Tema: LÓGICA PROPOSICIONAL

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1 UNIDAD N 01: SEMANA 01: Sesión 01: Denominación: LÓGICA, MATEMÁTICA Y CONJUNTOS. Contenido: Lógica Proosicional: Introducción. Proosiciones lógicas. Clases de Proosiciones Lógicas. Proosiciones Comuestas Básicas. Proosiciones Comuestas. Tautología, Contradicción y Contingencia. Proosiciones Lógicamente Equivalentes. Objetivos: - ormalizar y simbolizar cualquier roosición simle o molecular. - Determinar la tabla de verdad, determinar los valores de verdad de las roosiciones simles o comuestas. - Identificar las roosiciones lógicamente equivalentes. Tema: LÓGICA PROPOSICIONAL I. INTRODUCCIÓN: El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito, etc.) or medio de las denominadas frases u oraciones. Estas ueden tener diferentes significados ero siemre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo éste el recedente fundamental ara el desarrollo humano. Lo imortante en el desarrollo de esta sesión es el hecho de que, a artir de los enunciados y de acuerdo a su significado es osible establecer una roosición y a artir de un conjunto de éstas odemos llegar a una conclusión o inferencia, siendo la lógica la ciencia encargada del estudio de éstas. La lógica roosicional es una rama de la lógica que ermite reresentar hechos y/o exresiones del mundo real en un lenguaje reresentativo del conocimiento mediante roiedades elementales ara estudiar a través de roosiciones o sentencias lógicas sus osibles evaluaciones de verdad. La lógica roosicional toma un rol muy imortante en el desarrollo de la inteligencia artificial, y en otros asectos de la informática. II. PROPOSICIONES LÓGICAS: Definición: Son aquellas exresiones u oraciones que ueden ser calificadas bien como VERDADERAS, o bien como ALSAS, sin ambigüedades. Las roosiciones lógicas serán denotadas con letras minúsculas generalmente:, q, r,, etc. A la veracidad o falsedad de un enunciado (roosición) se le denomina VALOR VERITATIVO o VALOR DE VERDAD. Ejemlos de roosiciones lógicas: Proosiciones lógicas : Lima es la caital del Perú. Verdadera (V). q : 17 6 = 10. also (). r : La UNAM es una universidad rivada. also (). 1

2 Ejemlos de exresiones que no son roosiciones lógicas: Exresiones que no son roosiciones lógicas Buenos días. No faltes. Quién llamo or teléfono?. Ingrese a la universidad!. No osee/no esta definido. No osee/no esta definido. No osee/no esta definido. No osee/no esta definido. Observación: En resumen, las Proosiciones Lógicas son exresiones de las que tienen sentido decir que son verdaderas o que son falsas. También se les denomina simlemente PROPOSICIONES. III. CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS: PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS: Son aquellas que se ueden reresentar or una sola variable, es decir, or una sola letra como: : Pamela tiene 20 años. q : 5 x 5 = 25. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES: Son aquellas que se ueden reresentar or lo menos or una variable y algún o algunos de los símbolos que reresentan a las alabras siguientes: Palabras: no imlica o y si y solo si o bien o bien q Símbolo: ~ Ejemlo: No arobé el curso de Matemática I. ~ Hoy es sábado y mañana domingo. q IV. PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS LA NEGACIÓN: Dada una roosición, se denomina LA NEGACIÓN DE, a otra roosición denotada or ~, y que le asigna el valor veritativo ouesto al de. Su tabla de verdad es: V ~ V 2

3 Esta roosición ~ es también leída como: no no es cierto que Ejemlos: Sean las roosiciones: Proosiciones lógicas Exresión simbólica : 3 x 4 = 12 V q: Visual Basic 6.0 no es un lenguaje de rogramación. Entonces sus negaciones son: Exresión simbólica Proosiciones lógicas ~ : No es cierto que 3 x 4 = 12 (o sino, 3 x 4 12 ) ~ q: Visual Basic 6.0 es un lenguaje de rogramación. V LA DISYUNCIÓN: Se le denota v q y se lee o q. Es una roosición comuesta or la roosición y la roosición q, ambas relacionadas or la alabra o, y está definida or la siguiente condición: La roosición v q es ALSA únicamente en el caso en que y q son ambas falsas; en cualquier otro caso es verdadera. En su tabla de verdad se denota sus valores ara todas las osibles combinaciones de valores veritativos de y q como sigue: q v q V V V V V V V (*) Ver el ejemlo. Por ejemlo: corresondiente a la combinación (*) de la tercera fila: Proosiciones lógicas Exresión simbólica : 8 es menor que 5 q : 6 es mayor que 5 V v q 8 es menor que 5 o 6 es mayor que 5 V 3

