SISTEMAS COMBINACIONALES

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1 Tema 2 SISTEMAS COMBINACIONALES En este tema se estudarán algunas de las funcones combnaconales más utlzadas, las cuales se mplementan en chps comercales Como estas funcones son relatvamente complejas, el chp deberá contener más de puertas lógcas y, por lo tanto, estos crcutos ntegrados pertenecerán a la escala MSI Las funcones que vamos a estudar son: sumadores, comparadores, undades artmétco lógcas (ALUs), multplexores, demultplexores, decodfcadores, codfcadores y conversores de códgo 2 SUMADORES 2 Semsumador La suma de dos dígtos bnaros (PLUS) es smlar a la suma de dos números decmales, pero tenendo en cuenta que la salda tambén es un número bnaro Esto es mportante cuando sumo, por ejemplo, y, ya que para codfcar el resultado (2 en decmal) necesto dos bts () En este caso, el bt menos sgnfcatvo lo llamaremos suma, mentras que el bt más sgnfcatvo lo llamaremos acarreo (carry en nglés) En total, exsten 4 posbldades de sumar dos números bnaros de bt: PLUS El crcuto que mplementa esta funcón se denomna sem-sumador (HA o half adder) Por lo tanto, un HA es el crcuto que realza la suma de dos bts Como es obvo, precsa dos entradas (que vamos a llamarayb) y dos saldas: la suma propamente dcha (S

2 2 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES ENTRADAS SALIDAS A B S C out A B HA C out S Fgura 2: Tabla de verdad y símbolo de un semsumador (HA) C S B A B A Fgura 22: Mnmzacón de las funcones suma y acarreo de un semsumador o ) y el acarreoc En la fgura 2 se puede ver la tabla de verdad de las funcones de salda y el símbolo del HA De los dagramas de Karnaugh (fgura 22) obtenemos sus expresones mínmas: C = AB S = AB +AB A B La funcón de acarreoc es úncamente cuando las dos entradas son Además de la expresón en suma de productos, exsten otras formas de expresar la funcón suma, aunque todas ellas se pueden deducr de la anteror aplcando las Leyes de De Morgan y la propedad dstrbutva del álgebra de Boole La expresón más senclla es la EXOR de las entradas: la suma es cuando en las entradas tenemos un número mpar de s, y es en caso contraro En la fgura 23 se pueden ver algunas mplementacones de un HA 22 Sumador completo S además de sumar dos dígtos, tambén queremos sumar un acarreo de entrada, entonces el HA es nsufcente Para sumar 3 dígtos de bt necestamos lo que se conoce como sumador completo (full adder o FA) S a los bts de entrada les llamamosayb, y al acarreo de entrada lo denomnamosc n, entonces la tabla de verdad de las saldas del FA (el bt de la suma,s, y el acarreo de salda,c out ) la tenemos en la fgura 24 La mnmzacón de las funcones de salda del sumador completo se puede ver en la fgura 25 El resultado de la mnmzacón son las expresones: C out = AB +AC n +BC n =AB + (A +B)C n S = ABC n +ABC n +ABC n +ABC n =A B C n

3 2 SUMADORES 3 Fgura 23: Dstntas mplementacones de un semsumador (HA) ENTRADAS SALIDAS A B S C n C out A B C FA C out S n Fgura 24: Tabla de verdad y símbolo de un sumador completo (FA)

4 4 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES C out S AB C n AB C n Fgura 25: Dagramas de Karnaugh de las saldas de un sumador completo Fgura 26: Implementacón de un FA a partr de HA S es la funcón EXOR de las 3 entradas, es decr, su valor será cuando en las entradas haya un número mpar de unosc out será cuando en las entradas haya dos o tres unos Construccón de un Sumador Completo con Semsumadores Las funcones del sumador completo se pueden mplementar drectamente utlzando las expresones mínmas des yc out Sn embargo, tambén se pueden mplementar utlzando como módulo básco el semsumador y puertas lógcas adconales Sabemos que el bt de suma del FA es la EXOR de las tres entradas El HA solo puede hacer EXOR de 2 entradas, por lo tanto necesto, como mínmo, 2 HA conectados en sere, tal que la saldas sea tambén entrada al segundo HA De esa formas 2 será gual a la suma del FA (ver fgura 26) S 2 =S C n =A B C n Queda calcular el acarreo de salda del FA Para ello observamos que el acarreo del prmer HA es:c =AB El acarreo del segundo HA esc 2 =C n S =C n (A B) S hacemos la OR de ambos obtendremos la sguente expresón:

5 2 SUMADORES 5 Fgura 27: Dagrama de pnes del CI 7483 C out =C +C 2 =AB + (A B)C n Se puede demostrar que esta expresón es equvalente a la expresón mínma que obtuvmos con el dagrama de Karnaugh Para ello debemos utlzar las leyes y propedades del álgebra de Boole 23 Sumadores de palabras Ya sabemos sumar tres números bnaros de bt, pero nos nteresa poder sumar cantdades mayores, es decr, palabras o números de varos bts que puedan codfcar números mayores En el mercado podemos encontrar chps como el de la fgura 27, que nos muestra el dagrama de pnes del CI 7483, sumador de números bnaros de 4 bts Para el dseño de estos crcutos exsten dos opcones La prmera consste en aplcar el msmo método que hemos estado usando, a saber, defnr la tabla de verdad de la funcón u operacón que nos nteresa mplementar y mnmzarla Obvamente, este método resulta poco práctco en el caso de tener números de varos bts Por poner un ejemplo, la tabla de verdad de un sumador de palabras de 4 bts posee 8 entradas, es decr, 256 combnacones El segundo método consste en hacer un dseño modular, es decr, dseñar un crcuto básco que remos reptendo las veces que necestemos Este método solo es aplcable en funcones que posean un certo grado de regulardad S nos fjamos, la suma artmétca de palabras de n bts cumple dcha condcón Sumemos dos números en bnaro a la manera tradconal : Acarreos Prmer sumando 742 Segundo sumando 623 Suma 365

