5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
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- María Ángeles Río Herrero
- hace 7 años
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1 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres 5 5. SUCESIONES 5. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA 5. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 5.. A SERIE GEOMÉTRICA. 5.. SERIES TEESCÓPICA 5.. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 5... CRITERIO DE A INTEGRA 5. SERIES ATERNANTES 5.5 SERIES DE POTENCIAS 5.5. SERIE DE TAYOR 5.5. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS. Objetvos: Se pretede que el estudte: Determe covergec o dvergec de sucesoes. Coozc ls propeddes de l otcó sgm. Determe covergec o dvergec de seres geométrcs, Telescópcs, y seres de térmos postvos plcdo el crtero de l tegrl. Determe seres de potecs pr ucoes, plcdo Tylor. 58
2 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres 5. SUCESIONES 5.. DEFINICIÓN. Sucesó es u ucó, deotd como { }, cuyo domo es el cojuto de los úmeros eteros postvos y su rgo so úmeros reles. Es decr: IN X IR. Es comú reerrse l rgo de l sucesó, por tto l sucesó se,,. S l sucesó tee u preset como u secuec de térmos { },, ctdd determd de térmos se l llmrá SUCESIÓN FINITA. S l sucesó tee u ctdd o ded de térmos, se l llmrá SUCESIÓN INFINITA. Ejemplo { },,,,, 5 7 mer como se presetó l sucesó e el ejemplo teror se deom orm eplíct, pero se l puede epresr como u ormul de recursó. Ejemplo ; ; Es decr: 7 Y sí sucesvmete. 59
3 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres 5.. Covergec y ímte U sucesó { }, es covergete s y sólo s lm este. Cso cotrro; es decr, s lm o este, se dce que l sucesó es dvergete. S lm este, es decr s lm, sgc que: ξ >, N > tlque > N < ξ Ejemplo Determr s { } es covergete o dvergete. SOUCIÖN: lm Pr determr s es covergete o dvergete se hll. lm lm Por tto, l sucesó es covergete y demás coverge TEOREMA S y b so sucesoes covergetes, etoces:. lím k k lím ; k IR. lím ± b lím ± límb 6
4 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres. lím b lím límb. lím lím b s lím b límb Ejerccos propuestos 5.. Determe s ls sguetes sucesoes so covergetes o dvergetes.. e. b. c. d. π se. g. l 5.. SUCESIONES MONOTONAS U sucesó { } es moóto s sus térmos so o decrecetes, es decr: ; ó s sus térmos so o crecetes; es decr:. o teror quere decr que s se cumple que o será u sucesó CRECIENTE. Cso cotrro, es decr s d que o será u sucesó DECRECIENTE. 6
5 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres Note que, pr l sucesó teror l mím cot superor es y l mám cot eror es. PREGUNTA: POR QUÉ SE DICE MÍNIMA COTA SUPERIOR? POR QUÉ SE DICE MÁXIMA COTA SUPERIOR? TEOREMA U codcó ecesr y sucete pr que u sucesó moóto se covergete, es que se cotd. 5. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Se l secuec,,., sum de estos úmeros, puede ser epresd medte u otcó que deot brevcó, el símbolo empledo es el de sgm: Etoces, l otcó sgm sgc u sum de térmo, desde el prmero hst el -ésmo. Podemos teer u sum t de térmos como tmbé podemos teer u sum t. Ejemplo { { 5 { 7 { Ejemplo 6
6 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres 5.. Propeddes Se y { } { } b dos sucesoes y se C u costte, etoces. C C. ± ± b b Algu ormuls que se ecestrá más delte so:
7 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres 5. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS Decó Se { } u sucesó t. Y se S. sucesó de sum de prcles { S } { S, S, S, } {, },,, deotd como, se llm Sere It. Ejemplo Se l sucesó { } Alguos térmos de l sucesó serí,,, 8 sucesó de sums prcles serí 7, S,,,,,, 8 8 { S S,, } Covergec de Seres U sere lm S S, es covergete s y sólo s este. Cso cotrro; es decr, s dce que l sucesó es dvergete. lm S o este, se 6
