1. CIRCUNFERENCIA 2. ELIPSE 3. HIPÉRBOLA 4. PARÁBOLA 5. LA TIERRA
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- Juana Prado Ruiz
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1 1. CIRCUNFERENCIA. ELIPSE 3. HIPÉRBOLA 4. PARÁBOLA 5. LA TIERRA
2 Definición 1. CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar gemétric de ls unts P(x, ) del lan que están a igual distancia de un unt interir C(h,k) llamad centr. A esta distancia cnstante la llamarems radi, r. d(p,c) = r Usand la exresión de distancia entre ds unts (que vims en el tema de ecuación de la recta): d ( P, C) ( x h) ( k ) = r Elevams al cuadrad ara quitar la raíz: (x- h) + (- k) = 0 Desarrlland la ecuación, se tiene: x - hx + h + k + k = r Ordenand la ecuación: x + - hx k + h + k - r = 0 Es decir la ecuación de una circunferencia es de la frma: x + + Dx+ E+ F = 0 Siend: D= -h desejand h: h= -D/ E = -k desejand k: k= -E/ F= h + k - r desejand r:
3 Cuand el centr está en el rigen (0, 0), la ecuación anterir se simlifica a (x- h) + (- k) = 0 x r Secantes, cuerdas tangentes. Existen varias rectas unts eseciales en la circunferencia. Cuerda: segment que une ds unts de la circunferencia Diámetr: las cuerdas de lngitud máxima (aquellas que asan r el centr) Secante: una recta que atraviesa la circunferencia, crtándla en ds unts Tangente: una línea que tca a la circunferencia en un sól unt. El unt de cntact de la tangente cn la circunferencia se llama unt de tangencia. El radi que une el centr cn el unt de tangencia es erendicular a la tangente.
4 Definición.ELIPSE Elise es el cnjunt de unts del lan que verifican que la suma de las distancias desde cada un de ells a ds unts fijs (F F ) llamads fcs es una cantidad cnstante, que llamams a. Elements de la elise. PF+PF = a En la elise se distinguen ls siguientes elements: El eje fcal es la recta que asa r ls fcs F F. El eje secundari es la mediatriz del segment FF. El centr de la elise es el unt O en el que se crtan ls ejes. Es el centr de simetría. Y ls ejes sn sus ejes de simetría. La distancia fcal es el segment FF, cua lngitud es c. Ls fcs sn ls unts F F. En una elise de centr C(0,0), las crdenadas de ls fcs sn F(c,0) F (-c,0) Ls vértices sn ls unts A A, B B en ls que ls ejes crtan a la elise. En una elise de centr O(0,0), las crdenadas de ls vértices sn A(a,0) A (-a,0) B(0,b) B (0,-b) El eje mar es el segment AA. El eje menr es el segment BB.
5 La lngitud del eje mar AA se designa r a, AA = a La lngitud de ls semiejes es: OA = OA = a. La lngitud del eje menr BB se designa r b, BB = b Pr tant: OB = OB = b. La distancia fcal FF se designa r c, FF = c la semidistancia fcal será: OF = OF = c. Relación entre a, b c. Si tmams el unt P en el vértice B, btenems BF + BF = a, lueg BF = BF = a Cnsiderand el triángul rectángul OFB, de catets b c de hitenusa a. El terema de Pitágras rrcina la relación: a = b + c Ecuación reducida de la elise de eje mar OX Haciend us de la definición de elise de la relación entre ls elements rinciales, btenems : x a b 1 Excentricidad. Si se bservan varias elises se ve que unas sn redndeadas tras sn alargadas achatadas. Esta característica de la elise de ser más mens redndeada se mide cn un númer llamad excentricidad (e), que es el cciente de c entre a: e = c / a, cn c<a. Cm c<a, se deduce que la excentricidad es un númer cmrendid entre 0 1. Cuant más se arxima la excentricidad a 1 más alargada achatada es la elise, tendiend a cnfundirse cn el eje mar; cuant más se arxima a 0 más se arece a una circunferencia.
6 3.HIPÉRBOLA La hiérbla es el cnjunt de unts del lan cua diferencia de distancias a ds unts fijs llamads fcs es una cantidad cnstante: a. l PF - PF l = a Elements de la hiérbla. En la hiérbla se distinguen ls siguientes elements: El eje fcal es la recta que asa r ls fcs F F. El eje secundari es la mediatriz del segment F F. El centr de la hiérbla es el unt O en el que se crtan ls ejes. Es el centr de simetría. Y ls ejes sn sus ejes de simetría. La distancia fcal es el segment F F, cua lngitud es c. Ls vértices sn ls unts A, A B, B El eje real es el segment AA. El eje imaginari es el segment BB.