4 LA CONJUNCIÓN: Se le simboliza q, y se lee como y q. Se le define como una nueva roosición que resulta verdadera (V) en el único caso en que las roosiciones comonentes y q son ambas VERDADERAS (V). En todos los demás casos es ALSA (). Su tabla de verdad es: q q V V V V V (*) Ver el ejemlo. Por ejemlo: corresondiente a la combinación (*) de la segunda fila: Proosiciones lógicas Exresión simbólica : 9 es múltilo de 3 V q : = 12 q 9 es múltilo de 3 y = 12 LA CONDICIONAL: Se le simboliza q, y se lee Si entonces q. Es una nueva roosición comuesta que es falsa únicamente en le caso en que la roosición es verdadera y la roosición q es falsa. Su tabla de verdad es: q q V V V V V V V La roosición es llamada ANTECEDENTE y la roosición q CONSECUENTE. Esta roosición q también se lee de las siguientes maneras: imlica q. es una condición suficiente ara que q. q a menos que ~ Es suficiente que ara que q. 4

5 Ejemlo: Exlique orqué las condicionales siguientes tienen los valores veritativos indicados: Exresión simbólica Proosiciones lógicas q = 8 5 < 6 V q 3-1 = 4 2 < 1 V q Si 5 es rimo, entonces 15 es un número ar Estas condicionales tienen los valores de verdad indicados debido a que: a) es falsa y q verdadera : condicional verdadera. b) es falsa y q falsa : condicional verdadera. c) es verdadera y q falsa : condicional falsa. LA BICONDICIONAL: Se denota q, y se lee si y solo si q. Es aquella roosición comuesta que es VERDADERA en los casos en que ambas y q tengan valores veritativos iguales (ambas verdaderas o ambas falsas); es ALSA en los casos en y q tengan valores veritativos ouestos. Su tabla de verdad es: q q V V V V V V También se lee como: si y solamente si q. es una condicional necesaria y suficiente ara q. Por ejemlo: Proosiciones lógicas Exresión simbólica 2 < 4 V q < V q 2 < 4 si y solo si < V LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Se denota q, y se lee: O bien o bien q. Es aquella roosición que es verdadera en los casos en que ambas roosiciones y q tengan valores veritativos ouestos, y es falsa si ambas tienen idénticos valores de verdad. 5

6 Su tabla de verdad es: P q q V V V V V V Por ejemlo: Proosiciones lógicas Exresión simbólica Vamos a Arequia. V / q Vamos a Tacna. / V q O vamos a Arequia o vamos a Tacna V Sea la roosición: O vamos a Arequia o vamos a Tacna. Queda claro que sólo odremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es also. V. CONECTIVOS LÓGICOS - Reresentación: Los conectivos lógicos se reresentan or los símbolos: Palabras: No imlica o y si y solo si o bien o bien q Símbolo: ~ VI. PROPOSICIONES COMPUESTAS - Utilizando los conectivos lógicos se ueden combinar cualquier número finito de roosiciones comuestas básicas ara obtener otras cuyos valores de verdad ueden ser conocidos construyendo sus tablas de verdad; en tales tablas se indican los valores resultantes de estas roosiciones comuestas ara todas las combinaciones osibles de valores de verdad de las roosiciones comuestas. - Por ejemlo, la tabla de verdad de la roosición comuesta siguiente: [ (~) q ] ( r ), es: q r ~ (~) q r [ (~) q ] ( r ) V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V 6

7 Jerarquía de los conectivos lógicos: Cuando en una roosición comuesta se tiene varios conectivos lógicos, las oeraciones se realizan luego de colocar los aréntesis adecuadamente comenzando de las roosiciones que se encuentren dentro de los aréntesis interiores. Siguen todas las negaciones y luego se avanza de izquierda a derecha. Los corchetes son considerados como aréntesis. VII. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN y CONTINGENCIA - TAUTOLOGÍA: A toda roosición simle o comuesta cuyo valor es siemre VERDADERO ara cualquier combinación de valores veritativos de sus comonentes se le llama TAUTOLOGÍA y se le denota siemre or V. Ejemlo: La roosición [ ( (~) q ) ~q ] ~, es una TAUTOLOGÍA. En efecto: q ~ ~q (~) q [ ( (~) q ) ~q ] ~ V V V V V V V V V V V V V V V V V V - CONTRADICCIÓN: A toda roosición simle o comuesta cuyo valor es siemre ALSO ara todas las combinaciones de valores veritativos de sus comonentes se le llama CONTRADICCIÓN, y se le denota simlemente or Ejemlo: La roosición [ ( q ) q ] ~q, es una CONTRADICCIÓN. En efecto: q ~q q ( q ) q [ ( q ) q ] ~q V V V V V V V V V - CONTINGENCIA: Una roosición simle o comuesta cuya tabla de verdad contiene al menos un V y al menos un recibe el nombre de CONTINGENCIA. Ejemlo: q r ~ (~) q r [ (~) q ] ( r ) V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V 7

