CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Transcripción

1 Congruencia de triángulos. 1 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma. DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ángulos. Si ABC DEF, entonces: AB FD; AC DE; BC FE A D; B F; C E Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa. Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO ANGULO LADO (L A L) Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro. Si AB DF; BC FE; B F Entonces ABC DEF DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son AB DE; BC EF ABC DEF

2 Congruencia de triángulos. 2 TEOREMA En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes ABC es isósceles con CA CB TESIS: CAB CBA RAZÓN AFIRMACIÓN 1. En CA se toma un punto D y en CB se 1. Postulado de construcción de segmentos toma un punto E, tal que CD CE 2. Trazamos DB y AE 2. Dos puntos determinan un segmento 3. CA CB 3. De hipótesis 4. CD CE 4. De 1. Construcción. 5. C C 5. Propiedad reflexiva 6. CAE CBD 6. L A L. De 3, 4, 5 7. CAE CBD 7. De 6. Ángulos correspondientes en triángulos 8. CD CE 8. De 1 9. CA + AD = CB + BE 9. De 8. Adición de segmentos 10. CA + AD = CA + BE 10. Sustitución de 3 en AD BE 11. De 10. La ley cancelativa 12. CDB CEA; DB AE 12. De 6. Partes correspondientes de triángulos congruentes 13. ABD EAB 13. De 11 y 12. L A L 14. EAB DBA 14. De 13. Ángulos correspondientes en triángulos 15. CAB CBA 15. De 14 y 7. Resta de ángulos. NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triangulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son COROLARIO: En un triangulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo. ABC es un triángulo equilátero TESIS: A B C

3 Congruencia de triángulos. 3 TEOREMA En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y pertenece a la mediatriz de la base. CDes la bisectriz de ACB ABC es isósceles con CA CB A D B TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz. 1. CA CB 1. De hipótesis De hipótesis. Definición de bisectriz. 3. CD CD 3. Propiedad reflexiva 4. CDA CDB 4. De 1, 2 y 3. Postulado L A L 5. AD DB 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos 6. D punto medio de AB 6. De 5. Definición de punto medio 7. CD es mediana 7. De 6. Definición de mediana 8. CDA CDB 8. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos 9. m ( CDA) + m ( CDB) = 180º 9. De hipótesis A D B. Forman un par lineal 10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180º 10. Sustitución de 8 en m ( CDA) = 180º, m ( CDA) = 90º 11. De 10. Propiedad de los Reales 12. CD AB 12. De 11. Definición de perpendicularidad 13. CD es altura 13. De 12. Definición de altura 14. CD es mediatriz 14. De 12 y 6. Definición de mediatriz. NOTA: Se demuestra también que si en un triangulo, una altura es mediana o bisectriz entonces el triangulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior. Demuéstrelo. TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A L A) Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente congruentes, entonces los triángulos son A P; AB PQ; B Q TESIS: ABC PQR NOTA: Este teorema se demostrará cuando se vea el método indirecto de demostración.

4 Congruencia de triángulos. 4 TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. LADO-LADO-LADO (L L L) Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son AB DE AC BC DF EF TESIS: ABC DEF 1. En el semiplano de borde AB que no contiene a C, se traza AP, tal que BAP D y AP DF 1. Postulado de construcción de ángulos y segmentos. 2. Trazamos PB 2. Dos puntos determinan un segmento 3. AB DE 3. De hipótesis. 4. APB DEF 4. De 3 y 1. L A L 5. PB EF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos 6. PB EF BC 6. De hipótesis y 5. Propiedad transitiva 7. PBC es isósceles 7. De 6 y definición de triangulo Isósceles 8. BCP BPC 8. De 7. En un triangulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos 9. AP DF AC 9. De hipótesis y de CAP es isósceles 10. De 9. Definición de triangulo isósceles. 11. ACP APC 11. De 10. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos 12. m ( ACB) = m( ACP) + m( BCP) 12. Adición de ángulos. 13. m ( APB) = m ( APC) + m ( BPC) 13. Adición de ángulos 14. m ( APB) = m( ACP) + m( BCP) 14. Sustitución de 8 y 11 en m ( ACB) = m( APB) 15. De 12 y 14. Ley transitiva 16. ABC APB 16. De 15, 6, 9. L A L 17. ABC DEF 17. De 4 y 16. Propiedad transitiva

