MATEMÁTICAS I OBJETIVO DE LA ASIGNATURA:

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1 MATEMÁTICAS I OBJETIVO DE LA ASIGNATURA: RESOLVERÁ PROBLEMAS O SITUACIONES DONDE UTILICE MÉTODOS ALGEBRAICOS Y SU INTERPRETACIÓN GRÁFICA EN MODELOS MATEMÁTICOS COMO OPERACIONES CON POLINOMIOS, ECUACIONES LÍNEALES, SIMULTÁNEAS DE DOS Y TRES VARIABLES Y ECUACIONES CUADRÁTICAS, EN UN AMBIENTE DE RESPONSABILIDAD, TOLERANCIA Y RESPETO.

2 UNIDAD I OBJETIVO: Costruirá el leguaje algebraico geeralizado modelos aritméticos, de razoes, proporcioes, series y sucesioes, mediate la resolució de problemas o situacioes e u ambiete cooperativo, de respeto y de toleracia.

3 .. ARITMÉTICA Es rama de la Matemáticas que estudia los úmeros, las operacioes y sus propiedades elemetales. Etimológicamete, Aritmética, es el arte de cotar o de calcular. La palabra se deriva del griego arithmētikē, que combia dos palabras: arithmos, que sigifica úmero, y techē, que se refiere a u arte o habilidad.... NUMEROS REALES Los Número Reales se compoe de la uió de los úmeros Racioales Q y los Irracioales I. Se simboliza co la letra R REALES R IRRACIONA- LES I POR EJEMPLO:... π.9... e EJERCICIOS Y OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS CONOCIMIENTOS PREVIOS: Los úmeros Naturales N so:,,,,,, Los Eteros Z so: - -, -, -, 0,,,, Los Racioales Q so todos los N, Z y a/b, puede ser decimales exactos o periódicos. Los Irracioales so los que o so decimales periódicos i exactos: como, e, π Los úmeros Reales so el cojuto de úmeros N, Z, Q e I es decir, todos los úmeros que utilizamos R Q I Los Racioales Q, so aquellos úmeros que puede escribirse como el cociete a/b de dos eteros, siedo el deomiador diferete de cero. a Q a, b Z ; b 0 b Los Irracioales I so aquellos que resulta e decimales que o so periódicos i exactos.

4 PROCEDIMIENTOS SUMA de ENTEROS ALGORITMO.- Idetifique que sea ua suma, los sigos de los úmeros debe ser iguales..- Realice la suma de los úmeros, atepógale el sigo comú..- El úmero resultate es la solució. RESTA de ENTEROS ALGORITMO.- Idetifique que sea ua resta o diferecia, los sigos de los úmeros debe ser diferetes..- Realice la resta, al umero de mayor valor absoluto réstale el de meor valor absoluto, al resultado atepógale el sigo del úmero que tiee mayor valor absoluto..- El úmero resultate es la solució. SUMA y RESTA de ENTEROS ALGORITMO.- Idetifique que sea suma y resta, hay úmeros co sigos positivos y co sigos egativos..- Realice la suma de los úmeros que tiee sigos iguales, quedará úmeros que tiee sigos opuestos, uo positivo y otro egativo..- Realice la resta o diferecia de los úmeros obteidos e el paso..- El úmero resultate es la solució. MULTIPLICACION de ENTEROS ALGORITMO.- Idetifique que sea multiplicació, etre los úmeros existe u sigo tal como x, ( ), {},, ó [ ]..- Aplique la ley de los sigos de la multiplicació, y multiplique los úmeros..- El úmero resultate es la solució. DIVISION de ENTEROS ALGORITMO.- Idetifique que sea divisió, etre los úmeros existe u sigo tal como,, ó..- Aplique la ley de los sigos de la divisió, y divida los úmeros..- Si da etero ésa es la solució, si o da etero simplifique al máximo. Después de simplificar, si la fracció es propia ésa es la solució; si es impropia puede escribirse e forma mixta.- El úmero resultate es la solució. QUÉ HAY DE LOS SIGNOS DE AGRUPACION? Cuado uo ya sabe cómo resolver a cociecia las operacioes básicas; podemos trabajar traquilamete co los sigos de agrupació. QUÉ ES LO QUE DEBEMOS TENER EN MENTE? Los sigos de agrupació os idica que la o las operacioes coteidas e ella, debe realizarse primero.

