Estimador Es la regla o procedimiento, expresado en general por medio de una fórmula, que se utiliza para deducir la estimación.

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1 Teoría de la Estimació Estadística Teoría de la Estimació Estadística Razó para estimar Los admiistradores utiliza las estimacioes porque se debe tomar decisioes racioales, si que tega la iformació pertiete completa y co ua gra icertidumbre acerca de lo que pueda deparar el futuro, pero co la esperaza de que las estimacioes posea ua semejaza razoable co el resultado Estimador Es la regla o procedimieto, epresado e geeral por medio de ua fórmula, que se utiliza para deducir la estimació. Estimació Es u valor específico observado de u estimador, por lo que asiga u valor umérico a u parámetro de ua població sobre la base de datos de muestra. Tipos de estimació a) Estimació putual: cosiste e u solo estadístico muestral que se usa para estimar el valor verdadero de u parámetro de ua població que es descoocido. Por ejemplo, la media muestral es ua estimador putual de la media poblacioal μ. Cuado usamos ua estimació putual, sabemos que auque usemos u método bueo de estimació es prácticamete improbable que el valor de la estimació coicida co el verdadero valor del parámetro, así que sería coveiete acompañar uestra estimació co algua medida que os permitiera epresar la cercaía del estimador al parámetro. Ua solució a ello o los brida los estimadores por Itervalos de Cofiaza. b) Estimació por itervalo: es la estimació de u parámetro de la població dado por dos úmeros etre los cuales se puede cosiderar que se ecuetra el parámetro. Las estimacioes de itervalo idica la precisió de ua estimació y so, por lo tato, preferibles a las estimacioes putuales. Características que debe teer u bue estimador a) Debe ser isesgado: u estimador es isesgado, si e promedio, tiede a tomar valores que está por ecima del parámetro de la població co la misma frecuecia y la misma etesió, co la que tiede a asumir valores por debajo del parámetro de població que se está estimado. b) Debe ser eficiete: de varios estimadores isesgados, el más eficiete es el que tiee el error estádar más pequeño. c) Debe ser cosistete: sigifica que a medida que aumeta el tamaño de la muestra, la estimació se aproima al valor del parámetro. d) Debe ser suficiete: sigifica que igú otro estimador puede sumiistrar más iformació sobre el parámetro.

2 Teoría de la Estimació Estadística Nivel de Cofiaza Probabilidad asociada co ua estimació de itervalo de u parámetro de població. Ésta idica qué ta seguro se está de que la estimació de itervalo icluirá al parámetro de la població. Los iveles de cofiaza que más se utiliza so 90%, 95% y 99%. Itervalo de Cofiaza Es el alcace, rago o recorrido de la estimació que se hace y que tiee desigada ua probabilidad de que icluya el valor real del parámetro de la població que se está estimado. Límites de Cofiaza So el límite iferior y superior de u itervalo de cofiaza. Coeficiete de Cofiaza Es el ivel de cofiaza (e valores relativos) que teemos e que el itervalo cotiee el valor descoocido del parámetro. Por ejemplo, para u ivel de cofiaza del 90%, el coeficiete de cofiaza es 0,9 Relació etre ivel de cofiaza e itervalo de cofiaza Auque podría pesarse que deberíamos utilizar u alto ivel de cofiaza (como 99%) e todos los problemas de estimacioes, e la práctica, altos iveles de cofiaza produce itervalos de cofiaza grades y éstos o so precisos.

3 Teoría de la Estimació Estadística Iterpretació de los itervalos de cofiaza U itervalo de cofiaza se puede iterpretar de dos maeras diferetes. Ejemplo: ua directora de tiedas cree que el gasto medio de sus clietes e el último año se ecuetra e el itervalo de 35 a 38 dólares y cocede ua sigificació del 95% a ese itervalo. Iterpretació 1: cofía al 95% e que la media poblacioal se ecuetra etre 35 y 38 dólares. Nota: o sigifica que haya ua probabilidad del 95% de que μ se ecuetre etre 35 y 38 dólares. E setido apriorístico (ates de formar el itervalo de cofiaza) hay ua probabilidad del 95% de costruir u itervalo que compreda a μ, pero ua vez fijado el itervalo, μ está o o está compredido e él; es decir, el 95% de probabilidad se asiga a uestro grado de cofiaza de que μ se ecuetra e el itervalo, o a la probabilidad de que esté e él. Iterpretació 2: si se costruye todos los itervalos de cofiaza posibles, el 95% de ellos icluirá el parámetro descoocido. Probabilidad de error (el valor α) Es la proporció de itervalos que o cotiee el valor descoocido del parámetro. Se calcula utilizado el coeficiete de cofiaza: α = 1 Coeficiete de Cofiaza Itervalos de cofiaza para la media poblacioal y la proporció (muestras grades) a) Para la media: σ Si se cooce σ: μ = ± Z σ (recordar: σ = ) s No se cooce σ: μ = ± Z s (recordar: s = tambié es usada: σˆ = σˆ ) s es la desviació típica e la muestra y s = σˆ. Observació: si la població es fiita y 0,05 se utiliza tambié el factor de correcció N N - N -1 La epresió Z σ o Z s es el marge de error. Gráficamete: b) Para la proporció: teóricamete, la distribució biomial es la distribució correcta para utilizarse e la costrucció de itervalos de cofiaza para estimar ua proporció, si embargo,

