g ( ) La situación s la qu s indica n la figura d la drcha El rctángulo tndrá d bas, y d altura Su ára, qu dpnd dl valor d lgido, vndrá dada por la función: A ( ) ( ) El máimo d A s obtin n la solución d A qu hac ngativa a A Drivando: A ( ) Como A ( ) A / <, para s valor d s obtin l ára máima, y ( ) Los vértics son:, ; 5, ;, ; 5, Castilla y Lón, junio 5 a) Sa g ( ) una función continua y drivabl n toda la rcta ral tal qu g () y g () Probar qu ist algún punto c dl intrvalo (, ) tal qu g ( c ) ( punto) b) Hallar la función f( ) qu cumpl f ( ) ln ( + ) y f () (,5 puntos) a) Es una conscuncia dl torma dl valor mdio, qu dic: Si f () s continua n [a, b] y f ( b) f ( a) drivabl n (a, b), ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu f ( c) b a En st caso, la función g ( ) cumpl las hipótsis dl torma n l intrvalo [, ], lugo g() g() ist algún punto c (, ) tal qu g ( c) g() g() Como g ( c ), qu ra lo s pdía

14 ANÁLISIS (Slctividad 5) b) La función ( ) f d Pud hacrs mdiant un cambio d variabl y aplicando l método d parts Si s hac l cambio + t d dt, ntoncs: ln ( + ) d ln ( + ) d ( ln t) dt La intgral ln t dt pud hacrs por parts Tomando: u ln t du dt t dv dt v t f s obtin intgrado: ( ) ln ( + ) ( ) ln t dt t lnt dt t lnt t + c t lnt + c Dshacindo l cambio: ln ( + ) d ln ( + ) d ( ln t) dt ( + ) ( ln ( + ) ) + c Como s dsa qu f () ( + ) ( ln( + ) ) + c ( ) + c c Por tanto, la función s: f( ) ( + ) ( ln ( + ) ) + Castilla y Lón, junio 5 Dada la función f( ), dtrminar su dominio, asíntotas, intrvalos d crciminto y ln dcrciminto y trmos rlativos Esbozar su gráfica (,5 puntos) La función stá dfinida cuando lo stá ln : por tanto, cuando > Dom(f) (, + ) Asíntota vrtical? Pud dars cuando s anula l dnominador, n En fcto, como lim ln, la rcta s asíntota vrtical d la curva Pud vrs qu: lim ln Por la izquirda, cuando, la curva tind a + lim + ln + + Por la drcha, cuando, la curva tind a + Asíntota horizontal? lim ( LH ) lim ln / No tin asíntota horizontal Asíntota oblicua?

15 ANÁLISIS (Slctividad 5) 5 f( ) ln lim lim lim Tampoco tin asíntota oblicua ln Crciminto y dcrciminto ln f( ) f ( ) ln ( ln ) La drivada s anula cuando ln Con sto: Si < <, f ( ) < f( ) dcrc Si < <, f ( ) < f( ) dcrc Si >, f ( ) > f( ) crc Por tanto, n s da un mínimo rlativo Para hacr un sbozo d su gráfica convin dar algunos valors:,5 f (,5), 7 ; f (),89 ; ln,5 ln 5 f( ),7 (mínimo); f (5), ln ln 5 También pud obsrvars qu lim + ln Su gráfica s la adjunta Castilla y Lón, junio 5 a) Calcular lim ln( + ) b) Calcular l ára dl rcinto dlimitado por las gráficas d las funcions f( ), g ( ) y la rcta a) lim ln ( + ) Forma indtrminada: pud rsolvrs oprando y aplicando L Hôpital ln ( + ) lim lim ( LH ) lim + ln ( ) ln ( ) + + ln ( + ) + + lim ( LH ) lim + ln + + ln ( ) ( ) ( )

16 ANÁLISIS (Slctividad 5) 6 b) Las gráficas d las funcions f( ) y g ( ) s cortan n la solución d Por tanto, l ára pdida vin dada por S d ln + + ( + ) u Castilla y Lón, sptimbr 5 a + b + c, si Considrmos la función dfinida a trozos f( ) ln( ), si > Hallar los valors d a, b y c para qu f( ) sa continua n toda la rcta ral y tnga un trmo rlativo n l punto (, ) (,5 puntos) Por sparado, para cada intrvalo d dfinición, las funcions dadas son continuas y drivabls El único punto conflictivo s, n dond las funcions difirn a izquirda y drcha En s punto la función stá dfinida, sindo f() a+ b+ c; para qu sa continua, admás, db tnr límit n (dbn sr iguals los límits latrals) y coincidir con su valor d dfinición Vamos: Si ( ), lim f ( ) lim a + b + c a + b + c Si + f ( ), lim ( ) lim ln ln + + Ambos límits coincidn si a+ b+ c Como pasa por l punto (, ) f () a+ b+ c Y por tnr n máimo n s punto: () f ( ) a + b a+ b f ( ) a+ b+ c Por tanto s tin l sistma: a + b + c a + b a+ b+ c a+ ( a) + c c Con solución: a+ b+ c a+ ( a) + c a a b b a + b Cataluña, junio 5

17 ANÁLISIS (Slctividad 5) 7 a) La cuación d la rcta tangnt a f () n l punto d abscisa a, n l punto (a, f(a)) s: y f ( a) f ( a)( a) En st caso: f( ) f ( ) ; f () 8 ; f () La tangnt pdida s: y 8 y 6 ( ) b) La curva y la rcta s cortan n las solucions d ( )( ) ( ) ( ) (La solución s v a ojo; l factor ( + ) s halla dividindo; la dscomposición final s dtrmina hacindo la cuación d sgundo grado asociada) Convin hacr un sbozo gráfico, qu n st caso rsulta muy sncillo pus la funcions son conocidas Con sto, l ára pdida vin dada por l valor d la intgral: ( + ) d u ( 6 ) 5 Cataluña, junio 5 a) El ára d la purta s la suma d las áras dl smicírculo y dl rctángulo Esto s: S π + y π f (, y) + y 8 b) El prímtro s la suma: ancho d la purta + altura d las dos columnas + longitud dl arco Si val m + y+π Dspjando la incógnita y y sustituyndo n la función d ára s tin:

18 ANÁLISIS (Slctividad 5) 8 π + y+π + y+π y π π π 8 π f (, y) + y S ( ) + S ( ) El máimo d S s obtin n la solución d S qu hac ngativa a S 8 8π 8 S ( ) 5, 6 m 8 8+ π π Como S ( ) <, para s valor d s tin l máimo buscado 5, 6 π 5, 6 La altura d la columna db sr y,8 m 6 Comunidad Valnciana, junio 5 Un publo stá situado n l punto A(, ) d un sistma d rfrncia cartsiano El tramo d un río situado n l término municipal dl publo dscrib la curva y, sindo 6 6 Obtnr razonadamnt, scribindo todos los pasos dl razonaminto utilizado: a) La distancia ntr un punto P(, y) dl río y l publo n función d la abscisa d P ( puntos) b) El punto o puntos dl tramo dl río situados a distancia mínima dl publo ( puntos) c) El punto o puntos dl tramo dl río situados a distancia máima dl publo ( puntos) a) La situación s como la rprsntada n la figura adjunta El punto P tin coordnadas P, La distancia d A a P s d( AP, ) b) Los valors máimos y mínimos s obtin n las solucions d d qu hacn, rspctivamnt, ngativa o positiva a d (Como n st caso la drivada sgunda rsultará ngorrosa, una altrnativa al studio d la distancia d s l studio d D d + 6, 6 pus como d > su valor srá máimo, o mínimo, cuando lo sa D) Drivando: D + 6 D D D ( 8) ; ± 8 6 Como D () <, n l caso d s tin un máimo rlativo 8 Como D ( ± 8 ) >, para los valors d ± 8 s obtin sndos mínimos 6 P 8, Esos puntos son ( 8,) P y ( )

19 ANÁLISIS (Slctividad 5) 9 c) La solución asociada a, punto O(, ), corrspond a un máimo rlativo, pus las distancias d A a los puntos (6, 9) y ( 6, 9) son las mayors d( AO, ) ; d( A ) d( A ),(6,9),( 6,9) Comunidad Valnciana, julio 5 S va a construir un dpósito d 5 m d capacidad, con forma d caja abirta por la part suprior Su bas s pus un cuadrado y las pards latrals son cuatro rctángulos iguals prpndiculars a la bas El prcio d cada m d la bas s d 5 y l prcio d cada m d pard latral s d 5 Obtnr razonadamnt, scribindo todos los pasos dl razonaminto utilizado: a) El cost total dl dpósito n función d la longitud d un lado d su bas ( puntos) b) Las longituds dl lado d la bas y d la altura dl dpósito para qu dicho cost total sa mínimo (5 puntos) c) El valor dl mínimo cost total dl dpósito ( puntos) a) Si l lado d la bas s y su altura y, s cumpl: V y 5 El cost dl dpósito srá: bas: 5 ; pards latrals: 5 y Total: C(, y) 5 + y 5 Como d V y 5 y, sustituyndo n la función d cost s tin: 5 C ( ) 5 + C ( ) 5 + b) Drivando: C ( ) (para mínimo, C ( ) ) 6 Como C ( ) + s positiva para s confirma qu la solución s buna Si m y 5 m c) El cost mínimo srá C (,) Etrmadura, junio 5 a) Enuncia l torma d Bolzano b) Utilizando l torma d Bolzano, ncuntra un intrvalo d la rcta ral n l qu la función polinómica p ( ) + tnga alguna raíz c) Utilizando l torma d Bolzano, dmustra qu las gráficas d las funcions f( ) + ln ( + ) y g ( ) + s cortan n algún punto

20 ANÁLISIS (Slctividad 5) a) El torma d Bolzano asgura qu si una función continua n un intrvalo crrado toma signos distintos n sus trmos, ntoncs corta al j n algún punto d s intrvalo Dic lo siguint: Si f () s una función continua n l intrvalo crrado [a, b] y toma valors d distinto signo n sus trmos ( f ( a) < < f ( b) o f ( a) > > f ( b) ), ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu f ( c) Esto s, si la función s ngativa n a ( f ( a) < ) y positiva n b ( f ( b) > ), ntoncs s anula n algún punto c ntr a y b ( f ( c) ) Gométricamnt, sto significa qu si f ( a) < y f ( b) >, ntoncs la gráfica d f () corta al j OX n un punto, al mnos (Análogamnt si f ( a) > y f(b) <) Dsd l punto d vista algbraico, st torma asgura qu si f ( a) < y f ( b) >, ntoncs la cuación f ( ) tin una solución ntr a y b Esa solución srá l punto c cuya istncia afirma l torma b) La función polinómica p ( ) + s continua n toda la rcta ral; admás, vrifica qu p( ) y p () Por tanto tin una raíz n l intrvalo (, ) c) Las gráficas d las funcions f( ) ln ( ) + + y g ( ) + s cortan n algún punto si s cumpl qu f( ) g ( ) f( ) g ( ) h ( ) f( ) g ( ) + ln + ln + s una función continua Como ( ) ( ) ( ) n todo R y cumpl qu h () y h () ln 5 >, ntoncs ist algún punto c (, ) tal qu hc () 9 Galicia, junio 5 a) Dfinición intrprtación gométrica d la drivada d una función n un punto b) Calcula los valors d b y c para qu la función ln ( + ) si < f( ) + b + c si sa drivabl n (Nota: ln logaritmo npriano) a) Pud vrs n cualquir libro También n Tma 8 d matmaticasjmmmcom b) Primro hay qu vr la continuidad n : lim f ( ) lim ln ln lim f ( ) lim + b + c c ( + ) ; ( ) Como los límits dbn sr iguals c Drivando: + +

21 ANÁLISIS (Slctividad 5) si < f ( ) + + b si > lim f( ) lim + Galicia, junio 5 La gráfica d una función ( ) ( ) f convidad d f( ) La función ( ) ; lim ( ) lim ( ) f + b b b + + Dtrmina la función ( ) ( ) f d Pud hacrs por parts tomando: u y Por tanto: f( ) pasa por l orign d coordnadas y su drivada s f y calcula los intrvalos d concavidad y dv d du d y v d ( ) ( ) f ( ) d + d + + c 9 Como pasa por l orign d coordnadas f () c + c c Lugo, f( ) Concavidad y convidad: ( ) ( ) f f ( ) + ( ) ( 5 ) La drivada sgunda s anula n 5/ Con sto: Si < 5/, f ( ) > f( ) s conva ( ) Si > 5/, f ( ) < f( ) s cóncava ( ) Por tanto, n 5/ s tin un punto d inflión La Rioja, junio 5 Sa f( ) + i) Dtrmina l dominio d f ii) Halla sus asíntotas iii) Dtrmina los trmos rlativos y studia la monotonía d f iv) Dibuja la gráfica d f dstacando los lmntos hallados antriormnt i) Dom(f) R, pus l radicando nunca s ngativo la cuación + no tin raícs rals ii) Es vidnt qu la función no tin asíntotas vrticals ni horizontals Vamos si tin oblicuas