8 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres E cso de que l sere se covergete se dce que tee sum S, es decr ocurrrá que. lm S S S S tuvésemos o pudérmos clculrlo, determr l covergec serí muy secllo. Estudremos e prmer lugr ls seres geométrcs y ls seres telescópc que s se les puede determr, y luego mecoremos crteros pr determr covergec y dvergec de seres cudo y o teemos S S 5.. A SERIE GEOMÉTRICA. U sere geométrc es de l orm r r r r sum prcl de los térmos está dd por S r r. Demuéstrel! Pr determr su covergec, deberímos obteer lím S lím Observe que s r etoces sere geométrc es dvergete S r <, etoces r lím r r. r r POR QUÉ? y por tto l lím r l sere es covergete. r Ejemplo Determemos s l sere 8 SOUCIÓN: es covergete o o. 65
9 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres Observe que l secuec dd es u sere geométrc co y r es decr u sere tl que y por tto coverge S 5.. SERIES TEESCÓPICA Pr este tpo se sere tmbé es posble obteer, se lo hce empledo rccoes prcles. S Ejemplo Se l sere. Obteer. S SOUCIÓN: Empledo rccoes prcles, teemos: B A B A S etoces: A B A S etoces: B B B A Por tto: Obteedo lguos térmos de su desrrollo 5 Note que l relzr l sum, los térmos cetrles se suprme queddo el prmer y el últmo térmo. Etoces S, por tto lím S lím sere covergete 66
10 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres Ejerccos Propuestos 5.. Ecuetre S y determe s ls seres so covergetes o dvergetes. S es covergete determe su sum: c e b 5 d CRITERIO GENERA PARA A DIVERGENCIA TEOREMA S l sere coverge etoces lm Es decr s lm etoces l sere dverge Ejemplo sere es dvergete debdo que lím Verque que los ejemplos terores de seres covergetes se cumple el teorem. No olvde que lm es u codcó ecesr pero o sucete. 67
11 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres Ejemplo. sere s embrgo lím, llmd Sere Armóc, es dvergete lo demostrremos más delte, PROPIEDADES DE AS SERIES CONVERGENTES. S y b coverge y s C es u costte, etoces tmbé coverge C y ± b y demás. C C. b ± ± b TEOREMA DE A SERIE DIVERGENTE S dverge y C es u costte derete de cero, etoces l sere C tmbé dverge. 68
12 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres 5.. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS TEOREMA U sere de térmos o egtvos coverge s y sólo s, sus sums prcles está cotds por rrb. CRITERIOS PARA ESTABECER A CONVERGENCIA DE SERIES POSITIVAS CRITERIO DE A INTEGRA Se u ucó cotu postv, o crecete, ded e el tervlo [, y supog que pr todo etero postvo. Etoces l ser coverge s y sólo s l tegrl mprop coverge. d Ejemplo Determe s l SERIE ARMÓNICA coverge o dverge SOUCIÓN: Aplcdo el crtero de l tegrl, debdo que es u sere de térmos postvos decrecetes. lím N Por tto l sere dverge. lím N [ l ] lím l N 69
13 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres Ejemplo. Se l sere p vlores dverge. SOUCIÓN: P Alzdo l tegrl lím P P S P, teemos l sere rmóc, que es dvergete S p, l tegrcó es derete lím Ahor, s P >, N P P N lím P, determe pr qué vlores de p coverge y pr que P N P lím p P P P P S P <, P P E coclusó, l sere P N P P N lím p p, l tegrl coverge p l tegrl dverge S P > coverge S P dverge p Ejemplo Determe s l sere l SOUCIÖN: Aplcdo el crtero de l tegrl Por tto dverge l lím coverge o dverge. [ l l N l l ] Ejerccos propuestos 5. Usdo el crtero de l Itegrl, determe l covergec o dvergec de l sguete sere umérc l e l 7
14 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres 5. SERIES ATERNANTES Ahor se estudrá seres que presete sus térmos co sgos lterdos, es decr seres de l orm o tmbé TEOREMA DE CONVERGENCIA PARA AS SERIES ATERNANTES U sere lterte co etoces l sere coverge.. S > lím Ejemplo Se l sere dvergete. SOUCIÓN. Prmero, vemos s los térmos, e vlor bsoluto, so o crecetes. Comprmos co. Se observ que: < los térmos so decrecetes. Segudo, vemos s lím Se observ que: lím Por tto l sere rmóc lterte es covergete. Ejemplo Se l sere Determe s es covergete o Determe s es covergete o dvergete. SOUCIÓN. Prmero. E este cso y Se observ que < los térmos so decrecetes. Segudo. lím Por tto l sere es covergete. 7
15 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres A cotucó lcemos el teorem TEOREMA S coverge, etoces tmbé coverge. Esto quere decr que s l sere de térmos postvos coverge etoces l sere lterte tmbé coverge, metrs que s l sere lterte coverge o ecesrmete l sere de térmos postvos coverge. 5.. CONVERGENCIA ABSOUTA. DEFINICIÓN. U sere coverge coverge bsolutmete s Ejemplo sere covergete es bsolutmete covergete, debdo que es DEFINICIÓN. U sere coverge y Ejemplo es codcolmete covergete s dverge. sere dvergete, metrs que ell es covergete. es codcolmete covergete, debdo que es 7
