SOLUCIONES MINIMOS 2º ESO TEMA 7 TEOREMA DE PITÁGORAS.SEMEJANZA
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- Natalia Fidalgo Mora
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1 SOLUCIONES MINIMOS º ESO TEMA 7 TEOREMA DE PITÁGORAS.SEMEJANZA Ejercicio nº 1.- Los lados de un triángulo miden, respectivamente, 9 cm, 1 cm y 15 cm. Averigua si el triángulo es rectángulo. Según el teorema de Pitágoras, a = b + c. Como 15 = 9 + 1, la respuesta es sí. Ejercicio nº.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de los catetos mide 5 cm. Cuánto mide el otro cateto? a = b + c 13 = 5 + c = c c = 144 = 1 cm Ejercicio nº 3.- La suma de los lados de un cuadrado es 4 cm. Cuánto mide su diagonal? (Aproxima el resultado hasta las décimas). a = b + c a = a = 88 a 17,0 cm Ejercicio nº 4.- El lado de un rombo mide 1,5 cm y una de sus diagonales mide 15 cm. Cuánto mide la otra diagonal? IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 1
2 a = b + c c = a b c = 1,5 7,5 c = 100 c = 10 cm La otra diagonal mide 10 = 0 cm. Ejercicio nº 5.- La base mayor de un trapecio isósceles mide 30,5 cm, la base menor 0 cm y la altura mide 14 cm. Cuánto mide cada uno de los lados no paralelos? 30,5 0 Se tiene que = 5,5. a = b + c a = 5, a = 3,56 a 14,95 cm Ejercicio nº 6.- Dos de los lados de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm. Calcula cuánto mide su hipotenusa y halla su perímetro y su área. IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página
3 a b c a a a = + = = 89 = 17 cm Así, Perímetro = = 40 cm c c ' 8 15 S = = = 60 cm Ejercicio nº 7.- Calcula el área y el perímetro de un rombo en el que la diagonal mayor mide 4 cm y el lado 13 cm. l d D d d d = cm + = + = = d = = El perímetro es: 13 4 = 4 cm D d 4 10 Y el área es: S = = = 10 cm Ejercicio nº 8.- Calcula el área y el perímetro de este trapecio: IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 3
4 a b c a a = + = 6,3 + 8,4 = 110,5 = 10,5 cm Así, Perímetro = 1 + 8,4 + 10,5 = 50,4 cm ( b + b' ) a ( 1+ 8,4) 8,4 S = = S = 13,48 cm Ejercicio nº 9.- Dos triángulos semejantes tienen perímetros de 16 cm y 4 cm, respectivamente. Cuál es la razón de semejanza? 4 = 1, 5 16 razón de semejanza Ejercicio nº 10.- Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan a cada uno de ellos: IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 4
5 9 4,5 7 = x = = 3 cm 6 x 9 9 y 36 = y = = 6 cm Ejercicio nº 11.- Razona, apoyándote en los criterios de semejanza entre triángulos rectángulos, por qué son semejantes estos dos triángulos: Los ángulos del triángulo pequeño miden 90, 5 y M = = 65. Los ángulos del triángulo grande miden 90, 65 y N = = 5. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual uno de los ángulos agudos. Ejercicio nº 1.- Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 4 metros en el momento en que una estaca de m proyecta una sombra de 0,5 metros. IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 5
6 x 8 = x = = 16 x = 16 cm 0, 5 4 0, 5 Ejercicio nº 1.- Los lados de un triángulo miden 4 cm, 5 cm y 6 cm respectivamente. Averigua si ese triángulo es rectángulo. Según el teorema de Pitágoras, a = b + c. Como , la respuesta es no. Ejercicio nº.- El lado mayor de un triángulo rectángulo mide 15 cm y uno de los dos lados menores mide 9 cm. Cuánto mide el tercer lado? a = b + c 15 = 9 + c 5 = 81+ c c = 144 c = 144 = 1 cm Ejercicio nº 3.- Si los lados de un rectángulo miden, respectivamente, 16 cm y 30 cm, cuánto mide su diagonal? IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 6
7 a = b + c a = a = 1156 a = 34 cm Ejercicio nº 4.- Las diagonales de un rombo miden 10 cm y 18 cm, respectivamente. Cuánto miden sus lados? (Aproxima el resultado hasta las décimas). a = b + c a = a = 106 a 10,3 cm Ejercicio nº 5.- Observa la figura. Si a = 10 cm, cuánto mide el lado b? IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 7