22 ANÁLISIS (Slctividad 5) La rcta y m + n s asíntota oblicua d la curva f () cuando s cumpl qu: f( ) lim m, m y ; n lim ( f ( ) m), n ± ± En st caso: m lim lim lim ± ± ± ± Para m, ( ) [ ] n lim + lim + ( + + ) + ( + )( + + ) ( + + ) + n lim (obvio los dtalls d cálculo: s divid por ) + Para m, ( ) [ ] n lim + + lim + n lim ( + + ) Por tanto, la función tin dos asíntotas oblicuas: iii) Drivando: f ( ) + f ( ) Si <, f ( ) < la función dcrc Si >, f ( ) > la función crc En s da un mínimo iv) La gráfica s la adjunta ( + + )( + ) ( + ) y hacia + ; y + hacia Madrid, junio 5 ln ( + ) Dada la función: f( ) +, dond ln dnota l logaritmo npriano, s pid: + a) (,5 puntos) Dtrmina l dominio d f y sus asíntotas b) (,75 puntos) Calcula la rcta tangnt a la curva y f( ) n c) (,75 puntos) Calcula f ( ) d

23 ANÁLISIS (Slctividad 5) a) Dominio: hay qu igir qu >, para qu ista ln ( + ) tomar l valor : ; + ±; Por tanto: Dom( f ) (, + ) { } (, ) (, + ) ; admás los dnominadors no pudn La función pud tnr asíntotas vrticals n, por la drcha, y n Vamos: ln ( + ) En : lim s una AV por la drcha ln ( + ) ln En : lim s otra AV También s posibl qu tnga una asíntota horizontal Hay qu calcular: ln ( + ) ln ( + ) lim + lim + lim El sgundo límit pud hacrs por L Hôpital: ln ( + ) lim ( LH ) lim + + Por tanto, la rcta y s asíntota horizontal b) Drivando: ( ) ( + ) ln ( + ) + ln ( + ) + ( + ) f ( ) + + ( ) ( ) ln Como f () +, la rcta tangnt n s: y f() f () y f () ( ) ( ) ln + ln + c) f ( ) d + d d d La primra intgral s inmdiata: d d ln ( ) + c La sgunda intgral pud hacrs con ayuda dl cambio ln( + ) t, pus ln ( + ) t d ln ( + ) d tdt + c + + Por tanto: ln ( ) ln ( ) d ( ( + )) ln + + c ( ln ( + ) ) + c d dt + y:

24 ANÁLISIS (Slctividad 5) Madrid, sptimbr 5 a) (,5 puntos) Estudiar l crciminto d la función f( ) b) (,5 puntos) Dmostrar qu la cuación tin una única solución ral y localizar un intrvalo d longitud qu la contnga a) Drivando igualando a : 6 ± 6 96 f ( ) : no tin solución La función drivada simpr s positiva (como nunca toma l valor y, por jmplo, f () >, al sr una función continua, simpr srá positiva) Por tanto, la función simpr s crcint b) Hay qu aplicar Bolzano: Si f () s una función continua n l intrvalo crrado [a, b] y toma valors d distinto signo n sus trmos ( f ( a) < < f ( b) o f ( a) > > f ( b) ), ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu f ( c) Como: f () > y f ( ) + < la función corta n algún punto dl intrvalo (, ) al sr simpr crcint no pud volvr a cortar Madrid, sptimbr 5 a) ( punto) Calcular la intgral dfinida ( ) d b) ( punto) Calcular lim ( ) y lim ( ) + a) Cálculo d una primitiva d ( ) ( ) d d d ( ) La primra intgral s inmdiata; la sgunda db hacrs por parts d : Tomando: u du d ; dv d v Lugo: d d + Por tanto: ( ) d lim lim lim lim lim + + b) ( ) ( LH) ( )

25 ANÁLISIS (Slctividad 5) 5 5 Murcia, junio 5 / + a) Calcula lim / + / + b) Calcula lim + / + / + c) Es continua la función f( ) n? Justifica la rspusta / + En los dos casos db tnrs n cunta qu: / / lim ; lim + a) Sustituyndo: / lim / / + / + + b) Sra ncsario aplicar la rgla d L Hôpital y oprar / lim ( ) lim lim LH / / lim lim / + / + + / / / / ( ) / + c) La función f( ) no s continua n, pus no tin límit n s punto: no / + coincidn los límits latrals, como s ha visto más arriba 6 Murcia, junio 5 a) Calcula arctan d b) D todas las primitivas d la función f( ) arctan, ncuntra la qu pasa por l punto d coordnadas (, ) a) Esta intgral db hacrs por l método d parts Si s toma: u arctan du d + arctan d arctan d dv d + v La sgunda intgral s hac como sigu: + d d d arctan Por tanto:

26 ANÁLISIS (Slctividad 5) 6 arctan d arctan d + arctan + arctan + c b) Las primitivas d f( ) arctan son F( ) arctan + arctan + c Si s dsa qu una primitiva pas por l punto (, ) F () Como F() arctan + arctan + c c La primitiva buscada srá F( ) arctan + arctan 7 Murcia, junio 5 Considra l rcinto limitado por la gráfica d las funcions f( ) sin y g ( ) tan n l primr cuadrant dl plano XY, qu stá rprsntado n la figura adjunta a) Dtrmina los puntos d cort d dichas gráficas b) Calcula l ára d dicho rcinto Pud obsrvars qu las scalas d los js no son las mismas a) Los puntos d cort s obtinn rsolvindo la cuación sin tan : sin sin tan sin sin cos sin sin ( cos ) cos sin Los puntos d cort son O (,) y P cos π ( π /, ) / b) El ára pdida vin dada por l valor d la intgral ( sin tan ) π/ d sin, s tin qu: cos Como sin d tan d cos + d cos + ln ( cos ) π/ ( sin tan ) d ( cos π ln(cos ) ) / π π cos + ln cos ( cos + ln(cos ) ) + 8 Navarra, junio 5 Dmustra qu istn α (, ) y β (, ), α β, tals qu ( ) ( ) + π + ln ( + ln) ln u f ( α ) f ( β ), sindo f( ) + sin ( puntos) La función dada s continua y drivabl n l intrvalo [, ] Admás f( ) f() ; y también f () Por tanto s cumpln las hipótsis dl torma d Roll n los intrvalos (, ) y (, ) En conscuncia: n l intrvalo (, ) ist un α (, ) tal qu f ( α ) n l intrvalo (, ) ist un β (, ) tal qu f ( β ) Naturalmnt α β, pus prtncn a distintos intrvalos disjuntos

27 ANÁLISIS (Slctividad 5) 7 9 País Vasco, junio 5 Dado l polinomio P( ) + a + b + c a) Dtrminar los coficints a, b y c sabindo qu tin trmos rlativos n y n y qu admás pasa por l orign d coordnadas b) Estudiar la naturalza d ambos trmos rlativos (si son máimos o mínimos) y ralizar un dibujo aproimado dl polinomio P( ) + a + b + c P ( ) + a + b P ( ) 6+ a Por tnr trmos rlativos n y n : P ( ) y P () P ( ) a+ b b ; a P () + a+ b Por pasar por l orign d coordnadas: P () c Por tanto, l polinomio s P ( ) b) Como P ( ) 6, s tin qu: P ( ) 6 < n hay un máimo P () 6 > n hay un mínimo En hay una inflión Estudio dl crciminto y dcrciminto Si <, P ( ) > la función crc Si < <, P ( ) < la función dcrc Si >, P ( ) > la función crc Algunos valors: (, ); (, ); (, ); (, ); (, ) Y corta al j OX n los puntos: ;; Con todos sos datos pud trazars la gráfica adjunta

