x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas verticales. Asíntota horizontal y = 0). Demuéstrese que las gráficas de las funciones (Solución: Aplica el teorema de Bolzano a la función 3. Calcúlese 1 1 lim 0 sen f ( ) = e y 1 g( ) = se cortan en un punto > 0. (1 punto) h( ) = e en el intervalo (1/, 1) ) 1. (Solución:08Aplicando L`Hopital dos veces a lim ) 3 4. Sea f ( ) = + a + b + c. Determínense a, b y c de modo que f () tenga un etremo relativo en = 0, la recta tangente a la gráfica de f () en = 1sea paralela a la recta y 4 = 0, y el área comprendida por la gráfica de f (), el eje OX y las rectas = 0, = 1, sea igual a 1. ( 3 puntos ) (Solución: a = ½, b = 0, c = 7/1 ) SEPTIEMBRE Sea f la función dada por f ( ) = 3 +, R. a) Estúdiese la derivabilidad de f en = 0 mediante la definición de derivada. ( 1 punto ) b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus etremos relativos. ( 1,5 puntos) c) Esbócese la gráfica de f. ( 0,5 puntos) (Solución: a) No derivable en = 0. b) Creciente en el intervalo,0,. Mínimos relativos los puntos,, ). Habría un máimo relativo en (0,) aunque en este punto no es derivable. 6. Calcúlese el valor de tg( ) lim π / tg(6 ). (Solución: 1/3 ) 1 f e R definida por f ( ) = + ln, determínese de entre todas las rectas tangentes a la gráfica de f la que tiene máima pendiente. Escríbase la ecuación de dicha recta. ( puntos ) b) Calcúlese una función primitiva de f ( ) que pase por el punto P(e, ). ( 1 punto) (Solución: a) =, recta tangente y = /4 ln, b) F() = (1) ln 1 ) 7. a) Dada la función : [ 1, ] 8. Calcular a para que se verifique: lim ( + a + 1 ) = 8. + (Solución: a = 4)

2 JUNIO Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función relativos, puntos de infleión y asíntotas. (Solución: Creciente si < 0 ; máimo relativo el punto (0, e). Puntos de infleión,,,. Asíntota horizontal y = 0. f ( ) 1 = e, sus etremos ln( ) 10. Calcúlese lim. (1 punto) (Solución: 0 ) + e 11. Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que para > 0se verifica: arctg() arctg( ) <. (1 punto) 1+ (Solución: Aplica dicho teorema a la función y = arctg en el intervalo (, )) 1. Sea f ( ) = e + ln( ), ( 0, ) a. Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas. 1 b. Pruébese que f tiene un punto de infleión en el intervalo,1 y esbócese la gráfica de f. (Solución: a) Creciente si >0. Asíntota vertical = 0. No hay más asíntotas. B) Aplica el teorema de Bolzano a la segunda derivada en dicho intervalo. SEPTIEMBRE 005 ln(1 + ), > a) Estúdiese la derivabilidad de f ( ) =, sus intervalos de crecimiento y, 0 decrecimiento y sus puntos de infleión. Esbócese su gráfica. (1,75 puntos) b) Calcúlese el área delimitada por la gráfica de f () y las rectas = 1, = 1, y = 0. (1,5 puntos) (Solución: a) Es continua y derivable en R. Creciente si > 0. Punto de infleión (1, ln) b) sen( ) 14. Calcúlense los valores de λ 0 para los cuales lim = 1. (1 punto) (Solución: =1) 0 cos ( λ) Sea P(a, sen a) un punto de la gráfica de la función ( ) sen( ) 0. f = en el intervalo [,π ] Sea r P la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y A P el área de la región