5 Asimismo, idica que debemos multiplicar, y cuado lo hacemos, los elimiamos. EJEMPLO:.- Resuelva la operació siguiete: a) [ ( ) ] b) [ () ] c) [ ) ] d) [ ] e) Resuelva la operació siguiete:.- a) ( ) () () ( ) b) 8 8 c) d) EJERCICIO. Resuelve los ejercicios siguietes, idetifica la operació que realizarás. a) 0 b) c) 9 d) ()(-)(-) e) (-)(-)(-) f) 8 - g) 8 h) ( ) i) ( ) j) - (- - 9) k) -0 (8) l) -0 (-) m) { ( ) } ) () ( ) ( ) Se resuelve la operació detro del parétesis más itero de la operacio Se elimia ese parétesis, haciedo la multiplicació Se elimia los parétesis, haciedo la multiplicació PROBLEMAS..- El costo total de u automóvil es de $9 000, icluyedolos cargos por fiaciamieto, esto tiee que amortizarse e 8 aboos iguales. Cuáto suma cada aboo?.- Ua mañaa Ud arracó su automóvil y la temperatura era de - C. Más tarde alguie le dijo que la temperatura había subido a C respecto a la mañaa. Cuál es la temperatura e este mometo?

6 ... EJERCICIOS Y OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS OPERACIONES BASICAS CON NUMEROS RACIONALES (FRACCIONES) RECORDAR: Toda fracció cotiee: El deomiador de Numerador a cualquier úmero etero b Deomiador es. Número primo es aquel que solo tiee dos divisores, el uo y él mismo. Etre y 00 hay úmeros primos:,,,,,,, 9,, 9,,,,,,, 9,,,,, 9, 8, 89 y 9 Los úmeros compuestos, se puede decompoer e u producto de factores primos; co éste recurso podremos simplificar fraccioes co la seguridad de que el resultado es el más simplificado posible; ya que o será ecesario tatear co mitades, tercias, cuartas, quitas, etc. Factores: So úmeros que se va a multiplicar. La divisió de dos úmeros iguales es. 8 8 La ley de los sigos de la divisió es: sigos iguales da positivo, sigos diferetes da egativo El sigo de ua fracció se puede escribir de laas siguietes formas: a a a a b b b b a a a a b b b b Por coveció, el sigo se escribe delate de la raya de la fracció. La ley de los sigos de la multiplicació es: sigos iguales da positivo, sigos diferetes da egativo CÓMO SE PUEDEN SIMPLIFICAR LAS FRACCIONES DE FORMA MÁS CERTERA? ALGORITMO.- Descompoga tato el umerador como el deomiador e sus factores primos..- Cacele o elimie los factores iguales..- Los úmeros que queda (sobra) e el umerador y e el deomiador, se multiplica..- La fracció resultate es la más simplificada posible. Podemos aplicarlo e el ejemplo siguiete: a) Simplifique la fracció siguiete: Las descomposicioes so:

7 8 b) Simplifique Las descomposicioes so: 8 0 SUMA Y RESTA de FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES.- Idetifique que todas las fraccioes tega el mismo deomiador.- Si los deomiadores so iguales, escríbalo como deomiador comú e el resultado..- Escriba los umeradores, co su propio sigo, e la posició del umerador e el resultado..- Realice la suma y resta de los úmeros colocados e el umerador..- Aplique la ley de los sigos de la divisió y la fracció obteida es la solució iicial.- Si el resultado iicial se puede dividir y da etero, ese etero es la solució fial. Si al dividirlo o da etero, se debe simplificar al máximo. Si la fracció simplificada es propia, ésa es la solució fial. Si la solució simplificada es impropia, puede escribirse e forma mixta, ésa es la solució fial..- Ejemplo :.- Deomiadores iguales El resultado o puede dividirse, Ni simplificarse, y es ua fraccio propia, esta es la solució fial

8 Ejemplo No se puede dividir. Se simplifica, queda ua fraccio propia SUMA Y RESTA de FRACCIONES CON DENOMINADORES DIFERENTES.- Idetifique que e las fraccioes haya deomiadores diferetes..- Si los deomiadores so diferetes, calcule el Míimo Comú múltiplo de los deomiadores..- Escriba el MCM de los deomiadores e la posició del deomiador e el resultado, éste es el deomiador comú..- Divida el deomiador comú etre cada deomiador (Dará etero) y multiplique el resultado por el umerador correspodiete..- Escriba cada resultado, co su propio sigo, e la posició del umerador e el resultado..- Realice la suma y resta de los úmeros colocados e el umerador..- Aplique la ley de los sigos de la divisió y la fracció obteida es la solució iicial 8.- Si el resultado iicial se puede dividir y da etero, ese etero es la solució fial. Si al dividirlo o da etero, se debe simplificar al máximo. Si la fracció simplificada es propia, ésa es la solució fial. Si la solució simplificada es impropia, puede escribirse e forma mixta, ésa es la solució fial. 8