1. (RMJ15) a) (1,5 puntos) Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

1. (RMJ15) a) (1,5 puntos) Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: EXAMEN DE MATEMÁTICAS II (Eamn Final, Rcupración d Análisis Intgrals) BACHILLERATO EXAMEN FINAL (RMJ5) a) (,5 puntos) Discut l siguint sistma d cuacions n función dl parámtro a: + y + az + ay + z a a +

Más detalles

f (x)dx = f (x) dx. Si la respuesta es afirmativa justifíquese, si es negativa,

f (x)dx = f (x) dx. Si la respuesta es afirmativa justifíquese, si es negativa, CALCULO INTEGRAL.(97).- Sa f() una función tal qu, para cualquira qu sa > s cumpl qu = Pruébs qu, ntoncs, s vrifica qu f( ) = f(), para todo >. f f..(97).- Sa la función f() = -. S pid: a) Hacr un dibujo

Más detalles

( y la cuerda a la misma que une los puntos de abscisas x = 1 y x = 1. (2,5 punto)

( y la cuerda a la misma que une los puntos de abscisas x = 1 y x = 1. (2,5 punto) ARAGÓN / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / CUESTIÓN A www.profs.nt s un srvicio gratuito d Edicions SM CUESTIÓN A Calcular l ára ncrrada ntr la gráfica d la función ponncial f ) ( y

Más detalles

OPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo contrario de vivir es no arriesgarse. Fito y los Fitipaldis

OPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo contrario de vivir es no arriesgarse. Fito y los Fitipaldis MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B --5 Lo contrario d vivir s no arrisgars Análisis Fito y los Fitipaldis OPCIÓN A.- a) S dsa construir un parallpípdo rctangular d 9 dm d volumn y tal qu un lado d la bas sa

Más detalles

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. 1. a) Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. 1. a) Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA CMS05. a) Halla los valors d los coficints b, c y d para qu la gráfica d la función y b c d cort al j OY n l punto (0, ), pas por l punto (, ) y, n s punto,

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS

SOLUCIONES A LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS SOLUCIONES A LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS CURSO 0-0 º.- (,5 puntos) Dtrmina la función f : 0, R tal qu f '' gráfica tin una tangnt horizontal n l punto P,. f ( ) ln( ) y su º.- Sa f la función dfinida por

Más detalles

6. [ARAG] [JUN-A] Sea F(x) = 7. [ARAG] [JUN-B] Calcular

6. [ARAG] [JUN-A] Sea F(x) = 7. [ARAG] [JUN-B] Calcular MasMatscom Slctividad CCNN 7 [ANDA] [JUN-A] San f: y g: las funcions dfinidas mdiant: f() = + y g() = + a) Esboza la gráfica d f y d g calculando sus puntos d cort b) Calcula l ára d cada uno d los dos

Más detalles

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos:

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos: Univrsidad d Vigo Dpartamnto d Matmática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Convocatoria d Fbrro 6 d Enro d 007 Nombr y Apllidos: DNI: (4.5 p.) ) S considra la función f(x) = x ln(x). (0.5 p.) (a) Calcular

Más detalles

Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b

Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b Matmáticas Emprsarials I PREGUNTAS DE TIPO TEST DERIVADAS Y APLICACIONES Drivabilidad ( ) b si S09. La función f ( ) s continua y drivabl n = : a( ) si a) Si a = y b = b) Si a = y b = 5 c) Nunca pud sr

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES ) (Part d un problma d Slctividad d Cincias y Tcnología 007) Sa f: R R la función dfinida por f() =. Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS CURSO

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS CURSO SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS CURSO 016-17 Ejrcicio 1º. (,5 puntos) Sabindo qu l valor dl límit. a lim 1 1 Ln( ) s finito, calcula l valor d a y Ejrcicio º.- Considra la función

Más detalles

TEMA 5. Límites y continuidad de funciones Problemas Resueltos

TEMA 5. Límites y continuidad de funciones Problemas Resueltos Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 7 Cálculo d its TEMA Límits y continuidad d funcions Problmas Rsultos Para la función rprsntada n la figura adjunta,

Más detalles

ANÁLISIS (Selectividad 2014) 1

ANÁLISIS (Selectividad 2014) 1 ANÁLISIS (Slctividad 4) ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD EN 4 ( Obsrvación: La slcción s ha hcho dando prioridad a las custions más tóricas) Andalucía, junio 4 San

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Para l studio y rprsntación d una unción s sigun los siguints pasos:. Dominio d dinición y d continuidad.. Corts con

Más detalles

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8 Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 7 TEMA 8 Drivadas Tormas Rgla d L Hôpital Problmas Rsultos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula

Más detalles

lm í d x = lm í ln x + x 1 H = lm í x + e x 2

lm í d x = lm í ln x + x 1 H = lm í x + e x 2 Autovaluación Página 8 Calcula los siguints límits: a) lm í c m b) lm í ccotg m c) lm í sn d) lm í ( ) / 8 ln 8 8 ln ( cos ) 8 a) lm í 8 c ln ln H ( / ) lm í ( )ln 8 ln m lm í 8 H lm í / 8 b) lm í 8 dcotg

Más detalles

EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II CURSO

EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II CURSO EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II CURSO 15-16 Ejrcicio 1º. (,5 puntos) Sabindo qu calcula los valors d a y b. SOLUC: b = a = 1/ a b 1 cos lim sn( ) s finito y val uno, Ejrcicio º.-

Más detalles

DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA Análisis Matemático I EXAMEN FINAL Enero de 2008 APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I.

DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA Análisis Matemático I EXAMEN FINAL Enero de 2008 APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I. DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA Análisis Matmático I EXAMEN FINAL Enro d 008 APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I. GRUPO (A/B/C): CUESTIONARIO DE RESPUESTA MÚLTIPLE (50%) (Cada rspusta

Más detalles

PARTE I Parte I Parte II Nota clase Nota Final

PARTE I Parte I Parte II Nota clase Nota Final Ejrcicio 1 2 3 Part I Puntos PARTE I Part I Part II Nota clas Nota Final Univrsidad Carlos III d Madrid Dpartamnto d Economía Eamn Final d Matmáticas I 14 d Enro d 2009 APELLIDOS: NOMBRE: DNI: Titulación:

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE CURVAS

REPRESENTACIÓN DE CURVAS REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. REPRESENTACIÓN DE CURVAS Función polinómica d sgundo grado. Su gráfica s una parábola. Para rprsntarla basta con halla los puntos d cort