3 determinada por las rectas r P, = 0, = π, y = 0. Calcúlese el punto P para el cual el área A P es mínima. (Nota: Puede asumirse, sin demostrar, que la recta r P se mantiene por encima del eje 0X entre 0 y π) (3 puntos) (Solución: (/,1) 16. Calcúlese lim ln( ) sen( ). (Solución: 0) 0 JUNIO Considérense las funciones f ( ) = e, g( ) = e. Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima. (Solución: El eje OY, = 0) ln(cos()) 18. Calcúlese el valor de lim.(solución: -) Dada la función f ( ) =, determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de + 1 concavidad y conveidad, los puntos de infleión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. (Solución: Creciente en todo su dominio 1. No hay puntos de infleión. Cóncava en (,1),(1, ).í = 1,í =1) 3 0. Sea f ( ) = a + b + c + d. Determínense a, b, c y d para que la recta y +1 = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto ( 0, 1), y la recta y = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto ( 1, 1). (Solución: a = 1, b = -1, c = 0, d = -1 y= 3-1) a + b + 1 cos( ) 1. Determínense los valores de a y b para los cuales lim = 1. (Sol: a=1/, b=0) 0 sen( ) SEPTIEMBRE 006. Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f () =., sus máimos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de infleión. Demuéstrese que para todo se tiene que (). b) Pruébese que la ecuación 3 = e tiene alguna solución en (,1]. (Solución: Creciente en,1), á 1,,ó (, ), ó =,í =1 b) Teorema de Bolzano para la función f ()=3 - e )

4 (()) 3. Calcúlese lim (Solución: -1) 4. Sea ()= Determínese el dominio de f, sus asíntotas, simetrías y máimos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica. (Solución: Dominio 0, asíntota vertical = 0, asíntota oblçicua y = -. Simetría impar. Decreciente en todo su dominio. No hay etremos. 5. Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función ()= en el punto =0. (Solución: Recta tangente y = 0, recta normal = 0) JUNIO Sea la función ()=.Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad, los puntos de infleión y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (Solución: Asíntotas verticales =1, asíntota horizontal y = 0, no hay etremos relativos, decreciente en 1, punto de infleión (0, 0), cóncava en (1,0)(1, )) 7. Calcular lim () (Solución: ½ ) 8. Demostrar que las curvas f () =sen y ()= se cortan en algún punto del intervalo, (Solución: Teorema de Bolzano aplicado en dicho intervalo a la función ()= ) 9. Sea la función ()= a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y las asíntotas. Esbozar su gráfica. b) Demostrar que eiste algún número real c tal que =4 (Solución: a) Dominio = R, asíntota oblicua y =, creciente si >0, mínimo (0, 1), cóncava en todo R b) Aplicar el teorema de los valores intermedios) > 30. Hallar a y b para que la función ()= =0 sea continua en todo R. 0 (Solución: a = b = )

5 SEPTIEMBRE Sea f la función dada por f ( ) = e. a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos y las asíntotas de f. (1,5 puntos) b) Determinar el número de soluciones de la ecuación f ( ) = en el intervalo [ 0,1]. (1,5 puntos) (Solución: Creciente si < 1. Máimo (1, e). Asíntota horizontal y = 0 por la dcha. B) Por el teorema de Bolzano aplicado a f()- sabemos que eiste una solución y por ser creciente en dicho intervalo sólo hay una.) 3. Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y = , la recta tangente a la misma es paralela a la recta y = + 7. (1 punto) (Solución: = 0 y =, es decir P(0, 1) y Q(,-1)) 33. Sea la función f ( ) =. Se pide hallar: + 4 a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f, los máimos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica. ( puntos) b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas =, = (1 punto) (Solución: a) Asíntota horizontal y = 0, creciente en (-, ), máimo (, ¼), mínimo (-,-1/4) b) ln ) 34. Discutir si la ecuación + sen = tiene alguna solución real. (Solución: Aplicar teorema de Bolzano a la función ()= en el intervalo 0, ( e e 35. Calcular, si eiste, el valor de lim 0 ). (Solución: 4) JUNIO Sea ()= con (, ) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (Solución: Asíntota vertical = 0, asíntota horizontal y = o, creciente en (0, / ), decreciente (,, ), máimo (,, 1/) 37. Calcular lim (Solución: 4) 38. Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función () = en el punto =0 sea perpendicular a la recta y = - 3. (Solución: a = 1)

