Soluciones Examen de Estadística

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1 Soluciones Examen de Estadística Ingeniería Superior de Telecomunicación 15 de Febrero, 5 Cuestiones horas C1. Un programa se ejecuta desde uno cualquiera de cuatro periféricos A, B, C y D con arreglo al siguiente protocolo: en un primer intento, si A está operativo, el programa se ejecuta desde A. Si A no está operativo, se realiza un segundo intento consistente en lanzar dos monedas y ejecutar el programa desde B si no se obtuvo ninguna cara, desde C si se obtuvo una cara o desde D si se obtuvieron dos caras. Si el periférico seleccionado en este segundo intento no está operativo el programa se queda sin ejecutar. La probabilidad de que cada periférico esté operativo es p y cada uno de ellos lo está o no con independencia del estado de los otros. a Calcular la probabilidad de que el programa no se ejecute. La probabilidad de que el programa se ejecute en el primer intento es igual a la probabilidad de que A esté operativo, es decir, p. La probabilidad de que se ejecute desde B es igual a la probabilidad de que A no esté operativo, 1 p, por la probabilidad de que B sea elegido que es igual a 1 4 : probabilidad de no obtener ninguna cara, por la probabilidad de que B esté operativo, p, es decir: 1 p 1 4 p. Del mismo modo, las probabilidades de que el programa se ejecute desde C y D son respectivamente: 1 p 1 p y 1 p 1 4 p Por tanto, la probabilidad de que el programa se ejecute es: p + 1 p 1 4 p + 1 p 1 p + 1 p 1 p p + p 1 p p p 4 y la probabilidad de que no se ejecute es 1 p p 1 p 1 p. b Si el programa no se ha ejecutado, cuál es la probabilidad de que haya fallado el periférico C? Por las condiciones de funcionamiento del protocolo, la probabilidad de que falle el periférico C es: 1 p 1 1 p. Por tanto, si el programa no se ha ejecutado, la probabilidad de que haya fallado el periférico C viene dada por 1 p 1 1 p 1 p 1 C. Los circuitos integrados chips se optienen a partir de obleas de silicio y son muy susceptibles a culaquier fallo en la superficie de la oblea. Se define como defecto fatal aquel defecto que pueda echar a perder un chip. El número de defectos fatales por 1 milímetros cuadrados de oblea de silicio viene caracterizado por una variable aleatoria de media.1 X número de defectos en 1 mm P,1 1

2 como defecto fatal aquel defecto de la oblea que pueda echar a p de pista de los chips que se están produciendo a partir de dicha ob El número de defectos fatales por 1 milímetros cuadrados de o por una variable aleatoria de media,1. a Cuál es la probabilidad de q haya más de un defecto fata b Si se toman 5 chips diferent probabilidad de que más defectos? 58 chips de 1x1 mm c Si se pretenden obtener c obleas de 1 milímetros de de encontrar más de 1 de total de 4 obleas? a Cuál es la probabilidadx: de Nº que de en un defectuosos chip por mm 1 hayamm más de un defecto,1 fatal?. Y número de defectos en mm P,4 P ry > 1 1 P ry 1 1 P ry P ry 1 1 e,4,4e,4,615 a b Si se toman 7 chips diferentes de 1 1 mm, cuál De es la lafigura probabilidad se observa de que más que de un chip de x de esos chips no tengan defectos?. de 1x1. Tenemos pues: P rx e,1,9 Y: Nº de defectuosos por 4 mm N número de chips que no tienen defectos de entre los 5 N B5,,9 P rn > P rn 3 + P rn 4 P rn 5,66 +,199 +,7,537 p,4 Y > 1 p,4 > 1 1 p,4 1 1 e, 4 c Si se pretenden obtener chips de 1 1 mm de las obleas de 1 mm de diámetro, cuál es la probabilidad de encontrar más de 1 defectos fatales en la superficie útil total de 4 obleas? 4 obleas a 58 chips por oblea, son 3 chips de 1 1 mm M número de defectos en los 3 chips, M P 3, Utilizamos el T.C.L. y aproximamos una Poisson a una Normal: M N3,, 3, P rm > 1 P r Z p> P rz >,3 P rz <,3,9898 4,816 b,1, 1 p X p e,948, 9 1 B 5 3, ; p > p B 5;,9 > 1 p B 5;,9 C3. Se elige un punto X al azar en el intervalo, 1. Supuesto que X x, Y es una variable aleatoria exponencial de media c 4 1 obleas a 58 chips 1x1 por oblea, son 3 chips de 1x1. x, cuya densidad viene definida por 3 { Z X i xe xy 3, si y > T.C.L. f Y X y x otro caso Calcular: p i 1 Z > 1 p 3, > 1 1 p 3, 1, 5 N 3,;4,816 1, 5 a La función de densidad conjunta del vector aleatorio X, Y. La elección al azar en el 1 p intervalo, 1 supone una distribución uniforme para la variable aleatoria X, com lo que la función de densidad de X es { 1 f X x 1 si < x < 1 p en otro caso p 4,9 N ; 1, 1 p N;1,, Puesto que f X,Y x, y f Y X y x f X x, la densidad conjunta del vector aleatorio X, Y será { xe xy si < x < 1, y > f X,Y x, y en otro caso 4 i 1 1 X i p 1 p N;1