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS CURSO

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS CURSO SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS CURSO 01-1 Ejrcicio 1º. (,5 puntos) Condra la función polinómica f : R R qu vin dada por la prón f ( ) a b c Dtrmina los valors d los parámtros a,

Más detalles

REGLA DE L HÔPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES

REGLA DE L HÔPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Matmáticas II Rgla d L Hôpital REGLA DE L HÔPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Obsrvación: La mayoría d los problmas rsultos a continuación s han propusto n los ámns d Slctividad.. Dada la función: 8 f (

Más detalles

EJERCICIOS UNIDADES 3 y 4: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES

EJERCICIOS UNIDADES 3 y 4: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IES Padr Povda (Guadi) EJERCICIOS UNIDADES y : INTEGRACIÓN DE FUNCIONES (-M;Jun-A-) San f : R R y g : R R las funcions dfinidas rspctivamnt por f ( ) = y g( ) = + a) ( punto) Esboza las gráficas d f y

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f () = l S l: El it cuando tind a c d f() s l c Significa:

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 3 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejrcicio, Opción A Junio, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción A Rsrva, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción

Más detalles

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN. Aplicaciones de la derivada: condiciones de máximo, mínimo, inflexión

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN. Aplicaciones de la derivada: condiciones de máximo, mínimo, inflexión ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN Obsrvación: La mayoría d los problmas rsultos a continuación s han propusto n los ámns d Slctividad. Aplicacions d la drivada: condicions d

Más detalles

EJERCICIOS DE REPASO PARA SELECTIVIDAD: ANÁLISIS

EJERCICIOS DE REPASO PARA SELECTIVIDAD: ANÁLISIS EJERCICIOS DE REPSO PR SELECTIVIDD: NÁLISIS Ejrcicio. San f : R R y g : R R las funcions dfinidas por f( = -( + + a + b y g( = c S sab qu las gráficas d f y g s cortan n l punto (, y tinn n s punto la

Más detalles

TEMA 11. La integral definida Problemas Resueltos

TEMA 11. La integral definida Problemas Resueltos Matmáticas II (Bachillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 9 Intgrals dfinidas TEMA La intgral dfinida Problmas Rsultos Halla l valor d: 7 a) ( + ) d b) 5 + d c) + d d) Para hallar una

Más detalles

PROBLEMAS DE LÍMITES DE FUNCIONES (Por métodos algebraicos) Observación: Algunos de estos problemas provienen de las pruebas de Selectividad.

PROBLEMAS DE LÍMITES DE FUNCIONES (Por métodos algebraicos) Observación: Algunos de estos problemas provienen de las pruebas de Selectividad. Funcions Límits y continuidad PROBLEMAS DE LÍMITES DE FUNCIONES Por métodos algbraicos Obsrvación: Algunos d stos problmas provinn d las prubas d Slctividad Si ist l it d una función f cuando a, y si f

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011 IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 0-0 MATEMÁTICAS II Opción A Ejrcicio opción A, modlo Sptimbr 0 k si

Más detalles

12 Representación de funciones

12 Representación de funciones Rprsntación d funcions ACTIVIDADES INICIALES.I. Factorizando prviamnt las prsions, rsulv las siguints cuacions: a) 6 7 5 0 6 c) 0 7 b) 6 d) 0 a) 6 7 5 0 ( )(6 5) 0 5 6 5 0, b) 7 6 ( )( ) 6 6 ( ) 7 ( )

Más detalles

Matemáticas II TEMA 11 La integral definida Problemas Propuestos y Resueltos

Matemáticas II TEMA 11 La integral definida Problemas Propuestos y Resueltos Análisis Intgral dfinida Matmáticas II TEMA La intgral dfinida Problmas Propustos y Rsultos Intgrals dfinidas Halla l valor d: 7 a) ( + ) d b) 5 + d c) + d d) Para hallar una primitiva d cada función hay

Más detalles

2x 1. (x+ 1) e + 1 2x. 3.- Derivabilidad de una función. 6x 5, si2 x 4

2x 1. (x+ 1) e + 1 2x. 3.- Derivabilidad de una función. 6x 5, si2 x 4 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II FICHA TEMA 7.- FUNCIONES. DERIVADAS Y APLICACIONES (PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.-

Más detalles

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx.

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx. Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas Calcula las siguints intgrals Solucions A d A d + + + ln( + + ) A d arctan + A sn sn d A d ln ( ) 6A d cos tan + arctan + ln(

Más detalles

El área del rectángulo será A = p q, donde p 0,2 es variable y q depende de p. ( ) ( ) ( )

El área del rectángulo será A = p q, donde p 0,2 es variable y q depende de p. ( ) ( ) ( ) Cálculo difrncial. Matmáticas II Curso 03/4 Opción A Ejrcicio. Sa la parábola (Puntuación máima: puntos) y 4 4 y un punto ( p, q ) sobr lla con 0 p. Formamos un rctángulo d lados parallos a los js con

Más detalles

EJERCICIOS UNIDAD 2: DERIVACIÓN (II)

EJERCICIOS UNIDAD 2: DERIVACIÓN (II) IES Padr Povda (Guadi) EJERCICIOS UNIDAD : DERIVACIÓN (II) 3 (03-M4-B-) (5 puntos) Condra la función f : R R dada por f ( ) = + a + b+ c Dtrmina a, b y c sabindo qu la rcta normal a la gráfica d f n l

Más detalles

Definición de derivada

Definición de derivada Dfinición d drivada. Halla, utilizando la dfinición, la drivada d la función f ( ) n l punto =. Compruba aplicando las rglas d drivación qu tu rsultado s corrcto. f ( ) f () La drivada pdida val: f ()

Más detalles

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación LÍMITES Cálculo y rprsntación...... 7. 8. - + + - - + + - + - ( + ) - + + - - + + 9. + - +. + - + - 9. + -. + + + - +. + + +. + + + -. +. + - ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y rprsntación. y = - +.

Más detalles

DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I. GRUPO: A B C

DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I. GRUPO: A B C DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA Análisis Matmático I EXAMEN FINAL APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I. GRUPO: A B C CUESTIONARIO DE RESPUESTA MÚLTIPLE (50%) La función y : a) Tin una

Más detalles

x. Determina las asíntotas de la gráfica de f.

x. Determina las asíntotas de la gráfica de f. Slctividad CCNN 008 ax +x si x. [ANDA] [SEP-A] Considra la función f: dfinida por: f(x) = x -bx-4 si x > a) Halla a y b sabindo qu f s drivabl n. b) Dtrmina la rcta tangnt y la rcta normal a la gráfica

Más detalles

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13 º Bachillrato: jrcicios modlo para l amn d las lccions, y 3 Sa la unción F ( ) t dt a) Calcular F (), studiar l crciminto d F() y hallar sus máimos y mínimos. b) Calcular F () y studiar la concavidad y

Más detalles

105 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH.