4 Teoría de la Estimació Estadística debido a que el cálculo de probabilidades biomiales es muy tedioso podemos aproimar a ua ormal al aumetar el tamaño de la muestra y siempre que π y (1-π) sea mayores o iguales 5. p (1- p) π = p ± Z s (recordar s = σˆ = y Z s es el marge de error) p p p p Itervalos de cofiaza para la media poblacioal (muestras pequeñas) Hasta ahora se había estudiado la estimació para la media poblacioal e diversas codicioes, e alguos casos se coocía σ mietras que e otros se eludía esta hipótesis. Se ha calculado itervalos de cofiaza co la hipótesis de ua població que seguía ua distribució ormal y tambié cuado se supoía que la distribució era descoocida pero a la cual se podía aplicar el teorema del límite cetral ya que las muestras era grades. Si embargo, e muchas aplicacioes, obteer ua muestra grade es poco probable e icluso imposible, por ejemplo, las compañías de seguro que comprueba la resistecia de los carros a las colisioes. Destruir a propósito 30 o más carros puede ser algo caro. Cuado hay que tomar ua muestra pequeña, la distribució t de studet es más apropiada. El itervalo correspodiete será: μ = ± t s (recordar: s = s La distribució t (a) Características y e dode t s es el marge de error) Es simétrica respecto de la media. El eje horizotal es ua asítota y la gráfica se etiede de - a. Su variaza es mayor que 1 por lo que gráficamete esta distribució es más achatada y más dispersa que la ormal. La variaza de la distribució depede de los grados de libertad (es el úmero de valores que podemos escoger libremete. gl = 1) 1 La variaza es σ 2 = 3 Cuado 30, esta distribució se aproima a ua ormal. b) Codicioes para usar la distribució t: La muestra es pequeña ( < 30)

5 No se cooce σ Se supoe que la població es ormal o aproimadamete ormal. Teoría de la Estimació Estadística c) Características de la tabla de la distribució t: Es más compacta y muestra áreas y valores de t solamete para alguos porcetajes. No se efoca e la probabilidad de que el parámetro de la població que se está estimado se ecuetre detro de uestro itervalo de cofiaza, mide la probabilidad de que o esté detro de uestro itervalo de cofiaza. Se debe especificar los grados de libertad co los cuales se esté trabajado. d) Para tipificar: t = - μ s Determiació de tamaño de muestra e estimació Qué ta grade deberá ser la muestra?, si es muy pequeña se puede fallar e la obteció de los objetivos de uestro aálisis; pero si es demasiado grade desperdiciamos recursos cuado tomamos la muestra. Siempre se tedrá algo de error de muestreo debido a que o hemos estudiado a la població completa, cada vez que tomamos ua muestra perdemos algo de iformació útil co respecto a la població; pero ese error se puede cotrolar si se seleccioa ua muestra cuyo tamaño sea adecuado. Dado u ivel de cofiaza que se desea, hay dos factores pricipales que ifluye e el tamaño muestral ecesario: a) La variabilidad de la població (queda fuera del cotrol del ivestigador). b) El grado de error que se puede tolerar. Para la media: = Z X 2 E dode el deomiador es el error. Si o se cooce σ se utiliza ua muestra piloto grade para estimarla. Z 2 π (1 - π) Para la proporció: = (p - π) 2 E dode el deomiador es el error. Si o se cooce π se utiliza ua muestra piloto para estimarlo o se limita a colocar π = 0,5. Cotrol de la achura del itervalo Es evidete que si se estrecha el itervalo, se sumiistrará al ivestigador ua estimació más eacta del valor del parámetro. Hay dos métodos corrietes para estrechar u itervalo, pero para ambos se debe hacer u sacrificio adicioal. Estos procedimietos so: a) Ajuste del ivel de cofiaza: por la propia aturaleza de los itervalos de cofiaza, si se acepta u ivel de cofiaza más bajo, se podría geerar u itervalo más preciso, meos amplio, pero eso aumeta la probabilidad de error. b) Ajuste del tamaño de la muestra: el aumetar el tamaño de la muestra dismiuye el error esperado y es más probable que se de ua estimació más ajustada del valor verdadero del

6 Teoría de la Estimació Estadística parámetro, co ello se puede coservar u ivel de cofiaza determiado y al mismo tiempo dismiuir la achura del itervalo; pero el sacrificio es u aumeto ya sea de tiempo, del gasto, etc.; que se eige para recoger los datos para ua muestra mayor. Resume de fórmulas Estimació de μ σ coocido σ descoocido 30 ( σˆ = s ) Si < 30 y la població es ormal o aproimadamete ormal Població fiita y 0,05 N ± z σ N - N-1 ± z σˆ N - N - 1 Població ifiita o < 0,05 N ± z σ ± z σˆ ± t σˆ Estimació de π 30 p ± z p (1 - p) Nomeclatura σˆ => estimació de la desviació estádar de la població. σˆ => error estádar estimado de la media (recordar: σˆ = σˆ p s p => error estádar estimado de la proporció σˆ si la població es ifiita) => estimació del error típico de la distribució muestral de proporcioes muestrales. p (1- p) (recordar que s p = σˆ p = )

7 Teoría de la Estimació Estadística

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