9 EJEMPLO: 8.- Deomiadores diferetes.- Cálculo del MCM.- 8, Solució iicial Solució fial No se puede dividir, se simplifica y se obtiee ua fracció propia, siedo la solució fial Nota: El ejemplo se realiza paso a paso, observádose la utilidad del algoritmo. Cuado haga los ejercicios debe hacerse como e el paso 8, e ua líea. 9

10 MULTIPLICACION de FRACCIONES a c ac b d bd.- Idetifique que sea multiplicació de fraccioes, observado los sigos x, ( ), {},, ó [ ]..- Multiplique los umeradores y colóquelo como umerador del resultado, escríbale el sigo correspodiete..- Multiplique los deomiadores y colóquelo como deomiador del resultado, escríbale el sigo correspodiete..- Aplique la ley de los sigos de la divisió y escríbalo e medio de la líea de divisió.- Si el resultado iicial se puede dividir y da etero, ese etero es la solució fial. Si al dividirlo o da etero, se debe simplificar al máximo. Si la fracció simplificada es propia, ésa es la solució fial. Si la solució simplificada es impropia, puede escribirse e forma mixta, ésa es la solució fial. Probablemete este caso es más simple que hacer suma o resta de fraccioes, vamos al ejemplo: EJEMPLO:.-, Se multiplica los umeradores y los deomiadores El sigo positivo se puede omitir EJEMPLO:.- No se puede dividir, se simplifica y resulta e ua fracció propia 90,.- Se multiplica los umeradores y los deomiadores El sigo egativo o se puede omitir

11 DIVIDENDO O NUMERADOR DIVISION de FRACCIONES a b c d DIVISOR O DENOMINADOR a b d c ad bc DIVISOR O DENOMINADOR INVERTIDO No se puede dividir, se simplifica y resulta e ua fracció impropia, por ello se escribe e forma mixta. Observe el sigo del resultado, uca hay que olvidarlo. ALGORITMO:.- Idetifique que sea divisió de fraccioes, observado los sigos,, ó..- Idetifique la fracció que es deomiador o divisor, iviértalo de posició; así cambia a ser ua multiplicació de fraccioes..- Ua vez aplicado el paso, resuélvalo siguiedo los pasos de ua multiplicació. EJEMPLO : ).- ).- ) EJEMPLO : ) ) ) 8 8

12 EJERCICIO

13 ... RAZÓN Y PROPORCIÓN DEFINICIONES: RAZÓN: Es la comparació por cociete de dos magitudes que tiee las mismas uidades. a Atecedete b Cosecuete La razó es u úmero abstracto, pues o tiee uidades. Al cociete obteido se le llama Costate. PROPORCION: Es la igualdad de dos razoes. a : b c : d medios Extremos b y d 0 OTRAS FORMAS DE ESCRIBIRLO a : b a b OTRAS FORMAS DE ESCRIBIRLO a c b d a : b :: c : d Tambié se llama proporció DISCONTINUA d se llama Cuarta proporcioal de a, b y c. Cada uo de ellos puede ser cuarta proporcioal geométrica SE LEE: a es a b La forma de escribir ua razó es muy similar a ua fracció; pero debemos otar que e ua fracció a y b so úmeros eteros, mietras que e ua razó a y b so úmeros reales SE LEE: a es a b como c es a d REGLA O PROPIEDAD: El producto de los extremos es igual al producto de los medios. a : b c : ad bc d PROPORCION CONTINUA: a : b b : c Los medios so iguales, etoces, b se llama Media proporcioal geométrica y c ó a es la Tercera proporcioal geométrica

14 Calcule el valor de x ) x : x : () ( x x ( x ) ) ) ) ) ) ) Idetifique que sea ua proporció ) Si es ecesario reescriba el ejercicio ) Aplique la regla: producto de extremos es igual a producto de medios. ) si la icógita se halla e el segudo miembro, puede aplicar la propiedad simétrica de la igualdad. ) Despeje la icógita ) si da etero ya es la solució, si o da etero, es ua fracció y simplifique al máximo; luego idetifique que el tipo de fracció, si es propia ya es la solució, si es impropia puede escribirlo e forma mixta.