7 Lngitudes de ls ejes. El eje real AA mide a lueg OA = OA = a De igual frma se tma cm lngitud del eje imaginari BB b, lueg OB = OB = b. Y la distancia fcal es FF = c. Relación entre a, b c. La relación itagórica entre ests elements rinciales es: c = a + b Ecuación reducida de la hierbla de eje real OX Se btiene desarrlland la definición de hiérbla, utilizand la relación entre ls elements rinciales x a b 1 Excentricidad. Observand varias hiérblas se ve que unas tienen la rama más abierta que tras. Esta característica de ser más abierta más cerrada se mide cn un númer llamad excentricidad (e), que es el cciente de c entre a: e = c / a, cn c>a. Cm c>a, se deduce que la excentricidad de la hiérbla es un númer mar que1. Si e tiende a 1, c tiende al valr de a las ramas se cierran cada vez más. Pr el cntrari, cuant mar es la excentricidad, más se van abriend las ramas de la hiérbla. Asínttas de la hiérbla. Las asínttas de la hiérbla sn ds rectas a las que la curva se acerca indefinidamente sin llegar a tcarlas. La ecuación de las asínttas ara una hiérbla de ecuación x b b 1, sn x e x b a a a
8 4. PARÁBOLA Definición La arábla es el cnjunt de unts P(x,) del lan que está a la misma distancia de un unt F( fc), de una recta fija d (directriz). d (P,F) = d (P, d) = Elements de la arábla. En la arábla se distinguen ls siguientes elements: El fc es el unt F. La directriz es la recta d. El radi vectr de un unt P es el segment PF que l une al fc. El arámetr es la distancia FD del fc a la directriz d se designa r. El eje de la arábla es también un eje de simetría. La recta que asa r el fc es erendicular a la directriz. En la figura el eje de la arábla cincide cn el eje. El vértice es el unt V en que el eje crta a la arábla. Ecuación reducida de la arábla Cnsiderems la arábla de eje OY vértice el rigen de crdenadas (0,0). El fc F(0, ) la recta directriz d: =-.
9 Alicand la definición de arábla a un unt P(x,) de la arábla: d (P,F) = d (P, d) = x Elevand ambs miembrs al cuadrad, x btenems x desarrlland ls binmis btenems: x Simlificand, queda: x de dnde btenems la ecuación de la arábla: x Siguiend un rces similar btenems las ecuacines de las aráblas en sus distintas frmas: x
10 5. LA TIERRA Crdenadas gegráficas. La sición de un unt de la suerficie terrestre queda determinada de frma exacta r ds crdenadas: su lngitud su latitud. La lngitud de un unt es la medida del arc cmrendid entre el meridian de Greenwich (meridian 0) el meridian que asa r el unt. Se mide de 0º a 180º indicand si el unt está al este al este del meridian de Greenwich. La latitud es el arc de meridian cmrendid entre el ecuadr el unt. Se mide de 0º a 90º indicand si es al nrte al sur del ecuadr. Ds unts sn antídas si sn extrems de un segment que asa r el centr de la Tierra. Las antídas de Jaén están en el mism meridian, er en el hemisferi sur. Su latitud será 9º S su lngitud será 180º - 4º = 176º E. Sus crdenadas sn, r tant, 39º S, 176º E. Distancia entre ds unts del mism aralel. Ds unts A B tienen cm latitud 50º N. Si sus lngitudes sn de 35ª E 0º O, cuál es la distancia que ls seara? Calculams rimer la medida en grads del arc AB, 35º - (-0º) = 55º. Para hallar el radi, r, del aralel de la esfera terrestre de latitud 50º Distancia entre unts huss hraris: cs 50º = r / R = r / r = cs 50º x km = 4.094,6 km Lueg la distancia que seara ls unts A B es de: L = x 4.094,6 x 55º / 360º = 3.98,5 km La distancia entre A B es de 3.98,5 km. Mvimient de la Tierra. La Tierra gira sbre sí misma 1 vuelta cmleta cada 4 hras. Este mvimient de rtación da lugar a ls días a las nches, rduce las diferencias hrarias entre ls unts de la Tierra cn distinta lngitud.