8 VIII. PROPOSICIONES LÓGICAMENTE EQUIVALENTES Dos roosiciones y q se llaman EQUIVALENTES (o lógicamente equivalentes) si sus tablas de verdad son idénticas, en cuyo caso se simboliza: q Ejemlo: Las roosiciones ( q ) y [ (~q) (~) ] son EQUIVALENTES ues sus tablas de verdad resultantes son idénticas, como se uede ver en el cuadro: q q ~q ~ V V V V V V V V V V V V V V Por lo tanto: ( q ) [ (~q) (~) ] idéntica IX. EJERCICIOS PRÁCTICOS Identifique las roosiciones en las siguientes exresiones: a) El teclado es un disositivo de entrada de datos. Resuesta: El teclado es un disositivo de entrada de datos. : El teclado es un disositivo de entrada de datos. b) El curso de ísica es teórico y ráctico. Resuesta: El curso de ísica es teórico y ráctico. q : El curso de ísica es teórico. : El curso de ísica es ráctico. q c) Ana y Pedro estudian en la UNAM, entonces son arte de la comunidad universitaria. Resuesta: Ana y Pedro estudian en la UNAM, entonces son arte de la comunidad universitaria. q r q r : Ana estudia en la UNAM. : Pedro estudia en la UNAM. : Son arte de la comunidad universitaria. 8

9 Construya roosiciones comuestas: Sea : 8 es un número ar. q: 8 es el roducto de dos enteros. Traducir en símbolos cada una de las siguientes roosiciones: a) 8 es un número ar o es un roducto de dos enteros. b) 8 es imar y es un roducto de de dos enteros. c) 8 es ar y un roducto de dos enteros o es un número imar y no un roducto de dos enteros. Resuesta: a) q b) (~) q c) ( q) [ (~) (~q)] Indicar que roosiciones son verdaderas o falsas: Sean, q y r tres roosiciones tales que es verdadera, q es falsa y r es falsa. Indicar cuáles de las siguientes roosiciones son verdaderas: a) ( q ) r b) (~) (q r) Solución: a) Esta roosición es VERDADERA, ues: ( q ) r ( V ) V b) Esta roosición es ALSA, ues: (~) ( q r ) V ( ) ( ) 9

10 X. PROBLEMAS PROPUESTOS Dadas dos sentencias roosicionales A y B, se cumle que A B es una tautología. Indicar cuáles de las siguientes ociones son válidas: a. A B es una tautología. b. A B es una tautología. c. A B es una tautología. d. B A es una tautología. e. A B es una tautología. f. A B es contradicción. g. A B es contradicción. La sentencia El caso no se resolverá a menos que el asesino decida confesar su crimen o aarezca or sorresa un testigo relevante uede formalizarse como: a. ~q (q r) b. (q r) ~ c. (q r) d. (q r) Dadas las remisas { ( q r), q r } Cuál de las siguientes odría ser la consecuencia ara que el razonamiento sea correcto? a. r b. r c. r d. r Dada la fórmula (( q) ( q r)) ( q), una fórmula equivalente uede ser: a. q b. c. q r d. ( q) ( r) XI. CONCLUSIONES - Las PROPOSICIONES son aquellas exresiones u oraciones que ueden ser calificadas bien como VERDADERAS, o bien como ALSAS, sin ambigüedades. Las roosiciones lógicas serán denotadas con letras minúsculas generalmente:, q, r,, etc. - A la veracidad o falsedad de un enunciado (roosición) se le denomina VALOR VERITATIVO o VALOR DE VERDAD. - Las clases de roosiciones lógicas ueden ser PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS y las PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES. 10

11 - Proosiciones comuestas básicas son: la NEGACIÓN, la DISYUNCIÓN, la CONJUNCIÓN, la CONDICIONAL, la BICONDICIONAL y la DISYUNCIÓN EXCLUSIVA. - Las PROPOSICIONES COMPUESTAS se forman utilizando los conectivos lógicos, con los cuales se ueden combinar cualquier número finito de roosiciones comuestas básicas ara obtener otras cuyos valores de verdad ueden ser conocidos construyendo sus tablas de verdad. - La TAUTOLOGÍA se da en toda roosición simle o comuesta cuyo valor es siemre VERDADERO y se le denota siemre or V. - La CONTRADICCIÓN se da en toda roosición simle o comuesta cuyo valor es siemre ALSO y se le denota simlemente or - La CONTINGENCIA se da en toda roosición simle o comuesta cuya tabla de verdad contiene al menos un V y al menos un. - Dos roosiciones y q se llaman EQUIVALENTES (o lógicamente equivalentes) si sus tablas de verdad son idénticas, en cuyo caso se simboliza: q. XII. BIBLIOGRAÍA Libros: 1. R. igueroa, Matemática Básica, Ed. Americana, Lima W. K.Grassmann, J.P. Tremblay, Matemática Discreta y Lógica. Ed. Prentice Hall Direcciones electrónicas: 2. Tema: Lógica Proosicional Autor: Andrés J. Bilstein htt:// 3. Tema: Lógica Autores: ernando Hernández Magadán, Jose E. Labra G., Daniel ernández Lanvin Daniel Gayo Avello César ernández Acebal. htt:// 11