8 b = b = 00 b 14,1 cm Ejercicio nº 6.- Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 3,5 cm y uno de sus lados mide 6 cm. Cuál es su área y su perímetro? a = b + c b = a c b = 3,5 6 b = Así, Perímetro = 3, ,5 = 78 cm c c ' 6 19,5 S = = = 53,5 cm 380,5 = 19,5 cm Ejercicio nº 7.- Calcula el área y el perímetro de esta figura: IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 8
9 El perímetro es: 16 4 = 64 cm l d D d d = 16 1,8 16 1,8 368,64 19, cm + = + = d = = 4 4 D d 5,6 19, Y el área es: S = = = 45,76 cm Ejercicio nº 8.- Calcula el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 4 cm y 7 cm y el lado no paralelo mide 1,5 cm. Por Pitágoras. a b c c a b c c = + = = 1,5 7,5 = 100 = 10 cm Así, Perímetro = ,5 = 94 cm ( b + b' ) a ( 4 + 7) 10 S = = = 345 cm Ejercicio nº 9.- Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 1 cm. Se construye otro semejante cuyas dimensiones son 9, 1 y 18 cm. Cuál es la razón de semejanza? = = = 1, La razón de semejanza es 1,5. IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 9
10 Ejercicio nº 10.- Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm 0 cm, y el lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 8 cm. Cuánto mide el lado mayor? = x = x = 16 cm x 10 Ejercicio nº 11.- Razona, apoyándote en los criterios de semejanza entre triángulos rectángulos, por qué son semejantes estos dos triángulos: Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen sus catetos proporcionales. 6 3 = 8 = 4 Ejercicio nº 1.- Calcula la altura de un poste que proyecta una sombra de 1 metros en el momento en que una estaca de m proyecta una sombra de 3,5 metros. IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 10
11 3,5 1 = x = x 4 3,5 = 1 m Ejercicio nº 1.- Averigua si el triángulo cuyos lados miden 6 cm, 9 cm y 13 cm es un triángulo rectángulo. a = b + c. Como , no es rectángulo. Ejercicio nº.- Calcula la medida del lado a (expresa el resultado con una cifra decimal): a = a = 15 11, cm Ejercicio nº 3.- IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 11
12 El lado de un cuadrado mide 10 cm. Cuánto mide su diagonal? (Aproxima el resultado hasta las décimas). a = b + c a = a = 00 a 14,1 cm Ejercicio nº 4.- El lado de un rombo mide 0 cm. Si su diagonal menor mide 4 cm, cuánto mide su diagonal mayor? a = b + c c = a b c = 0 1 c = 56 c = 16 cm La diagonal mayor mide 16 = 3 cm. Ejercicio nº 5.- En un trapecio isósceles sabemos que la diferencia entre las bases es de 6 cm y que la altura mide 8 cm. Cuánto mide cada uno de los lados no paralelos? a = b + c a = a = 73 a 8,5 cm IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 1
13 Ejercicio nº 6.- Calcula el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 13,5 cm y 18 cm. a b c a a a = + = 13, = 506,5 =,5 cm Así, Perímetro = 13, ,5 = 54 cm c c ' 13, ,5 cm S = = = Ejercicio nº 7.- El perímetro de un rombo mide 40 mm y la diagonal menor 16 mm. Cuál es su área? Su lado mide 40 : 4 = 105 mm. l d D D = D mm + = + = = IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 13
14 Por Tanto, su área es: D d S = = = mm Ejercicio nº 8.- Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de bases 11 cm y 0 cm, y lado inclinado de 15 cm. Se tiene que h = 15 9 h = 144 h = 1 ( b + b' ) h ( ) 1 El área es: S = = = 186 Y el perímetro es: = 58 cm cm cm Ejercicio nº 9.- La distancia que separa dos puntos en la realidad es de km. En un plano están separados por 5 cm. Cuál es la escala del plano? = Escala 1: Ejercicio nº 10.- Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan a cada uno de ellos: IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 14
15 = x = = 6 cm 8 x 0 0 y 140 = y = = 17,5 cm Ejercicio nº 11.- Razona por qué son semejantes estos triángulos rectángulos. IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 15
16 Son semejantes porque tienen un cateto y la hipotenusa proporcionales = = 0, Ejercicio nº 1.- Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 1 metros en el momento en que otro árbol que mide,5 m proyecta una sombra de 4 metros. 4, = x = = 7,5 m x 4 Ejercicio nº 1.- Los lados de un triángulo miden, respectivamente, 3 cm, 4 cm y 5 cm. Es ese triángulo rectángulo? Según el teorema de Pitágoras, a = b + c. Como 5 = 3 + 4, sí es rectángulo. Ejercicio nº.- IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 16