3 b La densidad marginal de Y y la esperanza de Y sabiendo que X x. La densidad marginal de Y es f Y y e y y f X,Y x, y dx [ e xy y ] 1 1 xe xy dx 1 e y y ] 1 [ xe xy y e y y, y > + 1 y 1 e xy dx La variable aleatoria Y X x es una exponencial de parámetro x, por tanto su esperanza será 1 x, tal y como se especifica en el enunciado. c La probabilidad condicionada P Y > 1 X < 1 Por un lado se tiene que P Y > 1, X < xe xy dydx 1 e x dx 1 e 1 Por otro lado, dado que la distribución de X es uniforme en, 1, se tiene que P X < 1 1 Consecuentemente, P Y > 1 X < 1 P Y > 1, X < 1 P X < 1 1 e 1 C4. Tres días antes del referéndum de aprobación de la constitución europea se realiza una encuesta a 5 personas para determinar si se puede afirmar que el resultado va a ser positivo. De las 5 personas, 75 se muestran a favor de la aprobación y 5 en contra. a Calcular el intervalo de confianza para la proporción de personas que votarían sí a la constitución, con un nivel de confianza del 99 %. La proporción de personas que vota sí en la muestra es ˆp 75 5,55. Por tanto, el intervalo de confianza es: p {,55 ± z,5,55,45 5 } [,493,,67] b Se puede asegurar con ese mismo nivel de confianza que la proporción de personas que apoyarán la constitución es superior al 5 %. Si no es así, con qué nivel de confianza podríamos asegurar que pasaría. b Directamente, viendo el intervalo de confianza no se puede asegurar que más del 5 % de las personas votarán sí al referéndum puesto que hay valores inferiores a,5 que se encuentran en el intervalo. Nota: también se puede hacer con un contraste de hipótesis. Por tanto, para calcular el nivel de confianza o bien se hace siguiendo el razonamiento del intervalo de confianza o con un contraste de hipótesis es decir calculando el p-valor. Según la primera forma, ahora: z α/,55,45 5,55,45 >,5 z α/ <,47 P rz <,47, α/ 5 Y α,5, o lo que es lo mismo, el nivel de confianza es del 97,5 %. 3