15 .. LENGUAJE ALGEBRÁICO... ALGORITMOS GEOMÉTRICOS Y ARITMÉTICOS. SUCESION DE FIBONACCI La sucesió de Fiboacci es la sucesió ifiita de úmeros aturales ; ; ;, ; 8; ; ; ; ; 89,... dode cada elemeto es la suma de los dos ateriores. Cada elemeto se llama úmero de Fiboacci. Tiee umerosas aplicacioes e ciecias de la computació, matemáticas y teoría de juegos. Fiboacci es coocido etre los matemáticos precisamete por la curiosa sucesió de úmeros ates mecioada: ; ; ;, ; 8; ; ; ; ; 89,... que colocó e el marge de su Liber abaci juto al coocido "problema de los coejos" que más que u problema parece u acertijo de matemáticas recreativas. El problema e leguaje actual diría: "Ua pareja de coejos tarda u mes e alcazar la edad fértil, a partir de ese mometo cada vez egedra ua pareja de coejos, que a su vez, tras ser fértiles egedrará cada mes ua pareja de coejos. Cuátos coejos habrá al cabo de u determiado úmero de meses?." E este gráfico vemos que el úmero de parejas a lo largo de los meses coicide co los térmios de la sucesió. Existe otra curiosidad, el cociete etre cada térmio y el aterior se va acercado cada vez más a u úmero muy especial, ya coocido por los griegos y aplicado e sus esculturas y sus templos: el úmero áureo Los úmeros de la sucesió de Fiboacci sorprederá a todos los biólogos. Como muy bie os eseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las platas se distribuye buscado siempre recibir el máximo de luz para cada ua de ellas. Por eso igua hoja ace justo e la vertical de la aterior. La distribució de las hojas alrededor del tallo de las platas se produce siguiedo secuecias basadas exclusivamete e estos úmeros.

16 El úmero de espirales e umerosas flores y frutos tambié se ajusta a parejas cosecutivas de térmios de esta sucesió: los girasoles tiee espirales e u setido y 89 e el otro, o bie 89 y. Las margaritas preseta las semillas e forma de y espirales. Y cualquier variedad de piña preseta siempre u úmero de espirales que coicide co dos térmios de la sucesió de los coejos de Fiboacci, 8 y ; o y 8. Parece que el mudo vegetal tega programado e sus códigos geéticos del crecimieto los térmios de la sucesió de Fiboacci. Fució geeradora Ua fució geeradora para ua sucesió coeficiete es u elemeto de la secuecia. Los úmeros de Fiboacci tiee la fució geeradora es la fució, es decir, u poliomio dode cada ALGORITMO DE GAUSS Nació : 0 de Abril e Bruswick, (Ahora Alemaia) Falleció : de Febrero 8 e Göttige, Haover (Ahora Alemaia) A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para covecer al padre, Gauss igresa e la escuela primaria, ua vieja escuela, la Katherie Volkschule, dirigida por J.G Bütter, dode compartirá aula co otros cie escolares. La disciplia férrea parecía ser el úico argumeto pedagógico de Bütter, y de casi todos los maestros de la época. A los ueve años Gauss asiste a su primera clase de Aritmética. Bütter propoe a su cetear de pupilos u problema terrible: calcular la suma de los cie primeros úmeros. Nada más termiar de propoer el problema, el jovecito Gauss traza u úmero e su pizarrí y lo deposita e la mesa del maestro exclamado: Ligget se! ( Ahí está!). Había escrito.00. La respuesta correcta. Ate los ojos atóitos de Bütter y del resto de sus compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto si saberlo, el algoritmo de la suma de los térmios de ua progresió aritmética. Se había dado cueta de que la suma de la primera y la última cifra daba el mismo resultado que la suma de la seguda y la peúltima, etc., es decir: Como hay 0 parejas de úmeros de esta forma el resultado se obtedrá multiplicado Gauss había deducido la fórmula que da la suma de térmios de ua progresió aritmética de la que se cooce el primero y el último térmio: dóde a es el primer térmio, a el último, y es el úmero de térmios de la progresió.