6 0 39. Dada () = estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f (). 0 (Solución: f() es continua para todos los valores de, pero no es derivable en = 0) 40. Calcular las asíntotas de la función f()= () (Solución: Sólo tiene una asíntota horizontal y = 0) 41. Demostrar que la ecuación 5 = 0 tiene al menos una solución en el intervalo (1,). (1 punto) (Solución: Aplicar el teorema de Bolzano a la función () = 5 en dicho intervalo) SEPTIEMBRE Hallar, de entre los puntos de la parábola de ecuación = 1, los que se encuentran a distancia mínima del punto (, ) (Solución: P(-1, 0) Estudiar la continuidad en R de la función f()= 0 = 0 (Solución: f() es continua en R) 44. Sea () = ln con (0, ). Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y las asíntotas de f.esbozar la gráfica de f. Probar que eiste un punto, 1 tal que f (c) =0. (Solución: a) No tiene asíntotas, creciente en (0,1), decreciente si (1, ), máimo relativo P(1, 1), convea en (0, ). 45. Calcular los valores del número real a sabiendo que lim = 8 (Solución: = 4) JUNIO Sea la función () = a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad y esbozar su gráfica. b) Demostrar que no es derivable en = (Solución: a) Creciente 1, (, ), decreciente (, 1),. Cóncava (, 1) (, ), convea (-1, ))

7 47. Un campo de atletismo de 400 metros de perímetro consiste en un rectángulo y semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible. (Solución: Diámetro, 100 ) 48. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función () = en su dominio de definición (Solución: Dominio (0, ). Creciente en el intervalo (0, e), decreciente en (e, )) SEPTIEMBRE Sea la función () = Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos, intervalos de concavidad y conveidad, puntos de infleión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (Solución: Asíntota oblícua y =, creciente en R, Cóncava, 3 0, 3, puntos de infleión (0, 0), 3, ( 3, ) ) 50. Calcular el límite lim (Solución: ln ) 51. Sea la función f () = sen() cos(), definida en el intervalo 0,.Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los etremos relativos. Esbozar su gráfica (Solución: Creciente 0, (, ), decreciente (, ), máimo (, ), mínimo (, )) 5. Probar que la ecuación = 0 tiene alguna solución (Solución: Teorema de Bolzano para f()= en el intervalo,0 JUNIO a) Si el término independiente de un polinomio p() es -5 y el valor que toma p() para 3 es 7, se puede asegurar que p() toma el valor en algún punto del intervalo 0, 3? Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen. (1,5 puntos) (Solución: Aplica teorema de los valores intermedios, p(0)=-5, el término independiente es el valor del polinomio para =0)

8 54. Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 70 cm 3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 /cm y para la base un material un 50% más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo. (Solución: base cuadrada de 6 cm de lado, altura 7,5 cm) 55. Hallar el valor de a para que se verifique que lim = lim (Sol: a = -1) Dada la función () = se pide: Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad, y las asíntotas. (Solución: Asíntota vertical = 1, asíntota horizontal y =1, decreciente en todo su dominio, convea en (, 1)) 57. Calcular b y c sabiendo que la función () = 0 () 0 es derivable en el punto = 0. (Solución: b = -1/, c = 1) SEPTIEMBRE Se divide un alambre de 100m de longitud en dos segmentos de longitud y Con el de longitud se forma un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea f() la suma de las áreas. Para qué valor de dicha suma es mínima? (Solución: = ) 59. Sea la función () = 4 Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos. Esbozar su gráfica (Solución: Dominio -,, creciente en el intervalo,, decreciente,,, mínimo el punto,, máimo el punto, 60. Dada la función () = () se pide determinar: a) El dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas. b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los etremos relativos. c) La gráfica de f. (Solución: Dominio R, corta a los ejes en (-3, 0), (0, 9), no tiene asíntotas, creciente en (-3, -1), mínimo (-3, 0), máimo (-1, 4e) 61. a) Sean () = 3 0, g()= 0 Hallar g(f()). (1 punto) 3 0 (Solución: (() = 0 0 )

9 JUNIO Estudiar si la función f: 0, dada por () = 1 1 verifica las hipótesis del teorema de Rolle. Enunciar dicho teorema. (Solución: Si las cumple) 63. Calcular lim (Solución: -5/ ) Sea () = a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos, intervalos de concavidad y conveidad y sus asíntotas. b) Esbozar su gráfica. (Solución: Dominio 1, asíntota vertical = 1, asíntota oblícua y = -, creciente en (, 0) (, ), máimo (0, -3), mínimo (, 1), cóncava en (1, )) 65. Hallar el valor de los parámetros reales a y b para los que la función f()= es continua en R. (1,5 puntos) (Solución: a = 1, b = 0) 0 0 SEPTIEMBRE Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, ) y determina en el primer cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área. (Solución: y = - 4, área 4 u ) 67. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función () = 1 en el intervalo -,. Calcular la función derivada de ()en ese intervalo. (Solución: Continua en dicho intervalo, no derivable en = 1) 68. Dada la función = determinar su dominio de definición, sus asíntotas, etremos relativos y puntos de infleión. Hacer un esbozo de su representación gráfica. (,5 puntos) (Solución: Dominio (0, ), asíntota vertical =0, asíntota horizontal y = 0, decreciente en (, ), máimo (e, 1/e), convea en 0,, punto de infleión (, 3/ )