105 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH. 105 EJERCICIOS d DERIVABILIDAD º BACH. Drivabilidad y continuidad: 1. Dada si 0 f() si < 0 (Soluc: / f'(0)), s pid: a) Estudiar su drivabilidad n 0 b) Rprsntarla.. Ídm con 4 5 si f() 4 si < n (Soluc: f'()).

Más detalles

2. En el punto x = 0, f ( x) a) Un mínimo local. b) Un máximo local. c) Ninguna de las anteriores. Solución:

2. En el punto x = 0, f ( x) a) Un mínimo local. b) Un máximo local. c) Ninguna de las anteriores. Solución: Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II) PROBLEMAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. Pguntas d tipo tst. (J). La función f ( ) ln: a) Tin puntos stacionarios (o críticos, s dcir, puntos cuya primra drivada

Más detalles

Opción A ( ) ( ) Examen. 2ª evaluación 4/03/2008. Obtener el valor del siguiente límite: ab entonces la función. t ln 1 4t dt x ln 1 4x ln 1 4x 2

Opción A ( ) ( ) Examen. 2ª evaluación 4/03/2008. Obtener el valor del siguiente límite: ab entonces la función. t ln 1 4t dt x ln 1 4x ln 1 4x 2 Eamn. ª valuación //8 Opción A Ejrcicio. Puntuación máima: puntos Obtnr l valor dl siguint límit: lim + t ln t dt 5 Aplicación dl torma fundamntal dl cálculo intgral: Si f s continua n [, ] f t dt s drivabl

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 9 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejrcicio, Opción A Junio, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción A Rsrva, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción

Más detalles

3.- a) [1,25 puntos] Prueba que f(x) = ex e x

3.- a) [1,25 puntos] Prueba que f(x) = ex e x EXAMEN DE MATEMATICAS II ENSAYO ª (FUNCIONES) Apllidos: Nombr: Curso: º Grupo: A Día: 6-XII-05 CURSO 05-6 Opción A.- a) [,5 puntos] Dmustra qu ln( -3) y -4 son infinitésimos quivalnts n =. b) [,5 puntos]

Más detalles

SEPTIEMBRE Opción A

SEPTIEMBRE Opción A Slctividad Sptimbr (Pruba Espcífica) SEPTIEMBRE Opción A ( + ).- Dada la función f () s pid dtrminar: a) El dominio, los puntos d cort con los js y las asíntotas. b) Los intrvalos d crciminto y dcrciminto,

Más detalles

+ ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( )

+ ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) latrals n. iguals. f. La función CONTINUIDAD f () Es continua n l punto?. Calcular los límits ³ ² 5 Para qu la función sa continua n s db cumplir: f f Calculamos por sparado cada mimbro d la igualdad f

Más detalles

Aplicaciones de las Derivadas

Aplicaciones de las Derivadas www.slctividad-cgranada.com Tma : Aplicacions d las Drivadas..- Crciminto y dcrciminto d una función Sa f una función dfinida n l intrvalo I. Si la función f s drivabl sobr l intrvalo I, s vrifica: f s

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas y x 12x 2 y log 2 x ln x e e y ln 1 x

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas y x 12x 2 y log 2 x ln x e e y ln 1 x . Drivar las siguints funcions simplificar l rsultado n la mdida d lo posibl. ) 4) 7) ) 4 5 5 5 7 5) 8) ) 5 6) 5 9) 4 5 0) ) 7 ) ) 4) 4 5) 6) 7) 8) 9) ) 5) 0) 4 ln ) ln log 6) ln 8) ln ) 9) ) 5) 4) 7)

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso 010-011 I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Curso 010-011 19-XI-010 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES

Más detalles

98 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH.

98 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH. 98 EJERCICIOS d DERIVABILIDAD º BACH. Drivabilidad y continuidad: 1. Dada si 0 f() si < 0 (Soluc: / f'(0)), s pid: a) Estudiar su drivabilidad n 0 b) Rprsntarla.. Ídm con 4 5 si f() 4 si < n (Soluc: f'()).

Más detalles

REPRESENTACION GRAFICA.

REPRESENTACION GRAFICA. REPRESENTACION GRAFICA. Calcular puntos notabls así como intrvalos d monotonía y curvatura d: ² - = 0 ; ² = ; = son los valors d qu anulan l dnominador D = R- y () = 0 ; - 4 = 0 ; = 0 posibl ma, min Monotonia:

Más detalles

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos Matmáticas II TEMA 8 Drivadas Torma Rgla d L Hôpital Problmas Propustos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula la drivada d f ( ) n l punto = Utilizando la dfinición, halla la

Más detalles

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos Matmáticas II TEMA 8 Drivadas. Torma. Rgla d L Hôpital Problmas Propustos Drivada d una función n un punto. Utilizando la dfinición, calcula la drivada d f ( ) n l punto. +. Utilizando la dfinición, halla

Más detalles

TEMA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA

TEMA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Tma Aplicacions d la drivada Matmáticas CCSSII º Bachillrato 1 TEMA APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE 1 Escrib 0 EJERCICIO 1 : la cuación d la rcta tangnt a la curva f n 0. Ordnada dl punto: f

Más detalles

si x 0 ( 1) es discontinua en x=2. Calcula b. tiene una solución comprendida entre 1 y 2. Por qué?. x 1 x si x (

si x 0 ( 1) es discontinua en x=2. Calcula b. tiene una solución comprendida entre 1 y 2. Por qué?. x 1 x si x ( ANÁLISIS MATEMÁTICO Continuidad y drivabilidad d funcions si = 0 - Estudia la continuidad d la función f ( ) = si o sn si (, π / ) si π / < 0 - Dtrmina los valors d a y d b para qu sa continua la función:

Más detalles

91 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH.

91 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH. 9 EJERCICIOS d DERIVABILIDAD º BACH. Drivabilidad y continuidad:. Dada si 0 f() si < 0 (Soluc: / f'(0)), s pid: a) Estudiar su drivabilidad n 0 b) Rprsntarla.. Ídm con 4 5 si f() 4 si < n (Soluc: f'()).

Más detalles

3. [2014] [JUN-A] Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función f(x) = cos x, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2.