4 Problemas 1h 3 P1. Los mensajes llegan a un cierto servidor de correo electrónico por dos líneas diferentes siguiendo dos procesos de Poisson independientes de parámetros λ 1 y λ a Determinar de qué tipo es la v.a.: X j tiempo de llegada del primer mensaje por la línea j X j Expλ j b Determinar la probabilidad de que el primer mensaje llegue por la línea 1. La función de densidad conjunta de X 1 y X es al ser independientes fx 1, x λ 1 e λ1x1 λ e λx x 1, x > P rx 1 < X λ e λx dx x λ 1 e λ1x1 dx 1 λ 1 λ 1 + λ c Calcular la función de densidad de la v.a. X tiempo de llegada del primer mensaje. Si el número total de mensajes en un segundo es P λ 1 +λ, el tiempo de llegada del primer mensaje independientemente del canal será una exponencial con el mismo parámetro, por lo tanto: fx λ 1 + λ e λ1+λx d Calcular la función de probabilidad del proceso Nt, número total de mensajes que llegan en un intervalo de t segundos. Es Nt estacionario en sentido débil?. Si el número de mensajes en un segundo es P λ 1 + λ, el número total de mensajes que llegan en un intervalo de t segundos NT P λ 1 + λ t, por lo tanto su función de probabilidad es: P rnt k e λ1+λt λ 1 + λ k t k k! No es estacionario en sentido débul, ya que por ejemplo: E[Nt] λ 1 + λ t depende del tiempo. P. El valor de una determinada señal s producida por un aparato sufre pequeñas perturbaciones que consideramos aleatorias. a Supongamos que la distribución de los valores de s se puede aproximar por una distribución Normal con media 1 y desviación típica.5. Entre los valores de la señal que son mayores que 1.5, cuál es la proporción de valores que son mayores que 13?. P rs > 13 S > 1,5 P rs > 1,5 P rs > 13 P rs > 1,5 P rs > 13 P r P rs > 1,5 P r P rz > 1 P rz P rz > 1 1 P rz 1 1,977 1,8413,143 Z > 13 1,5 Z > 1,5 1,5 4

5 b Queremos ahora medir la señal s con un aparato de medición. Sea X la v.a. valor proporcionado por el aparato al realizar una medición y ɛ la variable error cometido por el aparato al realizar la medición. Suponiendo que ɛ sigue una distribución normal con media y desviación típica.4, y es independiente de s. Cuál es la relación entre s, X y ɛ, cuál es la distribución de X? X N1,,41 X s + ɛ E[X] E[s] + E[ɛ] V ar[x] V ar[s] + V ar[ɛ],5 +,4,41 al ser independeintes c Se planifica realizar varias mediciones y proporcionar su media para aproximar el valor de la señal. Cuántas mediciones habrá que tomar para que nos aseguremos con una probabilidad mayor o igual a.95 que el valor proporcionado no se alejará en más de.1 unidades de la señal promedio? Si llamamos X a la media muestral de las mediciones obtenidas, buscamos un n tal que: P r X 1,1,95 Puesto que X N1,,41, sabemos que X N1,,41/n, por lo tanto P r Z P r X 1,1,95 P r,1 X 1,1,95,1 P r Z,1,95,41/n,41/n,1 P r Z,1,41/n,41/n P r P r Z Z,95,1,41/n 1,95,1,41/n,975,1,41/n 1,96 1,96,64 n 157,5,1 Será necesario realizar 158 mediciones 1. Después de ser producida la señal entra en un dispositivo que la transforma en una señal saliente con tres estado: -1,, 1. La señal s out toma el valor -1 si la señal entrante es menor que 11.5, toma el valor si la señal entrante está entre 11.5 y 1.5, y toma el valor 1 si la señal entrante es mayor que 1.5. Calcula la función de probabilidad de s out. Si se toman 114 valores de s out, cuál es en promedio el número de valores no nulos de s out? La variable s out 5

6 es discreta y toma los valore, -1,, 1, su función de probabilida es: p 1 P rs out -1 P rs 11,5 P rz 11,5 1/,5 P rz 1 1 P rz 1 1,8413,1587 p P rs out P r11,5 s 1,5 P r 1 Z 1 P rz 1 1,8413 1,686 p1 P rs out 1 P rs 1,5 P rz 1 1 P rz 1,1587 Sea N número de ceros observados en una secuencia de 114 valores N B114,,686. El número medio de valores nulos es E[N] 114, ,4. Por lo tanto el promedio de valores no nulos es ,4 356,75 6