6 6 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES A 3 B 3 A 2 B 2 A B A B C out FA FA FA FA C n S 3 S 2 S S Fgura 28: Sumador de acarreo enlazado Como podemos observar, para calcular el bt -ésmo del resultado solo necestamos conocer los bts -ésmos de las entradas y el acarreo resultado de calcular el bt anteror ( ) Por lo tanto, el módulo básco es un sumador de 3 bts: un sumador completo Para sumar palabras denbts será precso utlzarnfa Nos queda por resolver cómo y cuándo calcular el acarreo de cada bt Para ello exsten varas alternatvas o solucones, pero aquí solo veremos la conocda como sumador de acarreo enlazado En el sumador de acarreo enlazado, el acarreo del sumador completose conecta al acarreo de entrada del sumador completo + De esta forma, a pesar de que todos los FA trabajan en paralelo, el resultado fnal (correcto), no se obtendrá hasta que todas las saldas sean estables, es decr, hasta que un acarreo generado en el prmer bt (el bt ) se propague hasta el bt más sgnfcatvo (el bt n) Resulta evdente que la velocdad del sumador de acarreo enlazado es baja, pues cada etapa o FA ha de esperar al cómputo de los acarreos por parte de todos los sumadores stuados a su derecha (bts menos sgnfcatvos), es decr, el retardo seránveces el tempo de retardo de un FA En la fgura 28 se muestra un sumador de acarreo enlazado construdo con 4 sumadores completos de un bt El prmer acarreoc es un acarreo de entrada al crcuto y podemos denotarlo porc n Los 3 acarreos sguentesc,c 2 yc 3 son acarreos generados y usados exclusvamente por el crcuto, y, por últmo, el acarreoc 4 es un acarreo de salda y podemos denotarlo porc out Las expresones de cada señal son: S = A B C, =,, 3 C + = A B + (A B )C, =,, 3 con C =C n y C 4 =C out El resultado fnal necesta un total de cnco bts para codfcar el resultado, es decr, C out S 3 S 2 S S Exste la posbldad de conectar más sumadores de palabras en cascada para amplar el tamaño de las palabras a sumar Para ello se debe conectar el acarreo de saldac out de cada crcuto al acarreo de entradac n del crcuto stuado a su zquerda, tal y como se ve en la fgura 29

7 2 SUMADORES 7 A 7 A 4 B 7 B 4 A 3 A B 3 B SUMADOR C 4 SUMADOR C out PARALELO PARALELO DE 4 BITS DE 4 BITS C n S 7 S 4 S 3 S Fgura 29: Suma de palabras de 8 bts con sumadores paralelos de 4 bts 24 Suma y resta de números con sgno La sustraccón, que vamos a denotar por MINUS, se puede mplementar de muchas formas Se pueden defnr las tablas de verdad para cada uno de los bts de salda y mnmzar las funcones con los dagramas de Karnaugh Tambén se puede segur los msmos pasos que en la suma construyendo un semrrestador, un restador completo y, fnalmente, un restador de palabras Otra opcón, más efcente, consste en calcular la resta a partr de la suma Para ello, solo se necesta calcular el opuesto del sustraendo Esta operacón depende del tpo de representacón elegda para codfcar los números negatvos Debdo a esto, a contnuacón vamos a ver cómo se realzan las sumas y las restas en Sgno Magntud, Complemento a y en Complemento a 2 Formato Sgno Magntud (S M) La suma y la resta son complejas ya que mplcan conocer el sgno de ambos números para realzar ben una suma verdadera, ben una resta verdadera con sumadores y restadores paralelos de n bts, respectvamente S queremos restar (sumar) haremos tal resta (suma) s ambos operandos son del msmo sgno, y haremos una suma (resta) s poseen sgnos opuesto Debdo a que en Sgno Magntud es necesaro mplementar un restador bnaro, esta representacón no es la más utlzada Una alternatva es convertr los números a Complemento a o Complemento a 2 y realzar las operacones en estos formatos, que, como veremos a contnuacón, resulta mucho más sencllo Complemento a (C ) Para sumar dos números en C se suman todos sus bts, ncludo el de sgno S exste un acarreo de salda entonces se le suma al resultado El proceso se puede ver en la fgura 2 Para restar dos números necestamos calcular el opuesto del sustraendo, es decr, calcular el Complemento a del sustraendo (fgura 2) y realzar una suma Con esta representacón solo necestamos un sumador paralelo de n bts