16 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres s seres de térmos postvos covergetes so bsolutmete covergetes os crteros que mecoremos cotucó yud coclur rápdmete e stucoes cudo el térmo geerl de l sere preset orms especles. 5.5 SERIES DE POTENCIAS. Ahor estudremos seres cuyos térmos y o so umércos. DEFINICIÓN. U sere de potec e tee l orm: U sere de potec e tee l orm: Algo mportte quí es determr los vlores de, pr los cules l sere umérc correspodete se covergete SERIE DE TAYOR U sere de potec prtculr es l sere de Tylor. Supog que: os coecetes puede ser determdos e térmos de l ucó Evludo e [ ] [ ] [ ] [ ] 7
17 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres Obteemos: Pr ecotrr el segudo coecete, dervmos y evlumos e [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Etoces: Obteedo l segud dervd y evludo e [ ] [ ] [ ] [ ] De l últm epresó, se tee Ahor, obteedo l tercer dervd y evludo e [ ] [ ] De l últm epresó, se tee! Por lo tto: [ ] [ ] [ ] [ ]!!! S se llm Sere de Mclur, es decr: 7
![[ ] [ ] [ ] [ ] Etoces: Obteedo l segud dervd y evludo e [ ] [ ] [ ] [ ] De l últm](/docs-images/47/21403576/images/page_17.jpg "epresó, se tee Ahor, obteedo l tercer dervd y evludo e [ ] [ ] De l últm epresó, se")
18 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres! [] 6 Ejemplo Hllr l sere de Tylor pr SOUCIÓN: Obteemos prmero uego, reemplzdo e: e e e e e, lrededor de 6 Result e!!. Observe que podemos teer u bue promcó de e utlzdo l sere:. e e.57 Ejemplo! Hllr l sere de Tylor pr e lrededor de SOUCIÓN: Empledo l sere terormete ecotrd: e Serí cuestó de reemplzr! por, es decr: e e!!!!!! Ejemplo Hllr l sere de Tylor pr SOUCIÓN: Ahor, es cuestó de reemplzr e lrededor de por, es decr: 75
19 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres e e!!! 6! 8!! Ejemplo Hllr l sere de Tylor pr SOUCIÓN: Obteemos prmero se cos se / cos IV V se cos se! se lrededor de 5! 5 7! 7 IV V uego, reemplzdo e: 6 Se obtee: 5 se! 5!! Ejemplo 5 Hllr l sere de Tylor pr SOUCIÓN: cos lrededor de Obteemos prmero uego, reemplzdo e: Se obtee: cos se cos / se IV cos IV 6 cos! cos!! 6! 6!! 76
20 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres Ejemplo 6 Hllr l sere de de Tylor pr e lrededor de SOUCIÓN: Serí cuestó de reemplzr por, e l sere de e es decr: e! 5 5!! 5! 5!! 5! 5!! 5! cos! Recuerde que: e Por lo tto, se cocluye que Est últm epresó es l llmd IDENTIDAD DE EUER se cos se!! 5! DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS. U sere de potec se puede dervr o tegrr térmo térmo de tl mer que se tedrá otr sere de potec co el msmo rdo de covergec, uque o ecesrmete el msmo tervlo de covergec. Ejemplo Obteer l sere de cos prtr de l sere del seo. SOUCIÓN: sere del seo es: se Dervádol se tee:! 77
21 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres!!! cos D se D Ejemplo. Ecuetre u sere de potec pr epresó teror puede ser observd como l sum de u sere geométrc t co prmer térmo gul y rzó r etoces: b Emplee l sere teror pr obteer l sere de l Itegrdo l d c Determe su tervlo de covergec. Aplcdo el crtero lm lm < < < < < S, teemos u sere dvergete. por qué? S teemos u sere lterte covergete. Por tto su tervlo de covergec es ], Ejerccos Propuestos. 5.. Ecuetre los tres prmeros térmos deretes de cero de l sere de Tylor pr l lrededor de.. Ecuetre los tres prmeros térmos deretes de cero de l sere de Tylor pr lrededor de t. 78
22 Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres b Emplee el resultdo obtedo e y l dereccó térmo térmo co l ldd de ecotrr los prmeros tres térmos deretes de cero de l sere de Tylor pr g sec. c Utlce el resultdo obtedo e y l tegrcó térmo térmo pr ecotrr los prmeros tres térmos que o se cero de l sere de Tylor pr h lcos.. Ecuetre el desrrollo e seres de potecs de. l b. e d c. l se d. d e.. cos g. e e. Clculr usdo seres de potecs: e. d π b. d e se c. se d 5. Cosdere l ucó e. Determe u represetcó pr e seres de potec de. 79
2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
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