17 Los dos lados menores de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8 cm. Cuánto mide el tercer lado? a = b + c a = a = a = 100 = 10 cm Ejercicio nº 3.- Uno de los lados de un rectángulo mide 1 cm y su diagonal mide 15 cm. Cuánto mide el otro lado? a b c b b b b = + 15 = + 1 = 15 1 = 81 = 9 cm Ejercicio nº 4.- El perímetro de un rombo es de 40 cm y una de sus diagonales mide 16 cm. Cuánto mide la otra diagonal? a = b + c b = a c b = 10 8 b = 36 b = 6 cm La otra diagonal mide 6 = 1 cm. IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 17
18 Ejercicio nº 5.- Observa la figura y calcula la longitud de los lados a y b: b = b = 5 b = 5 cm a = = 9 cm Ejercicio nº 6.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 9 cm y uno de los catetos mide 1 cm. Calcula el área y el perímetro de dicho triángulo. a = b + c b = a c b = 9 1 b = 400 b = 0 cm Así, Perímetro = = 70 cm c c ' cm S = = = Ejercicio nº 7.- IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 18
19 Las dos diagonales de un rombo miden 14 mm y 93 mm. Calcula su área y su perímetro. d D l = + l = 46,5 + 6 l = 6006,5 l = 77,5 mm Así, el perímetro es: 77,5 4 = 310 mm D d Y el área es: S = = = 5766 mm Ejercicio nº 8.- La base mayor de un trapecio isósceles mide 35 cm y la menor 15 cm. La altura es igual a 10,5 cm. Cuánto mide su perímetro y cuál es su área? a b c a a = + = ,5 = 14,5 cm Así, Perímetro = ,5 = 79 cm ( b + b' ) h ( ) 10,5 S = = = 6,5 cm Ejercicio nº 9.- La distancia real, en línea recta, entre dos ciudades es de 48 km. En un mapa están separadas por 16 cm. Cuál es la escala del mapa? IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 19
20 48 km = cm = Escala 1: Ejercicio nº 10.- Un rectángulo tiene unas dimensiones de 15 cm 0 cm. Si el lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 6 cm, cuánto mide el lado mayor? = x = = 8 x = 8 cm x 15 Ejercicio nº 11.- Razona apoyándote en los criterios de semejanza entre triángulos rectángulos por qué son semejantes los siguientes triángulos: Los ángulos del triángulo pequeño miden 90, 30 y K = = 60. Los ángulos del triángulo grande miden 90, 60 y H = = 30. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual un ángulo agudo. Ejercicio nº 1.- Calcula la altura de Juan sabiendo que proyecta una sombra de metros en el momento en que Pedro, que mide 1,80 m, proyecta una sombra de,5 metros. IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 0
21 x 1, 80 =, 5 x = 1, 60 m mide Juan Ejercicio nº 1.- Los dos lados menores de un triángulo miden 8 cm y 15 cm. Cuánto debe medir el tercero para que ese triángulo sea un triángulo rectángulo? a = El tercero debe medir a = 17 cm. Ejercicio nº.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm, respectivamente. Calcula la longitud de la hipotenusa. a = b + c a = a = 89 a = 89 = 17 cm Ejercicio nº 3.- La diagonal de un rectángulo mide 9 cm y uno de sus lados mide 1 cm. Cuánto mide el otro lado? IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 1
22 a = b + c c = a b c = 9 1 c = 400 c = 0 cm Ejercicio nº 4.- Las dos diagonales de un rombo miden 10 cm y 0 cm respectivamente. Cuánto mide el perímetro? (Aproxima el resultado hasta las centésimas). a = b + c a = a = 15 a = 11, cm Perímetro = 4a 44,7 cm Ejercicio nº 5.- Observa la figura y calcula la longitud del lado l: IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página
23 b = a c b = 1,5 10 b = 56,5 b = 7,5 cm Así, 7,5 = 15 cm = 15 cm l = 15 cm Ejercicio nº 6.- Calcula el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 37 cm y uno de los catetos mide 1 cm. a = b + c c = a b c = 37 1 c = 15 c = 35 cm Así, Perímetro = = 84 cm c c ' 1 35 S = = = 10 cm Ejercicio nº 7.- Calcula el área y el perímetro de un rombo cuyo lado mide 35 mm y su diagonal menor es de 390 mm. IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 3
