T ema 8 ESTIMACIÓN. Conceptos previos. Población y muestra:

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1 T ema 8 ESTIMACIÓN Coceptos previos Població y muestra: Població se refiere al cojuto total de elemetos que se quiere estudiar ua o más características. Debe estar bie defiida. Llamaremos N al úmero total de elemetos de ua població. Tambié se suele utilizar los térmios idividuos, sujetos y casos para referiros a los elemetos de la població. Cuado se dispoe de u ceso (listado) de la població, se puede estudiar a todos ellos. No siempre es factible estudiar a la totalidad de ua població; por lo que se estudia u subcojuto de los elemetos totales; es decir, u muestra. Llamaremos al úmero de los elemetos de ua muestra. Muestreo: El muestreo es u proceso de selecció co el fi de obteer ua muestra lo más semejate posible a la població y así obteer estimacioes precisas. El tamaño es ua característica esecial; ya que debe ser lo suficietemete amplia para represetar adecuadamete las propiedades de la població y reducida para que pueda ser examiada e la práctica. El muestreo probabilístico se cooce la probabilidad asociada a ua muestra y cada elemeto de la població tiee ua probabilidad coocida de perteecer a la muestra. El o-probabilístico se descooce, o o se tiee e cueta, la probabilidad asociada a cada muestra y se seleccioa la que más le parezca represetativa al ivestigador. Ua forma de obteer ua muestra de ua població homogéea es utilizar: El muestreo aleatorio simple; por el cual se garatiza que cada elemeto de la població tega la misma probabilidad de formar parte de la muestra. Primero se asiga u úmero a cada elemeto y

2 después mediate algú medio (sorteo, papeletas,...) se elije tatos elemetos como sea ecesario para la muestra. Cuado los elemetos está ordeados o puede ordearse se utiliza el muestreo sistemático. Se seleccioa al azar etre los que ocupa N los lugares. Ejemplo: N = 100; = 5; 100/5= 20; escogeríamos los elemetos situados e las posicioes 20. El riesgo de este muestreo es la falta de represetació; que se pudiese dar, del total de los elemetos. Cuado topamos co ua població heterogéea, utilizamos el muestreo estratificado. Se emplea cuado dispoemos de iformació suficiete sobre algua característica y podemos elegir ua muestra e fució del úmero de elemetos segú estas características o estratos. Ate poblacioes desordeadas y coglomeradas e grupos, se emplea el muestreo por coglomerados; dode se va seleccioado de todos los grupos, subgrupos, clases, y fialmete de los elemetos restates la muestra. De la uió del estratificado y del coglomerado, surge otro muestreo el polietápico. E ocasioes el muestreo es muy costoso y se recurre a métodos o probabilísticos: El muestreo por cuotas (accidetal) se basa e u bue coocimieto de los estratos o idividuos más represetativos para la ivestigació. Similar al estratificado pero carete del carácter aleatorio. El muestreo opiático (itecioal) muestra el iterés por icluir e la muestra a grupos supuestamete típicos. El causal (icidetal) selecció de los idividuos de fácil acceso. Bola de ieve; dode u elemeto seleccioado lleva a otro y éste a otro y así sucesivamete hasta completar la muestra. Ua muestra es represetativa si exhibe iteramete el mismo grado de diversidad que la població y es aleatoria si los elemetos ha sido extraídos al azar de la població. Iferecia estadística El valor estadístico obteido de ua muestra (como media) o será igual al