8 8 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES A 3 A B 3 B A 3 A B B 3 SUMADOR DE 4 BITS SUMADOR DE 4 BITS S 3 S S 3 S Fgura 2: Suma y resta de dos números en Complemento a A 3 A B 3 B A 3 A B B 3 SUMADOR DE 4 BITS SUMADOR DE 4 BITS S 3 S S 3 S Fgura 2: Suma y resta de dos números en Complemento a 2 Complemento a 2 (C 2) La suma en C 2 es la más senclla de todas: se suman todos los bts del formato y se despreca o no se tene en cuenta el acarreo fnal de salda (fgura 2) Para calcular el opuesto de un número necestamos negar todos los bts del msmo y sumar al fnal (es decr, calcular el C 2) La resta sería gual que en C (ver fgura 2), pero con el acarreo de entrada gual a y desprecando el acarreo de salda Desbordamento u overflow La suma de dos números con formato (número fjo de bts) puede producr como resultado un número que no es posble representar en el formato de partda En este caso se drá que exste desbordamento (overflow) y el resultado de la suma (o resta) será ncorrecto Por ejemplo, en un formato de 4 bts en C 2 la operacón (-7) plus (-6)= (-3) producrá overflow, pues -3 no es representable en 4 bts El overflow solo puede producrse cuando los dos sumandos son o ben ambos postvos o ben ambos negatvos, pues obvamente cuando un sumando es postvo y el otro negatvo, el resultado sempre será menor que uno de los operandos y podrá representarse con el formato de partda En el caso de la representacón Sgno Magntud el desbordamento

9 2 SUMADORES 9 Cuadro 2: Tabla de verdad de una puerta EXOR S/R B EXOR se detecta cuando en la suma de magntudes exste acarreo de salda En el caso del C y C 2 el overflow se detecta comprobando el sgno del resultado: s éste es correcto, es decr, concde con el sgno de ambos operandos, se puede asegurar que no hay desbordamento En el caso de la suma, en C y C 2 el resultado es ncorrecto (exste desbordamento) cuandoa n =B n S n, es decr, (A n =B n = ys n = ) ó (A n =B n = ys n = ) Por lo tanto: overflow =A n B n S n +A n B n S n Crcuto sumador/restador Usando las propedades de la funcón EXOR (cuadro 2) podemos construr un crcuto para sumar o restar números en C o C 2 Introducmos una señal denomnadas/r, tal que s esta señal es (S) se realzará una suma A PLUS B y s es (R) se realzará una resta A MINUS B Para ello, ss/r = los bts deb se propagan tal cuál (B = B =B ), pero ss/r = entonces se propaganb = B =B En C debemos conectarc out con C n para completar la operacón Sn embargo, en C 2 para negar un número además de negar todos sus bts (C ), necestamos sumarle Para ello aplcamos tambén la señal S/R alc n del sumador, de tal forma que s se realza una sumac n = (no afecta), mentras que en la restac n = En este casoc out no formará parte del resultado y no se usa para nada En la fgura 22 podemos ver, como ejemplo, el sumador/restador en Complemento a 2 para números de 4 bts Como el formato es fjo y el msmo para las entradas y la salda, exstrá desbordamento cuando: overflow = A n B n S n S/R +A n B n S n S/R + A n B n S n S/R +A n B n S n S/R = A n (B n S/R)S n +A n (B n S/R)S n = A n B n S n +A n B n S n

10 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES SUMADOR 4 BITS Fgura 22: Sumador/restador de dos números en Complemento a 2 22 COMPARADORES 22 Comparador bnaro La comparacón entre números es la operacón que determna s uno de ellos es mayor, menor o gual que el otro Un comparador de magntud es un crcuto combnaconal que compara dos números postvosayb y proporcona tres saldas (A<B), (A =B) y (A > B) Como son mutuamente excluyentes, conocendo dos de estas funcones es posble determnar la tercera, con lo que realmente solo necestamos mplementar dos Por ejemplo, para obtener la funcón (A<B) a partr de las otras dos: (A>B) (A =B) (A<B) Donde en la últma combnacón de entradas se ha puesto una ndferenca pues no podrá darse en la práctca Exsten dos posbldades para expresar (A<B) S la ndferenca se toma como, entonces (A<B) = (A>B) + (A=B) y s la ndferenca se toma como, entonces (A<B) = (A>B) (A=B) Las expresones de (A =B) y (A>B) en funcón de las otras dos se obtenen del msmo modo Para mplementar las funcones (A>B), (A =B) y (A<B) exsten dos posbldades La prmera de ellas es partr de los dagramas de Karnough Así, por ejemplo, sayb son números de dos btsa=a A yb=b B, entonces las funcones tendrán las sguentes expresones mínmas (ver fgura 23): (A>B) = A B +A B B +A A B (A=B) = A A B B +A A B B +A A B B +A A B B (A<B) = A B +A A B +A B B

11 22 COMPARADORES (A>B) (A<B) (A=B) B B A A B B A A B B A A Fgura 23: Dagramas de Karnaugh de las saldas de un comparador de 2 bts Cuadro 22: Tablas de verdad de un comparador de bt A B (A >B ) (A =B ) (A <B ) Sn embargo, s utlzamos este método, el dseño se complca s el número de bts de las palabras a comparar es grande La segunda posbldad es encontrar una forma smple de dseñar comparadores de cualquer número de bts a partr de un crcuto que compare un solo bt, es decr, usar una estratega modular S el bt más sgnfcatvo de A es mayor (menor) que el bt más sgnfcatvo deb, entoncesaes mayor (menor) que B SA n =B n entonces segumos comparando el sguente bt más sgnfcatvo y así sucesvamente Por últmo, dos números son guales s todos sus bts son guales, es decr, A =B, =,,n El prmer paso consste pues en dseñar un crcuto comparador de un bt, es decr, las funcones (A >B ), (A =B ) y (A <B ) Las tablas de verdad de cada una de ellas se pueden ver en el cuadro 22, de donde deducmos que sus expresones mínmas son: (A >B ) = A B (A =B ) = A B (A <B ) = A B A partr de este bloque, se pueden mplementar comparadores denbts El cason=2 es trval y se puede comprobar fáclmente que los resultados concden plenamente con los obtendos al mnmzar las funcones completas utlzando los dagramas de Karnaugh Vamos a construr ahora un comparador de 4 bts (fgura 24a) SeanA =A 3 A 2 A A y B =B 3 B 2 B B los números a comparar Defnmosx = (A =B ) =A B, =,, 3 (funcón de gualdad de los bts )