17 ... SUCESIONES Y SERIES LINEALES DEFINICIONES: SUCESIÓN O PROGRESIÓN - Cojuto de úmeros dispuestos e cierto orde. - Los térmios de ua sucesió so: a, a, a, etc. a es la variable a la cual se le asocia u umero Natural a se deomia TERMINO GENERAL DE LA SUCESIÓN La expresió {a } suele represetar el -ésimo térmio y las llaves idica que es ua sucesió SUCESION ARITMÉTICA SUCESIÓN GEOMÉTRICA - Es aquella dode cada térmio se obtiee a partir del térmio precedete al sumar u umero fijo deomiado Diferecia Comú d a a ( ) d a térmio eésimo ó geeral a primer térmio de la sucesió úmero de térmios de la sucesió, co que se trabaja. d diferecia comú d a a - Es aquella e la que cada térmio se obtiee al multiplicar el térmio precedete por u úmero fijo llamado razó comú r a r a a térmio eésimo a primer térmio de la sucesió umero de térmios de la sucesió r Razó Comú r a r a Recalcamos, el valor de es u úmero atural, represeta el úmero de térmios co el que trabajamos. EJEMPLO: Ecuetre los siete primeros térmios de la sucesió Como uo tiee que calcularlos y el patró es la fórmula del térmio eésimo o geeral. Empezamos co, luego y asi sucesivamete hasta hallar los térmios que os pide. Coocimietos previos, ley de los expoetes, despejes, operacioes aritméticas, poteciació (lo que idica el expoete), propiedad simétrica de la igualdad ) idetifique que se da la fórmula geeral o del térmio eésimo a ) Sustituya y resuelva, cada resultado es u térmio de la sucesió. SOLUCIÓN: Esta forma es lo mismo que: a a ()

18 a () a () Asi Sucesivamete hasta termiar co el térmio. La solució es /, ½, /, /, /, ¾, /9. DADO ALGUNOS TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN, IDENTIFIQUE DE QUÉ TIPO ES: ARITMÉTICA O GEOMÉTRICA?. Algoritmo.- Tome u térmio y réstele el térmio aterior (precedete)..- Tome otro térmio y réstele el aterior..- Si la diferecia obteida e los pasos y so iguales, la sucesió o progresió es Aritmética..- Si la diferecia obteida e y o so iguales, etoces cotiúe co el paso..- Tome u térmio y divídalo etre el térmio aterior (precedete)..- Tome otro térmio y divídalo etre el térmio aterior..- Si la razó obteida e los pasos y so iguales, la sucesió o progresió es Geométrica. CÓMO SE TRABAJA CON LA FÓRMULA DE SUCESIONES ARITMÉTICAS O GEOMÉTRICAS? Ua vez que se ha idetificado el tipo de sucesió de que se trata, etoces sabremos qué fórmulas se va a utilizar, para esto es ecesario cotar co la fórmula y teerlo a la mao. Si la sucesió es aritmética, hay que observar qué datos teemos, debemos cotar co todos los datos excepto uo, que es el que se va a calcular. Los datos so: a, a,, y d Así, se sustituye e la fórmula y se despeja la catidad descoocida. Ahora, si fuese ua sucesió geométrica, etoces se debe cotar co los datos siguietes: a, a,, y r excepto uo de ellos, que es el que se va calcular. DESPEJE: Cosiste e dejar sola o aislada la variable descoocida (icógita) y para ello se vale de la trasposició de térmios. TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS: Cosiste e cambiar u térmio o parte de u térmio de u miembro al otro. Si está sumado o restado, al traspoerlo cambia de sigo. Si está multiplicado pasa dividiedo y o cambia de sigo Si está dividiedo pasa multiplicado y o cambia de sigo. 8

19 ALGORITMO DEL CALCULO DE UNA SUCESIÓN GEOMÉTRICA O ARITMETICA.- Idetifique qué tipo de sucesió es..- Escriba la fórmula que correspode al tipo de sucesió..- Sustituya todos los datos coocidos y descoocido.- Despeje el térmio descoocido..- El valor obteido es el resultado. EJEMPLO: Obtega el térmio umero de la sucesió:,, 8,,, ) d d 8 se idetifica que es ua sucesió Aritmética. ) La fórmula es: a a ( ) d ) a ( )() a a 8 ()() 8 E este caso o hubo que despejar ada, pues el valor a calcular era el térmio eesimo.- La solució es: el térmio umero es 8. Ejemplo. Obtega el valor de a si sabemos que el térmio umero es, y que la diferecia comú d ) La sucesió es aritmética, hay u dato de diferecia comú d ) a a ( ) d ) a a ( )() a ()() a (9 ) a a 90 a 90 a 90 ) a (90) RESUELVA:.- Obtega los primeros térmios de la sucesió: a) a ( ) b) a c) a ( ).-Idetifique el tipo de sucesió y calcule el valor solicitado. a), 9,, (oveo térmio) SOL: b) 8, -,, (décimo térmio) 9