10 JUNIO Dada la función ()=, se pide: a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en = 0 valga. b) Para a =1, estudiar el crecimiento, decrecimiento y etremos relativos. c) Para a =1, hallar sus asíntotas (Solución: a) a =, b) creciente en 1,, decreciente en,1 1, mínimo el punto 1, c) A.V. = -1, A.H. y = 0) 70. Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función ()= 3 en los puntos de abscisas =1 y = -1 sean perpendiculares. (Solución: ) 71. Se considera la función f () = e + ln( ), (0, ) donde ln denota el logaritmo neperiano. a) Estudiar la monotonía y las asíntotas de f (). b) Demostrar que la ecuación e -1 = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0,1]. c) Deducir que f presenta un punto de infleión en c. Esbozar la gráfica de f (Solución: a) A. V. = 0, creciente en todo su dominio. B) La eistencia se demuestra aplicando el teorema de Bolzano para la función g() = e -1, y la unicidad aplicando el teorema de Rolle o viendo que en dicho intervalo la función es creciente (por tanto sólo puede haber un punto de corte) c) Si hallamos la segunda derivada de f() obtenemos g() por lo que el punto de infleión es el punto c del apartado b)) SEPTIEMBRE Sea la función ()=( +3) a) Estudiar asíntotas, crecimiento, decrecimiento, etremos relativos, concavidad, conveidad y puntos de infleión. b) Esbozar su gráfica (Solución: A.H y = 0 cuando, siempre creciente, convea en,+, puntos de infleión en = y en = +

11 ()() 73. Calcular lim (Solución: -1) 74. Determinar en qué puntos de la grafica de la función ()= la recta tangente a la misma es paralela a la recta =4+7. (Solución: = 0, = 4) 75. A) Determinar los etremos absolutos de la función ()= 4+4 en el intervalo [1,4]. B) Aplicando la definición, estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por ()= 01 1 en el punto = 1, donde ln denota el logaritmo neperiano. (Solución: A) Los etremos absolutos pueden estar entre los etremos relativos o en los etremos del intervalo; en nuestro caso el máimo absoluto es el punto (4, 4) y el mínimo absoluto es el punto (, 0). B) La función es continua en [0,], no es derivable en = 1) JUNIO Sea la función ()= + 01 Hallar a, b y c sabiendo que f () es ln 1 continua en (0, ), la recta tangente a f () en el punto de abscisa = 1/16 es paralela a la recta y = 4 +3, y se cumple que ()=. (Solución: a=-4/3, b=4/3, c=) 77. a) Estudiar el crecimiento de la función ()= (1 punto) (Solución: Decreciente si (,0)) b) Probar que la ecuación 3 3=0 tiene eactamente tres soluciones reales. (1,5 puntos) (Solución: Probar la eistencia con el teorema de Bolzano y la unicidad utilizando el teorema de Rolle) 78. Sea la función (). a) Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento. (1 punto) (Solución: A.V. -, A.H. y1) b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta 1, la gráfica de la función, el eje OY y la recta = ; calcular el área de dicho recinto. (1,5 puntos) 79. Determinar, de entre los triángulos isósceles de perímetro 6 metros, el que tiene área máima. (,5 puntos) (Solución: Triángulo equilátero de lado m) SEPTIEMBRE Sea ()(1). Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos, intervalos de concavidad y conveidad, puntos de infleión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (,5 puntos) (Solución: Creciente si (,0), Máimo (0,1), Cóncavidad (1, ),. (1, )))

12 () 81. a) Hallar. (1,5 puntos) (Solución: ¼) 8. a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretación geométrica. (1 punto) b) Estudiar la continuidad de la función 0 () 0 en el intervalo,, según los valores de k. (1,5 puntos) 0 (Solución: f() continua si k 0) 83. a) Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función () (Solución: A.V. -1 y, A.H. y 0). (1 punto)

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