12 2 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES A A A 2 A 3 (A>B) (A=B) B B (A<B) B 2 B 3 (a) (b) Fgura 24: (a) Comparador bnaro de 4 bts; (b) dagrama de pnes del comparador bnaro 7485 A yb serán guales s se verfca que los cuatro bts son guales, o lo que es lo msmo, s (A 3 =B 3 ) y (A 2 =B 2 ) y (A =B ) y (A =B ) En el álgebra de Boole esto es equvalente a la funcón: (A=B) = (A 3 =B 3 )(A 2 =B 2 )(A =B )(A =B ) =x 3 x 2 x x A será mayor queb en s:a 3 >B 3 o (A 3 =B 3 ya 2 >B 2 ) o (A 3 =B 3 ya 2 =B 2 y A >B ) o (A 3 =B 3 ya 2 =B 2 ya =B ya >B ) Entonces: (A>B) = (A 3 >B 3 ) + (A 3 =B 3 )(A 2 >B 2 ) + (A 3 =B 3 )(A 2 =B 2 )(A >B ) +(A 3 =B 3 )(A 2 =B 2 )(A =B )(A >B ) = A 3 B 3 +x 3 A 2 B 2 +x 3 x 2 A B +x 3 x 2 x A B Del msmo modo,aserá menor queb s:a 3 <B 3 o (A 3 =B 3 ya 2 <B 2 ) o (A 3 =B 3 ya 2 =B 2 ya <B ) o (A 3 =B 3 ya 2 =B 2 ya =B ya <B ) Entonces: (A<B) = (A 3 <B 3 ) + (A 3 =B 3 )(A 2 <B 2 ) + (A 3 =B 3 )(A 2 =B 2 )(A <B ) +(A 3 =B 3 )(A 2 =B 2 )(A =B )(A <B ) = A 3 B 3 +x 3 A 2 B 2 +x 3 x 2 A B +x 3 x 2 x A B En la fgura 24b mostramos la confguracón de pnes del CI 7485, que se corresponde con un comparador bnaro de 4 bts 222 Comparacón de un mayor número de bts Para comparar palabras de un mayor número de bts, podemos utlzar el comparador para palabras de 4 bts que acabamos de dseñar En la fgura 25 se muestran dos ejemplos La dea es comparar los números en bloques de 4 bts: s la comparacón de los 4 bts más sgnfcatvos nos ndca que un número es mayor o menor que otro entonces no nos hace falta segur comparando; s, por el contraro, los 4 bts más sgnfcatvos son guales entonces necestamos segur comparando el o los sguentes bloques de 4 bts

13 22 COMPARADORES 3 A - A 3 (A>B) A - A 3 (A>B) B - B 3 (A=B) (A<B) (A=B) B - B 3 (A<B) A - A 7 4 (A>B) (A=B) B 7 -B 4 (A<B) (A>B) A - A (A>B) 8 (A=B) A - A 6 4 (A>B) B - B 8 (A=B) (A<B) (A<B) (A=B) B - B 6 4 (A<B) A - A 5 2 (A>B) (A=B) B - B 5 2 (A<B) Fgura 25: Ejemplos de comparacón sobre palabras de más de 4 bts A A A 2 (A>B) B 3 (A=B) B B (A<B) B 2 A 3 Fgura 26: Comparador de números en Complemento a Comparacón de números con sgno Para dseñar el comparador de dos números con sgno debemos tener en cuenta en que formato está representado En cualquer caso, dos números son guales s todos sus bts son guales, excepto en Sgno-Magntud y en Complemento a en los cuales el cero posee dos representacones S no tenemos en cuenta esa peculardad, entonces la funcón (A = B) es la msma para todas las representacones Para calcular cuando un número en Complemento a ó en Complemento a 2 es mayor o menor que otro, podemos utlzar un comparador bnaro Para ello debemos de ntercambar los bts más sgnfcatvos tal y como se muestra en la fgura 26 para 4 bts