3. [2014] [JUN-A] Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función f(x) = cos x, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2. MasMats.com Colccions d jrcicios Intgrals Slctividad CCNN Extrmadura. [04] [ET-A] Calcul la siguint intgral dfinida d una función racional: + x- x -x+. [04] [ET-B] a) Dibuj l rcinto plano limitado por

Más detalles

INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL. TERCERA EVALUACIÓN Septiembre 17 de Nombre:

INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL. TERCERA EVALUACIÓN Septiembre 17 de Nombre: INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL TERCERA EVALUACIÓN Sptimbr 7 d Nombr: Parallo: Firma: TEMA ( puntos) Justificando su rspusta, califiqu como vrdadra o falsa, cada proposición: a) La

Más detalles

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden APITULO 5. EUAIONES DIFERENIALES DE ORDEN N 5.. Introducción Una cuación difrncial d sgundo ordn s una prsión matmática n la qu s rlaciona una función con sus drivadas primra sgunda. Es dcir, una prsión

Más detalles

e 2/x +1 3) (1p) Halla las asíntotas de la siguiente función, estudia su posición relativa y expresa ésta gráficamente: ln f(x)= x+1

e 2/x +1 3) (1p) Halla las asíntotas de la siguiente función, estudia su posición relativa y expresa ésta gráficamente: ln f(x)= x+1 CURSO 7-8. Primra part. d mayo d 8. ) (p) Estudia las discontinuidads d la función: f() / - / + ) (p) Dada la siguint función, s pid: a) La drivada simplificada. b) La cuación d la tangnt d inflión: +

Más detalles

9 Aplicaciones de las derivadas

9 Aplicaciones de las derivadas 9 Aplicacions d las drivadas Página 69 Optimización B A P' Q' O Q T P Página 71 r a) y' = 0 x = 0 8 Punto ( 0 0) x = 1 8 Punto ( 1 1) En (0 0) hay un punto d inflxión. En (1 1) hay un máximo rlativo. b)

Más detalles

Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 24-II-2016 CURSO

Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 24-II-2016 CURSO EXAMEN DE MATEMATICAS II ª EVALUACIÓN Apllidos: Nombr: Curso: º Grupo: A Día: -II-16 CURSO 15-16 Instruccions: a) Duración: 1 HORA y 3 MINUTOS. b) Dbs lgir ntr ralizar únicamnt los cuatro jrcicios d la

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES.

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bach. TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. Tasa d variación mdia. Cálculo y signiicado EJERCICIO : Considramos la unción:. Halla la tasa

Más detalles

Curso: 2º Bachillerato Examen VIII. donde m representa un número real.

Curso: 2º Bachillerato Examen VIII. donde m representa un número real. Nombr: Nota Curso: º Bachillrato Eamn VIII Fcha: d Fbrro d 06 La mala o nula plicación d cada jrcicio implica una pnalización d hasta l % d la nota..- Dada la matriz m dond m rprsnta un númro ral. m a)

Más detalles

El punto (a, b) es un punto de la recta 2x + y = 8. Por tanto, 2a + b = 8; es decir, b = 8 2a.

El punto (a, b) es un punto de la recta 2x + y = 8. Por tanto, 2a + b = 8; es decir, b = 8 2a. 5 Dntro dl triángulo limitado por los js OX y OY y la rcta + y 8, s S inscrib un rctángulo d vértics (a, 0), (0, 0), (a, b) y (0, b). Dtrmina l punto (a, b) al qu corrspond l rctángulo d ára máima. 8 b

Más detalles

Tema 13. Aplicaciones de las derivadas

Tema 13. Aplicaciones de las derivadas Tma 3. Aplicacions d las drivadas. Monotonía. Crciminto y dcrciminto d una función.... Etrmos rlativos... 3 3. Optimización... 6. Curvatura... 7 5. Puntos d Inflión... 8 6. Propidads d las funcions drivabls,

Más detalles

. La tasa de variación media es la pendiente del segmento AB, siendo A(a, f(a) ) y B(b, f(b) ) dos puntos de la gráfica de la función:

. La tasa de variación media es la pendiente del segmento AB, siendo A(a, f(a) ) y B(b, f(b) ) dos puntos de la gráfica de la función: º BACHILLERATO D MATEMÁTICAS CC SS TEMA 4.- FUNCIONES. DERIVACIÓN.- CONCEPTO DE DERIVADA Tasa d variación mdia S llama tasa d variación mdia d una función f n l intrvalo [a, b] al cocint. La tasa d variación

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DEIVADA Ecucación d la rcta tangnt Ejrcicio nº.- Halla las rctas tangnts a la circunrncia: y y 6 n Ejrcicio nº.- Dada la unción abscisa., scrib la cuación d su rcta tangnt n l punto

Más detalles

11 Funciones derivables ACTIVIDADES INICIALES

11 Funciones derivables ACTIVIDADES INICIALES Solucionario Funcions drivabls ACTIVIDADES INICIALES I Cunta la tradición qu sobr la tumba d Arquímds había sculpido un cilindro con una sfra inscrita Arquímds halló la rlación ntr sus volúmns y l volumn

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Calcular los dominios d dfinición d las siguints funcions: a) f( ) 6 b) f( ) c) f( ) ln d) f( ) arctg 3 4 ) f( ) f) f( ) 5 g) f( ) sn 9 h) 4 4

Más detalles

INTEGRALES 5.1 Primitiva de una función. Integral indefinida. Propiedades.

INTEGRALES 5.1 Primitiva de una función. Integral indefinida. Propiedades. INTEGRALES 5. Primitiva d una unción. Intgral indinida. Propidads. 5. Intgración d uncions racionals. 5. Intgración por parts. 5. Intgración por cambio d variabls. 5. Primitiva d una unción. Intgral indinida.

Más detalles

Análisis. b) Calcular razonadamente b y c para que sea derivable y calcular su función derivada.

Análisis. b) Calcular razonadamente b y c para que sea derivable y calcular su función derivada. MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B 6-3- Análisis OPCIÓN A.- Dada la función + b + c f = Ln( + ) > a) Calcular sus asínoas b) Calcular razonadamn b y c para qu sa drivabl y calcular su función drivada. a) El

Más detalles

CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA 1

CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA 1 Manul José Frnándz mjg@uniovi.s CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE. - EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA Dmostrar aplicando l principio d inducción las rlacions siguints: a a n n n... n n N b n n!

Más detalles

Integrales indefinidas. 2Bach.

Integrales indefinidas. 2Bach. Intgrals indfinidas. Bach..- FUNCIÓN PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA. La intgración s la opración invrsa d la drivación. Dada una función f(), dirmos qu F() s una primitiva suya si F ()f(). Nota: La primitiva

Más detalles

3.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva del ejercicio 1a en el punto en el que se indica en dicho ejercicio.