24 l d D D D = mm + = + = D = = 4 4 D d Así, S = = = Y el perímetro es: 35 4 = mm mm Ejercicio nº 8.- Observa la figura y calcula el área y el perímetro del trapecio: a b c a a = + = 4 + 7,5 = 8,5 cm Así, Perímetro = ,5 = 37 cm IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 4
25 ( b + b' ) h ( ) 7,5 S = = = 75 cm Ejercicio nº 9.- Una parcela rectangular mide 100 metros de ancho por 00 metros de largo. En el papel se representa por un rectángulo de 5 cm de ancho por 10 de largo. Son semejantes ambos rectángulos? A qué escala está representada la parcela? = Sí son semejantes Escala 1: 000 Ejercicio nº 10.- Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan a cada uno de ellos: = x = = 3 cm 5 x 15 IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 5
26 15 y 60 = y = = 1 cm Ejercicio nº 11.- Razona, apoyándote en los criterios de semejanza entre triángulos rectángulos, por qué son semejantes estos dos triángulos: Dos triángulos rectángulos son semejantes si sus catetos son proporcionales. 3 5 = = 0, Ejercicio nº 1.- Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 36 metros en el momento en que una estaca de m proyecta una sombra de 1,5 metros. IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 6
27 x 7 = x = = 48 x = 48 m 1,5 36 1,5 Ejercicio nº 1.- Averigua si el triángulo cuyos lados miden 6 cm, 9 cm y 13 cm es un triángulo rectángulo. a = b + c. Como , no es rectángulo. Ejercicio nº.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de los catetos mide 5 cm. Cuánto mide el otro cateto? a = b + c 13 = 5 + c = c c = 144 = 1 cm IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 7
28 Ejercicio nº 3.- La suma de los lados de un cuadrado es 4 cm. Cuánto mide su diagonal? (Aproxima el resultado hasta las décimas). a = b + c a = a = 88 a 17,0 cm Ejercicio nº 4.- El perímetro de un rombo es de 40 cm y una de sus diagonales mide 16 cm. Cuánto mide la otra diagonal? a = b + c b = a c b = 10 8 b = 36 b = 6 cm La otra diagonal mide 6 = 1 cm. Ejercicio nº 5.- Observa la figura y calcula la longitud del lado l: IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 8
29 b = a c b = 1,5 10 b = 56,5 b = 7,5 cm Así, 7,5 = 15 cm = 15 cm l = 15 cm Ejercicio nº 6.- Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 3,5 cm y uno de sus lados mide 6 cm. Cuál es su área y su perímetro? a = b + c b = a c b = 3,5 6 b = Así, Perímetro = 3, ,5 = 78 cm c c ' 6 19,5 S = = = 53,5 cm 380,5 = 19,5 cm Ejercicio nº 7.- Calcula el área y el perímetro de esta figura: IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 9
30 El perímetro es: 16 4 = 64 cm l d D d d = 16 1,8 16 1,8 368,64 19, cm + = + = d = = 4 4 D d 5,6 19, Y el área es: S = = = 45,76 cm Ejercicio nº 8.- Calcula el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 4 cm y 7 cm y el lado no paralelo mide 1,5 cm. Por Pitágoras. a b c c a b c c = + = = 1,5 7,5 = 100 = 10 cm Así, Perímetro = ,5 = 94 cm ( b + b' ) a ( 4 + 7) 10 S = = = 345 cm Ejercicio nº 9.- IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 30
31 La distancia que separa dos puntos en la realidad es de km. En un plano están separados por 5 cm. Cuál es la escala del plano? = Escala 1: Ejercicio nº 10.- Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan a cada uno de ellos: 9 4,5 7 = x = = 3 cm 6 x 9 IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 31
32 9 y 36 = y = = 6 cm Ejercicio nº 11.- Razona, apoyándote en los criterios de semejanza entre triángulos rectángulos, por qué son semejantes estos dos triángulos: Los ángulos del triángulo pequeño miden 90, 5 y M = = 65. Los ángulos del triángulo grande miden 90, 65 y N = = 5. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual uno de los ángulos agudos. Ejercicio nº 1.- Calcula la altura de un poste que proyecta una sombra de 1 metros en el momento en que una estaca de m proyecta una sombra de 3,5 metros. IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 3
33 3,5 1 = x = x 4 3,5 = 1 m IES CINCO VILLAS TEMA 7 º ESO Página 33
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