14 4 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES Supongamos que queremos comparar un númeroanegatvo (A 3 = ) con otrob postvo (B 3 = ) El comparador compara los números suponendo que están en formato bnaro puro Al ntercambar los bts de sgno, estamos hacendo que el bt más sgnfcatvo deb sea, mentras que el más sgnfcatvo deaes Por lo tanto,b es mayor quea El caso deapostvo yb negatvo es exactamente gual Supongamos que ambos números son postvos En ese caso estamos ntercambando dos ceros y comparamos los números tal y como estaban El comparador nos drá cual de los dos es mayor (menor) o s son guales (recordemos que los números postvos se codfcan gual que en bnaro puro) El únco caso que nos falta es cuando los dos números son negatvos Al gual que antes, no tene sentdo ntercambar los sgnos puesto que ambos son El comparador hará la comparacón suponendo que los números están codfcados en bnaro puro El resultado será correcto porque tanto en Complemento a como en Complemento a 2, el orden (de mayor a menor) de los números negatvos se mantene s se consdera que los números están codfcados en bnaro puro Por ejemplo, -5 es mayor que -7 pero menor que -3 En Complemento a con 4 bts, -5 es, -7 es y -3 es Como podemos comprobar, en bnaro puro es mayor que pero menor que, y eso es precsamente lo que nos drá el comparador bnaro Por otra parte, en Complemento a 2-5 es, -7 es y -3 es Tambén se puede ver que en bnaro puro, es mayor que y menor que El crcuto de la fgura 26 compararía cualquer pareja de números en Complemento a 2, pero para Complemento a harían falta puertas lógcas adconales para tener en cuenta la doble representacón del cero en este formato En el caso de números en Sgno Magntud no se puede mplementar un comparador utlzando úncamente un comparador bnaro, sno que se necestan puertas lógcas u otros elementos adconales debdo a que tambén hay doble representacón del cero y a que la representacón de los números negatvos no mantene el orden s se consderan codfcados en bnaro puro 23 UNIDAD ARITMÉTICO LÓGICA (ALU) Las undades artmétco lógcas (ALU) consttuyen dspostvos útles y versátles que mplementan dferentes operacones lógcas y artmétcas, generalmente en un solo crcuto ntegrado Para estudar las ALUs vamos a ver un ejemplo: el CI 748 (ver fgura 27) Funconalmente, este chp acepta como datos dos palabras de cuatro btsa=a 3 A 2 A A yb =B 3 B 2 B B, producendo como resultado otra palabra de 4 btsf =F 3 F 2 F F Además de estas líneas posee un acarreo de entradac n y un acarreo de saldac n+4, actvos a nvel bajo La operacón que se realza sobre estos datos está determnada por las entradas de seleccóns =S 3 S 2 S S y la entrada de modom CuandoM = L las operacones son artmétcas (suma, resta, etc), mentras que cuando M = H las operacones son lógcas

15 23 UNIDAD ARITMÉTICO LÓGICA (ALU) 5 A 3 - A B 3 - B C n ALU 4 BITS 748 F 3 - F C n+4 M S 3 - S (a) Dagrama lógco (b) Dagrama de pnes Fgura 27: Undad artmétco lógca CI 748 Cuadro 23: Operacón de la ALU 748 (AND, OR, etc) Los acarreos de entrada y de salda solo tenen sentdo cuando se trata de operacones artmétcas La tabla 23 lustra las dstntas operacones que se realzan en térmnos del valor de las entradass ym Sea por ejemplos = HLLH,M = L,A=LHHL,B = LLHH yc n = L La operacón a realzar está determnada porm (L: operacón artmétca) ys (HLLH:APLUSB o A PLUSB PLUS, sn acarreo y con acarreo, respectvamente) Al serc n = L (exste acarreo de entrada) entonces la operacón que se realza esf =A PLUSBPLUS

16 6 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES A 3 - A C n ALU 4 BITS 748 F 3 C n+4 A 7 - A 4 - F B 3 - B B 7 - B 4 ALU 4 BITS 748 F 7 - F C n+8 M S 3 - S Fgura 28: ALU para operandos de 8 bts Amplacón de la longtud de los datos A pesar de que las ALUs tenen un número muy lmtado de bts en cuanto a la longtud de las palabras sobre las que opera, es posble conectarlas en cascada para realzar operacones artmétco lógcas con palabras de un número de dígtos consderablemente superor Ello se consgue conectando el acarreo de saldac n+4 de un chp con el acarreo de entradac n del sguente que maneja los bts más sgnfcatvos y puenteando todas las entradasm ys de cada uno de los chps, tal y como se ve en la fgura FUNCIONES DE RUTA DE DATOS En esta seccón veremos los sguente dspostvos: Multplexor (MUX): seleccona una de entre 2 n entradas en funcón denlíneas de control Demultplexor (DEMUX): lleva la entrada a una de las 2 n saldas en funcón de n líneas de control 24 Multplexor (MUX) Es un crcuto selector de datos, es decr, la operacón de este dspostvo es selecconar una de entre varas entradas y llevar su valor a la salda Para realzar esta seleccón son precsas líneas de control que nos ndquen cual de las entradas es la selecconada S dsponemos de 2 n entradas necestaremosnlíneas de control para hacer referenca a cada una de ellas Por tanto, podemos defnr el MUX 2 n a como aquel dspostvo con 2 n entradas, una salda y n varables de control, de forma que el códgo bnaro contendo

17 24 FUNCIONES DE RUTA DE DATOS 7 2 n 2 - MUX n 2 a y a b (n) Fgura 29: Representacón de un MUX Cuadro 24: Tabla de funconamento de un MUX 8 a Líneas de control Seleccón a b c entrada entrada entrada 2 entrada 3 entrada 4 entrada 5 entrada 6 entrada 7 en las líneas de control ndca cual de las entradas es la que se conecta a la salda En el cuadro 24 vemos un ejemplo para un MUX conn=3, donde tenemos 3 líneas de control (a,b,c) y 8 entradas (desde hasta 7 ) Construccón de un MUX En el cuadro 25 presentamos las tablas de verdad del MUX 4 a y del MUX 8 a Se puede observar que solamente se trasmte a la salda el valor ( o ) de la entrada selecconada, no nfluyendo en la msma las demás entradas, donde hemos puesto x Por ejemplo, para el MUX 4 a sab = a la salda el valor deyserá el que haya en, ndependentemente de los valores de, 2 e 3, es decr, paraab = e = la salda será sempre para cualquer combnacón de valores de las otras tres entradas 2 3 desde hasta Las expresones lógcas de las saldas son las sguentes: MUX 4 a :y =ab +ab +ab 2 +ab 3 MUX 8 a :y =abc +abc +abc 2 +abc 3 +abc 4 +abc 5 +abc 6 +abc 7

