ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)
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- Nicolás Mora Caballero
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1 Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Ciclo Básico Departamento de Matemática Aplicada ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) Semestre Mayo 2011
2 Álgebra Lineal y Geometría Analítica (0250) TEMA 2 VECTORES EN R2 Y R3 Semestre Mayo 2011
3 Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de vectores en R2 y R3 La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de repaso a los contenidos teóricos que componen el tema Se presentan ejercicios resueltos y propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores, también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos Se ha tratado de ser lo más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Álgebra Lineal en Ingeniería Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo: quinterodavila@hotmailcom
4 INDICE GENERAL 21 Vectores 22 Cantidades escalares y vectoriales 23 Longitud, magnitud o norma de un vector 24 Producto escalar 25 Ángulo entre dos vectores 26 Vectores canónicos Direcciones 27 Vectores ortogonales Proyección ortogonal 28 Cálculo de la proyección de un vector sobre otro 29 Producto vectorial
5 VECTORES Pág: 1 de VECTORES Definición 1 Un vector es un objeto de la forma x = (x 1,x 2,,x n) con xi R, i = 1,,n Un vector es una magnitud representada por un segmento dirigido (flecha) Se caracteriza por poseer: a Una longitud, la que es representada por un valor numérico al que se llama módulo, norma o tamaño del vector (ver figura 1) Figura 1 Cálculo del módulo, norma o tamaño de un vector b Una dirección, que es la recta a la que pertenece (ver figura 2) c Un sentido La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican mediante signos + para un lado y - para el otro (ver figura 2) Figura 2 Dirección y sentido de un vector
6 VECTORES Pág: 2 de 12 Los vectores pueden situarse en el plano, (dos dimensiones) (ver figura 3), en el espacio (tres dimensiones) (ver figura 4) y hasta en dimensiones mayores a tres Los vectores que se encuentren en el plano se llamarán pares, mientras los que se ubiquen en el espacio se llamarán ternas Figura 3 Vector en dos dimensiones Figura 4 Vector en tres dimensiones 22 CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES Diversas medidas como la temperatura, distancia, masa, tiempo, densidad, energía, área, altura, etc, se pueden representar mediante un solo número real, estas se llaman cantidades escalares Otras como la fuerza que actúa sobre un objeto, velocidad y aceleración de un cuerpo, necesitan, además de la magnitud, describir una dirección y un sentido Estas se llaman cantidades vectoriales y se logra describirla mediante coordenadas Se estudiarán con detalle algunas características de estas últimas cantidades
7 LONGITUD, MAGNITUD O NORMA DE UN VECTOR Pág: 3 de LONGITUD, MAGNITUD O NORMA DE UN VECTOR Definición 2 La longitud, magnitud o norma de un vector es una cantidad escalar asociada con el tamaño del vector y se puede calcular como x 1 2 n = x + x + + x El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo en R 3 (ver figura 5) Si P = (x,y,z), del teorema de Pitágoras se tiene que OP = OR + z, aplicando el teorema de Pitágoras al vector OR se obtiene OR = x + y y reemplazando esta última ecuación en la primera: OR 2 = x + y + z Como la norma de un vector es no negativa se tiene que P = OP = x + y + z TEOREMA 1 (PROPIEDADES DE LA NORMA) a x = 0 x = 0 b x > 0 x 0 c λ x = λ x ( λ escalar real) d x + y x + y (Desigualdad triangular) Observación 1 x se dice unitario si y sólo si x = 1 TEOREMA 2 Sea x n R, entonces x x es unitario