5 Congruencia de triángulos. 5 EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Demostrar que en un triangulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son ABC es isósceles con AB AC BD y CE son bisectrices TESIS: BD CE 1. m ACB m ABC 1. De hipótesis. Los ángulos opuestos a los lados congruentes de un triangulo isósceles son 2. De hipótesis. Definición de bisectriz 2. m DBC m ACB 2 3. m ECB m ABC 3. De hipótesis. Definición de bisectriz 2 4. m DBC m ECB 4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ángulos 5. BC BC 5. Propiedad reflexiva. 6. ECB DBC 6. De 1, 4, 5. A L A 7. BD CE 7. De 6. Por ser lados correspondientes de triángulos Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) AC BD 2) AD BC K es punto medio de AB K es punto medio de CD TESIS: AC BD y AD BC 1. K es punto medio de AB 1. De hipótesis 2. AK KB 2. De 1. Definición de punto medio 3. K es punto medio de DC 3. De hipótesis. 4. CK KD 4. De 3. Definición de punto medio. 5. AKC DKB 5. Por ser opuestos por el vértice. 6. AKC DKB 6. De 5, 4, 2. Postulado L A L 7. AC BD 7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.

6 Congruencia de triángulos. 6 ABC es equilátero. AE BF CD TESIS: EFD es equilátero. 1. A B C 1. De hipótesis. Un triangulo equilátero es equiángulo. 2. AE BF CD 2. De hipótesis. 3. AB = BC = CA 3. De hipótesis. Definición de triangulo equilátero. 4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 4. De 3. Adición de segmentos 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 5. Sustitución de 2 en 4 6. EB = FC = DA 6. De 5. Ley cancelativa 7. AED EBF FCD 7. De 6, 2, 1. L A L 8. DE EF FD 8. De7. Por ser lados correspondientes en triángulos 9. DEF es equilátero. 9. De 8. Definición de triangulo equilátero DE AE DE EC; AE EB D A D F H B; A G H C TESIS: 1) 2) CEG CFH BEF BGH 1. D A 1. De hipótesis. 2. DE AE 2. De hipótesis. 3. AEG = DEF 3. De hipótesis. Son ángulos rectos. 4. DEF EAG 4. De 1,2, 3, A L A 5. DFE EGA 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes

7 Congruencia de triángulos EFH EGH 6. De 5. Por tener el mismo suplemento 7. FEG FEG 7. Propiedad reflexiva 8. EF EG 8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes 9. CEG BEF 9. De 6, 7, 8. A L A 10. C B 10. De 9. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 11. HFC HGB 11. Tienen el mismo suplemento 12. EC EB 12. De 9. Lados correspondientes en triángulos congruentes 13. FC GB 13. De 12 y 8. Resta de segmentos 14. FHC BGH 14. De 10, 11, 13. A L A AB EF DB LF AC y EH son medianas AC EH TESIS: LEF ABD 1. LF DB 1. De hipótesis. 2. AC y EH son medianas 2. De hipótesis 3. H y C son puntos medios 3. De 2. Definición de mediana 4. LH HF y DC CB 4. De 3. Definición de punto medio 5. m( HF ) m( LF) m( DB) 5. De 4. Definición de punto medio. y m( CB ) HF CB 6. De 1 y 5. Propiedad transitiva 7. EH AC; EF AB 7. De hipótesis 8. EHF ACB 8. De 6 y 7. L L L 9. F B 9. De 8. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 10. ABD LEF 10. De 1, 7, 9. L A L

8 Congruencia de triángulos. 8 HIPÓTESIS : CA CB DA DB C E D ; A E B TESIS: AB CD 1. AC BC 1. De hipótesis. 2. ABC es isósceles. 2. De 1. Definición de triangulo isósceles De 2. Los ángulos de la base de un triangulo isósceles son congruentes 4. AD BD 4. De hipótesis. 5. ADB es isósceles. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles De 5. En un triangulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos 7. m ( CAD)=m ( 1)+m ( 3) 7. Adición de ángulos. 8. m ( CBD)=m ( 2)+m ( 4) 8. Adición de ángulos 9. m ( CBD)= m ( 1)+m ( 3) 9. Sustitución de 3 y 6 en m ( CAD) = m ( CBD) 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva. 11. CAD CBD 11. De 10 y de hipótesis. L A L 12. ACD DCB 12. De 11. Ángulos correspondientes en triángulos 13. CE es bisectriz 13. De 12. Definición de bisectriz 14. CE es altura 14. De 13 y 2. En un triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es también altura. 15. CE AB 15. De 14. Definición de altura. 16. CD AB 16. De 15 y de hipótesis C E D