3.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva del ejercicio 1a en el punto en el que se indica en dicho ejercicio. Matmáticas II Unidad 7 UNIDAD 7 DERIVABILIDAD.- Utilizando la dinición d drivada, hallar las drivadas d las uncions guints n los puntos qu s indican: a b c d 5 n n n n.- Utilizando la dinición d drivada,

Más detalles

ANÁLISIS. Junio 94. cosx si x Dada la función. f(x) a 2x si 0 x 1. b si x 1 x

ANÁLISIS. Junio 94. cosx si x Dada la función. f(x) a 2x si 0 x 1. b si x 1 x ANÁLISIS Junio 9.. Dada la función cos si 0 b si f() a si 0 a) [ punto] Calcular los valors d a y b para qu la función f() sa continua n b) [ punto] Es drivabl la función obtnida n = 0?. En =?. Razona

Más detalles

ANÁLISIS. a) Derivabilidad de la función en los puntos x = -1, x = 1, x = 2. Calcular la derivada en cada uno de los puntos

ANÁLISIS. a) Derivabilidad de la función en los puntos x = -1, x = 1, x = 2. Calcular la derivada en cada uno de los puntos Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad ANÁLISIS Junio 9.. Dada la función cos f () a b si si si a) Calcular los valors d a y b para qu la función f() sa continua n [ punto] b) Es drivabl la función

Más detalles

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL 74 Cuando un problma gométrico stá nunciado n términos d la rcta

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos OPCIÓN A

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos OPCIÓN A IES CASTELAR BADAJOZ PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO - (RESUELTOS por Antonio nguiano) ATEÁTICAS II Timpo máimo: horas minutos Contsta d manra clara raonada una d las dos opcions

Más detalles

1.- Qué funciones son primitivas de la función cosx: Tachar lo que no proceda

1.- Qué funciones son primitivas de la función cosx: Tachar lo que no proceda .- Qué funcions son primitivas d la función cos: Tachar lo qu no procda.- Hallar + sn() si < cos si si > continua d: f() g() f()+g() f() g() -cos si

Más detalles

TABLA DE DERIVADAS. g f

TABLA DE DERIVADAS. g f TABLA DE DERIVADAS Funcions:, g (continn a la ) Númro: k ) y = k y = 0 ) y = y = ) y = ± g y = ± g ) y = k y = k ) y = g y = g + g 6) y = g ' g g' g y = 7) y = k k y = k 8) y = k y = k L k 9) y = y = 0)

Más detalles

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones f ( x)

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones f ( x) IES Padr Povda (Guadi) UNIDAD INTEGRAL INDEFINIDA.. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funcions f y F dfinidas n un dominio D, dcimos qu: Ejmplos:

Más detalles

CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE TEMA 1. ACTIVIDADES 1.11 A 1.22

CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE TEMA 1. ACTIVIDADES 1.11 A 1.22 CALCULO GRADO EN INGEN INFORM DEL SOFTWARE - TEMA ACTIVIDADES A Sa ( 0 / 0 0 a Es drivabl por la drca n 0? Es drivabl por la izquirda n 0? Es drivabl n 0? Razonar las rspustas b Obtnr la unción drivada

Más detalles

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones f ( x)

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones f ( x) IES Padr Povda (Guadi) UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA.. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funcions f y F dfinidas n un dominio D, dcimos qu:

Más detalles

TEMA 5: INTEGRAL INDEFINIDA

TEMA 5: INTEGRAL INDEFINIDA MATEMÁTIAS II TEMA : INTEGRAL INDEFINIDA. Primitiva d una función El objtivo d st tma s l studio dl procso contrario al d drivación. Si drivamos la función partimos d f tnmos y dirmos qu s una primitiva

Más detalles

Prof. Jesús Olivar. Resumen de Cálculo II ING. PETRÓLEO

Prof. Jesús Olivar. Resumen de Cálculo II ING. PETRÓLEO Prof. Jsús Olivar Rsumn d Cálculo II ING. PETRÓLEO.- FUNCIÓN PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA. La intgración s la opración invrsa d la drivación. Dada una función f, dirmos qu F s una primitiva suya si F

Más detalles

Ejercicios para aprender a integrar

Ejercicios para aprender a integrar Ejrcicios para aprndr a intgrar Propidads d las intgrals: af ) d = a f d b f ) d = Rglas d intgración: ad = a ( f ± g( ) d = f d ± g( ) d a a b [ F( ) ] = F( b) F( ) ( f d = a b Polinomios y sris d potncias

Más detalles

ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA TÉCNICA AERONÁUTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA EXAMEN DE CÁLCULO I 1 de febrero de 2006

ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA TÉCNICA AERONÁUTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA EXAMEN DE CÁLCULO I 1 de febrero de 2006 ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA TÉCNICA AERONÁUTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA EXAMEN DE CÁLCULO I 1 d fbrro d 006 Timpo: horas 30 minutos Cada problma db ntrgars n hojas d xamn

Más detalles

f' x =1-e Crecimiento f' x >0 1-e >0 -e >-1 e <1 <1 e >1

f' x =1-e Crecimiento f' x >0 1-e >0 -e >-1 e <1 <1 e >1 Solucions modlo 6 d 009 Sa f:r R la función dfinida por f =+ -. Opción A Ejrcicio 1 [0 7 puntos] Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f, así como los trmos rlativos o locals d f [0 puntos]

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD Signiicado dl it Ejrcicio nº.- Rprsnta gráicamnt y plica l gniicado d la prón: Ejrcicio nº.- Eplica l gniicado d la guint prón y rprséntalo gráicamnt: 9 Ejrcicio nº.- Escrib

Más detalles

IES Fernando de Herrera Curso 2016 / 17 Segundo trimestre Observación evaluable escrita nº 1 2º Bach CCSS NOMBRE: 2 t

IES Fernando de Herrera Curso 2016 / 17 Segundo trimestre Observación evaluable escrita nº 1 2º Bach CCSS NOMBRE: 2 t IES Frnando d Hrrra Curso 016 / 17 Sgundo trimstr Obsrvación valuabl scrita nº 1 º Bach CCSS NOMBRE: Instruccions: 1) Todos los folios dbn tnr l nombr y star numrados n la part suprior. ) Todas las rspustas

Más detalles

7 L ímites de funciones. Continuidad

7 L ímites de funciones. Continuidad 7 L ímits d funcions. Continuidad Página 05 f () = + Pinsa y ncuntra límits a) + ; + ; + + ; ; ; ; 9 0; 0; 0 ) 0; 0; 0 f ) + ; + ; 0 g) + ; + h) ; f () = a) 0 0, Página 0 a) a) f () = ; f () = ; f () =

Más detalles

TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA.

TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA. 7 Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada TEMA 4. APICACIONES DE A DERIVADA.. Monotonía. Crciminto y dcrciminto d una función. Etrmos rlativos 3. Optimización 4. Curvatura 5. Punto d Inflión 6. Propidads

Más detalles

Primer Examen Parcial Tema A Cálculo Vectorial Septiembre 26 de 2017

Primer Examen Parcial Tema A Cálculo Vectorial Septiembre 26 de 2017 Primr Examn Parcial Tma A Cálculo Vctorial Sptimbr 6 d 17 Est s un xamn individual, no s prmit l uso d libros, apunts, calculadoras o cualquir otro mdio lctrónico Rcurd apagar y guardar su tléfono clular

Más detalles

Representación de Funciones.

Representación de Funciones. T 5 Rprsntación d Funcions EJERCICIOS DE DESARROLLO 1- Elmntos Fundamntals para la Construcción d Curvas 1 Halla l dominio d stas funcions: a 5 + 7 + b d y g + 5 5 + = ln + + 1 ln +1 = y ( ) f ( ) Halla

Más detalles