11 Qué diferencia hraria ha entre Barcelna Bilba? Si tmams las lngitudes Este cm sitivas la Oeste cm negativas las exresams en grads tenems que: Barcelna: º 15 este = + 15 / 60 =,5º Bilba: º 57 este= -,933º Su diferencia es de,5º - (-,933º) = 5,183º. La Tierra gira 15º en 1 hra, lueg el tiem que tarda en girar 5,183º es de 5,183 / 15 = 0,346 hras l que es igual 0 minuts 45,6 segunds. El Sl sale 0 minuts 45,6 segunds antes en Barcelna que en Bilba. La suerficie terrestre se halla dividida en huss hraris en ls que la hra ficial, n la slar, es la misma. Sus frmas n cinciden cn las de un hus esféric erfect sin que se hacen basadas en criteris ráctics lítics. Así aunque Barcelna Bilba n tienen igual hra slar, sí tienen la misma hra ficial.
12 CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS DE CONICAS 1.- Halla la ecuación de la circunferencia de centr el rigen de rdenadas radi: a) b) ½ c) 7 d) 0,5.- Halla la ecuación de las siguientes circunferencias: a) Centr (, 0 ) r = 3 b) Centr ( 0, - 1 ) r = 4 c) Centr ( - 4, 3 ) r = Ls extrems de un diámetr de una circunferencia sn ls unts de crdenadas A (, 1 ) B ( 6, 3 ). Halla las crdenadas del centr el radi de la circunferencia. 4.- Halla el centr el radi de las circunferencias de ecuacines: a) x x b) x Halla la ecuación de la circunferencia de centr el unt P (, - 3 ) que ase r el unt: a) A ( 0, - 4 ) b) B ( 1, 1 ) c) C ( - 3, - 5 ) 6.- Halla la ecuación de la circunferencia cncéntrica cn la circunferencia de ecuación x 4 0, cu radi es el trile. 7.- Halla la ecuación de la circunferencia de radi 5 unidades que tiene su centr en el unt C ( 1, 3 ). Averigua cuáles de ls siguientes unts ertenecen a ella: M ( 4, 7 ) N ( 3, 1 ) P ( - 1, 9 ) Q ( 1, - ) ELIPSE 1.- Halla la semidistancia fcal la excentricidad de una elise cus ejes mar menr miden resectivamente 0 cm 16 cm..- Halla la lngitud del semieje menr de una elise sabiend que su eje mar vale 34 cm que su distancia fcal es 16 cm calcula la excentricidad de la elise. 3.- Halla la lngitud del semieje mar de una elise sabiend que su eje menr mide 3 cm que su distancia fcal es de 4 cm. Calcular, asimism, la excentricidad de dicha elise. 4.- La excentricidad de una elise es de 0,96 su eje mar mide 50 cm. Calcula el valr de su semieje menr el de su semidistancia fcal. 5.- La excentricidad de una elise es de 0,6 su distancia fcal mide 40,5 cm. Calcula el valr de sus semiejes mar menr. 6.- La excentricidad de una elise es de 0,8 su eje menr mide 4 cm. Calcular el valr de su semieje mar el de su semidistancia fcal. En cada ejercici escribe la ecuación de la elise crresndiente
13 HIPÉRBOLA 1.- Halla la semidistancia fcal la excentricidad de una hiérbla cus ejes rincial secundari miden resectivamente 16 cm 1 cm..- Halla la lngitud del semieje secundari de una hiérbla sabiend que su eje rincial vale 30 cm que su distancia fcal es de 34 cm calcula la excentricidad de la hiérbla 3.- Halla la lngitud del semieje rincial de una hiérbla sabiend que su eje secundari mide 4 cm que su distancia fcal es de 40 cm calcula la excentricidad de dicha hiérbla. 4.- La excentricidad de una hiérbla es de 5/4 su eje rincial mide 48 cm. Calcular el valr de su semieje secundari el de su semidistancia fcal. 5.- La excentricidad de una hiérbla es de 1,5 su distancia fcal mide 67,5 cm. Calcula el valr de sus semiejes rincial secundari. 6.- La excentricidad de una hiérbla es de 5/3 el eje secundari mide 16 cm. Calcula el valr del semieje rincial de la semidistancia fcal. En cada ejercici escribe la ecuación de la hiérbla crresndiente PARABOLA 1.- Escribe la ecuación de una arábla cu arámetr vale 5..- Ls unts ( 1, ); (, 3 ); ( 4, 4 ); ( 4, - 4 ) ertenecen a la arábla 4x 3.- Cuál es el fc cuál es la recta directriz de la arábla de ecuación 10x 4.- Halla el fc la recta directriz de la arábla x 4 Cuál es su eje? Dibuja esta arábla.
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