9 Congruencia de triángulos. 9 AB AF AC AE A B C; A F E TESIS: 1)BE CF 2)AD es bisectriz de CAE 1. AB AF 1. De hipótesis 2. A A 2. Propiedad reflexiva 3. AC AE 3. De hipótesis 4. ABE ACF 4. De 1, 2, 3. L A L 5. BE CF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 6. BC AC AB 6. Resta de segmentos 7. FE AE AF 7. Resta de segmentos. 8. FE AC AB 8. Sustitución de 1 y 3 en BC FE 9. De 6 y 8. Propiedad transitiva. 10. ABE AFC 10. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos 11. CBD es el suplemento de ABE 11. De hipótesis. A B C. Definición de ángulos suplementarios 12. DFE es el suplemento de AFC 12. De hipótesis. A F E. Definición de ángulos suplementarios 13. CBD DFE 13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento. 14. C E 14. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos 15. BDC DFE 15. De 14, 9, 13. A L A 16. DB DF 16. De 15. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 17. AD AD 17. Propiedad reflexiva. 18. BAD FAD 18. De1, 16, 17. L L L 19. BAD FAD 19. De 18. Por ser ángulos correspondientes en triángulos 20. AD es bisectriz de 20. De 19. Definición de bisectriz. CAE

10 Congruencia de triángulos. 10 PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO 1. Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado de uno, son respectivamente congruentes a dos ángulos y el lado del otro. ( ) 2. Si los catetos de un triangulo rectángulo son congruentes a los catetos de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son ( ) 3. Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son respectivamente congruentes a dos lados y un ángulo del otro. ( ) 4. L L A siempre se cumple en la congruencia de triángulos. ( ) 5. Dos triángulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados congruentes, son ( ) 6. Dos triángulos equiláteros son ( ) 7. Dos triángulos equiláteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un lado del otro. ( ) 8. Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos respectivamente ( ) 9. Si los lados congruentes de un triangulo isósceles son congruentes s los lados congruentes de otro triangulo isósceles entonces los triangulo son ( ) 10. La altura de un triangulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. ( ) 11. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes son ( ) 12. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces los lados correspondientes son ( ) 13. Ningún par de ángulos de un triangulo escaleno son ( ) 14. Los lados de un triangulo son rectas. ( ) 15. Existe un triangulo RST en el cual el ángulo R sea congruente con el ángulo T. ( ) 16. El suplemento de un ángulo, siempre es un ángulo obtuso. ( ) 17. Una perpendicular a una recta biseca a la recta. ( ) 18. La mediana trazada a la base de un triangulo isósceles es perpendicular a la base. ( ) 19. Un triangulo equilátero es equiángulo. ( ) 20. Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son ( ) 21. Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son ( ) 22. La bisectriz de un ángulo de un triangulo biseca al lado opuesto al ángulo. ( ) 1. EJERCICIOS PROPUESTOS En la figura se tiene que: AG GE ED FG GB BC. Demostrar que: D C

11 Congruencia de triángulos CD es altura. AD DB TESIS: 1) ACD BCD 2) CA CB 3. Demostrar que en un triangulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son 4. E B; ADE ACB ; B C D E TESIS: EAD BAC 5. AB AD; AE es bisectriz de BAD A C E TESIS: 1) BC CD 2) BCE DCE 6. ABC es equilátero AE BF CD TESIS: EFD es equilátero.

12 Congruencia de triángulos Sea ABC un triangulo isósceles, con CA CB. D es el punto medio de AC y E es el punto medio de BC. Demostrar que el triangulo ACE es congruente con el triangulo BCD. 8. E F C; E G B; A G H C; D F H B ED EA DE EC AE EB D A TESIS: 1) 2) CEG CFH BEF BGH 9. AI IC CD BI IH HF TESIS: EH EC 10. B es punto medio de AC AD CE; BD BE TESIS: 1) E D 2) APC es isosceles.

13 Congruencia de triángulos AB AF BD DF BAC FAE TESIS: 1) AC 2) BC AE FE 12. Demostrar que en un triangulo isósceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son 13. Si en un triangulo ABC se cumple que AB AC. R es un punto que pertenece al lado AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC DB.En base con esta información se puede demostrar que AR AD? Justificar la respuesta. 14. AE AC BC BE TESIS: 1) DEA DCB 2) ABD es isosceles A E C TESIS: 1) AE 2) DE EC AC

14 Congruencia de triángulos AB AF; DB DF; 1 2 TESIS: 1) B 2) DC F DE SUGERENCIA: Trazar AD 17. TESIS: 1) BF 2) OF OED ODE A C AE DC BH OH 18. AF AB; FE BC; DF DB TESIS: 1) EAD CAD 2) ED CD 19. TESIS: 1) DF 2) EF EAD CAD AF AB DB CB

15 Congruencia de triángulos AR SC; AB CD; BS DR TESIS: BSA DRS 21. BD es mediana AE BF; CF BF TESIS: AE CF 22. AC AE CF y EB son medianas TESIS: AD CE 23. AB BC; DC BC ABD DCA TESIS: ABC DCB 24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un triangulo isósceles al punto medio de la base son 25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triangulo ABC al punto medio M de AC se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB 26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triangulo equilátero forman otro triangulo equilátero.

16 Congruencia de triángulos TR TS; PR PS TESIS: TRP TSP 28. A B C D 1 2 AB CD TESIS: A D Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.