20 c), -, (décimo térmio) d) /, ½, /, (octavo térmio).- Para ua sucesió aritmética a 9 y a Cuál es el térmio a?.- Para ua sucesió geométrica a 9 y a Cuál es el térmio a?.- Para ua sucesió aritmética a y a 8 y d Cuál es el valor de? SERIE: SERIE FINITA SERIE INFINITA - Es la suma de los térmios de ua sucesió. k a a a a... a k (letra griega SIGMA) idica sumatoria k Ídice de la sumatoria, idica el térmio e que iicia la suma. LA EXPRESIÓN idica el térmio co que termia SUMA DE: la suma a k idica qué térmios se sumará -Si los térmios de ua sucesió so : a a a a Termia e a etoces es ua serie fiita a k k -Si los térmios de ua sucesió so: a a a a, los putos suspesivos idica que o termia e a por lo tato es ua serie ifiita NOS INDICA QUE HALLEMOS LA a, a, a,, a ; pero si lo hacemos por partes, y obteemos la suma S de los primeros térmios, haremos: S a S a a S a a a... S a a a a a k k 0 SUMAS PARCIALES Serie ARITMETICA Serie GEOMÉTRICA Series GEOMÉTRICAS INFINITAS - SUMA S DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA SUCESION ARITMETICA. S a es el primer térmio a el -ésimo térmio úmero de térmios - ( a a ) SUMA S DE LOS PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA SUCESION GEOMETRICA. S r a r a es el primer térmio r es la razó comu úmero de térmios 0 ES UNA SERIE INFINITA PORQUE NO TIENE ULTIMO TÉRMINO k ak a a... a El símbolo se lee ifiito a a S r... Si r la serie diverge.

21 Series CONVERGENTES SI LAS SUMAS PARCIALES DE UNA SERIE INFINITA TIENDE O SE APROXIMA A UN LIMITE FINITO (UN NUMERO) DECIMOS QUE LA SERIE ES CONVERGENTE; EN CASO CONTRARIO ES DIVERGENTE. TODAS LAS SERIES ARITMETICAS SON DIVERGENTES. E este caso, basta co saber qué tipo de sucesió es geométrica o aritmética, fiita o ifiita y cuátos térmios se desea sumar, para luego aplicar las fórmula correspodiete. A veces es ecesario calcular el térmio eésimo a ates aplicar la fórmula de la suma, depederá de los datos. ALGORITMO DEL CALCULO DE LA SUMA DE UNA SUCESIÓN GEOMÉTRICA O ARITMETICA.- Idetifique qué tipo de sucesió es..- Escriba la fórmula que correspode a la suma tipo de sucesió..- Sustituya todos los datos coocidos y descoocido, si falta el térmio eésimo a se calcula ates de usar la fórmula de suma..- Despeje el térmio descoocido..- El valor obteido es el resultado. Ejemplo: a) Determie la suma de los 0 primeros térmios de la sucesió,,, 08, Es ua sucesió geométrica, tiee ua razó comú r r La fórmula es: S a r Se ecesita los datos siguietes: a, r 0 porque so diez térmios los que se trabaja e este caso. Se sustituye e la fórmula: S r a r 0 () () S S S

22 b) Determie la suma de los primeros térmios de la sucesió:, 8,, 8,, 8, ) Es ua sucesió aritmética, tiee ua diferecia comú d ( a ) ) La fórmula es: a S ) Revisió de los datos coocidos: a, porque so doce térmios los que se trabaja e este caso. a El térmio eésimo, o lo que es lo mismo el térmio úmero : a ) Como hace falta a primero se calcula éste valor. a d a a 8 ( ) ( ) () 8 Ahora se sustituye e la fórmula: S ( a a ) ( 8) () S S Series ifiitas Calcular la suma de todos los térmios de la progresió: 0,; 0,; 0,0;... Resolució: Se trata de ua progresió geométrica decreciete cuyo primer térmio Sumar todos los térmios de la progresió geométrica -, /, -/9, /... Resolució: EJERCICIO ) Ecuetre la suma de los primeros térmios de la sucesió aritmética 9,, -, Sol: a -9 S -0 ) Ecuetre la suma de los 0 primeros térmios de la sucesió geométrica;, -8,, -, Sol: S 0 -