18 8 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES Cuadro 25: Tablas de verdad para MUX 4 a y MUX 8 a a b 2 3 y a b c y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x La obtencón de estas ecuacones a partr de la tabla de verdad del MUX es smlar a la construccón de funcones en forma de suma de mnterm, pero esta vez las varables de entrada que son x no ntervenen en la formacón de los térmnos producto Normalmente se suele nclur una señal de enable o strobe (s) para la nhbcón del dspostvo, con el sguente funconamento: s = : El crcuto está nhbdo y la salda es sempre cero (y = ) s = : Funconamento normal, la salda es gual a la entrada selecconada La nclusón de esta entrada en las expresones lógcas se realza smplemente multplcando cada térmno producto por s: MUX 4 a :y =sab +sab +sab 2 +sab 3 MUX 8 a :y =sabc +sabc +sabc 2 +sabc 3 +sabc 4 +sabc 5 +sabc 6 +sabc 7 La construccón de estos multplexores a partr de puertas lógcas se muestra en la fgura 22 En la fgura 22 mostramos el dagrama de pnes del CI 7453, que contene dos multplexores 4 a con dos líneas de seleccón comunes y entradas de strobe separadas, junto con su tabla de funconamento

19 24 FUNCIONES DE RUTA DE DATOS 9 a b a b c 2 y y Fgura 22: Construccones del MUX 4 a y del MUX 8 a (a) Tabla de funconamento (b) Dagrama de pnes Fgura 22: Multplexor 7453

20 2 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES 7 MUX 8 a MUX 8 a MUX 8 a MUX 4 a y 24 3 MUX 8 a a b c d e Fgura 222: Árbol multplexor 32 a Árboles multplexores El mayor MUX comercal dsponble en forma de chp es de tamaño 6 a, pero podemos construr MUXes de cualquer tamaño nterconectando varos MUX en una estructura de árbol Por ejemplo, podemos realzar un MUX 32 a a partr de cuatro MUX 8 a y un MUX 4 a, tal como se muestra en la fgura 222 Cada MUX del prmer nvel seleccona una de sus 8 entradas dependendo de los bts de control comunesc,dye El MUX del segundo nvel seleccona una de las saldas de los MUXes del prmer nvel en funcón de los bts de controlayb El resultado fnal es que la salda toma el valor de una de las 32 entradas en funcón de las cnco líneas de control a,b,c,dye Notar que al MUX del segundo nvel (MUX 4 a ) van las líneas de control más sgnfcatvas El tamaño del MUX global se obtene multplcando los tamaños de los MUXes de los dos nveles En este caso, MUXes 8 a y un MUX 4 a dan lugar a un MUX 8 4 a (MUX 32 a ) Se pueden construr árboles multplexores de cualquer número de entradas sn más que añadr nveles de MUXes

21 24 FUNCIONES DE RUTA DE DATOS 2 DEMUX n a 2 o o o o 2 n 2 - a b (n) Fgura 223: Representacón de un DEMUX 242 Demultplexor (DEMUX) Un demultplexor es un crcuto dstrbudor de datos, es decr, la operacón de este dspostvo consste en tomar la únca entrada, selecconar una de entre varas saldas y conectarla a la entrada Para realzar esta seleccón son precsas líneas de control que nos ndquen cual de las saldas es la selecconada S dsponemos de 2 n saldas son precsasn líneas de control para hacer referenca a cada una de ellas (DEMUX a 2 n ) Báscamente realza la funcón nversa del multplexor Por tanto podemos defnr el DEMUX a 2 n como aquel dspostvo con entrada, 2 n saldas, ynvarables de control, de forma que el códgo bnaro contendo en las líneas de control ndca cual de las saldas es la que se conecta a la entrada El resto de las saldas toman un valor nactvo ( s son actvas a tensón alta o s son actvas a tensón baja) Construccón de un DEMUX En el cuadro 26 presentamos las tablas de verdad del DEMUX a 4 y del DEMUX a 8 (actvacón a nvel alto) Las expresones lógcas de las saldas son: DEMUX a 4:o =ab,o =ab,o 2 =ab,o 3 =ab DEMUX a 8:o =abc,o =abc,o 2 =abc,o 3 =abc,o 4 =abc,o 5 =abc, o 6 =abc yo 7 =abc Al gual que en el caso del MUX, normalmente se suele nclur una señal de enable o strobe (s) para la nhbcón del dspostvo, con el sguente funconamento: s = : El crcuto está nhbdo y todas las saldas son sempre cero (o =, para todo) s = : Funconamento normal, la salda selecconada es gual a la entrada