8 LONGITUD, MAGNITUD O NORMA DE UN VECTOR Pág: 4 de 12 Figura 5 Norma de un vector en tres dimensiones usando el teorema de Pitágoras 24 PRODUCTO ESCALAR Definición 3 Dados los vectores x = (x 1,x 2,,x n) y y = (y 1,y 2,,y n) se define el producto escalar x y, por x y = x y + + x y = x y 1 1 n n i i i= 1 n TEOREMA 3 (PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR) a x y = y x b ( λ x) y = λ ( x y) c x ( y + z) = x y + x z d x x 0 e x x = 0 x = 0 Observación 2 x x = x
9 ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Pág: 5 de ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Definición 4 Sean A y B dos vectores de R 2 o R 3 no nulos, el ángulo θ entre los vectores coordenados A y B es el ángulo entre los vectores fijos OA y OB y donde θ es un ángulo entre 0 y 180 TEOREMA 4 Si A y B son vectores coordenados de R 3 no nulos, entonces Demostración Por la ley de los cosenos se tiene que + cos( θ ) = A B B A 2 A B B A = A + B 2 A B cos( θ) De modo que + cos( θ ) = A B B A 2 A B TEOREMA 5 Si A y B son vectores coordenados de R 3 no nulos, entonces A B cos( θ ) = A B Demostración Si A = (a 1,a 2,a 3) y B = (b 1,b 2,b 3) son vectores de R 3, entonces Reemplazando se tiene que B A = (b a ) + (b a ) + (b a ) = (b + b + b ) + (a + a + a ) 2(b a + b a + b a ) 2 2 = B + A 2(b a + b a + b a ) A + B B A + 2(b 1a1 + b2a2 + b3a 3) (b1a 1 + b2a2 + b3a 3) A B cos( θ ) = = = 2 A B A B A B
10 VECTORES CANÓNICOS DIRECCIONES Pág: 6 de VECTORES CANÓNICOS DIRECCIONES Definición 5 Los vectores de 3 R i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) se conocen con el nombre de canónicos y dibujados con punto inicial el origen coinciden con las direcciones positivas de los ejes de coordenadas y son unitarios Definición 6 Los ángulos directores de un vector fijo OA son los ángulos α, β y γ, donde α es el ángulo formado por el semieje positivo de las x y el vector OA, β es el ángulo formado por el eje positivo de las y y el vector OA y γ es el ángulo formado por el eje positivo de las z y el vector OA, la medida de estos ángulos se encuentra entre 0 y 180 Definición 7 Los cosenos directores del vector fijo OA son los cosenos de los ángulos directores del vector OA Se puede encontrar una fórmula para determinar los cosenos directores del vector OA (ver figura 6) De modo que El ángulo ORA es recto porque RA está en un plano que es perpendicular al vector OR a1 a1 cos( α ) = = A a a a De forma similar se tiene que a2 a2 cos( β ) = = A a a a , a3 a3 cos( γ ) = = A a a a Ahora bien, a1 a2 a3 a1 + a2 + a3 a1 + a2 + a3 a1 + a2 + a3 cos ( α ) + cos ( β ) + cos ( γ ) = + + = 1
11 VECTORES CANÓNICOS DIRECCIONES Pág: 7 de 12 Figura 6 Cosenos directores de un vector fijo 27 VECTORES ORTOGONALES PROYECCIÓN ORTOGONAL Definición 8 Un vector x es ortogonal (perpendicular) al vector y si y sólo si x + y = x y Observación 3 Si dos vectores x, y son perpendiculares se usará la notación x y TEOREMA 6 Dos vectores x, y son ortogonales si y sólo si x y = 0 Dados los vectores fijos a y b no nulos es posible proyectar el vector a sobre el vector b y sobre un vector fijo w perpendicular a b como se indica en la figura 7 Como se observa en la figura 7, a = v + w, donde v es la proyección de a sobre b y w es la proyección ortogonal de a sobre b TEOREMA 7 (PROPIEDADES DE LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR) a v = λ b para algún escalar λ (v es paralelo a b) b a = v + w c w b = 0