3 valor del parámetro de població. Para iferir u parámetro a partir de u estadístico hay que aplicar herramietas estadísticas de tipo iferecial como la estimació por itervalo (itervalos de cofiaza) o cotraste de hipótesis. Estimació de la media La media muestral es ua variable aleatoria que toma u valor segú la muestra cocreta que se obtega. Se deomia distribució muestral de la media a su fució de probabilidad. La distribució muestral de u estadístico es u cocepto cetral, tato de la estimació como del cotraste de hipótesis. Distribució muestral de la media Ua fució de probabilidad queda caracterizada por su forma, su media y su variaza. La media de la distribució muestral de la media (μ x ) es igual a la media de la població (μ). La variaza de la distribució muestral de la media es y la desviació típica de la distribució muestral de la media, deomiada error típico de la media, es x = 2 =. 2 La forma de la distribució origial de la media se parece a ua distribució ormal auque la distribució origial de la variable e la població o es ormal. Dado el muestreo aleatorio simple: Si la distribució de X e la població es ormal co media μ y desviació típica, etoces la distribució muestral de la X es ormal μ, Si la distribució de X e la població o es ormal co media μ y desviació típica, etoces la distribució muestral de la X tiede a la ormal a medida que crece (Teorema Cetral del Límite), siedo la aproximació buea para > 30. Media, variaza y desviació típica de la variable cuatitativa X e la població y e la muestra, y de la distribució muestral de la media (X). Població Muestra Distribució muestral

4 Media μ = ΣX N X = ΣX de la media µ x = µ Variaza 2 = Σ(X - Σ(X - X)2 μ)2 S 2 = - 1 N - 1 Cuasivariaza 2 = 2 x Desviació típica = Σ(X - μ) 2 S 2 = Σ(X - X) 2-1 N - 1 Cuasidesviació típica Σ x = 2 = Error tipico de la media La media como estimador U estimador es u estadístico que se utiliza para estimar u parámetro. Por lo que la media de la muestra es u estimador de la media poblacioal; y el valor del estimador e ua muestra se deomia estimació o estimació putual. La media muestral X es u estimador isesgado de la media poblacioal (μ). El error típico de la media es u idicador de la precisió de la estimació de la media; cuato meor es el error típico, mayor es la precisió. Depediedo de la desviació típica de la població y del tamaño de la muestra. Estimació de la proporció Para la obteció de la distribució muestral de la proporció se puede hacer como la media. Distribució muestral de la proporció Sea X ua variable que sólo toma valores 0 y 1, la proporció de la muestra P se defie como: P = ΣX Dado el muestreo aleatorio simple, el estadístico proporció (P) se distribuye segú ua biomial: π (1 - π) μ p = π y 2 = p Como P es la media de los valores de X e la muestra, segú el Teorema Cetral del Límite, a medida que el tamaño crece, la distribució muestral π (1 - π) dela proporció tiede a la ormal co media π y variaza. Cuato más alejado esté π de 0,5, más elemetos debe teer la muestra para realizar la aproximació a la ormal.

5 Media, variaza y desviació típica de la variable dicotómica o dicotomizada (X) e la població y e la muestra, y de la distribució muestral de la proporció (P): Població Muestra Distribució muestral de la proporció (P) Media π = ΣX N dode X: 0,1 P = ΣX dode X: 0,1 μ p = μ Variaza 2 = π (1 - π) S 2 = P (1 - P) 2 p =π (1 - π) Desviació típica π (1 - π) = S = P (1 - P) p = π (1 - π) Error típico de la proporció La proporció como estimador La proporció muestral (p) es u estimador isesgado de la proporció poblacioal (π). El error típico de la proporció, es u idicador de la precisió de la estimació de la proporció. Cuato meor es el error típico, mayor es la precisió. Itervalos de cofiaza Cocepto La fialidad de u itervalo de cofiaza es estimar u parámetro descoocido de ua població a partir de ua muestra. Al estimar la media de la població a partir de ua muestra, podemos cometer u error de estimació X- μ. La estimació por itervalo cosiste e acotar el error co ua alta probabilidad 1 α (ivel de cofiaza) de forma que X- μ o sea superior a u estimado máximo (Emáx). El error de estimació máximo (Emáx) es fució de la variabilidad de la variable e la població, del ivel de cofiaza (.c.) y del tamaño de la muestra:

6 E máx = z 1 - α/2 dode: z1-α/2 es fució del.c. = 1 α y se obtiee e la tabla de la distribució ormal tipificada (tabla IV). α Es la desviació típica de la distribució muestral de la media, es decir, el error típico de la media. es la desviació típica de la població que es coocida. es el tamaño de la muestra. A partir de esta ecuació deducimos tato el tamaño de la muestra como los límites del itervalo de cofiaza. El tamaño de la muestra se obtiee despejado de la ecuació: z α/2 = 2 E 2 máx vemos que depede de: La desviació típica de la població. El ivel de cofiaza. El error de estimació máximo. Los límites iferior (Li) y superior (Ls) se obtiee a partir del Emáx: = X E máx // = X z 1 - α/2 = X + E máx // = X+ z 1 - α/2 El.c. o probabilidad 1 α sigifica que si extrajésemos todas las muestras posibles de ua població, calculásemos la media e cada ua de ellas y el itervalo de cofiaza, ua proporció 1 α de todos los itervalos de cofiaza cotedrá la media poblacioal y ua proporció α o lo cotedrá. Tamaño de la muestra Iteresa que u itervalo sea lo más estrecho posible y co alta probabilidad. A mayor ivel de cofiaza mayor es el error de estimació máximo, por lo que más amplio será el itervalo y meos precisa será la estimació. Ua forma de mateer y reducir el error de estimació máximo dado y aumetar el.c., es aumetado.

7 Otro factor que iterviee es la variabilidad de la variable, cuato mayor sea la desviació típica de la població, mayor debe ser para alcazar ua misma precisió. Para calcular el tamaño de la muestra descoociedo, hay que sustituir e la ecuació, la desviació típica por la cuasidesviació típica (S-1) y z1- α/2 por t-1, 1-α/2 (tabla VI). Aplicacioes Los pasos para aplicar u itervalo de cofiaza so los siguietes: Establecer u error de estimació máximo para u ivel de cofiaza 1 α. Obteer el tamaño de la muestra para el error de estimació máximo especificado. Extraer ua muestra aleatoria de tamaño y medir la variable. Calcular el estadístico (es estimador del parámetro) co las medidas obteidas. Calcular los límites del itervalo de cofiaza. Itervalo de cofiaza para la media Límites de los itervalos de cofiaza y supuestos para la estimació de la media: Supuestos Muestreo aleatorio simple. coocida. Distribució ormal o o ormal co > 30 (aprox. a la ormal). Límites del itervalo de cofiaza para la media = X z 1 - α/2 x = X + z 1 - α/2 x z 1 - α/2 Tabla IV x = Muestreo aleatorio simple. descoocida. Distribució ormal. < = X t -1; 1- α/2 = X + t -1; 1 - α/2 Tt 1;1- α/2 Tabla VI S = -1 Muestreo aleatorio simple. descoocida. Distribució ormal o o ormal co > 30 (aprox. a la ormal). = X z 1 - α/2 = X + z 1 - α/2 z 1 - α/2 Tabla IV S -1 =

8 S-1 es la cuasidesviació típica calculada e la muestra. Itervalo de cofiaza para la proporció El error de estimació máximo de la proporció es: E máx = z 1 - α/2 π(1-π) dode: z1-α/2 es fució del ivel de cofiaza 1 α (tabla IV). π(1-π) es el error típico de la proporció: p. π es la proporció de la població que o es coocida. es el tamaño de la muestra y se debe cumplir π(1-π) > 5 para la aproximació a la ormal. Los límites iferior y superior del itervalo de cofiaza se obtiee a partir del error de estimació máximo. Como descoocemos π, que es lo que precisamete queremos estimar, operamos co la proporció muestral P. Así, si e Emáx sustituimos π por la proporció muestral P, los límites iferior y superior del itervalo de cofiaza so: =P z 1 - α/2 P(1-P) = P - E máx =P + z 1 - α/2 P(1-P) = P + E máx Y la probabilidad de obteer u itervalo de cofiaza que cotega al parámetro π es: P P z 1 - α/2 P(1-P) < π < P + z 1 - α/2 P(1-P) = 1 - α