22 22 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES Cuadro 26: Tablas de verdad para DEMUX a 4 y DEMUX a 8 a b o o o 2 o 3 a b c o o o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 La nclusón de esta entrada en las expresones lógcas se realza smplemente multplcando cada térmno producto por s: DEMUX a 4:o =sab,o =sab,o 2 =sab,o 3 =sab DEMUX a 8:o =sabc,o =sabc,o 2 =sabc,o 3 =sabc,o 4 =sabc,o 5 =sabc, o 6 =sabc yo 7 =sabc La construccón de estos DEMUXes a partr de puertas lógcas es la que se puede ver en la fgura 224 En la fgura 225 mostramos el dagrama de pnes del CI 7454, que corresponde a un DEMUX a 6 con la salda actva a nvel bajo, junto con su tabla de funconamento Árboles demultplexores El mayor DEMUX comercal dsponble en forma de chp es de tamaño a 6, pero podemos construr DEMUXes de cualquer tamaño nterconectando varos DEMUX en una estructura de árbol Por ejemplo, podemos mplementar un DEMUX a 32 a partr de un DEMUX a 4 y cuatro DEMUXes a 8, tal como se muestra en la fgura 226 El DEMUX del prmer nvel lleva la entrada a una de sus cuatro saldas dependendo de los bts de controlayb Los DEMUXes del segundo nvel llevan cada una de las saldas del DEMUX del prmer nvel a la salda selecconada en funcón de los bts de control comunesc,dye El resultado fnal es que la entrada se lleva a una de las 32 saldas en funcón de las cnco líneas de controla,b,c,dye Notar que al DEMUX del prmer nvel (DEMUX a 4) van las líneas de control más sgnfcatvas

23 25 MANIPULADORES DE CÓDIGO 23 a b a b c o o o o o 2 o 2 o 3 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 Fgura 224: Construccones del DEMUX a 4 y del DEMUX a 8 El tamaño del DEMUX global se obtene multplcando los tamaños de los DEMUX de los dos nveles En este caso, el DEMUX a 4 y los DEMUXes a 8 dan lugar a un DEMUX a 4 8 (DEMUX a 32) Se pueden construr árboles demultplexores de cualquer número de saldas sn más que añadr nveles de DEMUXes 25 MANIPULADORES DE CÓDIGO En esta seccón veremos los sguente dspostvos: Codfcador bnaro: con 2 n entradas, de las cuales solo una de ellas es actva, genera en lasnsaldas el códgo bnaro asocado a esa línea (códgo denbts) Decodfcador bnaro: el códgo bnaro generado por las n entradas actva una de entre 2 n saldas Conversor de códgo: Con un número arbtraro de entradas y saldas transforma las entradas de un códgo en saldas de otro

24 24 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES (a) Dagrama de pnes (b) Tabla de funconamento Fgura 225: Demultplexor 7454

25 25 MANIPULADORES DE CÓDIGO 25 DEMUX a 8 o o 7 DEMUX a 4 DEMUX a 8 DEMUX a 8 o o o o DEMUX a 8 o o 24 3 a b c d e Fgura 226: Árbol demultplexor a 32 a b (n) DECOD n a 2 n o o o o 2 n 2 - Fgura 227: Representacón de un decodfcador

26 26 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES Cuadro 27: Tablas de verdad para un decodfcador 2 a 4 y para un decodfcador 3 a 8 a b o o o 2 o 3 a b c o o o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 25 Decodfcadores bnaros La funcón de un decodfcador bnaro es recbr el códgo bnaro de la entrada y actvar (poner a s la actvacón es a nvel alto o a cero s es a nvel bajo) la línea de salda que corresponde a ese códgo bnaro, dejando el resto de las saldas nactvas (proceso que se denomna decodfcacón) Un decodfcadorna2 n presentaránentradas y 2 n saldas (ver fgura 227) Las tablas de verdad del decodfcador bnaro 2 a 4 y del decodfcador bnaro 3 a 8 las mostramos en el cuadro 27 Las expresones lógcas de las saldas son: Decodfcador 2 a 4:o =ab,o =ab,o 2 =ab,o 3 =ab Decodfcador 3 a 8:o =abc,o =abc,o 2 =abc,o 3 =abc,o 4 =abc,o 5 =abc, o 6 =abc yo 7 =abc Estas expresones son exactamente guales a las de los DEMUX, pero con la dferenca de que no ncluyen la entrada Por tanto los decodfcadores bnaros no se suelen construr como tales; lo que se hace es partr de un DEMUX y hacer la entrada dato= Tambén se puede consderar un DEMUX como un decodfcador con señal de strobe, donde la entrada estaría hacendo esta funcón Tenendo en cuenta esto, tambén podemos conclur que decodfcadores mayores de 4 a 6 pueden ser construdos a partr de árboles demultplexores ponendo la prmera entrada a uno ( = ) 252 Codfcadores bnaros Un codfcador bnaro es el dspostvo nverso a un decodfcador La funcón de este dspostvo es generar el códgo bnaro de la únca línea de entrada que está actva en cada nstante de un conjunto de varas entradas (proceso denomnado codfcacón) Un codfcador 2 n anpresentará 2 n entradas ynsaldas En prncpo solo se podrá poner a una de las 2 n entradas Por ejemplo, en el cuadro 28 mostramos las tablas de un codfcador bnaro 4 a 2 y de un codfcador bnaro 8 a 3, donde solo hemos hemos