12 VECTORES CANÓNICOS DIRECCIONES Pág: 8 de 12 Figura 7 Proyección del vector a sobre el vector b 28 CÁLCULO DE LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO a b = ( w + v) b = w b + v b = 0 + v b = v b = ( λ b) b = λ ( b b) De lo anterior se tiene que a b λ = b b La proyección de a sobre b se puede escribir como a b proyba = b = comp(proy ba) b b 2 El vector a b w = a λ b = a b b 2 es ortogonal a b para cualquier vector a (ver figuras 8 y 9)
13 CÁLCULO DE LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO Pág: 9 de 12 Figura 8 Proyección del vector a sobre el vector b con escalar positivo Figura 9 Proyección del vector a sobre el vector b con escalar negativo
14 PRODUCTO VECTORIAL Pág: 10 de PRODUCTO VECTORIAL Considere el problema de encontrar un vector X = (x, y, z) perpendicular a dos vectores no nulos y no paralelos A = (a 1,a 2,a 3) y B = (b 1,b 2,b 3) Como A X = B X = 0, el problema se reduce a la solución del sistema de ecuaciones dado por a1x + a2y + a3z = 0 b x + b y + b z = Se puede eliminar z multiplicando la primera ecuación por b 3 y la segunda por a3 y luego sumándolas se obtiene (a1b 3 a3b 1)x + (a2b 3 a3b 2)y = 0 (*) De forma semejante, se puede eliminar y y (a1b 2 a2b 1)x + (a3b 2 a2b 3)z = 0 (**) Se ve fácilmente que para cualquier constante k, x = k(a2b 3 a3b 2), y = k(a3b 1 a1b 3), z = k(a1b 2 a2b 1) es una solución para el sistema formado por (*) y (**) Como se puede ver hay infinitas soluciones a este sistema todas ellas múltiplos escalares Cuando k = 1 la solución se define como el producto vectorial A B Por lo anterior, A B es un vector perpendicular tanto a A como a B (ver figura 10)
15 PRODUCTO VECTORIAL Pág: 11 de 12 Figura 10 Producto vectorial de dos vectores Definición 9 Para cualquier par de vectores A y B de R 3 el producto vectorial de A por B se define como A B = (a2b 3 a3b 2,a3b1 a1b 3,a1b 2 a2b 1) Observación 4 a Si A o B es el vector nulo, entonces es claro que A B = 0 b Si A o B no son nulos y A es paralelo a B, entonces B = λ A para algún escalar λ, por tanto A B = A ( λ A) = (a 1,a 2,a 3) ( λa 1, λa 2, λa 3) = (a ( λa ) a ( λa ),a ( λa ) a ( λa ),a ( λa ) a ( λa )) = ( λa a λa a, λa a λa a, λa a λ a a ) = (0,0,0) Se tiene entonces que si A B son vectores paralelos entonces A B = 0 Usando determinantes se tiene que i j k A B = a1 a2 a3 b b b TEOREMA 8 (PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL) a A A = 0 Sean A, B y C vectores de R 3 y λ un número real b 0 A = A 0 = 0 c B A = A B d A ( B + C) = A B + A C e ( λ A) B = λ ( A B) = A ( λ B)
16 PRODUCTO VECTORIAL Pág: 12 de 12 Observación 5 El producto cruz o vectorial en general no cumple la propiedad asociativa, es decir, A ( B C) ( A B) C Relacionando al producto vectorial con el producto escalar se tiene 2 A B + ( A B) = A B (Identidad de Lagrange) TEOREMA 9 Si A y B son vectores de R 3 y θ es el ángulo entre los vectores A y B, entonces A B = A B sen( θ) Demostración A B = A B ( A B) = A B A B cos ( θ ) = A B (1 cos ( θ)) = A B sen ( θ) De modo que A B = A B sen( θ) La fórmula anterior para A B tiene una interpretación geométrica para lo cual se construirá el paralelogramo determinado por A y B (ver figura 11) El área de dicho paralelogramo es base por la altura, donde la base es A y la altura es B sen( θ), entonces el área del paralelogramo es A B = A B sen( θ) Para el cálculo del área de un triángulo de vértices a, b y c se tiene que 1 2 ÁREA = AB AC Figura 11 Aplicación geométrica del producto vectorial
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