27 25 MANIPULADORES DE CÓDIGO 27 2 n 2 - COD n 2 a n a b (n) Fgura 228: Representacón de un codfcador Cuadro 28: Tablas de verdad para un codfcador 4 a 2 y para un codfcador 8 a a b a b c otras comb otras combnacones ncludo las combnacones de entrada permtdas Las expresones lógcas de las saldas son las sguentes: Codfcador 4 a 2:a = 2 + 3,b = + 3 Codfcador 8 a 3:a = ,b = ,c = Como puede observarse las expresones de las saldas son la suma lógca de los térmnos de las líneas de entrada a que ponen dcha salda a Estas expresones sencllas se deben al gran número de ndferencas que presentan las saldas En la fgura 229 mostramos el dagrama lógco del codfcador bnaro 4 a 2, según las ecuacones anterores Codfcadores con prordad Cabe preguntarse qué sucede en el dseño anteror cuando se ponen varas de las líneas de entrada a, cuál de los códgos bnaros asocados a cada una de esas líneas de entrada es el que se tomará como salda Tal como hemos dseñado el dspostvo (ponendo ndferencas en las saldas no permtdas) no podemos decr nada sobre esta cuestón

28 28 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES 2 3 a b Fgura 229: Codfcador 4 a 2 Cuadro 29: Codfcador 4 a 2 con prordad 2 3 a b x x x x x a = = x b = = Es posble mponer prordades a las líneas de entrada, de tal forma que s varas de ellas están actvas el codfcador solo tendrá en cuenta a la más prortara En el cuadro 29 mostramos la tabla de verdad de un codfcador 4 a 2 con prordad y las expresones lógcas de sus saldas Hemos supuesto que las líneas de mayor peso son las más prortaras: 3 > 2 > > El orden 3 > 2 > > es el orden de prordad más usual y éstos van a ser los crcutos codfcadores que se encuentren en el mercado En la tabla de verdad solo ha de tenerse en cuenta la línea más prortara a uno Así, por ejemplo, s 2 = e 3 = sabemos que la salda ha de ser 2, ndependentemente de los valores de las líneas e (segunda fla de la tabla) Por otro lado, la obtencón de estas ecuacones a partr de la tabla de verdad es smlar a la construccón de funcones en forma de suma de mnterm, pero tenendo en cuenta que las varables de entrada que son x no ntervenen en la formacón del térmno producto A dferenca de un codfcador sn prordad, en un codfcador con prordad todas las combnacones de entrada tenen defndo un valor de salda y, por lo tanto, no hay ndferencas en las funcones de salda del codfcador En la fgura 23 mostramos el dagrama de pnes del CI 7448 junto con su tabla de funconamento Este chp corresponde a un codfcador 8 a 3 con prordad Como comentaro fnal, ndcar que los codfcadores comercales bnaros pueden llegar a ser de 6 a 4 Para dseñar codfcadores mayores no es posble construr árboles de decodfcadores sguendo el msmo método empleado para MUX y DEMUX y habría que estudar cada caso en partcular

29 25 MANIPULADORES DE CÓDIGO 29 (a) Tabla de funconamento (b) Dagrama de pnes Fgura 23: Codfcador 8 a 3 con prordad 7448 S-M C'2 o o o 2 2 A A A 2 A 3 DECOD 4 a 6 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o o o 2 o 3 o 4 o COD 6 a 4 B B B 2 B 3 Fgura 23: Dseño de un conversor S M a C 2 para números de 4 bts 253 Conversores de códgo Un conversor de códgo es un dspostvo que genera la traduccón entre dos códgos dferentes Los números de bts en la entrada y la salda de este dspostvo venen dados respectvamente por la longtud del códgo de partda y del códgo traducdo La construccón de estos dspostvos es partcular para cada tpo de conversón de códgos elegda Una forma senclla de realzar conversores es partendo de decodfcadores y codfcadores En la fgura 23 podemos ver un ejemplo de un conversor de números de 4 bts en formato sgno magntud a formato complemento a 2, utlzando un decodfcador bnaro 4 a 6 y un codfcador bnaro 6 a 4 Sn embargo, este método tene el nconvenente de la lmtacón del tamaño de los codfcadores, con lo cual s el códgo de salda es de más de cuatro bts, ya habría que estudar una mplementacón específca para el conversor Un ejemplo nteresante es la conversón BCD a sete segmentos Un vsualzador (dsplay) de sete segmentos consta de sete segmentos etquetadosa,b,c,d,e,f yg(fgura 232), que pueden ser lumnados ndvdualmente medante LEDs El vsualzador ncluye una entrada de control para cada segmento de forma que s, por ejemplo, la en-

30 3 TEMA 2 SISTEMAS COMBINACIONALES a f e d g c b Fgura 232: Vsualzador de sete segmentos Cuadro 2: Conversón BCD a 7 segmentos ENTRADAS SALIDAS D C B A a b c d e f g DISPLAY trada correspondente al segmento a está actva éste se lumnará, mentras que s está nactva el segmento permanecerá apagado Igual para los ses segmentos restantes La actvacón de un segmento puede ser con un valor alto (HIGH) cuando el vsualzador es de cátodo común, o con un valor bajo (LOW) cuando el vsualzador es de ánodo común El códgo BCD (códgo bnaro decmal) consta de 4 bts en los cuales las combnacones posbles son las que generan los números bnaros,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que son precsamente los dígtos que se emplean en el sstema decmal La conversón BCD a 7 segmentos vene dada por el cuadro 2 En la fgura 233 mostramos el dagrama de pnes y la tabla de funconamento del CI 7448, que corresponde al conversor de códgo BCD a 7 segmentos para vsualzadores de cátodo común

31 25 MANIPULADORES DE CÓDIGO 3 (a) Dagrama de pnes (b) Tabla de funconamento Fgura 233: CI 7448: conversor BCD a 7 segmentos

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